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贵州铜仁市碧江区2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题
1．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴a=-2026；
故答案为：A .
【分析】解一元一次方程，即可得出答案。
2．下列4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：“多”不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：“彩”不是轴对称图形，所以B不符合题意；
C：“贵”是轴对称图形，所以C符合题意；
D：“州”不是轴对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C .
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断即可得出答案。
3．小宇和小恒各收集了一些邮票，已知小恒收集了枚邮票，小宇收集的邮票数量比小恒的3倍多2枚，则小宇收集的邮票数量为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解： 设小恒收集了枚邮票，则 小宇收集的邮票数量为：（3x+2）枚
故答案为：C .
【分析】根据 小恒收集了枚邮票，小宇收集的邮票数量比小恒的3倍多2枚， 列出代数式即可。
4．某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据跳远成绩的规范记法可得出小明最终的跳远成绩是： 线段的长度。
故答案为：B .
【分析】根据跳远成绩的规范记法，可得出小明最终的跳远成绩是 点P到直线l的垂线段的长度，即线段的长度 。
5．在单词“apple”中随机选择一个字母，选到的字母是“p”的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：选到的字母是“p”的概率=。
故答案为：A .
【分析】根据概率计算公式，即可得出答案。
6．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：x+1≠0，解得：x≠-1
故答案为：D .
【分析】根据 分式在实数范围内有意义， 可得出x+1≠0，解得：x≠-1。
7．如图是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则获胜的冰壶所在位置位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解： 冰壶所在位置位于：第二象限。
故答案为：B .
【分析】根据象限的定义，即可得出答案。
8．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将300 mL的水倒进一个容量为570 mL的杯子中；②将5颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在
A．36 mL以上，45 mL以下 B．54 mL以上，63 mL以下
C．50 mL以上，60 mL以下 D．45 mL以上，54 mL以下
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设一颗玻璃球的体积 为x，570-300=270（ mL ），
根据题意，得：5x＜270，6x＞270
解得：45＜x＜54.
故答案为：D .
【分析】设一颗玻璃球的体积 为x，570-300=270（ mL），根据题意可得不等式组5x＜270，6x＞270，解不等式组即可得出答案。
9．如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为
A．28 B．48 C．50 D．120
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，，
∴BD=2BO=10，∠BAD=90°，
∵AB=6，
∴AD=，
∴ 矩形的面积=AB×AD=6×8=48.
故答案为：B.
【分析】首先根据矩形的性质可得出BD=2BO=10，∠BAD=90°，进而根据勾股定理可得出AD=，进而即可得出矩形的面积为矩形的面积=AB×AD=6×8=48.
10．“二十四节气”是华夏祖先历经千百年的实践创造出来的宝贵遗产，它与白昼时长密切相关，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，是反映气候和物候变化、指导农事活动、把握农时的重要依据．如图所示是北半球某地一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中白昼时长超过14小时的节气是
A．芒种 B．白露 C．立冬 D．惊蛰
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图像可知：芒种所对应的白昼市场为15小时＞14小时。
故答案为：A .
【分析】由函数图象可直接得出答案。
11．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接交于点，连接．若，，则的长为
A． B．2 C．2.5 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解： 在中，，，，
∴
由尺规作图可知：EF垂直平分AC，∴BO是斜边AC上的中线。
∴BO=。
故答案为：。
【分析】首先根据勾股定理求得，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出BO=。
12．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：
①与的函数解析式是；②当时，；
③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】函数值；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设； 由图象可知：当R=500Ω时，I=0.1A，即可得出k=500×0.1=50，所以①正确；
把R=200代入 ；可得出：I=0.25，所以②不正确；
因为k=50＞0，所以 在第一象限，随的增大而减小，所以③正确；
当R=100时：I=0.5；当R=1000时，T=0.05，所以 ．所以④正确。综上共有3个结论正确。
故答案为：C .
【分析】利用待定系数法可得出①正确；把R=200代入 ；可得出②不正确；根据反比例函数的性质可得出③正确；根据反比例函数的性质可得出④正确，综上即可得出答案。
13．计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：=
故答案为： .
【分析】根据二次根式的乘法法则即可得出答案。
14．学完《概率的进一步认识》后，小敏为了知道池塘中鱼的数量，捕捞了100条鱼进行标记后放回池塘．一周后，小敏又随机捕捞50条鱼，发现有2条鱼有标记，则小敏估计池塘中鱼的数量为　 　条．
【答案】2500
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设池塘中鱼的数量为x条，
根据题意，得：，解得：x=2500
故答案为：2500 .
