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北京市房山区2025-2026学年下学期八年级期中数学试题
1．点P（－3，5）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵点P（－3，5），∴点P在第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据点P（-3，5）可知，横坐标为负数，纵坐标为正数，所以应在第二象限.
2．下列图象中，表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：选项A：作垂直于轴的直线，会出现与图像有2个交点，不满足“一个对应唯一”，故不是函数；
选项B：圆的图像中，垂直于轴的直线会出现与圆有2个交点，不满足定义，故不是函数；
选项C：作垂直于轴的直线，会出现与图像有2个交点，不满足定义，故不是函数；
选项D：任意作垂直于轴的直线，与图像都只有1个交点，满足“一个对应唯一”，故是的函数．
故答案为：D．
【分析】在某个变化过程中，若有两个变量x和y，对于x在一定范围内的每个确定的值，y都有一个唯一确定的值与之对应，此时我们称y是x函数。根据考查函数的定义逐项进行分析发现，只有D选项满足“任意x对应唯一y”，从而得出答案。
3．如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：设正方形边长为，即AB=BC=x，
，
解得（负值舍去），
故正方形的周长为1×4=．
故答案为：B。
【分析】本题结合正方形的性质得出AB=BC=x，而∠ABC=90°，此时可以利用勾股定理列式，求出取正数即可．
4．已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知，函数的交点坐标为，
∴方程组的解是．
故答案为：A。
【分析】本题根据一次函数与二元一次方程组的关系，确定两个函数的交点坐标即为方程组的。根据图中信息发现两个函数的交点坐标是，从而得出方程组的解。
5．下列多边形中，内角和等于的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设内角和等于的多边形的边数为，
，
解得 ，
即该多边形为六边形，
四个选项中只有D正确，
故答案为：D．
【分析】根据多边形内角和公式 ，结合条件“内角和等于”列方程，然后求出边数=6，再结合四个选项选择即可。
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长是（　　）
A．6 B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形中，
∴，，且，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C。
【分析】先根据矩形的性质得出，，，然后根据等边三角形的判定及性质得到，最后根据勾股定理列式计算即可求出AD。
7．四边形的对角线相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、，不能判定为平行四边形；
B、，不能判定是平行四边形；
C、当则 ，当，则，∴，四边形两组对边分别平行，因此四边形是平行四边形；
D、，，不能判定四边形是平行四边形；
故答案为：C。
【分析】A选项可能是直角梯形；B选项可能是等腰梯形；C选项根据“两直线平行、同旁内角互补”得出，然后根据“同旁内角互补、两直线平行”得出，此时依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证；D选项不满足对角线互相平分的条件，不能判定四边形是平行四边形。
8．房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论：
①甲到达终点时，乙还有米未跑；
②甲跑完全程用时；
③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次；
④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长．
上述结论中，所有正确结论的个数是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知，甲到达终点时，甲、乙两位选手之间的距离为，所以乙还有米未跑，故①正确；
由可知甲跑完全程用时，故②正确；
起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手在点A和点B共相遇两次，故③正确；
出发后，甲、乙两位选手第一次相遇所用的时间长为，第二次相遇所用的时间长为，所以第一次相遇比第二次相遇所用的时间短，故④错误，
综上，共有3个正确结论．
故答案为：C。
【分析】根据，即可分析得出甲到达终点时，甲、乙两位选手之间的距离为，所以乙还有米未跑，且甲跑完全程用时，从而判断①和②；根据曲线与x轴的交点即可判断③；分析OA和AB的长度，即可判断④。
9．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
10．如图，是平行四边形的外角，若，则　 　°．
【答案】60
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是平行四边形的外角，
∴，
故答案为：60。
【分析】先根据平行四边形“对应角相等”的性质，得到，再根据邻补角进行列式计算即可．
11．写出一个过点的一次函数解析式　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设过点的一次函数解析式为，
将代入，得b=2，
而k此时可以取任意不为0的数，
一次函数的解析式为，
故答案为：。
【分析】本题根据条件可以先假设该一次函数的解析式为，然后将点代入求出b=2，此时分析得出，k可以取任意不为0的数即可得出答案。
12．已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 是一次函数，
，即，
当时，，
即一次函数图象与轴交点的纵坐标为，
该函数图象与轴交点在轴上方，
，
综上所述：且．
故答案为：且．
【分析】先根据一次函数的定义，即一次项系数不为0，列式求出，在结合一次函数与y轴的交点位置，即可得出m＞0，此时综合即可得出答案。
13．若点，在一次函数图象上，则　 　（填，或）．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵点，在正比例函数图象上，
∴将点，代入得：，
∴，
故答案为：．
【分析】将点A，B坐标代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
14．如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，，，则的长为　 　．
【答案】9.6
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：菱形的对角线、交于点，，，
，，，
，
，
．
故答案为：9.6．
【分析】根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积即可求出答案.
