资源简介

河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次不等式求解方法，从而得出集合B，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
2．已知复数，则的虚部是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为.
所以，复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】由复数的除法运算法则得出复数z，再由复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
3．，则（　　）
A． B． C．b＜c＜a D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，所以，
则，
所以，因此.
故答案为：B.
【分析】根据正弦函数的单调性得出a的取值范围，利用对数函数的单调性，则得出b的取值范围，再根据指数函数的单调性，从而得出c的取值范围，进而比较出a，b，c的大小.
4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：当角的终边落在第二象限时，取一点，
则，
所以；
当角的终边落在第四象限时，取一点，
则，
所以，
综上所述：.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和分类讨论的方法，再利用三角函数定义和二倍角的正弦函数，从而得出的值.
5．生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为乔木层的物种数S保持不变，
而个体总数从变为，则丰富度指数由5提升至7，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据生态系统的物种丰富度指数公式，再结合对数的运算法则，从而得出.
6．若两个随机事件相互独立，满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为两个随机事件相互独立，
所以，两个随机事件也相互独立，
由，
由，
所以
故答案为：C.
【分析】根据独立事件的定义和对立事件的定义，再利用条件概率公式和对立事件求概率公式以及并事件求概率公式、交事件求概率公式，从而得出的值.
7．已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（　　）
A．2026 B．2025 C．1014 D．1013
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
令，解得或，
所以，函数的单调递增区间为和，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
因此是函数的两个极值点，
则，
所以
故答案为：D.
【分析】根据导数得出函数的单调区间，再利用函数极值点的定义和已知条件，从而得出的值，结合对数的运算法则，从而得出的值.
8．已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A，B是双曲线上的两点，，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，设，是双曲线左支上的两点，
令，
由双曲线的定义，可得．
在中，由余弦定理，得，
整理得，解得或（舍去）．
，
根据双曲线定义，可得，∴，
则，
∴为直角三角形，且．
在中，，
则，∴，
∴，则该双曲线的离心率为．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和双曲线定义以及余弦定理，从而得出，再利用勾股定理得出，根据勾股定理得出a，c的关系式，可得出双曲线的离心率.
9．已知四边形是平行四边形，，则（　　）
A．点D的坐标是
B．
C．四边形的面积是3
D．坐标原点O到直线的距离为
【答案】A,C,D
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解：对于A：设平行四边形的对角线交点为点，
因为，所以点坐标为，
设点D的坐标是，因为，
所以，则点D的坐标是，故选项A正确；
对于B：因为，
所以，故选项B错误；
对于C：由以上可知：，
所以，
则四边形的面积是，
故选项C正确；
对于D：因为，，
设方向上的单位向量为，
则坐标原点O到直线的距离为，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据平行四边形的性质、中点坐标公式，从而得出点D的坐标，则判断出选项A；利用数量积求向量夹角公式，则判断出选项B；利用同角三角函数基本关系式和四边形的面积公式，则判断出选项C；利用向量法求单位向量坐标的方法和数量积求点到直线的距离公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．函数，则（　　）
A．是偶函数 B．在区间单调递减
C．在有4个零点 D．的最大值为6
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为
所以
则函数是偶函数，故A正确；
对于B，当时，则
求导得
当时，
所以从而
则在区间上单调递减，故B正确；
对于C，当时，设则
将转化为
由，得或
当时，，解得；
当时，，解得
则在范围内有这三个零点，
因为是偶函数，则当时，函数有这三个零点，
所以在范围内有6个零点，故C错误；
对于 D，对于任意实数，均有，
所以，
令
则求的最大值转化为求在上的最大值，
因为函数图象的对称轴为，开口向上，
当时，；
当时，；
当时，，
因此，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和偶函数的定义，则判断出选项A；利用单调函数的定义判断出选项B；利用函数的奇偶性和函数零点的定义，则判断出选项C；对于任意实数，均有，则，令则求的最大值转化为求在上的最大值，再利用函数图象的对称性和开口方向，从而分类讨论得出函数的最大值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（　　）
A．若且，则时，的最小值为21
B．若当且仅当时，取得最小值，则
C．若取最小值时，k有两个不同解，则
D．若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列
【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为.
