资源简介

四川省苍溪中学校2024-2025学年高二下学期4月考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知空间向量，则（　　）
A． B． C．2 D．14
2．设A，B为直线与圆的两个交点，则|AB|=(　　)
A．1 B． C． D．2
3．如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
4．若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（　　）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（　　）
A． B． C．505 D．1013
6．下列命题正确的是（　　）
A．若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒
B．命题“”是真命题
C．设函数的导函数为，且，则
D．已知函数在R上可导，若，则
7．已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
8．若函数有三个零点，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．若空间向量满足，则与夹角为钝角
D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为
10．设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（　　）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．设曲线在点处的切线与直线平行，则a为　 　．
13．在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为　 　.
14．设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为　 　．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
15．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）如果函数的导数为，且在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前20项和．
16．已知函数．
（1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．
17．已知在数列中，且，记.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记求数列的前n项和.
18．如图，在三棱锥中，，M是线段上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
19．已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点，
①若，求线段OM的长度；
②求点到直线OM的距离的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据向量的模的坐标表示，从而得出的值.
2．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】显然直线过圆的圆心，所以|AB|长即为直径的长度，所以|AB|=2.选D.
3．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和空间向量基本定理，从而找出正确的选项.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图象可得，
当时，由，得，则在上单调递增；
当时，由，得，则在上单调递减；
当时，由，得，则在上单调递减，
综上所述，函数的单调递增区间为.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合分类讨论的方法，从而可得的正负，进而判断出函数的单调性则得到函数的单调递增区间.
5．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设首项为，
因为成等比数列，
所以，
则，
解得或，
当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时，令，
则其前2025项和为：
.
故答案为：D.
【分析】根据已知以及等差数列的通项公式求得的值，从而得到数列的通项公式，令，再利用并项求和即可.
6．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；导数的四则运算；导数的概念；瞬时变化率；函数极限
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，故A错误；
对于B，构建，
因为，所以，
可知函数在内单调递增，
则，所以，
则命题“，”是真命题，故B正确；
对于C，由，
得，则，
所以，故C错误；
对于D，由导数定义，知，
所以，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用导数求瞬时速度的方法，则判断出选项A；构建，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则判断出选项B；利用导数的运算法则和代入法，则判断出选项C；利用导数的定义和函数极限的关系，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
因为，所以，则到渐近线的距离，
，，，，
则，，，
由，可得，即，
解得，则离心率.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，，，由，根据正切值列方程求得，再根据双曲线的离心率公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.
故答案为：A
【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图象有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的概念；空间向量基本定理；共面向量定理；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，因为空间向量不能比较大小，又因为空间向量的模是非负实数，
所以，空间向量的模可以比较大小，故A正确；
对于B，由，
可得，
则，
所以，则四点共面，故B正确；
对于C，若与为两非零向量，
当共线且反向时，则，此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误；
对于D，因为与方向相同的单位向量为 ，
由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由空间向量的定义和空间向量的模是非负实数，则空间向量的模可以比较大小，从而判断出选项A；由空间向量基本定理和四点共面的判断方法，则判断出选项B；由两向量共线且反向情况结合数量积求向量夹角公式，则可判断选项C；由单位向量定义和投影向量的定义，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：对于A，令，得：，
解得，故A正确；
对于B、C，当时，，所以，
化简得，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，则，
又因为是正项数列，所以，
当时，，所以，
当时，，也满足条件，所以，故B错误、C正确；
对于D，因为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据的关系式和等差数列定义以及等差数列的通项公式，则判断出选项A、选项B和选项C；由的通项公式的取值范围，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由函数，
可得，
令，解得或；令，解得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，
则函数的极大值为，故A正确；
对于B，由选项A知，当时，取得极小值，
则极小值，
且当时，；当时，，
因为，所以，函数有3个零点，故B错误；
对于C，由，可得，
令，可得，
因为，
所以，点是函数的对称中心，故C正确；
对于D，因为是函数的对称中心，
所以，
令，
可得，
所以
，
则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数单调性的方法，从而得出函数的极大值，则判断出选项A；利用选项A得出函数的极小值，再利用函数求极限的方法和函数零点的定义，则判断出选项B；利用求导的方法和函数的图象的对称性，则判断出选项C；根据函数的图象的对称性， 令，再结合倒序相加法得出S的值，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：由，得，
所以，切线斜率为，
因为直线的斜率为2，
所以，解得.