15．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，轴，
∴．
故答案为：。
【分析】本题先根据A、B两点的坐标求出，，然后利用菱形的性质得到，，接着利用勾股定理求出OD=3，且轴，此时即可得出C点坐标。
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形关于轴对称，，，将四边形沿直线翻折后得到四边形，接着将四边形沿直线翻折后得到四边形，第三次将四边形沿直线翻折后得到四边形，第四次将四边形沿直线翻折后得到四边形
依此方式
（1）点的坐标是　 　，
（2）翻折2026次得到四边形，则点的坐标是　 　
【答案】；
【知识点】点的坐标；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；探索数与式的规律；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：四边形关于轴对称，，
，，
过点作轴，
在中，，，
，
，
点的坐标为，
在中，，，
，
，
点的坐标为；
点与点关于直线对称，
点的坐标为；
（2）解：由题意可知： 第一次翻折，点关于直线对称得到，
第二次翻折，点关于直线对称得到，
第三次翻折，点关于直线对称得到，
第四次翻折，点关于直线对称得到，
点的坐标每4次翻折为一个循环周期，
，
点的坐标与点的坐标相同，
点的坐标为．
故答案为：（1）；（2）；
【分析】（1）根据轴对称的性质以及30°、45°直角三角形的性质，并用勾股定理计算求出点和点的坐标，然后利用关于直线对称的点的坐标特征求出的坐标；
（2）通过计算前几次变换后点的坐标发现坐标变化的循环规律，即点的坐标每4次翻折为一个循环周期，最后根据规律求出的坐标；
17．一次函数的图象经过和两点，且与轴交于点，与轴交于点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出函数图象，并求出两点的坐标．
【答案】（1）解：设这个一次函数的表达式为，
将和两点代入，得，
解得，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：在中，当时，；当时，，
点A的坐标为，点B的坐标为；
函数图象如下所示：
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将和两点代入一次函数表达式中，求出k和b即可得出答案；
（2）因为A、B两点分别在x轴和y轴上，因此可以领x=0和y=0，分别求出对应的y和x值，即可得出两点坐标。最后画出对应的函数图象即可．
（1）解：设这个一次函数的表达式为，
由题意得，，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：在中，当时，；当时，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
函数图象如下所示：
18．如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】解：证明：，
．
，且，，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】先根据“内错角相等、两直线平行”得出AB∥CD，然后结合条件以及三角形内角和，列式并推出，此时利用内错角相等、两直线平行”得出AD∥BC，最后依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证。
19．下面是小明设计的“作平行四边形”的尺规作图过程．
已知：．
求作：平行四边形．
作法：如图，
①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；
②作直线交于点；
③作射线．在射线上截取；
④连接．则四边形是平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
，
是线段的垂直平分线．
___________．
又，
四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）．
【答案】（1）解：如下图所示，
（2），对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】（2）证明：如下图所示，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
又，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：（2），对角线互相平分的四边形是平行四边形；
【分析】（1）根据题干中的作图步骤画出图形即可；
（2）结合线段垂直平分线的性质，得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可证四边形是平行四边形．
（1）解：如下图所示，
（2）证明：如下图所示，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
又，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与轴相交于点C．
（1） ___________， ___________；
（2）若在一次函数上存在点，使得，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）解：，
设点的坐标为，
当点在点B下方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为；
当点在点B上方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为，
综上分析可知：点的坐标为或。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：一次函数与一次函数相交于点
点既在上也在上，
将代入中，得：，
；
即B点的坐标为，
将点B代入，得，解得；
故答案为：（1）；；
【分析】（1）结合图中信息，根据两个一次函数图象交于点，因此利用待定系数法将B点坐标代入y2中，可以先求出=-1，再把点坐标代入y1中，即可求=1；
（2）结合图中信息，△ABC的面积可以看成以AC为底、B点纵坐标为高的三角形，因此，然后假设出点的坐标为，分点在点B下方和点在点B上方两种情况，分解利用三角形面积公式列式计算求解即可．
（1）解：一次函数与一次函数相交于点
点既在上也在上，
由可得：，
；
点的坐标为，
把点B代入可得，即；
故答案为：；；
（2）解：，
设点的坐标为，
当点在点B下方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为；
当点在点B上方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为，
综上分析可知：点的坐标为或．
21．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：．
【答案】证明：四边形是矩形，
∴，
．
于点，于点，
．
在和中
．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据矩形性质推出，然后结合条件和图中信息，并利用AAS证明，最后利用全等三角形性质即可证明．
