资源简介

2026 年广东省初中学业水平第二次模拟考试
数学
（满分：120 分 时间：120 分钟）
一、单选题 （本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动 100 米记作+100米，则向南运
动 80 米可记作（ ）
A．80 米 B． 80米 C．100 米 D． 100米
2．如图，是由 5 个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．近几年我国汽车工业快速发展，在 2025 年仅新能源汽车销量就超过 1600 万辆，将 1600 万用科学
记数法表示应是（ ）
A．1.6×106 B．16×106 C．0.16×108 D．1.6×107
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（ a2）3＝a6 C． 3 ( )2( 5) = 10 D． 3 2 = 5
5．如图，已知直线 a∥b， 1= 75 ， 3= 40 ，则 2的度数是（ ）
A．35 B．40 C．45 D．50
6．若一个直角三角形的两条直角边的长分别是 3 和 4，则斜边的长为（ ）
A．5 B． 7 C．1 或 7 D．5 或 7
7．2025 年 4 月 8 日美国对中国输美产品加征的“对等关税”从 34%提升至 84%，4 月 10 日，这一税
率进一步提高至 125%．假设从 4 月 8 日到 4 月 10 日这两天关税日平均增长率为 x，则可列出方程
（ ）
A．34%（1+2x）＝125% B．34%（1+x）2＝125%
C．84%（1+x）2＝125% D．84%（1+2x）＝125%
8．甲、乙两班举行计算机汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的情况统计如下（每分钟录入汉
字 150个为优秀）：
班级 参赛人数 中位数 平均数 方差
甲班 55 149 135 191
乙班 55 151 135 110
给出下列结论：
（1）甲、乙两班学生比赛成绩的平均水平相同；
（2）乙班比赛成绩优秀的学生多于甲班；
（3）乙班学生比赛的成绩比较稳定．
其中正确的结论是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
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9．如图，在正方形 ABCD中，将边 AB绕点 A逆时针旋转至 AE，若 BEC = 90 ，则cos BCE =
（ ）
1 1 2 5
A． B． C． D．
2 3 3 5
10．如图 1，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是 AC，AB的中点，连接 CE，DE，点 P从点
C出发，沿 C→E→D→A的方向匀速运动到点 A，速度为 1cm/s．图 2 是点 P运动时，△AEP的面
积 S（单位：cm2）随时间 t（单位：s）变化的图象，则 a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（ 第 9题图） （第 10题图）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.）
11．计算： 320260 √8 =______．
2 1
12．若一元二次方程2x x k = 0没有实数解，则 k的取值范围是___________．
2
13．已知点 A(m+ 2,3)与点B ( 4,n)关于 y轴对称，则m+ n = ______．
OB 2
14．如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且 = ，若△ABC的周长为 5，则△DEF
BE 3
的周长为________．
15．如图，AC为半圆 O的直径，B为半圆 O上的一点，连接 AB，BC，以点 A为圆心，AB的长为半
径画弧，交 AC 于点 D．若 BC＝2，AC＝4，则阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）
（第 14 题图） （第 15 题图）
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分.）
2 1 > 3
16．解不等式组：{
+ 2 < 4 1
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17．如图，在 中，E，F分别为 , 的中点，连接 、 、 ．
(1)求证： = ；
(2)从条件“① = ，② ⊥ ”中任选一个作为已知条件，判断
四边形 的形状，并证明你的结论．
18．如图，在等腰△ 中，∠ = 90 ，点 为 边上的点．
(1)尺规作图：在 CD的右侧作△ ，使得∠ = 90 ， = ；
（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）所作的图形中，连接 BE，求证： = ．
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分.）
19．四川是一个充满想象力的省份，数千年来，生活在这片土地上的人们凭借智慧创造了众多非物质
文化遗产，截至目前，已有 9 项入选联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为了让学
生更加了解四川非遗文化，天府新区某学校组织了非遗文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部
分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（A：90≤x≤100，
B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