对于A：因为，
又因为，所以，
则，
因为，则由，
所以的最小值为，故选项A不正确；
对于B：令，
因为，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
当时，取得最小值，
所以，数列是首项为负，单调递增的等差数列，且，，
则，
所以，则，故选项B正确；
对于C：因为取最小值时，k有两个不同解，
不妨设，，
所以，数列先单调递减，再单调递增，因此且，
所以，则，
所以，一定，使得成立，故选项C正确；
对于D：假设数列中存在三项成等比数列，这三项设为，
所以，
因为以1为首项，以为公差，
所以
，
因为且互不相等，
所以 ，
这与互不相等矛盾，所以假设不成立，故选项D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的前n项和公式和一元二次不等式求解方法，可得出n的最小值，则判断出选项A；利用等差数列的定义判断出数列是首项为，公差为的等差数列，再根据数列的单调性和等差数列前n项和公式，则判断出，从而判断出选项B；当取最小值时，k有两个不同解，不妨设，，再利用数列的单调性得出的，则一定，使得成立，从而判断出选项C；利用等比中项公式、等差数列的通项公式和反证法，从而判断出数列中存在三项成等比数列，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．已知函数，则　 　．
【答案】2
【知识点】函数的值；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：2.
【分析】根据分段函数解析式和代入法，从而得出函数的值.
13．某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为　 　．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则
【答案】39090
【知识点】众数、中位数、平均数；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，样本均值为
因为
所以样本方差可估计为
用样本统计量估计总体参数，则可估计
所以，质量指标值近似服从正态分布
因为合格标准是不小于，
又因为
所以，合格的概率为
由题中的参考数据，
因为正态分布关于均值对称，所以两侧尾部概率相等，
则
因此
所以该批产品中质量测评合格的产品件数约为
则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为
故答案为：39090.
【分析】利用平均数公式和方差公式，从而得出质量指标值近似服从正态分布，再利用已知条件和正态分布对应的概率密度函数图象的对称性得出的值，结合频数等于频率乘以样本容量，从而估计出该批产品中质量测评合格的产品件数.
14．已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，弦MN交AB于点，
当时，平面，平面平面，
则，
由圆锥SO的底面为单位圆，其体积为，
则，得，则，
设，则，得，
所以，，
则的面积为：，
所以，
由，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取得极大值，也是最大值，
所以的最大值为：.
故答案为：.
【分析】先将弦MN交AB于点，设，根据圆锥的体积公式得出SO的长，再利用对应边成比例和三角形的面积公式，则的面积为：，利用导数得出函数的最大值.
15．在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，．
（1）求的面积；
（2）若是的中点，求的最小值．
【答案】（1）解：在三角形中，角A，B，C成等差数列，
则，
所以，
由余弦定理知，，
得，
因为，
可得，
则，
整理得，
根据三角形的面积公式，
可得.
（2）解：在中，
，
当且仅当时，
即当时取等号，此时取得最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；等差中项
【解析】【分析】（1）利用等差中项的公式和三角形内角和定理，从而得出角B的值，再利用余弦定理和已知条件，从而得出ac的值，结合三角形的面积公式，从而得出的面积.
（2）利用中点的性质和余弦定理以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）因为三角形中角A，B，C成等差数列，，
所以，由余弦定理知，，
得，又因为，可得，
则，
整理得，根据三角形的面积公式可得；
（2）在中，
，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值为.
16．某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．
某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率．
（1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；
（2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列.
【答案】（1）解：设“深度思考”模式，
“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为，
则，
因为，
所以“联网搜索”模式的测评得分最高．
（2）解：因为三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0，2，3，
所以，
，
，
则三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为：
0 2 3
0.108 0.648 0.244
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）根据题中的统计表结合均值的定义得出“联网搜索”模式的测评得分最高．
（2）根据已知条件得出三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式，从而得出的分布列.
