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广西省南宁市2026届九年级下学期初中毕业班质量调研（二）数学试卷
1．-2的相反数是（　　）
A．2 B． C． D．-2
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，负数的相反数的正数。
【解答】-2的相反数是2.
故选A.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相反数的定义，即可完成。
2．以下四种不同的传统纹样中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B是中心对称图形，符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．为推动数字经济高质量发展，我国AI大模型应用规模不断扩大.2026年3月24日国家数据局在国新办举行的新闻发布会上表示，到2026年3月，我国AI大模型日均词元调用量已超过1400000亿．将1400000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400000用科学记数法表示应为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P（2，1），
∴点P关于y轴对称的点的坐标为（-2，1）.
故答案为：C.
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.
5． 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是 （　　）.
A．随机选取一个班的学生 B．随机选取一个体育队的学生
C．在全校女生中随机选取100人 D．在全校学生中随机选取100人
【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】 解：ABC：只关注了特定的群体，比如一个班的学生、一个体育队的学生或全校女生，不具有代表性；
D：在全校学生中随机选取100人，这种方法能够最大程度地确保样本的随机性与代表性，从而更准确地反映出全校学生在课余用于体育锻炼时间的普遍情况，
故答案为：D
【分析】根据抽样调查的代表性和科学性结合题意逐一评估即可求解。
6．已知在中，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：
，即
解得：BC=3
故答案为：A
【分析】根据正切定义即可求出答案.
7．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，故选：C．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
8．要使分式有意义，字母，须满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式 有意义需分母，
∴，
故选： A．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
9．已知点在直线（a为常数）上，则代数式的值是（　　）
A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入直线解析式可得：
3a-3b=1，即3(a-b)=1
∴a-b=
故答案为：C
【分析】将点坐标代入直线解析式，再化简即可求出答案.
10．某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：解：由图象可得：
当加入的稀盐酸的质量为50g时，产生的气体的质量为2.2g，故A选项说法错误，不符合题意，
设x≤100时，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为y=kx，
∵x=50时，y=2.2，
∴2.2 =50k，
解得：k＝0.044，
∴产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为y=0.044x
∴当x=100时，y=4.4，即m=4.4，
∴当加入的稀盐酸的质量为100g时，产生的气体的质量为4.4g，故B选项说法正确，符合题意
当x>100时，产生的气体的质量不变，都为4.4g故C、D选项说法错误，不符合题意.
故答案为： B
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
11．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．若每人6根竹竿，则多出14根；若每人8根竹竿，则正好分完．设牧童有x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设牧童有x人，
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设牧童有x人，根据题意建立方程即可求出答案.
12．如图，O是坐标原点，反比例函数（）与直线交于点A，点B在（）的图象上，直线与y轴交于点C，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为M和N
当时，解得：x=1
∴A(1，-4)
∴OM=1
∵AM∥BN
∴
∵AB=3AC
∴MN=3OM=3
∴ON=1+3=4
∴N(4，0)
将x=4代入可得，y=-1
∴B(4，-1)
∴
故答案为：A
【分析】分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，联立两函数解析式可得A(1，-4)，则OM=1，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算可得MN，根据边之间的关系可得ON，根据点的坐标可得N(4，0)，将x=4代入反比例函数解析式可得B(4，-1)，再根据两点间距离即可求出答案.
13．化简：　 　．
【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：5x
故答案为：5x
【分析】合并同类项即可求出答案.
14．为宣传西乡塘区特色文旅资源，推介优质乡村与生态景点，工作人员制作了分别印有八桂田园、龙门水都、美丽南方的三张背面完全相同的宣传卡片，搅匀后随机抽取一张，抽到印有龙门水都卡片的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽到印有龙门水都卡片的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
15．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　 　.
【答案】7
【知识点】二次根式的概念；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
∵是正整数，是整数，
∴是完全平方数，
∴n的最小值是7.