（1）本次参加测评人数为 人，并补全条形统计图；
（2）若该校九年级共有 800 人，成绩为 80 分及以上记为优秀，请估计该校九年级学生测试成绩为
优秀的学生人数；
（3）现有成绩为 A等级的两位同学和 B等级的两位同学共四人报名参加非遗汇报，从这四名同学
中随机抽取两位参加汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为 A 等级同学和
一名成绩为 B 等级同学的
概率是多少？
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20．根据如表所示素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
某书店为了迎接“读书节”决定购进 A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本
素材一
18 元、每本 12 元．
已知 A种图书的标价是 B种图书标价的 1.5 倍，若顾客用 540 元按标价购买图
素材二
书，能单独购买 A种图书的数量恰好比单独购买 B种图书的数量少 10 本．
该书店准备用不超过 16800 元购进 A，B两种图书共 1000 本，且 A种图书不少
素材三 于 700 本，经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的 8 折销售，B种
图书按标价销售．
问题解决
任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出 A，B两种图书的标价．
任务二 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？
21．图 1 是某越野车的侧面示意图，折线段 ABC 表示车后盖，已知 AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝
123°，该车的高度 AO＝1.7m．如图 2，打开后备箱，车后盖 ABC落在 AB′C′处，AB′与水平
面的夹角∠B′AD＝27°．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点 B′到地面 l的距离（结果精确到 0.01m）；
（2）若小琳爸爸的身高为 1.8m，他从打开的车后盖 C′处经过，有没有碰头的危险？诸说明理由．
（参考数据： 27° ≈ 0.454， 27° ≈ 0.891， 27° ≈ 0.510，√3 ≈ 1.732）
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五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 小题 13 分，第 23 小题 14 分，共 27 分.）
22．给出如下定义：对于二次函数 y＝ax2+bx+c（其中 a、b、c为常数，且 a≠0，b≠0），我们把一次
1
函数 = + 叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数 = 2 + 3 + 4的“随轴函
2 2
数”为 y＝3x﹣8．
3
（1）已知二次函数 = 2 + 9 6，求该二次函数的“随轴函数”的表达式；
2
（2）如图，设二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象 C1 交 x轴于点 A（﹣1，0），交 y轴于点 C（0，3），它
的“随轴函数”y＝kx+d的图象为 L2，图象 C1 与 L2 相交于 B，D两点（点 D在点 B的左侧）．
①求该二次函数的表达式，并写出 B，D两点的坐标；
②直线 x＝n与 C1，L2 分别交于点 E，F，与 x轴交于点 G．连接 BE，CE，CF，当 0＜n＜3 时，且四
75
边形 CEBF的面积为 ，求 n的值；
8
③若二次函数 y＝﹣x2+bx+c（x＜3）与它的“随轴函数”y＝kx+d（x≥3）组成新函数 w，若在函数 w
图象上有两点 P，Q（P 与 Q 不重合），点 P 的横坐标为 m，点 Q 的横坐标为﹣m+5．当 P，Q 之间
（包含 P，Q两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随 m的变化而变化，请直接写出 m的取值
范围．
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23．矩形 ABCD中，点M是 AB延长线上一点，点 G、E分别是 AB、CM的中点，GE与 DM相交于
点 H．
（1）如图 1，若 AD=3，AB=4，MB=1， ∠ = ____________；
（2）如图 2，运动点M，证明：MH=GH；
（3）在（2）问的条件下，以 H为圆心，MH为半径画圆．

① 如图 3，若⊙H与 CD、AD分别相切于点 P、Q，求 的值；

1
② 如图 4，若⊙H经过点 C， = ， 求证：四边形 ABCD是正方形．
2
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2026 年广东省初中学业水平第二次模拟考试
九年级数学参考答案及评分建议
一、选择题（共 10个小题，每小题 3分，满分 30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D A A C A D C
二、填空题（共 5个小题，每小题 3分，满分 15分）
1
11. -1； 12. < ； 13. 5 ； 14. 12.5； 15. 2√3 π 4
三、解答题（共 3个小题，每小题 7分，满分 21分）
16．解：解不等式2 1 > 3得： > 2，......................................2 分