（1）设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为，
，
因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高．
（2）三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0，2，3
，
，
，
所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为：
0 2 3
0.108 0.648 0.244
17．三棱锥中，已知M是PC的中点．，平面平面PBC，．
（1）证明：；
（2）当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为时，
（i）求PA的长；
（ii）求三棱锥外接球的表面积．
【答案】（1）证明：在平面PAB内，过点作，交PB于，
因为平面平面PBC，又因为平面平面，
所以平面PBC，则，
因为，所以，
又因为，
所以平面PAB，
因为平面，
所以．
（2）解：（i）由（1）可知平面PAB，平面，所以，
因为，则易得直角三角形，
所以，
又因为，所以平面ABC，
以为原点，分别以所在直线为轴、轴，
过垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，
因为，所以，
设平面的法向量，
因为，，
由，得，
令，则，，
所以，则，
设平面的法向量，
因为，，
由，得，
令，则，所以，
则，
因为向量数量积，
设平面夹角为，则，
所以，化简得，
联立方程：，代入，
则，所以，则，
所以.
（ii）由（1）可知，平面PAB，平面，
所以，
取AC的中点，
则，
因为是PC的中点，所以，
则三棱锥外接球的球心在正下方，
设，外接球半径为，
因为底面三点到的距离都等于，
所以，则，
设，则，
联立，
则.消去，可得，
代入，得，
则，
所以，
则，
所以.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 先在平面内作，由两平面垂直的性质得平面，推出，结合条件证得，由线面垂直判定得平面，进而证出.
（2）（i）由(1)结合线面垂直的定义得出，再结合已知条件和线面垂直的判定定理，从而得出平面，则以为原点建系，从而得出各点坐标和向量坐标，求出平面PAC的法向量与平面PBC的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出AP的长.
（ii）由（1）可知平面得，取中点，再利用中点的性质和勾股定理，从而得出的长，再利用中点的性质和三棱锥外接球的结构特征以及底面三点到的距离都等于，则根据勾股定理得出的长，从而得出三棱锥外接球的半径长，最后由球的表面积公式得出三棱锥外接球的表面积．
（1）在平面PAB内过点作，交PB于，
因为平面平面PBC，又平面平面，所以平面PBC，
则，因为，所以，
因为，
所以平面PAB，因为平面，所以．
（2）由（1）可知平面PAB，平面，所以
因为，所以易得直角三角形，，
又，所以平面ABC，
以为原点，分别以所在直线为轴、轴，过垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，则.
设，因为所以.
设平面的法向量，
，，
由，得.
令，则，，故，.
设平面的法向量，
，，
由，得.
令，则，故，.
向量数量积.
设平面夹角为，，则，化简得.
联立方程：，代入，
，，.
所以.
（ii）由（1）可知平面PAB，平面，所以
取AC的中点.
所以，
又因为是PC的中点，所以，
则三棱锥外接球的球心在正下方，设，外接球半径为.
底面三点到的距离都等于，所以有：
.设，
则，联立.
.
消去可得.
代入，得，.
，
，即.
18．某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切．
（1）求曲线和的方程；
（2）直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积；
（3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）解：设点，由，
得的轨迹方程为，
则曲线的方程为，
它是以为圆心，以为半径的圆，
因为与曲线相切，所以，
则，
所以，
得，
则曲线方程为.
（2）解：由（1）知，，
所以轴，则，
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
与椭圆联立，得，
则.
（3）解：设直线，
将直线与椭圆联立，得
则
所以
因为点恰为圆的圆心，又因为为弦CD的中点，
由垂径定理知，所以，则，
所以，
则为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设点，由题意结合两点距离公式，从而可得，化简可得曲线的方程，由直线与曲线相切位置关系判断方法，从而可得的值，再根据椭圆的定义得出曲线方程.
（2）由（1）得出，从而得出轴，进而可得的坐标，再利用点斜式方程得出直线的方程，与椭圆方程联立可得点的坐标，再由三角形面积公式得出的面积.
（3）设直线，将直线方程与椭圆方程联立，从而得出，再由垂径定理知，从而计算可得为定值，并求出此定值.
（1）设点，
由得的轨迹方程为，
即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆．
因为与相切，所以，
所以，
则，
得，
所以曲线方程为；
（2）由（1）知，，
所以轴，则，
直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得，
；
（3）设直线，
将直线与椭圆联立得
则
所以，
又点恰为圆的圆心，而为弦CD的中点，由垂径定理知，
所以，则，
所以，
即为定值．
19．已知函数.