故答案为：1.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而得出实数a的值.
13．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体边长为，因为，
∴，，，，
∴，，
，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】在正方体中构造出正四面体，从而建立空间直角坐标系，设正方体边长为，利用已知条件得出点的坐标和向量和向量的坐标，再根据数量积求向量夹角公式得出异面直线与所成角的余弦值.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对任意的，，
可得，则，
构造函数，
则，所以，函数在内单调递增，
则在上恒成立．
因为，所以在上恒成立，
分离参数，得，
当时，取最小值，
所以，则，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出在上恒成立，参变分离得出，再根据二次函数求最值的方法，从而求出函数的最小值即可求出实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为
令，
可得，
所以，函数的单调递增区间为.
（2）解：因为，
所以，
令，
可得，
因为在上的零点从小到大排列后构成数列，
可知，所以，公差，
则，
所以的前20项和.
【知识点】等差数列的前n项和；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式，结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再由换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递增区间.
（2）求导后令导数为零，从而求出函数的零点，再由等差数列的通项公式得出数列的通项公式，利用等差数列前n项和公式得出数列的前20项的和.
（1），
令，可得，
所以函数的单调递增区间为.
（2），则，
令，可得，
因为在上的零点从小到大排列后构成数列，可知，
所以，公差，
所以，
所以的前20项和
16．【答案】（1）解：因为函数的定义域为，所以，，
则，解得，则，
令，所以，
解得或，
则
1 3 4
0
极小值
所以在上的最小值是，最大值是.
（2）解：因为在区间上恒成立，
所以，
设，
当时，是增函数，其最小值为，
则，所以，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求极值点的方法，从而得出a的值，则得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出函数在上的最小值和最大值.
（2）利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出，设，再利用函数的单调性，从而得出函数的最值可得出实数a的取值范围.
（1）的定义域为，，，则，
解得，
故，令，即，
解得或，
1 3 4
　 0 　
极小值
故在上的最小值是，最大值是；
（2）在区间上恒成立，故，
设，当时，是增函数，其最小值为，
故，即实数的取值范围为．
17．【答案】（1）证明：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，所以 数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）解：由（1）知 ，
则，
.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式，结合对数的运算以及等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）知 ，求出数列的通项，再利用裂项相消前n项和.
（1），，
又，，
，
又，
数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）知 ，
则，
.
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为，，所以，，，
，所以，则，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得，
由直线与平面所成角的正弦值为，
可得，
整理得，解得，
因为点在线段上，所以，即.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面即可；
（2）由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，根据空间向量求线面角建立关于的方程，求出即可求得的长.
（1）取的中点，连接，，，
则，，，，
于是，则，
由，平面，得平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得，由直线与平面所成角的正弦值为，
得
整理得，解得，
由于点在线段上，所以，
即.
19．【答案】（1）解： 圆的焦距为2 ，即，，
因为点在椭圆上，所以，解得，
则，
故椭圆的标准方程为：；
（2）解：①、由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点，
设直线AB的方程为，，，
联立，消元整理可得，
则，，，
因为，则，即，
即，
解得，，
由，可得AB的中点为，
即点，则；
②、由①可知AB的中点为，
则，且直线OM的斜率为，所以直线OM的方程为，
设点A到直线的距离为，
因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为，
又因为，
由知，，
所以，解得，
由，令，
则，由在单调递增，得，即当时，，
即点到直线OM的距离的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的焦距求，将代入椭圆方程，结合求得求得，即可得椭圆方程；
（2）①、由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点，设直线AB的方程为，将条件转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数的方程，求解即可；
②、由韦达定理用分别表示弦中点坐标与，利用面积关系得关于的函数关系，结合函数的单调性求函数的最值即可.
（1）由题知，，即，，
由点在椭圆上，代入椭圆方程得，
，解得，则，
故椭圆的标准方程为：.
（2）①由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点，
所以可设直线AB的方程为，并设，
由得.
则，，.
因为，则，即，
即
，
解得，.
由，
所以AB的中点为，
即点，所以；
②由①可知AB的中点为，
则，且直线OM的斜率为，
所以直线OM的方程为.
设点A到直线的距离为，
因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为，
又因为
，
由知，，
所以，
解得，
由，令，
则，由在单调递增，
得，即当时，.