【分析】设池塘中鱼的数量为x条，根据概率计算公式可得出打捞到有标记鱼的概率为 ，进而即可得出，解方程即可。
15．将“”和“”按如图所示的方式有规律地排列．设图中“”的个数为，“”的个数为，写出与之间的函数关系式为　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：①2=2×2=2；②4=2×3-2；③6=2×4-2
∴y=2x-2.
故答案为：y=2x-2.
【分析】由①②③，总结归纳规律，可得出y=2x-2.
16．已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则　 　；若连接，如图2所示，则线段的最小值为　 　．
【答案】120；
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在和中：
∴
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABF+∠CBE=60°，
∴∠ABF+∠BAD=60°，
∴∠AFB=180°-（∠ABF+∠BAD）=180°-60°=120°；
如答图所示，点F的运动路径是以点O为圆心的圆弧AB，
且∠AOB=2(I80°-∠AFB)=120°，连接O4、OB、OC、OF
∵QA=OB，AC=BC，OC=OC，
∴(SSS).
∴∠OAC=∠OBC，∠ACO=∠BCO=30°
∵∠AOB+∠ACB=120°+60°=180°
∴∠OBC-90°
∴在Rt中，OB=OC
由勾股定理，得：OB2+BC2=OC2，
即OB2+62=(2OB)2，解得OB=2或-2(舍)，
此刻OF=OB=2，OC=20B=4.
∵点F在圆弧AB上运动，总有CF≥OC-OF，即CF ≥2，
∴当O、F、C三点共线时，线段CF的长最小，最小值为2。
故第1空答案为：120 ；第2空答案为：。
【分析】首先证明，可得出∠BAD=∠CBE，进而得出∠ABF+∠BAD=60°，进而根据三角形内角和定理可得出∠AFB=180°-（∠ABF+∠BAD）=180°-60°=120°；如答图所示，点F的运动路径是以点O为圆心的圆弧AB，根据勾股定理可得出OB2+62=(2OB)2，解得OB=2，进而得出OC=20B=4，进而根据CF≥OC-OF，即CF ≥2，即可得出当O、F、C三点共线时，线段CF的长最小，最小值为2。
17．（1）计算：；
（2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程：
①；②；③．
【答案】（1）解：原式．
（2）解：选①，
移项，得，解得，．
选②，分解因式，得，
∴或．
∴，．
选③，这里，，．
∴．
∴，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；零指数幂；负整数指数幂；公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）首先根据负整数指数，特殊锐角的三角函数及零整数指数的性质进行化简，进而再进行有理数的混合运算即可；
（2）根据方程的特点，选择正确的解法解一元二次方程即可。
18．为迎接3月14日国际数学日，某校举办了数学素养大赛，如表所示是八年级（1）班和（2）班前10名学生的成绩（单位：分）：
（1）班 70 80 75 90 85 80 80 75 80 85
（2）班 70 75 80 70 90 80 80 80 85 90
表格中的数据可以用折线统计图直观展示，如图所示（不完整）．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）请在图中作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图；
（2）现要在同一个班中选出5名学生参加全区八年级数学素养团体大赛，并尽可能取得好成绩，请通过计算分析，确定应从哪个班级选拔更为合理；
（3）参赛的5名同学中，有、两名男生，、、三名女生．
若从中随机抽取两名同学担任团队的队长，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女担任队长的概率．
【答案】（1）解：作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图如图所示．
（2）解：（1）班前5名总成绩为（分），
（2）班前5名总成绩为（分）．
∵，
∴应从（2）班选拔更为合理．
（3）解：画树状图如答图2所示．
∴共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种．
∴恰好抽到一男一女的概率为．
【知识点】折线统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据统计表进行描点，并用折线连接，即可得出统计图；
（2）分别计算两个班前5名同学的总成绩，并进行比较，即可得出答案；
（3）利用树状图进行分析，可得出共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种．即可得出 恰好抽到一男一女担任队长的概率．
19．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，轴，垂足为点，延长交的延长线于点．
（1）根据图象，直接比较、的大小：　 　（选填“>”“<”或“=”）；
（2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式．
【答案】（1）＞
（2）解：∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，，
∴四边形OCED是矩形．
∴，．
∵，，
∴、、．
∴，．
∵四边形OCED的面积为20，
∴，解得．
∴．
又∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
∴反比例函数的表达式为．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：（1）∵k＞0，
∴ 在反比例函数的图象上 ，在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵2＜5，
∴y1＞y2。
故答案为：＞；
【分析】（1）根据反比例函数的性质，可直接得出y1＞y2。
（2）根据四边形OCED的面积为20，可得出．进而得出反比例函数的表达式为．
20．如图，已知在平行四边形中，对角线和相交于点，，．
（1）若，试求四边形的周长；
（2）若与的夹角，求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵在平行四边形ABCD中，，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∵，．
