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北京市陈经纶中学2025-2026学年下学期八年级数学期中练习
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数据，能作为直角三角形三边的是（　　）
A． B．1，2，3 C．9，16，25 D．12，16，20
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，若菱形的周长为24，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
5．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6．对于函数，当自变量x=2.5时，对应的函数值是（　　）
A．2 B．-2 C．±2 D．4
7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（　　）
A． B． C．3 D．
8．甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是、，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
9． 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
10．化简：　 　．
11．十二边形的外角和度数是　 　．
12．如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是　 　．
13．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是　 　（填写序号）．
14．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为　 　．
15．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，延长到E，使，连接，过点A作于点F，若，，则的长为　 　．
16．学校要开展情景剧表演有A、B、C、D、E五个主题节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如表所示．已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．
节目
演员人数 6 8 6 11 3
彩排时长 10 5 15 5 8
（1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，人数相同时，彩排时长短的节目优先应按　 　顺序彩排才能使这34名演员等待总时间最短；
（2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这34名演员等待总时长最少为　 　．
17．计算：．
18．已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；
②以点为圆心，的长为半径画弧；再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点；
③连接．
四边形为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明．
证明：，
四边形为平行四边形（_____）（填推理的依据）
由作图可知，平分，
又，
平行四边形是矩形（_____）．（填推理的依据）
19．已知：如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：．
20．某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．
（1）根据上图，将表格补充完整：
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 _____ …
（2）设有根立柱，护栏总长度为米，是不是的函数？_____，若是，请写出解析式____________________．
（3）若总长317米的街道需要安装隔离护栏，则需要安装_____根立柱．
21．如图，在Rt中，，为边的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的：
，
，
，
，
，
．
请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题：
（1）计算：_____；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
23．已知三角形的三边分别为，且，．
（1）这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？
（2）若均为正整数，且满足最小的边长不小于20，另外两边的差为2，试结合已知条件进行分析，写出一组满足条件的的值．
24．中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
a．探究活动在同一社团活动室进行，室温；
b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；
c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下：
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4
85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；
（2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）；
（3）探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）．
25．如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点不重合，点与点不重合），且，连接，，相交于点．
（1）请判断与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点，运动到，的中点时，连接，请判断与之间的数量关系，并说明理由．
26．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
（1）若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此
（2）若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则_____；
②若，请直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A，B答案中被开方数的因数不是整数，故A、B不是最简二次根式，不符合题意；
D答案中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意。
故选：C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：，因此不能作为三角形三边；
B：，因此不能作为三角形三边；
C：，因此不能作为三角形三边；
D：，因此能作为三角形三边；
故答案为：D．
【分析】勾股定理逆定理，即如果三角形三边满足（c为斜边），则该三角形为直角三角形．本题根据勾股定理逆定理逐个选项进行计算分析即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误．
故答案为：B。
【分析】根据合并同类项法则可以判断A选项，二次根式的除法判断B选项，二次根式的乘法计算判断C选项，二次根式的化简与减法计算判断D选项。
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为，
∴ ．
∵点，分别是，的中点，
∴=3 ．
故答案为：A ．
【分析】本题先根据菱形的四条边相等，可以求出AB=6，再结合三角形中位线定理计算即可求出的长．
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A：对角线相等的平行四边形是矩形，所以A不正确；
B：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B不正确；
C：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C不正确；
D： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，所以D正确。
故答案为：D。
【分析】根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的判定，分别判断各个命题是不是正确，找到正确选项即可。
6．【答案】A
【知识点】函数值
【解析】【解答】x=2.5时，y= =2． 故选A
【分析】把自变量x的值代入函数关系式进行计算即可得解．
7．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题将a、b、c的值直接代入秦九韶公式，结合二次根式的混合运算进行计算即可。
8．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解： 甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面200米处，
∴乙要追上甲，所需时间为，全程乙跑完后计时结束，
则计时结束后甲乙的距离
由上述分析可看出，B选项函数图象符合．
故答案为：B．
【分析】本题结合“路程、速度、时间”的关系，结合条件先求出乙先追上甲所需时间为100s，全程乙跑完后计时结束所用时间是250s，计时结束后甲乙的距离为300m，此时对应四个选项中的图形即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
2x-6≥0
解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质化简即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：十二边形的外角和是，
故答案为：．
【分析】任意多边形的外角和等于。本题据此即可直接得出答案。
12．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由勾股定理得：长方形对角线的长：=，∴OA=，
∵点A在原点左侧，
∴A点表示的数是：，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理得长方形对角线的长，即可得出点A的坐标．
13．【答案】①②
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：①，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数；
②，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数；
③，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数；
综上所述，y是x的函数的是①②．
故答案为：①②。
【分析】对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数。本题根据函数的定义逐个分析，发现只有①②符合函数定义，从而得出答案。
14．【答案】
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设左下角的字母为，如图所示．
在中，，，，
，
正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】设左下角的字母为，根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，，
∴，
∵，则，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，，，，根据勾股定理可得BC，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据三角形面积即可求出答案.