22．随着人工智能的发展，许多餐厅使用智能机器人送餐．图1是某餐厅的机器人小聪和小智，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，小聪比小智先出发，且速度保持不变，小智出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小聪行走的时间为，小聪和小智行走的路程分别为与之间的对应关系如图2所示，请根据图象回答下列问题：
（1）小智提速后的速度为___________；
（2）___________；
（3）求小聪行走的路程与行走的时间之间的函数表达式；小智比小聪提前多少秒送餐到位？
【答案】（1）30
（2）31
（3）解：由上述计算，小聪速度为，
且从开始行走，
∴与的函数表达式为；
小聪要走到，
令，即，小聪到达时间为，
解得，
小智到达时间为，
∴小智比小聪提前的时间为．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：结合条件图中信息可知，小智从15s开始出发，到17s时走了，
∴此阶段时间为，则提速前速度为，
∵提速后速度是原来的倍，
∴提速后速度为；
（2）小智提速后行驶的路程为，
∵提速后速度为，
∴提速后行驶时间为；
而小智从15s出发，先花走，再花走，
∴总时间为，即小智到达时间为，
即；
故答案为：（1）30；（2）31；
【分析】（1）结合图2信息，分析出小智从15s开始出发，到17s时走了，此时可以计算出提速前速度为15cm/s；然后结合条件“提速后速度是原来的倍”，此时计算即可得出提速后速度；
（2）先计算出小智提速后行驶的路程420cm，结合（1）中计算出来的“提速后速度为”，即可计算出提速后行驶时间为14s，此时分析并计算出总时间即可得出答案；
（3）用待定系数法求小聪的函数表达式，再分别求出小聪和小智到达时间，最后计算时间差即可．
（1）解：小智从开始出发，到时走了，
此阶段时间为，则提速前速度为，
提速后速度是原来的倍，
所以提速后速度为；
（2）小智提速后行驶的路程为总路程减去提速前的，即，
提速后速度为，
所以提速后行驶时间为；
小智从出发，先花走，再花走，
总时间为，即小智到达时间为，
此时；
（3）由上述计算，小聪速度为，
且从开始行走，
所以与的函数表达式为；
小聪要走到，
令，即，小聪到达时间为，
解得，
小智到达时间为，
所以小智比小聪提前的时间为．
23．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
（1）求的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数与的图象交于点，
∴，
解得；
∴k=-1，b=3；
（2）
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；不等式的性质；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：结合（1）可知，两个函数分别为y=-x+3、y=x+1，
当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
∴，
∴；
当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，
∴，
∴；
综上所述，；
【分析】（1）利用待定系数法将点代入，得到一个关于k和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）结合（1）的计算结果，分别确定两个函数分别为y=-x+3、y=x+1，然后当时，分和两种情况，结合不等式的性质求解计算即可；同理当时，分和两种情况，结合不等式的性质求解计算即可。
（1）解：∵函数与的图象交于点，
∴，
∴；
（2）解：当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
∴，
∴；
当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，
∴，
∴；
综上所述，；
24．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下．
（1）根据函数表达式列表如下，则表中___________；
．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．．
．．． 3 1 0 1 2 3 ．．．
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）方程的解为___________
【答案】（1）2
（2）
（3）或
【知识点】函数自变量的取值范围；一次函数与一元一次方程的关系；绝对值的非负性；描点法画函数图象；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：将代入函数中，得；
（3）解绝对值方程需分情况讨论：
情况一：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
情况二：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
综上，方程的解为或．
故答案为：（1）2；（3）或．
【分析】（1）结合条件和表格信息，可以直接将代入函数中，计算即可求出m的值；
（2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象；
（3）根据绝对值的非负性，分和两种情况讨论并计算，然后求解后分别检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解．
（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式：
，因此；
故答案为：；
（2）如图所示：
（3）解绝对值方程需分情况讨论：
情况一：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
情况二：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
综上，方程的解为或．
故答案为：或．
25．如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接．
（1）写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式；
（2）求的最大值，并求出此时的值．
【答案】（1）解：矩形的对角线相交于点，
点是和的中点，
点到的距离为.
由题意可知，
点的运动时间为时
.
（2）解：是正比例函数，
，随的增大而增大.
在范围内，当时，的值最大，
.
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据条件中的数据以及矩形的性质，结合中位线定理可以求出点到的距离是3cm，由题意得出的长度，再利用三角形面积公式列式计算即可；
（2）先分析得出是正比例函数，且随的增大而增大，因此在范围内，当时，的值最大，代入计算即可。
（1）解：矩形的对角线相交于点，
点是和的中点，
点到的距离为.
由题意可知，
点的运动时间为时
.
（2）解：是正比例函数，
，随的增大而增大.
在范围内，当时，的值最大，
.
