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甘肃省庆阳市镇原县2024-2025学年七年级下学期期末测试数学试卷
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．点到y轴的距离为（　　）
A．3 B． C．2 D．
3．若a＜b，则下列各式中，错误的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．3﹣a＜3﹣b C．﹣3a＞﹣3b D．3a＜3b
4．如图，直线//，直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若，则度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
5．在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段最小及点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，直线AC、DC、BE相交于点C，连接AB，能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠A=∠ACB B．∠B=∠ACD
C．∠B+∠DCE=180° D．∠A=∠ACD
7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度y增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类，体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个），为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图①，图②所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答，下列结论正确的是（　　）
A．本次抽样调查的样本容量是50
B．阅读类对应扇形的圆心角是
C．样本中喜爱体育类社团的有16人
D．若全校有800名学生，则喜爱文艺类社团的有200人
10．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　）
A．200元 B．300元 C．400元 D．500元
11．命题“如果，那么”，该命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
12．剧院里5排3号可以用表示，则表示　 　．
13．一个样本容量为70的样本中，最大值是138，最小值是50，如果取组距为10，则该样本可以分成　 　组
14．如果是方程的一组解，那么代数式　 　．
15．如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，若，则A，D两点之间的距离为　 　．
16．平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b） （c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（﹣1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是　 　．
17．计算：．
18．解方程组：
19．求不等式的正整数解．
20．关于x的不等式组，若不等式组的解集是，求a的值．
21．某校为了解学生对研学地点的想法，校方进行了问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图，已知选择雁荡山的有270人，求选择楠溪江的人数．
22．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求所有符合条件的整数．
23．在平面直角坐标系中：
（1）若点在x轴上，求点P的坐标；
（2）已知点在第四象限，求a的取值范围．
24．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，已知2台型和3台型电风扇可卖850元；5台型和6台型电风扇可卖1900元．
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共50台，销售完这50台电风扇能实现利润超过1700元的目标，求最多采购型风扇多少台？
25．为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为　 　；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
26．如图，已知点E，F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
（1）求证：；
（2）判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的度数．
27．【背景知识】对于实数x，y我们定义一种新运算，其中m，n均为非零常数，等式的右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
【感受新知】已知，，求的值．
解：由【背景知识】可得，解得，故．
【学以致用】已知，．
（1）填空：______，______；
【综合应用】
（2）若正格线性数，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出来；若没有，请说明理由；
【拓展提升】
（3）若正格线性数，求满足的正格数对．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是无理数，故Ａ正确.
B、，是整数，属于有理数，故Ｂ错误.
C、是分数，属于有理数，故Ｃ错误.
D、是有限小数，属于有理数，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据无理数、有理数的定义分别对各选项进行判断为是无理数，，是整数，属于有理数，是分数，属于有理数，是有限小数，属于有理数，即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点的横坐标为，其绝对值为，
∴点到轴的距离为3．
故答案为：A.
【分析】根据点到轴的距离等于其横坐标的绝对值，即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A. ∵a＜b，∴ a﹣3＜b﹣3，故不符合题意；
B. ∵a＜b，∴﹣a>﹣b，∴ 3﹣a>3﹣b，故符合题意；
C. ∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故不符合题意；
D. ∵a＜b，∴3a＜3b，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，
性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变
性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；据此判断即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵直线//，
∴∠1=∠3=55°，
又∵∠2+∠3+∠ACB=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-∠3=90°-55°=35°，
故答案为：B.
【分析】根据//，得∠1、∠3等于55°，再根据∠2、∠3、∠ACB和为180°，∠ACB等于90°，即可得
∠2、∠3等于90°，进一步得∠2等于90°减∠3等于35°即可.
5．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵轴，，
∴，
根据垂线段最短，当于点C时，
点B到的距离最短，
∴的最小值为：，
∴此时点C的坐标为，
故答案为：D．
【分析】根据轴，，得，根据垂线段最短，当于点C时，点B到的距离最短，即可得此时点C的坐标为.
6．【答案】D
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∠A=∠ACB，不可以判断AB∥CD；
B、∠B=∠ACD，不可以判断AB∥CD；
C、∠B+∠DCE=180°，不可以判断AB∥CD；
D、∠A=∠ACD，可以判断AB∥CD；
故答案为：D．
【分析】判断两直线平行的方法有“同位角相等、两直线平行“，”内错角相等、两直线平行“，”同旁内角互补、两直线平行”，然后结合各选项分析发现，只有D选项满足“内错角相等、两直线平行”，从而得出答案。
7．【答案】B
【知识点】函数的概念；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故Ａ正确.