在中，，
∴．
∴．
（2）解：过点A作，垂足为点E，如图所示．
∵四边形ABCD为平行四边形，
在中，，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形；多边形的面积
【解析】【分析】（1）首先根据，可得出平行四边形ABCD为菱形．进而根据菱形的性质可得出，．进而根据勾股定理，可得出．进而根据菱形的周长计算公式可得出．
（2）过点A作，垂足为点E，如图所示．通过解直角三角形，可得出．进而得出．
21．贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在100 m跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差10 m．
（1）求两车的速度；
（2）甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点10 m，那么“天眼号”从原起点向后退10 m作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由．
【答案】（1）解：设“天眼号”的速度是xm/s，则“花江号”的速度是．
根据行驶时间相等，得，解得．
经检验，是原分式方程的解．∴．
答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是．
（2）解：我不赞同甲队同学的看法．理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变．
∴“天眼号”所用时间：，“花江号”所用时间：．
∵．
∴两车不能同时到达终点．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设“天眼号”的速度是xm/s，则“花江号”的速度是．根据当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差10 m．可得出，解方程并进行检验即可；
（2）我不赞同甲队同学的看法，天眼号”所用时间：，“花江号”所用时间：．两车不能同时到达终点．
22．如图1，小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头，图2为洗手盆及水龙头的示意图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．其相关数据，，，，，，点、、、、、、、均在同一平面内．（参考数据：，，）
（1）水流和水池底面的夹角的度数是　 　；
（2）求落水点距水池边缘的距离的长度．
【答案】（1）
（2）解：过点A作于点F，交MN于点G，如答图所示．
则四边形MGFE为矩形．
∴，．
在中，，，
∴，．
∴，．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：落水点距水池边缘的距离CH的长度约为．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（1）∵， ∠AMN=37°，
∴∠ANM=90°-37°=53°，
∵，
∴∠ACE=∠ANM=53°；
故答案为：53°；
【分析】（1）首先根据直角三角形两锐角互余，可得出∠ANM=90°-37°=53°，进而根据平行线的性质，即可得出∠ACE=∠ANM=53°；
（2）过点A作于点F，交MN于点G，如答图所示．可得出则四边形MGFE为矩形．进而得出，．然后通过解，可得出AG=6，MG=8，进而得出．然后在中，可得出CF=25.5，进而即可得出．
23．如图，为的直径，点为上的一点，连接，点为的中点，过点分别作、的垂线，交于点、交的延长线于点，连接．
（1）证明：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵点D为的中点，
∴．
∴．
∴BD是的角平分线．
又∵，，
∴．
（2）解：DE与相切．
理由：如答图所示，连接OD．
由（1）知．，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵OD是的半径，
∴DE与相切．
（3）解：由（1）知．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴图中阴影部分的面积为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先根据在同圆或等圆中，等弧对等角可得出BD是的角平分线．进而根据角平分线的性质可得出．
（2）DE与相切．连接OD．首先根据角平分线的定义及等腰三角形的性质可得出．进而得出．进而可得出．再根据切线的判定即可得出结论；
（3）利用割补法可得出图中阴影部分的面积为．
24．截至2025年，贵州省已建和在建的桥梁总数超3万座，世界前100座高桥中近半数位于贵州，贵州省被誉为“世界桥梁博物馆”．为了更好地研究桥梁的结构，某数学兴趣小组借助电脑绘图工具，绘制了一幅桥梁模拟图，如图1所示，拱桥是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为8 m，桥面与河面平行，，，以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求拱圈抛物线的函数关系式；
（2）一艘露出水面10.5m高的航船能否在不触碰桥面的情况下安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度）
（3）如图2，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5 m处设置1根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为0.5 m，求的值．
【答案】（1）解：根据题意，得抛物线顶点坐标为．
设抛物线的关系式为．
将代入关系式，得，
∴．
∴拱圈抛物线的函数关系式为或．
（2）解：一艘露出水面高的航船不能在不触碰桥面AB的情况下安全通过该拱桥，理由如下：
分别过点C、D作、，垂足分别为点E、点F，如图所示．
根据对称性可知，，
∴．∵，则．
∴，
∴这艘船航不能在不触碰桥面AB的情况下安全通过该拱桥．
（3）解：∵，
∴从左起第4根垂直吊杆在抛物线的对称轴上．
①当时，，
解得．
即从左起第3根与第4根吊杆高度差为．
②当时，根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等，
∴第4根与第5根的高度差也为0.5米．
∴．
综上所述，t的值为3或4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出拱圈抛物线的函数关系式；