16．【答案】；105
【知识点】有理数混合运算的实际应用；猜想与证明；逻辑推理
【解析】【解答】解：（1）∵A与C虽然人数相同，但A的用时比B的用时少，两个节目不能同时彩排，
∴当人数相同时，彩排时长短的节目优先，
∴应按顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短；
（2）为使总等待时间最少，应将所有节目分成两组，使两组的彩排总时长尽可能接近，并在每组内按人数多者优先（人数相同则时长短者优先）的原则排序．所有节目总时长为，可分为时长为23分钟和20分钟的两组．其中一组为，，（总时长分钟），另一组为，（总时长分钟）．
在第一组中，按规则排序为，等待时间为．
在第二组中，按规则排序为，等待时间为．
总等待时间最少为．
故答案为：（1）；（2）105；
【分析】（1）结合条件，本着节目人数多先彩排的原则，应该先排D和B，而当人数相同时，彩排时长短的节目优先，因此接着排A和C，最后排E，此时得出答案；
（2）人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是，所以一组为，，，另一组为，，进而计算等待总时长即可。
17．【答案】解：
【知识点】平方差公式及应用；最简二次根式；二次根式的混合运算；实数的绝对值；二次根式的乘法
【解析】【分析】利用平方差公式计算出，根据二次根式的乘法法则计算出，化简二次根式，再结合绝对值的性质去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可得到结果．
18．【答案】（1）解：如图所示，四边形为所求的矩形；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知，平分，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为：（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据条件中的作法，先做出∠BAC的平分线AD，然后再做出矩形ADCE即可；
（2）先根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得出平行四边形是矩形．
（1）解：如图所示，四边形为所求的矩形；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知，平分，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
19．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，F分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得出，，然后结合线段中点的定义推出，此时可以根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形是平行四边形，此时根据平行四边形的性质得出BE=DF。
20．【答案】（1）13
（2）是的函数，
（3）100
【知识点】探索数与式的规律；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 13 …
（2）解：由题意可得，是的函数，
，
即y与x之间的函数关系式是；
（3）解：当时，，
解得，
即护栏总长度为317米时立柱有100根．
故答案为：（1）13；（2）是的函数，；（3）100；
【分析】（1）结合条件和图中信息，假设有根立柱，护栏总长度为米，则当x=1时，y=0.2×1+3×（1-1）=0.2；当x=2时，y=0.2×2+3×（2-1）=3.4；当x=3时，y=0.2×3+3×（3-1）=6.6；因此当x=5时，y=0.2×5+3×（5-1）=13；从而得出答案；
（2）根据（1）中的计算步骤发现，y=0.2x+3（x-1）=3.2x-3；且满足函数定义，因此是的函数；
（3）将代入（2）中的函数解析式中，计算即可。
（1）解：由题意可得，
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 13 …
（2）解：由题意可得，是的函数，
，
即y与x之间的函数关系式是；
（3）解：当时，，
解得，
即护栏总长度为317米时立柱有100根．
21．【答案】（1）证明：在中，，D为边的中点，
∴，
∵，，
∴CD=BD=CE=BE，
∴四边形是菱形．
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线
【解析】【分析】（1）先根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”得出，然后结合条件“，”得出CD=BD=CE=BE，最后根据“四条边相等的四边形是菱形”即可得证；
（2）先结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，计算求出BC的长，根据菱形性质得出，根据三角形中线性质得出，从而得出，此时综合得出，最后求出△ABC的面积即可得出答案。
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，D为边的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵在中，，，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
∵四边形为菱形，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2）解：

（3）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：（1）；
【分析】（1）分母有理化并结合平方差公式，即分子与分母同乘以，计算化简即可；
（2）将每个二次根式分别分母有理化，化简得到，此时发现规律并计算即可得出答案；
（3）先分母有理化计算出a=，然后结合完全平方公式计算出，最后将原式变形代入计算即可得出答案。
（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴这个三角形是直角三角形；
（2）解：当a为最小值时，
∵另外两边的差为2，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不是正整数，不合题意；
当b为最小值时，取，即 ，
解得．