B、弹簧不挂重物时的长度为，故Ｂ错误.
C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故Ｃ正确.
D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故Ｄ正确.
故答案为：B.
【分析】根据表中的数据进行分析即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是：﹣1≤x≤3，
在数轴上表示为：
故答案为：B．
【分析】解题目不等式组的①得：x≥-1，②得：x≤3，即可得不等式组的解集是：﹣1≤x≤3，再在数轴上表示即可得答案.
9．【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：A．本次抽样调查的样本容量为，因此选项不符合题意；
B．阅读所对应的圆心角度数为，因此选项符合题意；
C．样本中最喜爱体育类社团的有10人，因此选项不符合题意；
D．若全校有800名学生，则喜爱文艺类社团的有（人），因此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据图表信息逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设打折前A商品单价x元，B商品单价为y元，
根据题意，得：，解得：
所以x+y=20，
所以打折前 500件A商品和500件B商品费用为：500×20=1000（元），
1000=9600=400（元）
故答案为：C .
【分析】设打折前A商品单价x元，B商品单价为y元，根据题意可得方程组为，根据解方程组的解即可得出打折前500件A商品和500件B商品费用，进而即可得出打折前后的差价。
11．【答案】真
【知识点】等式的基本性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴该命题是真命题，
故答案为：真．
【分析】根据真假命题，结合平方性质即可求出答案.
12．【答案】6排9号
【知识点】用坐标表示地理位置；有序数对
【解析】【解答】解：根据题意得：5排3号可以用表示，
∴表示6排9号，
故答案为：6排9号.
【分析】根据剧院里5排3号可以用表示，即可得表示6排9号即可.
13．【答案】9
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】在样本数据中最大值为138，最小值为50，它们的差是138-50=88，已知组距为10，那么由于 88÷10=8.8，故可以分成9组.
故答案为：9.
【分析】根据极差=最大值-最小值，可求出极差，再利用极差÷组距，可求出组数.
14．【答案】2031
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程中，得，
，
故答案为：2031 ．
【分析】把题目所给的二元一次方程的解代入得，再表示变形为，再整体代入求值即可得答案.
15．【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质得：，
，
，
∴，
即A，D两点之间的距离为4．
故答案为：4．
【分析】根据平移的性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】（1，8）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”
∴点C的坐标为（2﹣1，5+3），即C（1，8）
故答案为：（1，8）
【分析】先根据以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，判断点C为点A、B的“和点”，再根据点A、B的坐标求得点C的坐标．本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边形”的定义．坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
17．【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算的算术平方根、立方根，有理数的乘方得
，进一步计算即可得答案.
18．【答案】解：，
把代入，得，
去括号，得，
解得：，
把代入，得，
方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】把代入，整理解得，把代入，即可得，即可得方程组的解.
19．【答案】解：，
，解得：，
不等式的正整数解为：1，2，3，4．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】先求出不等式的解集，即可得不等式的正整数解为：1，2，3，4．
20．【答案】解：，
由①得：，
由②得，
∵不等式组的解集是，
．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】解题目不等式组的①得：，②得，再根据不等式组的解集是，即可得a的值．
21．【答案】解：调查总人数：（人），
（人）．
答：选择楠溪江的人数为180人．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】根据被调查的总人数等于选择雁荡山的人数除以它所占百分比，再用总人数乘以选择楠溪江的人数所占百分比即可得选择楠溪江的人数为180人．
22．【答案】解：解得：，
关于x，y的二元一次方程组的解满足，
，解得：，
解不等式组得，
又关于x的不等式组有解，
，解得：，
∴，
所有符合条件的整数a为：，，，0，1，2，．
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】先求出方程组的解，根据二元一次方程组的解满足，即可列不等式，解得，再不等式组，再根据不等式组有解，即可得，即可得，即可得，进一步得所有符合条件的整数a为：，，，0，1，2，．
23．【答案】（1）解：点在x轴上，
，解得，
点P的坐标为.
（2）解：点在第四象限，
，解得
∴a的取值范围为
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据点在x轴上，结合轴上点的纵坐标为0，即可列方程，解出即可得答案.