（1）若在定义域上单调递减，求的取值范围；
（2）当时．
（i）若，且．求证：；
（ii）求证：
【答案】（1）解：因为函数的定义域为，求导得，
又因为在上单调递减，所以在上恒成立，
则恒成立，所以在上恒成立，
设，则.
令，则，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取得最大值，
所以，则，
所以的取值范围为.
（2）证明：（i）当时，，
则.
令，则.
令，则，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取得最大值，
所以，则，
所以，则函数在上单调递减，且，
因为，，
所以，.
令，，则
令，，
则，
所以在上单调递增，则在上单调递增，所以，
则在上单调递减，
又因为，所以，
则，
因为，所以，
则，
又因为在上单调递减，
所以，则.
（ii）由（i）知，当时，在上单调递减，且，
则当时，恒成立，所以，
则，当且仅当时取等号，
令，则，
所以，
则
所以，
则，
又因为，所以，
所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据题意得到在上恒成立，则在上恒成立，构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出，根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）（i）根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出函数在上单调递减，构造函数，，再利用导数的正负判断函数在上的单调性，从而得到，再结合和函数的单调性，从而证出.
（ii）由（i）知，当时，在上单调递减，且，则当时，，当且仅当时取等号，令，从而得到，再结合累加法和放缩法，从而证出.
（1）函数的定义域为，求导得，
因为在上单调递减，则在上恒成立，
即恒成立，即在上恒成立，
设，则.
令，则，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即，则.
所以的取值范围为.
（2）（i）当时，，.
令，则.
令，则，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即，所以，
即，所以在上单调递减，且.
又，，所以，.
令，，
则，
令，，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，则，
所以在上单调递减.
因为，所以，即，
又，所以，即.
又在上单调递减，所以，即.
（ii）由（i）知时，在上单调递减，且.
所以当时，恒成立，即，
即，当且仅当时取等号．
令，则，
则.
所以
，
即，所以，
又，所以，
所以.
1 / 1河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部是（　　）
A． B．2 C． D．
3．，则（　　）
A． B． C．b＜c＜a D．
4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（　　）
A． B． C． D．
5．生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（　　）
A． B． C． D．
6．若两个随机事件相互独立，满足，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（　　）
A．2026 B．2025 C．1014 D．1013
8．已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A，B是双曲线上的两点，，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
9．已知四边形是平行四边形，，则（　　）
A．点D的坐标是
B．
C．四边形的面积是3
D．坐标原点O到直线的距离为
10．函数，则（　　）
A．是偶函数 B．在区间单调递减
C．在有4个零点 D．的最大值为6
11．记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（　　）
A．若且，则时，的最小值为21
B．若当且仅当时，取得最小值，则
C．若取最小值时，k有两个不同解，则
D．若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列
12．已知函数，则　 　．
13．某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为　 　．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则
14．已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为　 　．
15．在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，．
（1）求的面积；
（2）若是的中点，求的最小值．
16．某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．
某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率．
（1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；
（2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列.
17．三棱锥中，已知M是PC的中点．，平面平面PBC，．
（1）证明：；
（2）当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为时，
（i）求PA的长；
（ii）求三棱锥外接球的表面积．
18．某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切．
（1）求曲线和的方程；
（2）直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积；
（3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
19．已知函数.
（1）若在定义域上单调递减，求的取值范围；
（2）当时．
（i）若，且．求证：；
（ii）求证：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次不等式求解方法，从而得出集合B，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为.
所以，复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】由复数的除法运算法则得出复数z，再由复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
3．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，所以，
则，
所以，因此.
故答案为：B.
【分析】根据正弦函数的单调性得出a的取值范围，利用对数函数的单调性，则得出b的取值范围，再根据指数函数的单调性，从而得出c的取值范围，进而比较出a，b，c的大小.
4．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：当角的终边落在第二象限时，取一点，
则，
所以；
当角的终边落在第四象限时，取一点，
则，
所以，
综上所述：.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和分类讨论的方法，再利用三角函数定义和二倍角的正弦函数，从而得出的值.