故答案是：7．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
16．如图，AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧长BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆-动点问题；定点定长辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得，∠APC=90°
∴点P在以AC为直径的圆M的上
∴BP最短时，即为连接BM与圆M的交点
∵AB=10，AC=8
∴BC=6，AM=4
作MF⊥AB于点F
∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB
∴△AMF∽△ABC
∴，即
解得：
∴
∴
∴
∴BP长度的最小值为
故答案为：
【分析】由题意可得，∠APC=90°，则点P在以AC为直径的圆M的上，BP最短时，即为连接BM与圆M的交点，作MF⊥AB于点F，根据相似三角形判定定理可得△AMF∽△ABC，则，代值计算可得MF，根据勾股定理可得AF，根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理即可求出答案.
17．计算与解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
18．如图，点E在的边上，与交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
是和的外角，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
19．某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除．已知某店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元．设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台．
（1）按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴　 　元，1台乙款手机可获得补贴　 　元；
（2）该店当天这两款商品各卖出多少台？
【答案】（1）300；500
（2）解：依题意，得
，
解得．
答：该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）1台甲款平板可获得补贴2000×15%=300元
∵4000×15%=600>500
∴1台乙款手机可获得补贴500元
故答案为：300；500
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
20．为了响应“健康中国2030”的号召，某学校要求学生积极参与体育运动．为了解学生身体素质，某班对24名男生一分钟跳绳个数进行了统计和分析：
数据收集（单位：个）
160，201，170，162，190，171，180，195，184，172，163，186，
192，180，180，194，186，174，168，194，184，180，188，202．
数据整理：
数量（个）
频数 a 4 9 5 2
数据分析：
平均数 众数 中位数
181.5 b c
问题解决：
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）根据规定，男生跳绳每分钟不低于180个为满分，若该校九年级男生有720人，请估计该校九年级男生跳绳满分的人数；
（3）在这次测试中，小邕同学一分钟跳绳的个数是184个，请你结合前面的统计量判断他在全班男生中的跳绳水平，并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）解：（人）
答：估计该校九年级男生跳绳满分的人数有480人．
（3）解：小邕同学的跳绳水平超过全班约一半的男生，理由如下：
该班24名男生跳绳成绩的中位数是182个，
，
∴小邕同学的跳绳成绩高于全班男生成绩的中位数，他的跳绳水平超过全班约一半的男生．（答案不唯一）
【知识点】频数（率）分布表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
数量在的有：160；163；162，168共4个
∴a=4
出现频率最多为180，则b=180
将数据按从小到大的顺序排列：160，162，163，168，170，171，172，174，180，180，180，180，184，184，186，186，188，190，192，194，194，195，201，202．
处在最中间的数为180，184，
∴
故答案为：4；180；182
【分析】（1）根据数据，找到的数，可得a值，再根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据720乘以对应占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
21．【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图．点为摩天轮圆形转轮的圆心，为水平支撑架，支撑塔架，与分别交于两点，已知．
（1）【问题探究】
如图2，设点是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，求证：是的切线；
（2）【问题解决】
如图2，连接，经测量可得，，，，求摩天轮的半径的长；
（3）【拓展延伸】
在（2）的条件下，座舱（体积忽略不计）从点位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N．在这个过程中，当为锐角三角形时，求座舱的运动路径的长（记为）的取值范围．
【答案】（1）解：，
，即．
∵点是线段的中点，
，
．
，
，
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：，