∴，b=20，．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理；求算术平方根；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，并结合完全平方公式、二次根式的乘方以及合并同类项，计算进行判断即可；
（2）分a为最小值和b为最小值两种情况，分别结合完全平方公式以及二次根式的混合运算，计算并分析即可得出答案。
（1）解：∵，，，，
∴，
∴这个三角形是直角三角形；
（2）解：当a为最小值时，
∵另外两边的差为2，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不是正整数，不合题意；
当b为最小值时，取，即 ，
解得．
∴，．
24．【答案】（1）解：依题意，得与x的函数图象，如图所示：
（2）5.5；66.0
（3）>
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（2）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象
∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳，
此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）；
故答案为：5.5；66.0．
（3）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，
∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则
故答案为：>．
【分析】（1）根据描点法作出函数图象即可.
（2）根据题意，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据题意，结合函数图象即可求出答案.
25．【答案】（1），理由如下：
证明：四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
（2）解：，理由如下：
如图，延长，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
由题意可得点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质以及，证明，从而根据全等三角形的性质得到，结合“直角三角形锐角互余”列式并推出，从而得到，此时即可证明；
（2）做辅助线，结合正方形的性质以及邻补角，计算并结合ASA证明，得到，则， 则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到．
（1）解：，理由如下：
证明：四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
由题意可得点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即．
26．【答案】（1）2，1，2
（2）①6；
②解：将代入，得，
，
，
当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长，
，即，
最小距离为线段与之间的距离，即，
，
，
解得；
当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长，
，即，
最小距离为线段与之间的距离，即，
，
，
解得；
综上所述，m的取值范围是或．
【知识点】解一元一次不等式组；平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式；正比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为，
当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1，
，，
；
（2）解：①如图，
当时，，，
设直线为，
把代入，得，
，
直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
，
由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长，
，即，
最小值为线段与之间的距离，即，
；
【分析】（1）从图中分析可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，然后根据两点间距离公式并利用勾股定理，列式计算即可求出OE的最大值；而当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，此时直接从图上即可得出答案，最后结合条件中“ 距离关联值 ”的计算公式列式计算即可；
（2）①先利用待定系数法求出直线BD的解析式为，此时即可得出，再结合两点之间的距离公式列式求出，，最后代入“ 距离关联值 ”的计算公式计算即可；
②先求出，分和两种情况，分别结合两点之间的距离公式求出，的值，即可分别列不等式求解．
（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为，
当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1，
，，
；
（2）解：①如图，当时，，，
设直线为，
把代入，得，
，
直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
，
由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长，
，即，
最小值为线段与之间的距离，即，
；
②将代入，得，
，
，
当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长，
，即，
最小距离为线段与之间的距离，即，
，
，
解得；
当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长，
，即，
最小距离为线段与之间的距离，即，
，
，
解得；
综上所述，m的取值范围是或．
1 / 1北京市陈经纶中学2025-2026学年下学期八年级数学期中练习
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A，B答案中被开方数的因数不是整数，故A、B不是最简二次根式，不符合题意；
D答案中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意。