（2）①当时，，解得．②当时，根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等，可得，综上所述，t的值为3或4．
25．在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点．
（1）【特例感知】
如图1，当，时，则、、之间满足的数量关系是　 　；
（2）【类比探究】
如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，连接，且，，请补全图形并求的长度．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，过点作，交BC于点G．
∵四边形ABCD和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，，
∴，
．
∴和均为等边三角形．
∴，．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解：连接，连接BD交AC于点O，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴，即．
∴．
∴．
∴．
当点在线段AO上时，如图所示，则．
∴．
由（2）可知．
∴．
∵，
∴．
当点在线段OC上时，连接，如图所示，
则．
∴．
∴．
∴．
综上所述，CE的长度为或．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接O'B。
∵α=90°，
∴菱形ABCD和菱形A'B'C'O'都是正方形.
∴∠ABC=90°，∠ACF=45°，AB=CB，∠AOC=90°
∵
∴O'是AC 的中点.
∴BO'=AC=CO'，∠O'BC=∠ABC=45°=∠O'CF，BO’⊥AC.
∴∠BO'C=90°=∠A'O'C’
∴∠BO'C-∠EO'C=∠A'O'C'-∠EO'C.
∴∠BO'E=∠CO'F.
∴，
∴BE=CF.
又BC=BE+CE，
∴BC=CF+CE.
故答案为：。
【分析】（1），首先根据α=90°，可得出菱形ABCD和菱形A'B'C'O'都是正方形.进而得出∠ABC=90°，∠ACF=45°，AB=CB，∠AOC=90°，再根据，可得出O'是AC 的中点.，进而可根据正方形的性质，得出，进而得出BE=CF.，进一步即可得出BC=CF+CE.
（2）如图所示，过点作，交BC于点G．根据，结合菱形的性质，可得出和均为等边三角形．进而得出是等边三角形．进而得出．再根据，得出．进而得出．
（3）连接，连接BD交AC于点O，如图所示．当点在线段AO上时，求得．然后在在（2）的条件下，可得出．进而得出；当点在线段OC上时，连接，如图所示，，可得出，进而得出．综上，CE的长度为或．
1 / 1贵州铜仁市碧江区2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题
1．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．下列4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．小宇和小恒各收集了一些邮票，已知小恒收集了枚邮票，小宇收集的邮票数量比小恒的3倍多2枚，则小宇收集的邮票数量为
A． B． C． D．
4．某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
5．在单词“apple”中随机选择一个字母，选到的字母是“p”的概率是
A． B． C． D．
6．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．如图是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则获胜的冰壶所在位置位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将300 mL的水倒进一个容量为570 mL的杯子中；②将5颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在
A．36 mL以上，45 mL以下 B．54 mL以上，63 mL以下
C．50 mL以上，60 mL以下 D．45 mL以上，54 mL以下
9．如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为
A．28 B．48 C．50 D．120
10．“二十四节气”是华夏祖先历经千百年的实践创造出来的宝贵遗产，它与白昼时长密切相关，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，是反映气候和物候变化、指导农事活动、把握农时的重要依据．如图所示是北半球某地一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中白昼时长超过14小时的节气是
A．芒种 B．白露 C．立冬 D．惊蛰
11．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接交于点，连接．若，，则的长为
A． B．2 C．2.5 D．
12．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：
①与的函数解析式是；②当时，；
③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．计算的结果是　 　．
14．学完《概率的进一步认识》后，小敏为了知道池塘中鱼的数量，捕捞了100条鱼进行标记后放回池塘．一周后，小敏又随机捕捞50条鱼，发现有2条鱼有标记，则小敏估计池塘中鱼的数量为　 　条．
15．将“”和“”按如图所示的方式有规律地排列．设图中“”的个数为，“”的个数为，写出与之间的函数关系式为　 　．
16．已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则　 　；若连接，如图2所示，则线段的最小值为　 　．
17．（1）计算：；
（2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程：
①；②；③．
18．为迎接3月14日国际数学日，某校举办了数学素养大赛，如表所示是八年级（1）班和（2）班前10名学生的成绩（单位：分）：
（1）班 70 80 75 90 85 80 80 75 80 85
（2）班 70 75 80 70 90 80 80 80 85 90
表格中的数据可以用折线统计图直观展示，如图所示（不完整）．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）请在图中作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图；