（2）根据点在第四象限，可列不等式组，解出即可得a的取值范围为
24．【答案】（1）解：设、两种型号的电风扇的销售单价分别为x元，y元，
由题意得，，
解得，
∴、两种型号的电风扇的销售单价分别为200元，150元，
（2）解：设采购B型的电风扇m台，则采购A型的电风扇台，
由题意得，，
∴，
∴，
∵m为正整数，
∴m的最大值为29，
∴最多采购B型风扇29台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设、两种型号的电风扇的销售单价分别为x元，y元，根据2台型和3台型电风扇可卖850元可列方程2x+3y=850，再根据5台型和6台型电风扇可卖1900元可列方程5x+6y=1900，联立方程组解得x、y的值.
(2)设采购B型的电风扇m台，由两种型号的电风扇共50台可得采购A型的电风扇台，再根据50台电风扇的利润超过1700元可列出关于m的不等式，解得m的取值范围，进而得到m的最大值.
25．【答案】（1）100；
（2）“民乐”的人数为100×20%=20人，
补全图形如下：
（3）36°；
（4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%=500（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%=100（名），
故答案为：100；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%=36°，
故答案为：36°；
【分析】（1）根据戏曲的人数与占比可得总人数.
（2）求出民乐的人数，再补全图形即可.
（3）根据360°乘以戏曲的占比即可求出答案.
（4）根据2000乘以书法的占比即可求出答案.
26．【答案】（1）证明：如图，
，
，
，
，
，
.
（2）解：，理由如下：
如图，
，
，
（3）解：如图，
，
，
又，
，
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据相等得平行，即可得相等，根据相等，即可得相等，根据平行线判断定理得.
（2）根据平行得和为即可.
（3）根据平行得等于，再根据的等于，即可得，进一步得等于110度.
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
；
（3）解：，
，
又，
，
，
27．【答案】解：（1）；4.
（2）有正格数对，理由如下：
，
，
实数x，y都取正整数，
，
满足的正格数对为：，，.
（3），
又且，
∴且，解得，
为正整数，
，12，13，14，
满足的正格数对为：，，，.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1）根据题意：，，，
，解得，
故答案为：3；4.
【分析】（1）根据新运算M的定义，列出方程组，解出m与n的值即可.
（2）根据正格线性数的定义得，根据实数x，y都取正整数，即可得，即可得满足的正格数对为：，，.
（3）根据正格线性数的定义得，进一步得，根据
为正整数，得正格数对为：，，，.
1 / 1甘肃省庆阳市镇原县2024-2025学年七年级下学期期末测试数学试卷
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是无理数，故Ａ正确.
B、，是整数，属于有理数，故Ｂ错误.
C、是分数，属于有理数，故Ｃ错误.
D、是有限小数，属于有理数，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据无理数、有理数的定义分别对各选项进行判断为是无理数，，是整数，属于有理数，是分数，属于有理数，是有限小数，属于有理数，即可得答案.
2．点到y轴的距离为（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点的横坐标为，其绝对值为，
∴点到轴的距离为3．
故答案为：A.
【分析】根据点到轴的距离等于其横坐标的绝对值，即可得答案.
3．若a＜b，则下列各式中，错误的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．3﹣a＜3﹣b C．﹣3a＞﹣3b D．3a＜3b
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A. ∵a＜b，∴ a﹣3＜b﹣3，故不符合题意；
B. ∵a＜b，∴﹣a>﹣b，∴ 3﹣a>3﹣b，故符合题意；
C. ∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故不符合题意；
D. ∵a＜b，∴3a＜3b，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，
性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变
性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；据此判断即可得出答案。
4．如图，直线//，直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若，则度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵直线//，
∴∠1=∠3=55°，
又∵∠2+∠3+∠ACB=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-∠3=90°-55°=35°，
故答案为：B.
【分析】根据//，得∠1、∠3等于55°，再根据∠2、∠3、∠ACB和为180°，∠ACB等于90°，即可得
∠2、∠3等于90°，进一步得∠2等于90°减∠3等于35°即可.
5．在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段最小及点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵轴，，
∴，
根据垂线段最短，当于点C时，
点B到的距离最短，
∴的最小值为：，
∴此时点C的坐标为，
故答案为：D．
【分析】根据轴，，得，根据垂线段最短，当于点C时，点B到的距离最短，即可得此时点C的坐标为.