26．已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点是轴上一点，点关于直线的对称点为点．
（1）求点B的坐标；
（2）若点的坐标是，求的值及点的坐标．
【答案】（1）解：在中，当时，，
∴点B的坐标为。
（2）解：设点A的坐标为，点C的坐标为，
∵点关于直线的对称点为点，点D的坐标是，
∴，即，
∴，，
解得，
∴，
∴，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）因为一次函数与y轴交于B点，因此将代入中，求出y的值即可得到答案；
（2）先假设出点A和点C的坐标，根据轴对称的性质可得，利用勾股定理列方程，并求出a和c的值，此时即可确定点A和点C的坐标，最后利用待定系数法将A点坐标代入一次函数中，即可求出k的值．
（1）解：在中，当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：设点A的坐标为，点C的坐标为，
∵点关于直线的对称点为点，点D的坐标是，
∴，即，
∴，，
解得，
∴，
∴，
解得．
27．已知正方形，点是延长线上一点，位置如图所示，连接，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）作点关于直线的对称点，连接，．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）解：①如图：图形即为所求作．
②解：结论：．
证明：在上截取点，使得，连接．
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵点关于直线的对称点是点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）结合垂直以及正方形的性质，分别得出和，对顶角相等得出，最后根据等角的余角相等即可得证；
（2）①根据要求画出图形即可．
②做辅助线后，先结合正方形的性质以及SAS，证明，从而推出，此时根据等角的余角相等推出，并得出是等腰直角三角形，进而得出；结合对称性得出，然后角度计算推出，此时“内错角相等、两直线平行”得出。“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出为平行四边形，依据平行四边形的性质得出，最后线段计算求和并替换即可得出答案。
（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
即；
（2）解：①如图：图形即为所求作．
②解：结论：．
证明：在上截取点，使得，连接．
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵点关于直线的对称点是点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴．
28．在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，动点的坐标为，若直线的图象与平行四边形有且只有两个公共点，则称直线是平行四边形的“双优直线”．
（1）若的坐标为，则直线与轴的交点坐标为___________；
（2）点在直线上运动，
①当时，若直线是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围；
②若直线恒是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①或；②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：，
直线 就是直线，
当时，，解得，
直线与轴的交点坐标为；
故答案为：（1）；
（2）解：①当时，点在直线上运动，
，
则点，直线，
当时，，
直线过定点，
令点为，作直线，如图
设直线的解析式，
将、分别代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
直线与轴的交点为，
同理可得直线的解析式为，与轴的交点为，
由图可知，当或时，直线与平行四边形只有1个交点，不符合题意，
当且时，直线与平行四边形没有交点，
当或时，直线与平行四边形有2个交点，
综上所述，或．
②由①同理可得，直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
，
则直线，
令，则，
直线过定点，
如图
第一种情况：当时，
∵，
∴直线l∶过定点，且不与边重合，
则直线l∶与平行四边形始终有2个交点，符合题意；
当时，存在，直线l∶与边重合，与平行四边形有无数个交点，不符合题意；
第二种情况：当或时，连接点B与，此时直线l与平行四边形只有1个交点，不符合题意；
第三种情况：当时，定点在平行四边形的内部，此时直线与平行四边形总有2个交点，即直线恒是平行四边形的“双优直线”，
综上所述，．
【分析】（1）结合条件“ 动点的坐标为，直线 ”，因此当E点坐标确定为（2，2）时，即可得出直线，然后令时，求x的值即可；
（2）①先根据点得出直线，且该直线过定点，继而用待定系数法求出直线的解析式为、直线的解析式为，同时得出与轴的交点为，与轴的交点为，然后分类讨论：第一种情况：当或时，第二种情况：当且时，第三种情况：当或时，逐个分析求解即可；
②先推导出直线的解析式为，直线，且过定点，分类讨论：第一种情况：当时，当时，第二种情况：当或时，第三种情况：当时， 逐个分析求解即可．
（1）解：，
直线，
当时，，解得，
直线与轴的交点坐标为；
（2）解：①当时，点在直线上运动，
，
则点，直线，
当时，，
直线过定点，
令点为，作直线，如图
设直线的解析式，
将、分别代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
直线与轴的交点为，
同理可得直线的解析式为，与轴的交点为，
由图可知，当或时，直线与平行四边形只有1个交点，不符合题意，
当且时，直线与平行四边形没有交点，
当或时，直线与平行四边形有2个交点，
综上所述，或．
②由①同理可得，直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
，
则直线，
令，则，
直线过定点，
如图
第一种情况：当时，
∵，
∴直线l∶过定点，且不与边重合，
则直线l∶与平行四边形始终有2个交点，符合题意；
当时，存在，直线l∶与边重合，与平行四边形有无数个交点，不符合题意；
第二种情况：当或时，连接点B与，此时直线l与平行四边形只有1个交点，不符合题意；
第三种情况：当时，定点在平行四边形的内部，此时直线与平行四边形总有2个交点，即直线恒是平行四边形的“双优直线”，
综上所述，．
1 / 1北京市房山区2025-2026学年下学期八年级期中数学试题
1．点P（－3，5）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列图象中，表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
4．已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5．下列多边形中，内角和等于的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长是（　　）
A．6 B．3 C． D．4
7．四边形的对角线相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论：