5．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为乔木层的物种数S保持不变，
而个体总数从变为，则丰富度指数由5提升至7，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据生态系统的物种丰富度指数公式，再结合对数的运算法则，从而得出.
6．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为两个随机事件相互独立，
所以，两个随机事件也相互独立，
由，
由，
所以
故答案为：C.
【分析】根据独立事件的定义和对立事件的定义，再利用条件概率公式和对立事件求概率公式以及并事件求概率公式、交事件求概率公式，从而得出的值.
7．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
令，解得或，
所以，函数的单调递增区间为和，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
因此是函数的两个极值点，
则，
所以
故答案为：D.
【分析】根据导数得出函数的单调区间，再利用函数极值点的定义和已知条件，从而得出的值，结合对数的运算法则，从而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，设，是双曲线左支上的两点，
令，
由双曲线的定义，可得．
在中，由余弦定理，得，
整理得，解得或（舍去）．
，
根据双曲线定义，可得，∴，
则，
∴为直角三角形，且．
在中，，
则，∴，
∴，则该双曲线的离心率为．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和双曲线定义以及余弦定理，从而得出，再利用勾股定理得出，根据勾股定理得出a，c的关系式，可得出双曲线的离心率.
9．【答案】A,C,D
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解：对于A：设平行四边形的对角线交点为点，
因为，所以点坐标为，
设点D的坐标是，因为，
所以，则点D的坐标是，故选项A正确；
对于B：因为，
所以，故选项B错误；
对于C：由以上可知：，
所以，
则四边形的面积是，
故选项C正确；
对于D：因为，，
设方向上的单位向量为，
则坐标原点O到直线的距离为，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据平行四边形的性质、中点坐标公式，从而得出点D的坐标，则判断出选项A；利用数量积求向量夹角公式，则判断出选项B；利用同角三角函数基本关系式和四边形的面积公式，则判断出选项C；利用向量法求单位向量坐标的方法和数量积求点到直线的距离公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为
所以
则函数是偶函数，故A正确；
对于B，当时，则
求导得
当时，
所以从而
则在区间上单调递减，故B正确；
对于C，当时，设则
将转化为
由，得或
当时，，解得；
当时，，解得
则在范围内有这三个零点，
因为是偶函数，则当时，函数有这三个零点，
所以在范围内有6个零点，故C错误；
对于 D，对于任意实数，均有，
所以，
令
则求的最大值转化为求在上的最大值，
因为函数图象的对称轴为，开口向上，
当时，；
当时，；
当时，，
因此，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和偶函数的定义，则判断出选项A；利用单调函数的定义判断出选项B；利用函数的奇偶性和函数零点的定义，则判断出选项C；对于任意实数，均有，则，令则求的最大值转化为求在上的最大值，再利用函数图象的对称性和开口方向，从而分类讨论得出函数的最大值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为.
对于A：因为，
又因为，所以，
则，
因为，则由，
所以的最小值为，故选项A不正确；
对于B：令，
因为，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
当时，取得最小值，
所以，数列是首项为负，单调递增的等差数列，且，，
则，
所以，则，故选项B正确；
对于C：因为取最小值时，k有两个不同解，
不妨设，，
所以，数列先单调递减，再单调递增，因此且，
所以，则，
所以，一定，使得成立，故选项C正确；
对于D：假设数列中存在三项成等比数列，这三项设为，
所以，
因为以1为首项，以为公差，
所以
，
因为且互不相等，
所以 ，
这与互不相等矛盾，所以假设不成立，故选项D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的前n项和公式和一元二次不等式求解方法，可得出n的最小值，则判断出选项A；利用等差数列的定义判断出数列是首项为，公差为的等差数列，再根据数列的单调性和等差数列前n项和公式，则判断出，从而判断出选项B；当取最小值时，k有两个不同解，不妨设，，再利用数列的单调性得出的，则一定，使得成立，从而判断出选项C；利用等比中项公式、等差数列的通项公式和反证法，从而判断出数列中存在三项成等比数列，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】2
【知识点】函数的值；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：2.
【分析】根据分段函数解析式和代入法，从而得出函数的值.