（2）现要在同一个班中选出5名学生参加全区八年级数学素养团体大赛，并尽可能取得好成绩，请通过计算分析，确定应从哪个班级选拔更为合理；
（3）参赛的5名同学中，有、两名男生，、、三名女生．
若从中随机抽取两名同学担任团队的队长，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女担任队长的概率．
19．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，轴，垂足为点，延长交的延长线于点．
（1）根据图象，直接比较、的大小：　 　（选填“>”“<”或“=”）；
（2）若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式．
20．如图，已知在平行四边形中，对角线和相交于点，，．
（1）若，试求四边形的周长；
（2）若与的夹角，求四边形的面积．
21．贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在100 m跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差10 m．
（1）求两车的速度；
（2）甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点10 m，那么“天眼号”从原起点向后退10 m作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由．
22．如图1，小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头，图2为洗手盆及水龙头的示意图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．其相关数据，，，，，，点、、、、、、、均在同一平面内．（参考数据：，，）
（1）水流和水池底面的夹角的度数是　 　；
（2）求落水点距水池边缘的距离的长度．
23．如图，为的直径，点为上的一点，连接，点为的中点，过点分别作、的垂线，交于点、交的延长线于点，连接．
（1）证明：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，，求图中阴影部分的面积．
24．截至2025年，贵州省已建和在建的桥梁总数超3万座，世界前100座高桥中近半数位于贵州，贵州省被誉为“世界桥梁博物馆”．为了更好地研究桥梁的结构，某数学兴趣小组借助电脑绘图工具，绘制了一幅桥梁模拟图，如图1所示，拱桥是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为8 m，桥面与河面平行，，，以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求拱圈抛物线的函数关系式；
（2）一艘露出水面10.5m高的航船能否在不触碰桥面的情况下安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度）
（3）如图2，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5 m处设置1根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为0.5 m，求的值．
25．在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点．
（1）【特例感知】
如图1，当，时，则、、之间满足的数量关系是　 　；
（2）【类比探究】
如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，连接，且，，请补全图形并求的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴a=-2026；
故答案为：A .
【分析】解一元一次方程，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：“多”不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：“彩”不是轴对称图形，所以B不符合题意；
C：“贵”是轴对称图形，所以C符合题意；
D：“州”不是轴对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C .
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解： 设小恒收集了枚邮票，则 小宇收集的邮票数量为：（3x+2）枚
故答案为：C .
【分析】根据 小恒收集了枚邮票，小宇收集的邮票数量比小恒的3倍多2枚， 列出代数式即可。
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据跳远成绩的规范记法可得出小明最终的跳远成绩是： 线段的长度。
故答案为：B .
【分析】根据跳远成绩的规范记法，可得出小明最终的跳远成绩是 点P到直线l的垂线段的长度，即线段的长度 。
5．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：选到的字母是“p”的概率=。
故答案为：A .
【分析】根据概率计算公式，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：x+1≠0，解得：x≠-1
故答案为：D .
【分析】根据 分式在实数范围内有意义， 可得出x+1≠0，解得：x≠-1。
7．【答案】B
【知识点】平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解： 冰壶所在位置位于：第二象限。
故答案为：B .
【分析】根据象限的定义，即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设一颗玻璃球的体积 为x，570-300=270（ mL ），
根据题意，得：5x＜270，6x＞270
解得：45＜x＜54.
故答案为：D .
【分析】设一颗玻璃球的体积 为x，570-300=270（ mL），根据题意可得不等式组5x＜270，6x＞270，解不等式组即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，，
∴BD=2BO=10，∠BAD=90°，
∵AB=6，
∴AD=，
∴ 矩形的面积=AB×AD=6×8=48.
故答案为：B.
【分析】首先根据矩形的性质可得出BD=2BO=10，∠BAD=90°，进而根据勾股定理可得出AD=，进而即可得出矩形的面积为矩形的面积=AB×AD=6×8=48.