故选：C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断。
2．下列各组数据，能作为直角三角形三边的是（　　）
A． B．1，2，3 C．9，16，25 D．12，16，20
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：，因此不能作为三角形三边；
B：，因此不能作为三角形三边；
C：，因此不能作为三角形三边；
D：，因此能作为三角形三边；
故答案为：D．
【分析】勾股定理逆定理，即如果三角形三边满足（c为斜边），则该三角形为直角三角形．本题根据勾股定理逆定理逐个选项进行计算分析即可得出答案。
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误．
故答案为：B。
【分析】根据合并同类项法则可以判断A选项，二次根式的除法判断B选项，二次根式的乘法计算判断C选项，二次根式的化简与减法计算判断D选项。
4．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，若菱形的周长为24，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为，
∴ ．
∵点，分别是，的中点，
∴=3 ．
故答案为：A ．
【分析】本题先根据菱形的四条边相等，可以求出AB=6，再结合三角形中位线定理计算即可求出的长．
5．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A：对角线相等的平行四边形是矩形，所以A不正确；
B：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B不正确；
C：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C不正确；
D： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，所以D正确。
故答案为：D。
【分析】根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的判定，分别判断各个命题是不是正确，找到正确选项即可。
6．对于函数，当自变量x=2.5时，对应的函数值是（　　）
A．2 B．-2 C．±2 D．4
【答案】A
【知识点】函数值
【解析】【解答】x=2.5时，y= =2． 故选A
【分析】把自变量x的值代入函数关系式进行计算即可得解．
7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题将a、b、c的值直接代入秦九韶公式，结合二次根式的混合运算进行计算即可。
8．甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是、，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解： 甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面200米处，
∴乙要追上甲，所需时间为，全程乙跑完后计时结束，
则计时结束后甲乙的距离
由上述分析可看出，B选项函数图象符合．
故答案为：B．
【分析】本题结合“路程、速度、时间”的关系，结合条件先求出乙先追上甲所需时间为100s，全程乙跑完后计时结束所用时间是250s，计时结束后甲乙的距离为300m，此时对应四个选项中的图形即可得出答案。
9． 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
2x-6≥0
解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．化简：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质化简即可求出答案.
11．十二边形的外角和度数是　 　．
【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：十二边形的外角和是，
故答案为：．
【分析】任意多边形的外角和等于。本题据此即可直接得出答案。
12．如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由勾股定理得：长方形对角线的长：=，∴OA=，
∵点A在原点左侧，
∴A点表示的数是：，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理得长方形对角线的长，即可得出点A的坐标．
13．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是　 　（填写序号）．
【答案】①②
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：①，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数；
②，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数；
③，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数；
综上所述，y是x的函数的是①②．
故答案为：①②。
【分析】对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数。本题根据函数的定义逐个分析，发现只有①②符合函数定义，从而得出答案。
14．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设左下角的字母为，如图所示．
在中，，，，
，
正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】设左下角的字母为，根据勾股定理即可求出答案.
15．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，延长到E，使，连接，过点A作于点F，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，，
∴，
∵，则，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，，，，根据勾股定理可得BC，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据三角形面积即可求出答案.