13．【答案】39090
【知识点】众数、中位数、平均数；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，样本均值为
因为
所以样本方差可估计为
用样本统计量估计总体参数，则可估计
所以，质量指标值近似服从正态分布
因为合格标准是不小于，
又因为
所以，合格的概率为
由题中的参考数据，
因为正态分布关于均值对称，所以两侧尾部概率相等，
则
因此
所以该批产品中质量测评合格的产品件数约为
则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为
故答案为：39090.
【分析】利用平均数公式和方差公式，从而得出质量指标值近似服从正态分布，再利用已知条件和正态分布对应的概率密度函数图象的对称性得出的值，结合频数等于频率乘以样本容量，从而估计出该批产品中质量测评合格的产品件数.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，弦MN交AB于点，
当时，平面，平面平面，
则，
由圆锥SO的底面为单位圆，其体积为，
则，得，则，
设，则，得，
所以，，
则的面积为：，
所以，
由，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取得极大值，也是最大值，
所以的最大值为：.
故答案为：.
【分析】先将弦MN交AB于点，设，根据圆锥的体积公式得出SO的长，再利用对应边成比例和三角形的面积公式，则的面积为：，利用导数得出函数的最大值.
15．【答案】（1）解：在三角形中，角A，B，C成等差数列，
则，
所以，
由余弦定理知，，
得，
因为，
可得，
则，
整理得，
根据三角形的面积公式，
可得.
（2）解：在中，
，
当且仅当时，
即当时取等号，此时取得最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；等差中项
【解析】【分析】（1）利用等差中项的公式和三角形内角和定理，从而得出角B的值，再利用余弦定理和已知条件，从而得出ac的值，结合三角形的面积公式，从而得出的面积.
（2）利用中点的性质和余弦定理以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）因为三角形中角A，B，C成等差数列，，
所以，由余弦定理知，，
得，又因为，可得，
则，
整理得，根据三角形的面积公式可得；
（2）在中，
，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值为.
16．【答案】（1）解：设“深度思考”模式，
“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为，
则，
因为，
所以“联网搜索”模式的测评得分最高．
（2）解：因为三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0，2，3，
所以，
，
，
则三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为：
0 2 3
0.108 0.648 0.244
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）根据题中的统计表结合均值的定义得出“联网搜索”模式的测评得分最高．
（2）根据已知条件得出三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式，从而得出的分布列.
（1）设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为，
，
因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高．
（2）三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0，2，3
，
，
，
所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为：
0 2 3
0.108 0.648 0.244
17．【答案】（1）证明：在平面PAB内，过点作，交PB于，
因为平面平面PBC，又因为平面平面，
所以平面PBC，则，
因为，所以，
又因为，
所以平面PAB，
因为平面，
所以．
（2）解：（i）由（1）可知平面PAB，平面，所以，
因为，则易得直角三角形，
所以，
又因为，所以平面ABC，
以为原点，分别以所在直线为轴、轴，
过垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，
因为，所以，
设平面的法向量，
因为，，
由，得，
令，则，，
所以，则，
设平面的法向量，
因为，，
由，得，
令，则，所以，
则，
因为向量数量积，
设平面夹角为，则，
所以，化简得，
联立方程：，代入，
则，所以，则，
所以.
（ii）由（1）可知，平面PAB，平面，
所以，
取AC的中点，
则，
因为是PC的中点，所以，
则三棱锥外接球的球心在正下方，
设，外接球半径为，
因为底面三点到的距离都等于，
所以，则，
设，则，
联立，
则.消去，可得，
代入，得，
则，
所以，
则，
所以.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 先在平面内作，由两平面垂直的性质得平面，推出，结合条件证得，由线面垂直判定得平面，进而证出.
（2）（i）由(1)结合线面垂直的定义得出，再结合已知条件和线面垂直的判定定理，从而得出平面，则以为原点建系，从而得出各点坐标和向量坐标，求出平面PAC的法向量与平面PBC的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出AP的长.
（ii）由（1）可知平面得，取中点，再利用中点的性质和勾股定理，从而得出的长，再利用中点的性质和三棱锥外接球的结构特征以及底面三点到的距离都等于，则根据勾股定理得出的长，从而得出三棱锥外接球的半径长，最后由球的表面积公式得出三棱锥外接球的表面积．
（1）在平面PAB内过点作，交PB于，
因为平面平面PBC，又平面平面，所以平面PBC，
则，因为，所以，
因为，
所以平面PAB，因为平面，所以．
（2）由（1）可知平面PAB，平面，所以
因为，所以易得直角三角形，，
又，所以平面ABC，
以为原点，分别以所在直线为轴、轴，过垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，则.