①甲到达终点时，乙还有米未跑；
②甲跑完全程用时；
③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次；
④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长．
上述结论中，所有正确结论的个数是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
10．如图，是平行四边形的外角，若，则　 　°．
11．写出一个过点的一次函数解析式　 　．
12．已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是　 　．
13．若点，在一次函数图象上，则　 　（填，或）．
14．如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，，，则的长为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形关于轴对称，，，将四边形沿直线翻折后得到四边形，接着将四边形沿直线翻折后得到四边形，第三次将四边形沿直线翻折后得到四边形，第四次将四边形沿直线翻折后得到四边形
依此方式
（1）点的坐标是　 　，
（2）翻折2026次得到四边形，则点的坐标是　 　
17．一次函数的图象经过和两点，且与轴交于点，与轴交于点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出函数图象，并求出两点的坐标．
18．如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．
19．下面是小明设计的“作平行四边形”的尺规作图过程．
已知：．
求作：平行四边形．
作法：如图，
①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；
②作直线交于点；
③作射线．在射线上截取；
④连接．则四边形是平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
，
是线段的垂直平分线．
___________．
又，
四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与轴相交于点C．
（1） ___________， ___________；
（2）若在一次函数上存在点，使得，求点的坐标．
21．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：．
22．随着人工智能的发展，许多餐厅使用智能机器人送餐．图1是某餐厅的机器人小聪和小智，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，小聪比小智先出发，且速度保持不变，小智出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小聪行走的时间为，小聪和小智行走的路程分别为与之间的对应关系如图2所示，请根据图象回答下列问题：
（1）小智提速后的速度为___________；
（2）___________；
（3）求小聪行走的路程与行走的时间之间的函数表达式；小智比小聪提前多少秒送餐到位？
23．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
（1）求的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
24．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下．
（1）根据函数表达式列表如下，则表中___________；
．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．．
．．． 3 1 0 1 2 3 ．．．
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）方程的解为___________
25．如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接．
（1）写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式；
（2）求的最大值，并求出此时的值．
26．已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点是轴上一点，点关于直线的对称点为点．
（1）求点B的坐标；
（2）若点的坐标是，求的值及点的坐标．
27．已知正方形，点是延长线上一点，位置如图所示，连接，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）作点关于直线的对称点，连接，．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，动点的坐标为，若直线的图象与平行四边形有且只有两个公共点，则称直线是平行四边形的“双优直线”．
（1）若的坐标为，则直线与轴的交点坐标为___________；
（2）点在直线上运动，
①当时，若直线是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围；
②若直线恒是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵点P（－3，5），∴点P在第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据点P（-3，5）可知，横坐标为负数，纵坐标为正数，所以应在第二象限.
2．【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：选项A：作垂直于轴的直线，会出现与图像有2个交点，不满足“一个对应唯一”，故不是函数；
选项B：圆的图像中，垂直于轴的直线会出现与圆有2个交点，不满足定义，故不是函数；
选项C：作垂直于轴的直线，会出现与图像有2个交点，不满足定义，故不是函数；
选项D：任意作垂直于轴的直线，与图像都只有1个交点，满足“一个对应唯一”，故是的函数．
故答案为：D．
【分析】在某个变化过程中，若有两个变量x和y，对于x在一定范围内的每个确定的值，y都有一个唯一确定的值与之对应，此时我们称y是x函数。根据考查函数的定义逐项进行分析发现，只有D选项满足“任意x对应唯一y”，从而得出答案。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：设正方形边长为，即AB=BC=x，
，
解得（负值舍去），
故正方形的周长为1×4=．
故答案为：B。
【分析】本题结合正方形的性质得出AB=BC=x，而∠ABC=90°，此时可以利用勾股定理列式，求出取正数即可．
4．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知，函数的交点坐标为，
∴方程组的解是．
故答案为：A。
【分析】本题根据一次函数与二元一次方程组的关系，确定两个函数的交点坐标即为方程组的。根据图中信息发现两个函数的交点坐标是，从而得出方程组的解。
5．【答案】D
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设内角和等于的多边形的边数为，
，
解得 ，
即该多边形为六边形，
四个选项中只有D正确，
故答案为：D．