解不等式 + 2 < 4 1得， > 1． ..........................................5 分
∴原不等式组的解集为： > 2． ................................................7 分
17.（1）证明：在 中， = , ∥ ，
∴∠ = ∠ ， .......................................................................................................1 分
∵点 E，F 分别为 , 的中点，
1 1
∴ = , = ，
2 2
∴ = .............................................................................................................2 分
∵ = ，
∴△ ≌△ (SAS)，
∴ = ； ............................................................................................................3 分
（2）解：由（1）知 = ，
∵ ∥ 即 ∥ ，
∴四边形 是平行四边形；
①当 = 时，如图，则△ 是等腰三角形，........................................................4 分
∵点 E 为 的中点，
∴ ⊥ ，即∠ = 90° ，
∴四边形 是矩形； ..................................................................................................7 分
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页
②当 ⊥ 时，如图，则△ 是直角三角形， ....................................................4 分
∵点 E 为 的中点，
1
∴ = = ，
2
∴四边形 是菱形． ................................................................................................7 分
18．（1）解：作图．
如图所示，△ 即为所作的三角形．..........................................3 分
（2）解：连接 BE
∵∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠DCE﹣∠DCB＝∠ACB﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CAD 和△CBE 中，
=
{∠ = ∠ ，
=
∴△CAD≌△CBE（SAS）；
∴BE=AD ..........................................7 分
四、解答题（共 3个小题，每小题 9分，满分 27分）
19．（1）根据 C 等级人数 20 人占总人数 20，可得总人数为：
20
= 100(人)，
20%
D 等级占 5，对应人数为 100×5%＝5（人），
B 等级人数为 100﹣40﹣20﹣5＝35（人），
补全条形统计图：
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..........................................3 分
（2）解：成绩 80 分及以上为优秀，即 A、B 等级合计占比：
40+35
= 75%，
100
该校九年级共 800 人，估计优秀人数为：
800×75%＝600（人）..........................................5 分
（3）设 A 等级同学为 A1，A2，B 等级同学为 B1，B2．
从四人中随机抽取两人，所有可能组合如下图：
...............................7 分
共 12 种，
抽到一名成绩为 A 等级同学和一名成绩为 B 等级同学的组合有 8 种，
所求概率为：
8 2
= = ．..........................................9 分
12 3
20．解：任务一：
设 B 种图书标价 x 元，则 A 种图书标价1.5 元．
540 540
根据题意，得 = 10， ..........................................................................2 分
1.5
解得 = 18，...............................................................3 分
经检验： = 18是原方程的解，且符合题意，..................................................4 分
此时1.5 = 1.5 × 18 = 27，
答：A 种图书标价 27 元，B 种图书标价 18 元；
任务二：
设购进 A 种图书 m 本，则购进 B 种图书(1000 )本．
依题意得，18 + 12(1000 ) ≤ 16800， ........................................5 分
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∴ ≤ 800，
又∵ ≥ 700，
∴700 ≤ ≤ 800，且 m 为整数，
设获得的总利润为 W 元，
则 = (0.8 × 27 18) + (18 12)(1000 )