16．学校要开展情景剧表演有A、B、C、D、E五个主题节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如表所示．已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．
节目
演员人数 6 8 6 11 3
彩排时长 10 5 15 5 8
（1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，人数相同时，彩排时长短的节目优先应按　 　顺序彩排才能使这34名演员等待总时间最短；
（2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这34名演员等待总时长最少为　 　．
【答案】；105
【知识点】有理数混合运算的实际应用；猜想与证明；逻辑推理
【解析】【解答】解：（1）∵A与C虽然人数相同，但A的用时比B的用时少，两个节目不能同时彩排，
∴当人数相同时，彩排时长短的节目优先，
∴应按顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短；
（2）为使总等待时间最少，应将所有节目分成两组，使两组的彩排总时长尽可能接近，并在每组内按人数多者优先（人数相同则时长短者优先）的原则排序．所有节目总时长为，可分为时长为23分钟和20分钟的两组．其中一组为，，（总时长分钟），另一组为，（总时长分钟）．
在第一组中，按规则排序为，等待时间为．
在第二组中，按规则排序为，等待时间为．
总等待时间最少为．
故答案为：（1）；（2）105；
【分析】（1）结合条件，本着节目人数多先彩排的原则，应该先排D和B，而当人数相同时，彩排时长短的节目优先，因此接着排A和C，最后排E，此时得出答案；
（2）人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是，所以一组为，，，另一组为，，进而计算等待总时长即可。
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】平方差公式及应用；最简二次根式；二次根式的混合运算；实数的绝对值；二次根式的乘法
【解析】【分析】利用平方差公式计算出，根据二次根式的乘法法则计算出，化简二次根式，再结合绝对值的性质去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可得到结果．
18．已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；
②以点为圆心，的长为半径画弧；再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点；
③连接．
四边形为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明．
证明：，
四边形为平行四边形（_____）（填推理的依据）
由作图可知，平分，
又，
平行四边形是矩形（_____）．（填推理的依据）
【答案】（1）解：如图所示，四边形为所求的矩形；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知，平分，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为：（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据条件中的作法，先做出∠BAC的平分线AD，然后再做出矩形ADCE即可；
（2）先根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得出平行四边形是矩形．
（1）解：如图所示，四边形为所求的矩形；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知，平分，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
19．已知：如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，F分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得出，，然后结合线段中点的定义推出，此时可以根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形是平行四边形，此时根据平行四边形的性质得出BE=DF。
20．某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．
（1）根据上图，将表格补充完整：
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 _____ …
（2）设有根立柱，护栏总长度为米，是不是的函数？_____，若是，请写出解析式____________________．
（3）若总长317米的街道需要安装隔离护栏，则需要安装_____根立柱．
【答案】（1）13
（2）是的函数，
（3）100
【知识点】探索数与式的规律；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 13 …
（2）解：由题意可得，是的函数，
，
即y与x之间的函数关系式是；
（3）解：当时，，
解得，
即护栏总长度为317米时立柱有100根．
故答案为：（1）13；（2）是的函数，；（3）100；
【分析】（1）结合条件和图中信息，假设有根立柱，护栏总长度为米，则当x=1时，y=0.2×1+3×（1-1）=0.2；当x=2时，y=0.2×2+3×（2-1）=3.4；当x=3时，y=0.2×3+3×（3-1）=6.6；因此当x=5时，y=0.2×5+3×（5-1）=13；从而得出答案；
（2）根据（1）中的计算步骤发现，y=0.2x+3（x-1）=3.2x-3；且满足函数定义，因此是的函数；
（3）将代入（2）中的函数解析式中，计算即可。
（1）解：由题意可得，
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 13 …
（2）解：由题意可得，是的函数，
，
即y与x之间的函数关系式是；
（3）解：当时，，
解得，
即护栏总长度为317米时立柱有100根．
21．如图，在Rt中，，为边的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：在中，，D为边的中点，
∴，
∵，，
∴CD=BD=CE=BE，
∴四边形是菱形．
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线
【解析】【分析】（1）先根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”得出，然后结合条件“，”得出CD=BD=CE=BE，最后根据“四条边相等的四边形是菱形”即可得证；
（2）先结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，计算求出BC的长，根据菱形性质得出，根据三角形中线性质得出，从而得出，此时综合得出，最后求出△ABC的面积即可得出答案。
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，D为边的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵在中，，，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
∵四边形为菱形，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的：
，
，
，
，
，
．
请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题：
（1）计算：_____；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：

（3）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：（1）；
【分析】（1）分母有理化并结合平方差公式，即分子与分母同乘以，计算化简即可；
（2）将每个二次根式分别分母有理化，化简得到，此时发现规律并计算即可得出答案；
（3）先分母有理化计算出a=，然后结合完全平方公式计算出，最后将原式变形代入计算即可得出答案。
（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
，
，
．
23．已知三角形的三边分别为，且，．
（1）这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？