【分析】根据多边形内角和公式 ，结合条件“内角和等于”列方程，然后求出边数=6，再结合四个选项选择即可。
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形中，
∴，，且，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C。
【分析】先根据矩形的性质得出，，，然后根据等边三角形的判定及性质得到，最后根据勾股定理列式计算即可求出AD。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、，不能判定为平行四边形；
B、，不能判定是平行四边形；
C、当则 ，当，则，∴，四边形两组对边分别平行，因此四边形是平行四边形；
D、，，不能判定四边形是平行四边形；
故答案为：C。
【分析】A选项可能是直角梯形；B选项可能是等腰梯形；C选项根据“两直线平行、同旁内角互补”得出，然后根据“同旁内角互补、两直线平行”得出，此时依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证；D选项不满足对角线互相平分的条件，不能判定四边形是平行四边形。
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知，甲到达终点时，甲、乙两位选手之间的距离为，所以乙还有米未跑，故①正确；
由可知甲跑完全程用时，故②正确；
起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手在点A和点B共相遇两次，故③正确；
出发后，甲、乙两位选手第一次相遇所用的时间长为，第二次相遇所用的时间长为，所以第一次相遇比第二次相遇所用的时间短，故④错误，
综上，共有3个正确结论．
故答案为：C。
【分析】根据，即可分析得出甲到达终点时，甲、乙两位选手之间的距离为，所以乙还有米未跑，且甲跑完全程用时，从而判断①和②；根据曲线与x轴的交点即可判断③；分析OA和AB的长度，即可判断④。
9．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
10．【答案】60
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是平行四边形的外角，
∴，
故答案为：60。
【分析】先根据平行四边形“对应角相等”的性质，得到，再根据邻补角进行列式计算即可．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设过点的一次函数解析式为，
将代入，得b=2，
而k此时可以取任意不为0的数，
一次函数的解析式为，
故答案为：。
【分析】本题根据条件可以先假设该一次函数的解析式为，然后将点代入求出b=2，此时分析得出，k可以取任意不为0的数即可得出答案。
12．【答案】且
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 是一次函数，
，即，
当时，，
即一次函数图象与轴交点的纵坐标为，
该函数图象与轴交点在轴上方，
，
综上所述：且．
故答案为：且．
【分析】先根据一次函数的定义，即一次项系数不为0，列式求出，在结合一次函数与y轴的交点位置，即可得出m＞0，此时综合即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵点，在正比例函数图象上，
∴将点，代入得：，
∴，
故答案为：．
【分析】将点A，B坐标代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
14．【答案】9.6
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：菱形的对角线、交于点，，，
，，，
，
，
．
故答案为：9.6．
【分析】根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，轴，
∴．
故答案为：。
【分析】本题先根据A、B两点的坐标求出，，然后利用菱形的性质得到，，接着利用勾股定理求出OD=3，且轴，此时即可得出C点坐标。
16．【答案】；
【知识点】点的坐标；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；探索数与式的规律；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：四边形关于轴对称，，
，，
过点作轴，
在中，，，
，
，
点的坐标为，
在中，，，
，
，
点的坐标为；
点与点关于直线对称，
点的坐标为；
（2）解：由题意可知： 第一次翻折，点关于直线对称得到，
第二次翻折，点关于直线对称得到，
第三次翻折，点关于直线对称得到，
第四次翻折，点关于直线对称得到，
点的坐标每4次翻折为一个循环周期，
，
点的坐标与点的坐标相同，
点的坐标为．
故答案为：（1）；（2）；
【分析】（1）根据轴对称的性质以及30°、45°直角三角形的性质，并用勾股定理计算求出点和点的坐标，然后利用关于直线对称的点的坐标特征求出的坐标；
（2）通过计算前几次变换后点的坐标发现坐标变化的循环规律，即点的坐标每4次翻折为一个循环周期，最后根据规律求出的坐标；
17．【答案】（1）解：设这个一次函数的表达式为，
将和两点代入，得，
解得，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：在中，当时，；当时，，
点A的坐标为，点B的坐标为；
函数图象如下所示：
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将和两点代入一次函数表达式中，求出k和b即可得出答案；
（2）因为A、B两点分别在x轴和y轴上，因此可以领x=0和y=0，分别求出对应的y和x值，即可得出两点坐标。最后画出对应的函数图象即可．
（1）解：设这个一次函数的表达式为，
由题意得，，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：在中，当时，；当时，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
函数图象如下所示：
18．【答案】解：证明：，
．
，且，，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】先根据“内错角相等、两直线平行”得出AB∥CD，然后结合条件以及三角形内角和，列式并推出，此时利用内错角相等、两直线平行”得出AD∥BC，最后依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证。
19．【答案】（1）解：如下图所示，
（2），对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】（2）证明：如下图所示，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
又，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：（2），对角线互相平分的四边形是平行四边形；
【分析】（1）根据题干中的作图步骤画出图形即可；
（2）结合线段垂直平分线的性质，得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可证四边形是平行四边形．
（1）解：如下图所示，
（2）证明：如下图所示，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