．
又∵，
．
．
即，
解得．
故摩天轮的半径的长为．
（3）解：延长分别交于点和点，连接和．
和是的直径，
，
∴当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形．
∴当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形．
，
为等边三角形．
，
．
当与重合时，，
当与重合时，，
∴座舱运动路径的取值范围是．
【知识点】平行线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得OA=OB，根据等腰三角形三线合一性质可得，即，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（3）延长分别交于点和点，连接和，根据圆周角定理的推论可得，则当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形，当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，根据补角可得∠HOM，再根据弧长公式即可求出答案
22．阅读与探究
【问题背景】我们发现：用构造菱形的思路可以解决绝大多数尺规作图的问题．菱形的四条边相等、每一条对角线平分一组对角、对角线互相垂直平分、对边平行等性质，可以应用在角平分线、垂直平分线、平行线、垂线的尺规作图．学习小组受到启发，对尺规作图作菱形展开了探究．
【学习任务】
精英组：如图1，以顶点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点B，交于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C，作射线，则射线为的平分线．
火箭组：如图2，作矩形的边的垂直平分线，分别交，于点H，F，再作线段的垂直平分线，分别交，于点E，G，和交于点O，顺次连接E，F，G，H，则四边形是菱形．
【解决问题】
（1）如图1，四边形的形状是　 　；
（2）如图2，求证：四边形是菱形；
（3）①如图3，以的对角线和的交点O为对称中心作菱形，使其四个顶点分别在的边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
②当①中所作菱形其中一条对角线与的一边平行时，菱形的面积与的面积有什么数量关系，请说明理由．
【答案】（1）菱形
（2）解：垂直平分、垂直平分，
、，
，
垂直平分，
，
垂直平分，
、，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（3）解：①如图所示，四边形即为所求作的菱形；
②，理由如下：
由①作法知，，
当时，，
四边形是平行四边形，
，，
，
是平行四边形中边上的高，
，
、，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）由作法可得，AD=AB=BC=CD
∴四边形ABCD为菱形
故答案为：菱形
【分析】（1）由作法可得，AD=AB=BC=CD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质的、，根据直线平行判定定理可得，再根据垂直平分线判定定理及性质可得、，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）①根据菱形定义，结合垂直平分线定义作图即可.
②由①作法知，，当时，，根据平行四边形性质可得，，则，根据菱形面积可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据平行四边形面积可得，即可求出答案.
23．【问题情境】
在一节二次函数专题复习课上，老师带领同学们回顾了一个重要方法：求解二次函数图象平移问题时，通常先将二次函数解析式化为顶点式，再通过顶点坐标的变化，确定图象平移后的解析式．接着，老师给出了一个进阶挑战：如果图象不是沿坐标轴平移，而是沿任意一条直线的方向平移，又该如何分析？我们一起来探究吧！
（1）【初步感知】
直接写出函数图象的顶点坐标；
（2）【变换应用】
将函数的图象沿着轴方向向右平移个单位长度，得到新的函数图象，求平移后的函数图象与轴交点的纵坐标；
（3）【延伸探究】
将函数的图象沿着直线（是常数，）的方向平移，得到新的函数图象，在平移过程中，函数图象的顶点始终落在直线上．设平移后函数图象的顶点为，其横坐标为，该函数图象与轴交点的纵坐标为，且随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围；
②设直线与轴，轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同的值时，随的增大而怎样变化？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：将函数的图象沿着轴方向向右平移个单位长度，
得，
当时，，
即平移后的函数图象与轴交点的纵坐标为；
（3）解：①将图象沿着直线（是常数，）方向平移，顶点都在直线上．
顶点，平移后的函数为，
当时，，
时，，
，，开口向上，
时，时，，
；
②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
理由：依题意得，
，
，开口向上，
当时，，对称轴，
在对称轴右侧，随的增大而增大；
当时，，对称轴，
在对称轴左侧，随的增大而减小．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）解：对称轴为，
当时，，
顶点坐标为；
【分析】（1）求出对称轴为x=0，再代入函数解析式可得顶点坐标.
（2）根据平移性质求出新解析式为，根据y轴上点的坐标特征将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）①根据平移性质可得顶点，平移后的函数为，将x=0代入解析式，结合二次函数的性质即可求出答案.
②根据二次函数的性质即可求出答案.