即点到直线OM的距离的最小值为.
1 / 1四川省苍溪中学校2024-2025学年高二下学期4月考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知空间向量，则（　　）
A． B． C．2 D．14
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据向量的模的坐标表示，从而得出的值.
2．设A，B为直线与圆的两个交点，则|AB|=(　　)
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】显然直线过圆的圆心，所以|AB|长即为直径的长度，所以|AB|=2.选D.
3．如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和空间向量基本定理，从而找出正确的选项.
4．若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图象可得，
当时，由，得，则在上单调递增；
当时，由，得，则在上单调递减；
当时，由，得，则在上单调递减，
综上所述，函数的单调递增区间为.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合分类讨论的方法，从而可得的正负，进而判断出函数的单调性则得到函数的单调递增区间.
5．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（　　）
A． B． C．505 D．1013
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设首项为，
因为成等比数列，
所以，
则，
解得或，
当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时，令，
则其前2025项和为：
.
故答案为：D.
【分析】根据已知以及等差数列的通项公式求得的值，从而得到数列的通项公式，令，再利用并项求和即可.
6．下列命题正确的是（　　）
A．若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒
B．命题“”是真命题
C．设函数的导函数为，且，则
D．已知函数在R上可导，若，则
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；导数的四则运算；导数的概念；瞬时变化率；函数极限
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，故A错误；
对于B，构建，
因为，所以，
可知函数在内单调递增，
则，所以，
则命题“，”是真命题，故B正确；
对于C，由，
得，则，
所以，故C错误；
对于D，由导数定义，知，
所以，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用导数求瞬时速度的方法，则判断出选项A；构建，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则判断出选项B；利用导数的运算法则和代入法，则判断出选项C；利用导数的定义和函数极限的关系，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
7．已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
因为，所以，则到渐近线的距离，
，，，，
则，，，
由，可得，即，
解得，则离心率.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，，，由，根据正切值列方程求得，再根据双曲线的离心率公式求解即可.
8．若函数有三个零点，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.
故答案为：A
【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图象有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．若空间向量满足，则与夹角为钝角
D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的概念；空间向量基本定理；共面向量定理；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，因为空间向量不能比较大小，又因为空间向量的模是非负实数，
所以，空间向量的模可以比较大小，故A正确；
对于B，由，
可得，
则，
所以，则四点共面，故B正确；
对于C，若与为两非零向量，
当共线且反向时，则，此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误；
对于D，因为与方向相同的单位向量为 ，
由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由空间向量的定义和空间向量的模是非负实数，则空间向量的模可以比较大小，从而判断出选项A；由空间向量基本定理和四点共面的判断方法，则判断出选项B；由两向量共线且反向情况结合数量积求向量夹角公式，则可判断选项C；由单位向量定义和投影向量的定义，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：对于A，令，得：，
解得，故A正确；
对于B、C，当时，，所以，
化简得，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，则，
又因为是正项数列，所以，
当时，，所以，
当时，，也满足条件，所以，故B错误、C正确；
对于D，因为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据的关系式和等差数列定义以及等差数列的通项公式，则判断出选项A、选项B和选项C；由的通项公式的取值范围，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（　　）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由函数，
可得，
令，解得或；令，解得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，
则函数的极大值为，故A正确；
对于B，由选项A知，当时，取得极小值，
则极小值，
且当时，；当时，，
因为，所以，函数有3个零点，故B错误；
对于C，由，可得，
令，可得，
因为，
所以，点是函数的对称中心，故C正确；
对于D，因为是函数的对称中心，
所以，
令，
可得，
所以
，
则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数单调性的方法，从而得出函数的极大值，则判断出选项A；利用选项A得出函数的极小值，再利用函数求极限的方法和函数零点的定义，则判断出选项B；利用求导的方法和函数的图象的对称性，则判断出选项C；根据函数的图象的对称性， 令，再结合倒序相加法得出S的值，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．设曲线在点处的切线与直线平行，则a为　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：由，得，
所以，切线斜率为，
因为直线的斜率为2，
所以，解得.
故答案为：1.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而得出实数a的值.
13．在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体边长为，因为，
∴，，，，
∴，，
，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】在正方体中构造出正四面体，从而建立空间直角坐标系，设正方体边长为，利用已知条件得出点的坐标和向量和向量的坐标，再根据数量积求向量夹角公式得出异面直线与所成角的余弦值.