6．如图，直线AC、DC、BE相交于点C，连接AB，能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠A=∠ACB B．∠B=∠ACD
C．∠B+∠DCE=180° D．∠A=∠ACD
【答案】D
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∠A=∠ACB，不可以判断AB∥CD；
B、∠B=∠ACD，不可以判断AB∥CD；
C、∠B+∠DCE=180°，不可以判断AB∥CD；
D、∠A=∠ACD，可以判断AB∥CD；
故答案为：D．
【分析】判断两直线平行的方法有“同位角相等、两直线平行“，”内错角相等、两直线平行“，”同旁内角互补、两直线平行”，然后结合各选项分析发现，只有D选项满足“内错角相等、两直线平行”，从而得出答案。
7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度y增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
【答案】B
【知识点】函数的概念；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故Ａ正确.
B、弹簧不挂重物时的长度为，故Ｂ错误.
C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故Ｃ正确.
D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故Ｄ正确.
故答案为：B.
【分析】根据表中的数据进行分析即可得答案.
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是：﹣1≤x≤3，
在数轴上表示为：
故答案为：B．
【分析】解题目不等式组的①得：x≥-1，②得：x≤3，即可得不等式组的解集是：﹣1≤x≤3，再在数轴上表示即可得答案.
9．某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类，体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个），为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图①，图②所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答，下列结论正确的是（　　）
A．本次抽样调查的样本容量是50
B．阅读类对应扇形的圆心角是
C．样本中喜爱体育类社团的有16人
D．若全校有800名学生，则喜爱文艺类社团的有200人
【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：A．本次抽样调查的样本容量为，因此选项不符合题意；
B．阅读所对应的圆心角度数为，因此选项符合题意；
C．样本中最喜爱体育类社团的有10人，因此选项不符合题意；
D．若全校有800名学生，则喜爱文艺类社团的有（人），因此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据图表信息逐项进行判断即可求出答案.
10．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　）
A．200元 B．300元 C．400元 D．500元
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设打折前A商品单价x元，B商品单价为y元，
根据题意，得：，解得：
所以x+y=20，
所以打折前 500件A商品和500件B商品费用为：500×20=1000（元），
1000=9600=400（元）
故答案为：C .
【分析】设打折前A商品单价x元，B商品单价为y元，根据题意可得方程组为，根据解方程组的解即可得出打折前500件A商品和500件B商品费用，进而即可得出打折前后的差价。
11．命题“如果，那么”，该命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【知识点】等式的基本性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴该命题是真命题，
故答案为：真．
【分析】根据真假命题，结合平方性质即可求出答案.
12．剧院里5排3号可以用表示，则表示　 　．
【答案】6排9号
【知识点】用坐标表示地理位置；有序数对
【解析】【解答】解：根据题意得：5排3号可以用表示，
∴表示6排9号，
故答案为：6排9号.
【分析】根据剧院里5排3号可以用表示，即可得表示6排9号即可.
13．一个样本容量为70的样本中，最大值是138，最小值是50，如果取组距为10，则该样本可以分成　 　组
【答案】9
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】在样本数据中最大值为138，最小值为50，它们的差是138-50=88，已知组距为10，那么由于 88÷10=8.8，故可以分成9组.
故答案为：9.
【分析】根据极差=最大值-最小值，可求出极差，再利用极差÷组距，可求出组数.
14．如果是方程的一组解，那么代数式　 　．
【答案】2031
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程中，得，
，
故答案为：2031 ．
【分析】把题目所给的二元一次方程的解代入得，再表示变形为，再整体代入求值即可得答案.
15．如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，若，则A，D两点之间的距离为　 　．
【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质得：，
，
，
∴，
即A，D两点之间的距离为4．
故答案为：4．
【分析】根据平移的性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b） （c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（﹣1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是　 　．
【答案】（1，8）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”
∴点C的坐标为（2﹣1，5+3），即C（1，8）
故答案为：（1，8）
【分析】先根据以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，判断点C为点A、B的“和点”，再根据点A、B的坐标求得点C的坐标．本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边形”的定义．坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先计算的算术平方根、立方根，有理数的乘方得
，进一步计算即可得答案.
18．解方程组：
【答案】解：，
把代入，得，
去括号，得，
解得：，
把代入，得，
方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】把代入，整理解得，把代入，即可得，即可得方程组的解.