1 / 1广西省南宁市2026届九年级下学期初中毕业班质量调研（二）数学试卷
1．-2的相反数是（　　）
A．2 B． C． D．-2
2．以下四种不同的传统纹样中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．为推动数字经济高质量发展，我国AI大模型应用规模不断扩大.2026年3月24日国家数据局在国新办举行的新闻发布会上表示，到2026年3月，我国AI大模型日均词元调用量已超过1400000亿．将1400000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5． 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是 （　　）.
A．随机选取一个班的学生 B．随机选取一个体育队的学生
C．在全校女生中随机选取100人 D．在全校学生中随机选取100人
6．已知在中，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
8．要使分式有意义，字母，须满足（　　）
A． B． C． D．
9．已知点在直线（a为常数）上，则代数式的值是（　　）
A．1 B．3 C． D．
10．某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多
11．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．若每人6根竹竿，则多出14根；若每人8根竹竿，则正好分完．设牧童有x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，O是坐标原点，反比例函数（）与直线交于点A，点B在（）的图象上，直线与y轴交于点C，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
13．化简：　 　．
14．为宣传西乡塘区特色文旅资源，推介优质乡村与生态景点，工作人员制作了分别印有八桂田园、龙门水都、美丽南方的三张背面完全相同的宣传卡片，搅匀后随机抽取一张，抽到印有龙门水都卡片的概率为　 　．
15．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　 　.
16．如图，AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧长BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是　 　.
17．计算与解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
18．如图，点E在的边上，与交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除．已知某店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元．设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台．
（1）按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴　 　元，1台乙款手机可获得补贴　 　元；
（2）该店当天这两款商品各卖出多少台？
20．为了响应“健康中国2030”的号召，某学校要求学生积极参与体育运动．为了解学生身体素质，某班对24名男生一分钟跳绳个数进行了统计和分析：
数据收集（单位：个）
160，201，170，162，190，171，180，195，184，172，163，186，
192，180，180，194，186，174，168，194，184，180，188，202．
数据整理：
数量（个）
频数 a 4 9 5 2
数据分析：
平均数 众数 中位数
181.5 b c
问题解决：
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）根据规定，男生跳绳每分钟不低于180个为满分，若该校九年级男生有720人，请估计该校九年级男生跳绳满分的人数；
（3）在这次测试中，小邕同学一分钟跳绳的个数是184个，请你结合前面的统计量判断他在全班男生中的跳绳水平，并说明理由．
21．【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图．点为摩天轮圆形转轮的圆心，为水平支撑架，支撑塔架，与分别交于两点，已知．
（1）【问题探究】
如图2，设点是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，求证：是的切线；
（2）【问题解决】
如图2，连接，经测量可得，，，，求摩天轮的半径的长；
（3）【拓展延伸】
在（2）的条件下，座舱（体积忽略不计）从点位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N．在这个过程中，当为锐角三角形时，求座舱的运动路径的长（记为）的取值范围．
22．阅读与探究
【问题背景】我们发现：用构造菱形的思路可以解决绝大多数尺规作图的问题．菱形的四条边相等、每一条对角线平分一组对角、对角线互相垂直平分、对边平行等性质，可以应用在角平分线、垂直平分线、平行线、垂线的尺规作图．学习小组受到启发，对尺规作图作菱形展开了探究．
【学习任务】
精英组：如图1，以顶点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点B，交于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C，作射线，则射线为的平分线．
火箭组：如图2，作矩形的边的垂直平分线，分别交，于点H，F，再作线段的垂直平分线，分别交，于点E，G，和交于点O，顺次连接E，F，G，H，则四边形是菱形．
【解决问题】
（1）如图1，四边形的形状是　 　；
（2）如图2，求证：四边形是菱形；
（3）①如图3，以的对角线和的交点O为对称中心作菱形，使其四个顶点分别在的边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
②当①中所作菱形其中一条对角线与的一边平行时，菱形的面积与的面积有什么数量关系，请说明理由．
23．【问题情境】
在一节二次函数专题复习课上，老师带领同学们回顾了一个重要方法：求解二次函数图象平移问题时，通常先将二次函数解析式化为顶点式，再通过顶点坐标的变化，确定图象平移后的解析式．接着，老师给出了一个进阶挑战：如果图象不是沿坐标轴平移，而是沿任意一条直线的方向平移，又该如何分析？我们一起来探究吧！
（1）【初步感知】
直接写出函数图象的顶点坐标；
（2）【变换应用】
将函数的图象沿着轴方向向右平移个单位长度，得到新的函数图象，求平移后的函数图象与轴交点的纵坐标；
（3）【延伸探究】
将函数的图象沿着直线（是常数，）的方向平移，得到新的函数图象，在平移过程中，函数图象的顶点始终落在直线上．设平移后函数图象的顶点为，其横坐标为，该函数图象与轴交点的纵坐标为，且随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围；
②设直线与轴，轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同的值时，随的增大而怎样变化？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，负数的相反数的正数。
【解答】-2的相反数是2.