= 2.4 + 6000， ........................................................................6 分
∵ 2.4 < 0，
∴W 随 m 的减小而增大，.........................................7 分
∵700 ≤ ≤ 800，且 m 为整数，
∴当 = 700时，W 取最大值，此时购进 B 种图书1000 700 = 300（本），...8 分
答：购进 A 种图书 700 本、B 种图书 300 本才能获得最大利润． ..........................9 分
21. 解：（1）过点 B′作 B′E⊥AD，垂足为 E，
由题意得：AB＝AB′＝1m，
在 Rt△AB′E 中，∠B′AD＝27°，
∴B′E＝AB′ sin27°≈1×0.454＝0.454（m），................2 分
∵AO＝1.7m，
∴AO+B′E＝1.7+0.454≈2.15（m），................3 分
∴打开后备箱后，车后盖最高点 B′到地面 l 的距离约为 2.15m；......................................4 分
（2）小琳爸爸的身高为 1.8m，他从打开的车后盖 C′处经过，没有碰头的危险，..............5
分
理由：过点 C′作 C′F⊥B′E，垂足为 F，
由题意得：∠AEB′＝90°，BC＝B′C′＝0.6m，
∠ABC＝∠AB′C′＝123°，
∵∠B′AD＝27°，
∴∠AB′E＝90°﹣∠B′AD＝63°，
∴∠FB′C′＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，...............6 分
1
在 Rt△B′C′F 中，B′F＝B′C′ cos60°＝0.6× =0.3（m），...............7 分
2
∴OA+B′E﹣B′F＝2.154﹣0.3＝1.854（m），................8 分
∵1.854m＞1.8m，
∴小琳爸爸的身高为 1.8m，他从打开的车后盖 C′处经过，没有碰头的危险．..................9 分
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3
22. 解：（1）∵二次函数 = 2 + 9 6，
2
9
∴ = = 3， = 4，
2 3
∴该二次函数的“随轴函数”为 y＝﹣3x﹣4．
答：y＝﹣3x﹣4．………………2 分
（2）①∵y＝﹣x2+bx+c 交 x 轴于点 A（﹣1，0），交 y 轴于点 C（0，3），
1 + = 0
∴{ ，
= 3
= 2
∴{ ，
= 3
∴y＝﹣x2+2x+3，………………4 分
∴该二次函数的“随轴函数”为 y＝x﹣3，
令﹣x2+2x+3＝x﹣3，
则 x2﹣x﹣6＝0，
解得 x1＝﹣2，x2＝3，
则 y1＝﹣5，y2＝0，
∴D（﹣2，﹣5），B（3，0）．………………6 分
②∵G（n，0），
∴E（n，﹣n2+2n+3），F（n，n﹣3），
∴EF＝﹣n2+n+6，
1
∵ 四边形 = ， 2
1 75
∴ 四边形 = (
2 + + 6) 3 = ，
2 8
∴ 2
1 1
+ = 0，解得 = = ，
4 1 2 2
1
故 n 的值为 ．………………9 分
2
③ 4≤m≤6 或﹣1≤m≤1．……………………13 分
∵xP＝m，xQ＝﹣m+5，
+( +5) 5
∴ = ，
2 2
5
∴点 P、Q 到直线 = 的距离相等，
2
当 x＝1，y 最大值＝﹣1+2+3＝4，
当 x＝3 时，y 最小值＝0，
∵P、Q 之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随 m 的变化而变化，
而当 x＝7 时，y＝4，x＝﹣1 时，y＝0，
5
当 ＞ ，如图：
2
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1 ≤ + 5 ≤ 1
由题意得：{ ，
3 ≤ ≤ 7
∴4≤m≤6；
5
当 ＜ ，如图：
2
1 ≤ ≤ 1
由题意得：{ ，
3 ≤ + 5 ≤ 7
∴﹣1≤m≤1，
综上：4≤m≤6 或﹣1≤m≤1．
3
23.（1） ……………………（2 分）
5
（2）方法一
过点 E 作MK ⊥ BM
∵四边形 ABCD 是矩形
∴ CBA = 90
∴ CBA = EKB = 90
∴ EK // BC
KB EC
∴ =
MB MC
∵ E 是MC 中点
KB EC 1
∴ = = ………………（3 分）
MB MC 2
∵G 是 AB 中点
GB 1
∴ =
AB 2
KB + BG KG 1
∴ = =
MB + AB MA 2
∴△EKG ∽△DAM …………（4 分）
∴ EGB = DEA
∴ HG = HM ………………（5 分）
方法 2
取 MD 的中点 K ,连接 AK
MK 1
∴ =
MD 2
∵四边形 ABCD 是矩形
∴ DAM = 90 ,CD // AB
AB =CD
∵ K 是DM 中点
1
∴ AK = DM ………………（3 分）
2
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1
MK = DM
2
∴ KA = KM
∴ KMA = KAM
∵ E 是MD 中点，K 是CD中点
∴ EK 是△CDM 的中位线
1
∴ EK // CD , EK = CD
2
∴ EK // AB
∵G是AB的中点
1
∴ AG = AB
2
∴ KE = AG
∴四边形EGAK是平行四边形 …………4（分）
∴ EG // AK
∴ EGM = KAB
又∵ KMA = KAM
∴ EGB = DEA
∴ HG = HM …………5（分）
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（3）①如图所示，连接HP，HQ，延长PH交AM于点F .