14．设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对任意的，，
可得，则，
构造函数，
则，所以，函数在内单调递增，
则在上恒成立．
因为，所以在上恒成立，
分离参数，得，
当时，取最小值，
所以，则，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出在上恒成立，参变分离得出，再根据二次函数求最值的方法，从而求出函数的最小值即可求出实数的取值范围.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
15．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）如果函数的导数为，且在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前20项和．
【答案】（1）解：因为
令，
可得，
所以，函数的单调递增区间为.
（2）解：因为，
所以，
令，
可得，
因为在上的零点从小到大排列后构成数列，
可知，所以，公差，
则，
所以的前20项和.
【知识点】等差数列的前n项和；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式，结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再由换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递增区间.
（2）求导后令导数为零，从而求出函数的零点，再由等差数列的通项公式得出数列的通项公式，利用等差数列前n项和公式得出数列的前20项的和.
（1），
令，可得，
所以函数的单调递增区间为.
（2），则，
令，可得，
因为在上的零点从小到大排列后构成数列，可知，
所以，公差，
所以，
所以的前20项和
16．已知函数．
（1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数的定义域为，所以，，
则，解得，则，
令，所以，
解得或，
则
1 3 4
0
极小值
所以在上的最小值是，最大值是.
（2）解：因为在区间上恒成立，
所以，
设，
当时，是增函数，其最小值为，
则，所以，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求极值点的方法，从而得出a的值，则得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出函数在上的最小值和最大值.
（2）利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出，设，再利用函数的单调性，从而得出函数的最值可得出实数a的取值范围.
（1）的定义域为，，，则，
解得，
故，令，即，
解得或，
1 3 4
　 0 　
极小值
故在上的最小值是，最大值是；
（2）在区间上恒成立，故，
设，当时，是增函数，其最小值为，
故，即实数的取值范围为．
17．已知在数列中，且，记.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记求数列的前n项和.
【答案】（1）证明：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，所以 数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）解：由（1）知 ，
则，
.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式，结合对数的运算以及等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）知 ，求出数列的通项，再利用裂项相消前n项和.
（1），，
又，，
，
又，
数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）知 ，
则，
.
18．如图，在三棱锥中，，M是线段上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为，，所以，，，
，所以，则，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得，
由直线与平面所成角的正弦值为，
可得，
整理得，解得，
因为点在线段上，所以，即.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面即可；
（2）由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，根据空间向量求线面角建立关于的方程，求出即可求得的长.
（1）取的中点，连接，，，
则，，，，
于是，则，
由，平面，得平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得，由直线与平面所成角的正弦值为，
得
整理得，解得，
由于点在线段上，所以，
即.
19．已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点，
①若，求线段OM的长度；
②求点到直线OM的距离的最小值.
【答案】（1）解： 圆的焦距为2 ，即，，
因为点在椭圆上，所以，解得，
则，
故椭圆的标准方程为：；
（2）解：①、由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点，
设直线AB的方程为，，，
联立，消元整理可得，
则，，，
因为，则，即，
即，
解得，，
由，可得AB的中点为，
即点，则；
②、由①可知AB的中点为，
则，且直线OM的斜率为，所以直线OM的方程为，
设点A到直线的距离为，
因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为，
又因为，
由知，，
所以，解得，
由，令，
则，由在单调递增，得，即当时，，
即点到直线OM的距离的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的焦距求，将代入椭圆方程，结合求得求得，即可得椭圆方程；
（2）①、由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点，设直线AB的方程为，将条件转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数的方程，求解即可；
②、由韦达定理用分别表示弦中点坐标与，利用面积关系得关于的函数关系，结合函数的单调性求函数的最值即可.
（1）由题知，，即，，
由点在椭圆上，代入椭圆方程得，
，解得，则，
故椭圆的标准方程为：.
（2）①由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点，
所以可设直线AB的方程为，并设，
由得.
则，，.
因为，则，即，
即
，
解得，.
由，
所以AB的中点为，
即点，所以；
②由①可知AB的中点为，
则，且直线OM的斜率为，
所以直线OM的方程为.
设点A到直线的距离为，
因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为，
又因为
，
由知，，
所以，
解得，
由，令，
则，由在单调递增，
得，即当时，.
即点到直线OM的距离的最小值为.
1 / 1

展开更多......

收起↑