故选A.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相反数的定义，即可完成。
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B是中心对称图形，符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400000用科学记数法表示应为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P（2，1），
∴点P关于y轴对称的点的坐标为（-2，1）.
故答案为：C.
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.
5．【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】 解：ABC：只关注了特定的群体，比如一个班的学生、一个体育队的学生或全校女生，不具有代表性；
D：在全校学生中随机选取100人，这种方法能够最大程度地确保样本的随机性与代表性，从而更准确地反映出全校学生在课余用于体育锻炼时间的普遍情况，
故答案为：D
【分析】根据抽样调查的代表性和科学性结合题意逐一评估即可求解。
6．【答案】A
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：
，即
解得：BC=3
故答案为：A
【分析】根据正切定义即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，故选：C．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式 有意义需分母，
∴，
故选： A．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入直线解析式可得：
3a-3b=1，即3(a-b)=1
∴a-b=
故答案为：C
【分析】将点坐标代入直线解析式，再化简即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：解：由图象可得：
当加入的稀盐酸的质量为50g时，产生的气体的质量为2.2g，故A选项说法错误，不符合题意，
设x≤100时，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为y=kx，
∵x=50时，y=2.2，
∴2.2 =50k，
解得：k＝0.044，
∴产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为y=0.044x
∴当x=100时，y=4.4，即m=4.4，
∴当加入的稀盐酸的质量为100g时，产生的气体的质量为4.4g，故B选项说法正确，符合题意
当x>100时，产生的气体的质量不变，都为4.4g故C、D选项说法错误，不符合题意.
故答案为： B
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设牧童有x人，
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设牧童有x人，根据题意建立方程即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为M和N
当时，解得：x=1
∴A(1，-4)
∴OM=1
∵AM∥BN
∴
∵AB=3AC
∴MN=3OM=3
∴ON=1+3=4
∴N(4，0)
将x=4代入可得，y=-1
∴B(4，-1)
∴
故答案为：A
【分析】分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，联立两函数解析式可得A(1，-4)，则OM=1，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算可得MN，根据边之间的关系可得ON，根据点的坐标可得N(4，0)，将x=4代入反比例函数解析式可得B(4，-1)，再根据两点间距离即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：5x
故答案为：5x
【分析】合并同类项即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽到印有龙门水都卡片的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
15．【答案】7
【知识点】二次根式的概念；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
∵是正整数，是整数，
∴是完全平方数，
∴n的最小值是7.