设，因为所以.
设平面的法向量，
，，
由，得.
令，则，，故，.
设平面的法向量，
，，
由，得.
令，则，故，.
向量数量积.
设平面夹角为，，则，化简得.
联立方程：，代入，
，，.
所以.
（ii）由（1）可知平面PAB，平面，所以
取AC的中点.
所以，
又因为是PC的中点，所以，
则三棱锥外接球的球心在正下方，设，外接球半径为.
底面三点到的距离都等于，所以有：
.设，
则，联立.
.
消去可得.
代入，得，.
，
，即.
18．【答案】（1）解：设点，由，
得的轨迹方程为，
则曲线的方程为，
它是以为圆心，以为半径的圆，
因为与曲线相切，所以，
则，
所以，
得，
则曲线方程为.
（2）解：由（1）知，，
所以轴，则，
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
与椭圆联立，得，
则.
（3）解：设直线，
将直线与椭圆联立，得
则
所以
因为点恰为圆的圆心，又因为为弦CD的中点，
由垂径定理知，所以，则，
所以，
则为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设点，由题意结合两点距离公式，从而可得，化简可得曲线的方程，由直线与曲线相切位置关系判断方法，从而可得的值，再根据椭圆的定义得出曲线方程.
（2）由（1）得出，从而得出轴，进而可得的坐标，再利用点斜式方程得出直线的方程，与椭圆方程联立可得点的坐标，再由三角形面积公式得出的面积.
（3）设直线，将直线方程与椭圆方程联立，从而得出，再由垂径定理知，从而计算可得为定值，并求出此定值.
（1）设点，
由得的轨迹方程为，
即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆．
因为与相切，所以，
所以，
则，
得，
所以曲线方程为；
（2）由（1）知，，
所以轴，则，
直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得，
；
（3）设直线，
将直线与椭圆联立得
则
所以，
又点恰为圆的圆心，而为弦CD的中点，由垂径定理知，
所以，则，
所以，
即为定值．
19．【答案】（1）解：因为函数的定义域为，求导得，
又因为在上单调递减，所以在上恒成立，
则恒成立，所以在上恒成立，
设，则.
令，则，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取得最大值，
所以，则，
所以的取值范围为.
（2）证明：（i）当时，，
则.
令，则.
令，则，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取得最大值，
所以，则，
所以，则函数在上单调递减，且，
因为，，
所以，.
令，，则
令，，
则，
所以在上单调递增，则在上单调递增，所以，
则在上单调递减，
又因为，所以，
则，
因为，所以，
则，
又因为在上单调递减，
所以，则.
（ii）由（i）知，当时，在上单调递减，且，
则当时，恒成立，所以，
则，当且仅当时取等号，
令，则，
所以，
则
所以，
则，
又因为，所以，
所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据题意得到在上恒成立，则在上恒成立，构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出，根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）（i）根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出函数在上单调递减，构造函数，，再利用导数的正负判断函数在上的单调性，从而得到，再结合和函数的单调性，从而证出.
（ii）由（i）知，当时，在上单调递减，且，则当时，，当且仅当时取等号，令，从而得到，再结合累加法和放缩法，从而证出.
（1）函数的定义域为，求导得，
因为在上单调递减，则在上恒成立，
即恒成立，即在上恒成立，
设，则.
令，则，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即，则.
所以的取值范围为.
（2）（i）当时，，.
令，则.
令，则，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即，所以，
即，所以在上单调递减，且.
又，，所以，.
令，，
则，
令，，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，则，
所以在上单调递减.
因为，所以，即，
又，所以，即.
又在上单调递减，所以，即.
（ii）由（i）知时，在上单调递减，且.
所以当时，恒成立，即，
即，当且仅当时取等号．
令，则，
则.
所以
，
即，所以，
又，所以，
所以.
1 / 1

展开更多......

收起↑