又，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
20．【答案】（1）；
（2）解：，
设点的坐标为，
当点在点B下方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为；
当点在点B上方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为，
综上分析可知：点的坐标为或。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：一次函数与一次函数相交于点
点既在上也在上，
将代入中，得：，
；
即B点的坐标为，
将点B代入，得，解得；
故答案为：（1）；；
【分析】（1）结合图中信息，根据两个一次函数图象交于点，因此利用待定系数法将B点坐标代入y2中，可以先求出=-1，再把点坐标代入y1中，即可求=1；
（2）结合图中信息，△ABC的面积可以看成以AC为底、B点纵坐标为高的三角形，因此，然后假设出点的坐标为，分点在点B下方和点在点B上方两种情况，分解利用三角形面积公式列式计算求解即可．
（1）解：一次函数与一次函数相交于点
点既在上也在上，
由可得：，
；
点的坐标为，
把点B代入可得，即；
故答案为：；；
（2）解：，
设点的坐标为，
当点在点B下方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为；
当点在点B上方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为，
综上分析可知：点的坐标为或．
21．【答案】证明：四边形是矩形，
∴，
．
于点，于点，
．
在和中
．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据矩形性质推出，然后结合条件和图中信息，并利用AAS证明，最后利用全等三角形性质即可证明．
22．【答案】（1）30
（2）31
（3）解：由上述计算，小聪速度为，
且从开始行走，
∴与的函数表达式为；
小聪要走到，
令，即，小聪到达时间为，
解得，
小智到达时间为，
∴小智比小聪提前的时间为．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：结合条件图中信息可知，小智从15s开始出发，到17s时走了，
∴此阶段时间为，则提速前速度为，
∵提速后速度是原来的倍，
∴提速后速度为；
（2）小智提速后行驶的路程为，
∵提速后速度为，
∴提速后行驶时间为；
而小智从15s出发，先花走，再花走，
∴总时间为，即小智到达时间为，
即；
故答案为：（1）30；（2）31；
【分析】（1）结合图2信息，分析出小智从15s开始出发，到17s时走了，此时可以计算出提速前速度为15cm/s；然后结合条件“提速后速度是原来的倍”，此时计算即可得出提速后速度；
（2）先计算出小智提速后行驶的路程420cm，结合（1）中计算出来的“提速后速度为”，即可计算出提速后行驶时间为14s，此时分析并计算出总时间即可得出答案；
（3）用待定系数法求小聪的函数表达式，再分别求出小聪和小智到达时间，最后计算时间差即可．
（1）解：小智从开始出发，到时走了，
此阶段时间为，则提速前速度为，
提速后速度是原来的倍，
所以提速后速度为；
（2）小智提速后行驶的路程为总路程减去提速前的，即，
提速后速度为，
所以提速后行驶时间为；
小智从出发，先花走，再花走，
总时间为，即小智到达时间为，
此时；
（3）由上述计算，小聪速度为，
且从开始行走，
所以与的函数表达式为；
小聪要走到，
令，即，小聪到达时间为，
解得，
小智到达时间为，
所以小智比小聪提前的时间为．
23．【答案】（1）解：∵函数与的图象交于点，
∴，
解得；
∴k=-1，b=3；
（2）
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；不等式的性质；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：结合（1）可知，两个函数分别为y=-x+3、y=x+1，
当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
∴，
∴；
当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，
∴，
∴；
综上所述，；
【分析】（1）利用待定系数法将点代入，得到一个关于k和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）结合（1）的计算结果，分别确定两个函数分别为y=-x+3、y=x+1，然后当时，分和两种情况，结合不等式的性质求解计算即可；同理当时，分和两种情况，结合不等式的性质求解计算即可。
（1）解：∵函数与的图象交于点，
∴，
∴；
（2）解：当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
∴，
∴；
当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，
∴，
∴；
综上所述，；
24．【答案】（1）2
（2）
（3）或
【知识点】函数自变量的取值范围；一次函数与一元一次方程的关系；绝对值的非负性；描点法画函数图象；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：将代入函数中，得；
（3）解绝对值方程需分情况讨论：
情况一：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
情况二：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
综上，方程的解为或．
故答案为：（1）2；（3）或．
【分析】（1）结合条件和表格信息，可以直接将代入函数中，计算即可求出m的值；
（2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象；
（3）根据绝对值的非负性，分和两种情况讨论并计算，然后求解后分别检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解．
（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式：
，因此；
故答案为：；
（2）如图所示：
（3）解绝对值方程需分情况讨论：
情况一：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
情况二：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
综上，方程的解为或．
故答案为：或．
25．【答案】（1）解：矩形的对角线相交于点，
点是和的中点，
点到的距离为.
由题意可知，
点的运动时间为时
.
（2）解：是正比例函数，
，随的增大而增大.
在范围内，当时，的值最大，
.
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据条件中的数据以及矩形的性质，结合中位线定理可以求出点到的距离是3cm，由题意得出的长度，再利用三角形面积公式列式计算即可；
（2）先分析得出是正比例函数，且随的增大而增大，因此在范围内，当时，的值最大，代入计算即可。
（1）解：矩形的对角线相交于点，
点是和的中点，
点到的距离为.