由（2）知，无论点M如何运动总有HM = HG .
由题意得，以H为圆心，HM为半径
不妨设HM = HG = r，CD = 2 ………………6
又 圆H与CD，AD相切于点P、Q
HP = HQ = HM = r， HPD = HQD = 90
可得DH平分 PDQ
HDQ = 45
矩形ABCD
ADC = A = 90 ，CD = AB = 2
MDA = HDQ = 45 ………………7
可得 HMG = 45
又 HM = HG
HGF = HMG = 45
FG = HF
HPD = PDQ = HQD = 90
四边形PHQD是矩形
PF ∥ AD，DQ = PH = r
HFG + A =180
可得 HFG = 90
HFG = HQA = A = 90
四边形HFAQ是矩形
AF = HQ = r，AQ = HF
点G是AB的中点
1
AG = AB =1
2
FG = AF AG = r 1
又 HFA = 90 ， HGF = 45
FG 2
cos HGF = =
HG 2
可得HG = 2FG = （2 r 1）
HG = HM = r
（2 r 1）= r
解得r = 2+ 2 ………………8
FG = HF = AQ = r 1= 2+ 2 1= 2 +1
AD = DQ + AQ = 2+ 2 + 2 +1= 3+ 2 2
AD 3+ 2 2
= .
CD 2 ………………9
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（3）②方法1
如图所示，连接CH，CG .
圆H经过点C，HM为半径
………………10
HC = HM
又 点E是CM的中点
EH ⊥ CM
可得 GEM = GEC = 90
又 EC = EM，EG = EG
证得△EMG △ECG（SAS） ………………11
HGM = HGC
由（2）可知HM = HG
HMG = HGM
HGM = HMG = HGC
EHM是△HMG的一个外角
EHM = HMG + HGM
EHM = HGM + HGC
………………12
即 EHM = GBC
又 矩形ABCD
GBC = 90
GBC = HEM = 90
证得△GBC ∽△HEM
BC GB
=
EM HE
HE GB
即 =
EM BC
EH 1
又 =
EM 2
GB 1
= ………………13
BC 2
1
即GB = BC
2
又 点G是AB的中点
1
GB = AB
2
AB = BC 数学参考答案 第 9 …页 …共… 1…0 ……14
矩形ABCD是正方形. 页
②方法 2:
过点M 作MH ⊥CD，连接 JG ，延长GJ 交CD与点 P ，连接CJ
∵CH = MH , E 是MC 中点
∴ HE ⊥ MC
在 Rt△MEH中
EH 1
tan EMH = = ………………10
EM 2
∵MJ 是直径
∴ MCJ = 90 ， MGJ = 90
CJ 1
∴ tan EMH = = ………………11
CM 2
∵四边形 ABCD 是矩形
∴ AB // CD
∴ CPJ + MGP =180
∴ CPJ = 90
∴ CPJ = N = 90
∵ MCN + NMC = 90 , JCP +MCN = 90
∴ NMC = JCP
∴△NMC ∽△PCJ
CP CJ 1 ………………12
∴ = =
MN MC 2
∵ N = NMG = MGP = 90
∴四边形 NMGP 是矩形
∴MN =GP = AD
CP 1
∴ = ………………13
AD 2
∵G是AB的中点
BG 1
∴ =
AB 2
∵四边形CBGP是矩形
∴ BG =CP
CP 1
∴ =
AB 2
∴ AB = AD
………………14
∴矩形ABCD是正方形
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