故答案是：7．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆-动点问题；定点定长辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得，∠APC=90°
∴点P在以AC为直径的圆M的上
∴BP最短时，即为连接BM与圆M的交点
∵AB=10，AC=8
∴BC=6，AM=4
作MF⊥AB于点F
∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB
∴△AMF∽△ABC
∴，即
解得：
∴
∴
∴
∴BP长度的最小值为
故答案为：
【分析】由题意可得，∠APC=90°，则点P在以AC为直径的圆M的上，BP最短时，即为连接BM与圆M的交点，作MF⊥AB于点F，根据相似三角形判定定理可得△AMF∽△ABC，则，代值计算可得MF，根据勾股定理可得AF，根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
是和的外角，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
19．【答案】（1）300；500
（2）解：依题意，得
，
解得．
答：该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）1台甲款平板可获得补贴2000×15%=300元
∵4000×15%=600>500
∴1台乙款手机可获得补贴500元
故答案为：300；500
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
20．【答案】（1）；；
（2）解：（人）
答：估计该校九年级男生跳绳满分的人数有480人．
（3）解：小邕同学的跳绳水平超过全班约一半的男生，理由如下：
该班24名男生跳绳成绩的中位数是182个，
，
∴小邕同学的跳绳成绩高于全班男生成绩的中位数，他的跳绳水平超过全班约一半的男生．（答案不唯一）
【知识点】频数（率）分布表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
数量在的有：160；163；162，168共4个
∴a=4
出现频率最多为180，则b=180
将数据按从小到大的顺序排列：160，162，163，168，170，171，172，174，180，180，180，180，184，184，186，186，188，190，192，194，194，195，201，202．
处在最中间的数为180，184，
∴
故答案为：4；180；182
【分析】（1）根据数据，找到的数，可得a值，再根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据720乘以对应占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
21．【答案】（1）解：，
，即．
∵点是线段的中点，
，
．
，
，
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：，
．
又∵，
．
．
即，
解得．
故摩天轮的半径的长为．
（3）解：延长分别交于点和点，连接和．
和是的直径，
，
∴当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形．
∴当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形．
，
为等边三角形．
，
．
当与重合时，，
当与重合时，，
∴座舱运动路径的取值范围是．
【知识点】平行线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得OA=OB，根据等腰三角形三线合一性质可得，即，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（3）延长分别交于点和点，连接和，根据圆周角定理的推论可得，则当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形，当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，根据补角可得∠HOM，再根据弧长公式即可求出答案
22．【答案】（1）菱形
（2）解：垂直平分、垂直平分，
、，
，
垂直平分，
，
垂直平分，
、，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（3）解：①如图所示，四边形即为所求作的菱形；
②，理由如下：
由①作法知，，
当时，，
四边形是平行四边形，
，，
，
是平行四边形中边上的高，
，
、，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）由作法可得，AD=AB=BC=CD
∴四边形ABCD为菱形
故答案为：菱形
【分析】（1）由作法可得，AD=AB=BC=CD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质的、，根据直线平行判定定理可得，再根据垂直平分线判定定理及性质可得、，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）①根据菱形定义，结合垂直平分线定义作图即可.
②由①作法知，，当时，，根据平行四边形性质可得，，则，根据菱形面积可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据平行四边形面积可得，即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：将函数的图象沿着轴方向向右平移个单位长度，
得，
当时，，
即平移后的函数图象与轴交点的纵坐标为；
（3）解：①将图象沿着直线（是常数，）方向平移，顶点都在直线上．
顶点，平移后的函数为，
当时，，
时，，
，，开口向上，
时，时，，
；
②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
理由：依题意得，
，
，开口向上，
当时，，对称轴，
在对称轴右侧，随的增大而增大；
当时，，对称轴，
在对称轴左侧，随的增大而减小．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）解：对称轴为，
当时，，
顶点坐标为；
【分析】（1）求出对称轴为x=0，再代入函数解析式可得顶点坐标.
（2）根据平移性质求出新解析式为，根据y轴上点的坐标特征将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）①根据平移性质可得顶点，平移后的函数为，将x=0代入解析式，结合二次函数的性质即可求出答案.
②根据二次函数的性质即可求出答案.
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