由题意可知，
点的运动时间为时
.
（2）解：是正比例函数，
，随的增大而增大.
在范围内，当时，的值最大，
.
26．【答案】（1）解：在中，当时，，
∴点B的坐标为。
（2）解：设点A的坐标为，点C的坐标为，
∵点关于直线的对称点为点，点D的坐标是，
∴，即，
∴，，
解得，
∴，
∴，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）因为一次函数与y轴交于B点，因此将代入中，求出y的值即可得到答案；
（2）先假设出点A和点C的坐标，根据轴对称的性质可得，利用勾股定理列方程，并求出a和c的值，此时即可确定点A和点C的坐标，最后利用待定系数法将A点坐标代入一次函数中，即可求出k的值．
（1）解：在中，当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：设点A的坐标为，点C的坐标为，
∵点关于直线的对称点为点，点D的坐标是，
∴，即，
∴，，
解得，
∴，
∴，
解得．
27．【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）解：①如图：图形即为所求作．
②解：结论：．
证明：在上截取点，使得，连接．
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵点关于直线的对称点是点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）结合垂直以及正方形的性质，分别得出和，对顶角相等得出，最后根据等角的余角相等即可得证；
（2）①根据要求画出图形即可．
②做辅助线后，先结合正方形的性质以及SAS，证明，从而推出，此时根据等角的余角相等推出，并得出是等腰直角三角形，进而得出；结合对称性得出，然后角度计算推出，此时“内错角相等、两直线平行”得出。“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出为平行四边形，依据平行四边形的性质得出，最后线段计算求和并替换即可得出答案。
（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
即；
（2）解：①如图：图形即为所求作．
②解：结论：．
证明：在上截取点，使得，连接．
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵点关于直线的对称点是点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴．
28．【答案】（1）
（2）①或；②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：，
直线 就是直线，
当时，，解得，
直线与轴的交点坐标为；
故答案为：（1）；
（2）解：①当时，点在直线上运动，
，
则点，直线，
当时，，
直线过定点，
令点为，作直线，如图
设直线的解析式，
将、分别代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
直线与轴的交点为，
同理可得直线的解析式为，与轴的交点为，
由图可知，当或时，直线与平行四边形只有1个交点，不符合题意，
当且时，直线与平行四边形没有交点，
当或时，直线与平行四边形有2个交点，
综上所述，或．
②由①同理可得，直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
，
则直线，
令，则，
直线过定点，
如图
第一种情况：当时，
∵，
∴直线l∶过定点，且不与边重合，
则直线l∶与平行四边形始终有2个交点，符合题意；
当时，存在，直线l∶与边重合，与平行四边形有无数个交点，不符合题意；
第二种情况：当或时，连接点B与，此时直线l与平行四边形只有1个交点，不符合题意；
第三种情况：当时，定点在平行四边形的内部，此时直线与平行四边形总有2个交点，即直线恒是平行四边形的“双优直线”，
综上所述，．
【分析】（1）结合条件“ 动点的坐标为，直线 ”，因此当E点坐标确定为（2，2）时，即可得出直线，然后令时，求x的值即可；
（2）①先根据点得出直线，且该直线过定点，继而用待定系数法求出直线的解析式为、直线的解析式为，同时得出与轴的交点为，与轴的交点为，然后分类讨论：第一种情况：当或时，第二种情况：当且时，第三种情况：当或时，逐个分析求解即可；
②先推导出直线的解析式为，直线，且过定点，分类讨论：第一种情况：当时，当时，第二种情况：当或时，第三种情况：当时， 逐个分析求解即可．
（1）解：，
直线，
当时，，解得，
直线与轴的交点坐标为；
（2）解：①当时，点在直线上运动，
，
则点，直线，
当时，，
直线过定点，
令点为，作直线，如图
设直线的解析式，
将、分别代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
直线与轴的交点为，
同理可得直线的解析式为，与轴的交点为，
由图可知，当或时，直线与平行四边形只有1个交点，不符合题意，
当且时，直线与平行四边形没有交点，
当或时，直线与平行四边形有2个交点，
综上所述，或．
②由①同理可得，直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
，
则直线，
令，则，
直线过定点，
如图
第一种情况：当时，
∵，
∴直线l∶过定点，且不与边重合，
则直线l∶与平行四边形始终有2个交点，符合题意；
当时，存在，直线l∶与边重合，与平行四边形有无数个交点，不符合题意；
第二种情况：当或时，连接点B与，此时直线l与平行四边形只有1个交点，不符合题意；
第三种情况：当时，定点在平行四边形的内部，此时直线与平行四边形总有2个交点，即直线恒是平行四边形的“双优直线”，
综上所述，．
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