19．求不等式的正整数解．
【答案】解：，
，解得：，
不等式的正整数解为：1，2，3，4．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】先求出不等式的解集，即可得不等式的正整数解为：1，2，3，4．
20．关于x的不等式组，若不等式组的解集是，求a的值．
【答案】解：，
由①得：，
由②得，
∵不等式组的解集是，
．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】解题目不等式组的①得：，②得，再根据不等式组的解集是，即可得a的值．
21．某校为了解学生对研学地点的想法，校方进行了问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图，已知选择雁荡山的有270人，求选择楠溪江的人数．
【答案】解：调查总人数：（人），
（人）．
答：选择楠溪江的人数为180人．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】根据被调查的总人数等于选择雁荡山的人数除以它所占百分比，再用总人数乘以选择楠溪江的人数所占百分比即可得选择楠溪江的人数为180人．
22．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求所有符合条件的整数．
【答案】解：解得：，
关于x，y的二元一次方程组的解满足，
，解得：，
解不等式组得，
又关于x的不等式组有解，
，解得：，
∴，
所有符合条件的整数a为：，，，0，1，2，．
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】先求出方程组的解，根据二元一次方程组的解满足，即可列不等式，解得，再不等式组，再根据不等式组有解，即可得，即可得，即可得，进一步得所有符合条件的整数a为：，，，0，1，2，．
23．在平面直角坐标系中：
（1）若点在x轴上，求点P的坐标；
（2）已知点在第四象限，求a的取值范围．
【答案】（1）解：点在x轴上，
，解得，
点P的坐标为.
（2）解：点在第四象限，
，解得
∴a的取值范围为
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据点在x轴上，结合轴上点的纵坐标为0，即可列方程，解出即可得答案.
（2）根据点在第四象限，可列不等式组，解出即可得a的取值范围为
24．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，已知2台型和3台型电风扇可卖850元；5台型和6台型电风扇可卖1900元．
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共50台，销售完这50台电风扇能实现利润超过1700元的目标，求最多采购型风扇多少台？
【答案】（1）解：设、两种型号的电风扇的销售单价分别为x元，y元，
由题意得，，
解得，
∴、两种型号的电风扇的销售单价分别为200元，150元，
（2）解：设采购B型的电风扇m台，则采购A型的电风扇台，
由题意得，，
∴，
∴，
∵m为正整数，
∴m的最大值为29，
∴最多采购B型风扇29台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设、两种型号的电风扇的销售单价分别为x元，y元，根据2台型和3台型电风扇可卖850元可列方程2x+3y=850，再根据5台型和6台型电风扇可卖1900元可列方程5x+6y=1900，联立方程组解得x、y的值.
(2)设采购B型的电风扇m台，由两种型号的电风扇共50台可得采购A型的电风扇台，再根据50台电风扇的利润超过1700元可列出关于m的不等式，解得m的取值范围，进而得到m的最大值.
25．为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为　 　；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
【答案】（1）100；
（2）“民乐”的人数为100×20%=20人，
补全图形如下：
（3）36°；
（4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%=500（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%=100（名），
故答案为：100；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%=36°，
故答案为：36°；
【分析】（1）根据戏曲的人数与占比可得总人数.
（2）求出民乐的人数，再补全图形即可.
（3）根据360°乘以戏曲的占比即可求出答案.
（4）根据2000乘以书法的占比即可求出答案.
26．如图，已知点E，F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
（1）求证：；
（2）判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，
，
，
，
，
，
.
（2）解：，理由如下：
如图，
，
，
（3）解：如图，
，
，
又，
，
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据相等得平行，即可得相等，根据相等，即可得相等，根据平行线判断定理得.
（2）根据平行得和为即可.
（3）根据平行得等于，再根据的等于，即可得，进一步得等于110度.
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
；
（3）解：，
，
又，
，
，
27．【背景知识】对于实数x，y我们定义一种新运算，其中m，n均为非零常数，等式的右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
【感受新知】已知，，求的值．
解：由【背景知识】可得，解得，故．
【学以致用】已知，．
（1）填空：______，______；
【综合应用】
（2）若正格线性数，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出来；若没有，请说明理由；
【拓展提升】
（3）若正格线性数，求满足的正格数对．
【答案】解：（1）；4.
（2）有正格数对，理由如下：
，
，
实数x，y都取正整数，
，
满足的正格数对为：，，.
（3），
又且，
∴且，解得，
为正整数，
，12，13，14，
满足的正格数对为：，，，.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1）根据题意：，，，
，解得，
故答案为：3；4.
【分析】（1）根据新运算M的定义，列出方程组，解出m与n的值即可.
（2）根据正格线性数的定义得，根据实数x，y都取正整数，即可得，即可得满足的正格数对为：，，.
（3）根据正格线性数的定义得，进一步得，根据
为正整数，得正格数对为：，，，.
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