（2）若均为正整数，且满足最小的边长不小于20，另外两边的差为2，试结合已知条件进行分析，写出一组满足条件的的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴这个三角形是直角三角形；
（2）解：当a为最小值时，
∵另外两边的差为2，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不是正整数，不合题意；
当b为最小值时，取，即 ，
解得．
∴，b=20，．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理；求算术平方根；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，并结合完全平方公式、二次根式的乘方以及合并同类项，计算进行判断即可；
（2）分a为最小值和b为最小值两种情况，分别结合完全平方公式以及二次根式的混合运算，计算并分析即可得出答案。
（1）解：∵，，，，
∴，
∴这个三角形是直角三角形；
（2）解：当a为最小值时，
∵另外两边的差为2，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不是正整数，不合题意；
当b为最小值时，取，即 ，
解得．
∴，．
24．中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
a．探究活动在同一社团活动室进行，室温；
b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；
c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下：
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4
85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；
（2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）；
（3）探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）．
【答案】（1）解：依题意，得与x的函数图象，如图所示：
（2）5.5；66.0
（3）>
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（2）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象
∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳，
此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）；
故答案为：5.5；66.0．
（3）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，
∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则
故答案为：>．
【分析】（1）根据描点法作出函数图象即可.
（2）根据题意，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据题意，结合函数图象即可求出答案.
25．如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点不重合，点与点不重合），且，连接，，相交于点．
（1）请判断与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点，运动到，的中点时，连接，请判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由如下：
证明：四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
（2）解：，理由如下：
如图，延长，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
由题意可得点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质以及，证明，从而根据全等三角形的性质得到，结合“直角三角形锐角互余”列式并推出，从而得到，此时即可证明；
（2）做辅助线，结合正方形的性质以及邻补角，计算并结合ASA证明，得到，则， 则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到．
（1）解：，理由如下：
证明：四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
由题意可得点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即．
26．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
（1）若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此
（2）若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则_____；
②若，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）2，1，2
（2）①6；
②解：将代入，得，
，
，
当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长，
，即，
最小距离为线段与之间的距离，即，
，
，
解得；
当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长，
，即，
最小距离为线段与之间的距离，即，
，
，
解得；
综上所述，m的取值范围是或．
【知识点】解一元一次不等式组；平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式；正比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为，
当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1，
，，
；
（2）解：①如图，
当时，，，
设直线为，
把代入，得，
，
直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
，
由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长，
，即，
最小值为线段与之间的距离，即，
；
【分析】（1）从图中分析可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，然后根据两点间距离公式并利用勾股定理，列式计算即可求出OE的最大值；而当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，此时直接从图上即可得出答案，最后结合条件中“ 距离关联值 ”的计算公式列式计算即可；
（2）①先利用待定系数法求出直线BD的解析式为，此时即可得出，再结合两点之间的距离公式列式求出，，最后代入“ 距离关联值 ”的计算公式计算即可；
②先求出，分和两种情况，分别结合两点之间的距离公式求出，的值，即可分别列不等式求解．
（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为，
当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1，
，，
；
（2）解：①如图，当时，，，
设直线为，
把代入，得，
，
直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
，
由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长，
，即，
最小值为线段与之间的距离，即，
；
②将代入，得，
，
，
当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长，
，即，
最小距离为线段与之间的距离，即，
，
，
解得；
当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长，
，即，
最小距离为线段与之间的距离，即，
，
，
解得；
综上所述，m的取值范围是或．
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