10．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图像可知：芒种所对应的白昼市场为15小时＞14小时。
故答案为：A .
【分析】由函数图象可直接得出答案。
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解： 在中，，，，
∴
由尺规作图可知：EF垂直平分AC，∴BO是斜边AC上的中线。
∴BO=。
故答案为：。
【分析】首先根据勾股定理求得，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出BO=。
12．【答案】C
【知识点】函数值；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设； 由图象可知：当R=500Ω时，I=0.1A，即可得出k=500×0.1=50，所以①正确；
把R=200代入 ；可得出：I=0.25，所以②不正确；
因为k=50＞0，所以 在第一象限，随的增大而减小，所以③正确；
当R=100时：I=0.5；当R=1000时，T=0.05，所以 ．所以④正确。综上共有3个结论正确。
故答案为：C .
【分析】利用待定系数法可得出①正确；把R=200代入 ；可得出②不正确；根据反比例函数的性质可得出③正确；根据反比例函数的性质可得出④正确，综上即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：=
故答案为： .
【分析】根据二次根式的乘法法则即可得出答案。
14．【答案】2500
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设池塘中鱼的数量为x条，
根据题意，得：，解得：x=2500
故答案为：2500 .
【分析】设池塘中鱼的数量为x条，根据概率计算公式可得出打捞到有标记鱼的概率为 ，进而即可得出，解方程即可。
15．【答案】
【知识点】列一次函数关系式；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：①2=2×2=2；②4=2×3-2；③6=2×4-2
∴y=2x-2.
故答案为：y=2x-2.
【分析】由①②③，总结归纳规律，可得出y=2x-2.
16．【答案】120；
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在和中：
∴
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABF+∠CBE=60°，
∴∠ABF+∠BAD=60°，
∴∠AFB=180°-（∠ABF+∠BAD）=180°-60°=120°；
如答图所示，点F的运动路径是以点O为圆心的圆弧AB，
且∠AOB=2(I80°-∠AFB)=120°，连接O4、OB、OC、OF
∵QA=OB，AC=BC，OC=OC，
∴(SSS).
∴∠OAC=∠OBC，∠ACO=∠BCO=30°
∵∠AOB+∠ACB=120°+60°=180°
∴∠OBC-90°
∴在Rt中，OB=OC
由勾股定理，得：OB2+BC2=OC2，
即OB2+62=(2OB)2，解得OB=2或-2(舍)，
此刻OF=OB=2，OC=20B=4.
∵点F在圆弧AB上运动，总有CF≥OC-OF，即CF ≥2，
∴当O、F、C三点共线时，线段CF的长最小，最小值为2。
故第1空答案为：120 ；第2空答案为：。
【分析】首先证明，可得出∠BAD=∠CBE，进而得出∠ABF+∠BAD=60°，进而根据三角形内角和定理可得出∠AFB=180°-（∠ABF+∠BAD）=180°-60°=120°；如答图所示，点F的运动路径是以点O为圆心的圆弧AB，根据勾股定理可得出OB2+62=(2OB)2，解得OB=2，进而得出OC=20B=4，进而根据CF≥OC-OF，即CF ≥2，即可得出当O、F、C三点共线时，线段CF的长最小，最小值为2。
17．【答案】（1）解：原式．
（2）解：选①，
移项，得，解得，．
选②，分解因式，得，
∴或．
∴，．
选③，这里，，．
∴．
∴，．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；零指数幂；负整数指数幂；公式法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）首先根据负整数指数，特殊锐角的三角函数及零整数指数的性质进行化简，进而再进行有理数的混合运算即可；
（2）根据方程的特点，选择正确的解法解一元二次方程即可。
18．【答案】（1）解：作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图如图所示．
（2）解：（1）班前5名总成绩为（分），
（2）班前5名总成绩为（分）．
∵，
∴应从（2）班选拔更为合理．
（3）解：画树状图如答图2所示．
∴共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种．
∴恰好抽到一男一女的概率为．
【知识点】折线统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据统计表进行描点，并用折线连接，即可得出统计图；
（2）分别计算两个班前5名同学的总成绩，并进行比较，即可得出答案；
（3）利用树状图进行分析，可得出共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种．即可得出 恰好抽到一男一女担任队长的概率．
19．【答案】（1）＞
（2）解：∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，，
∴四边形OCED是矩形．
∴，．
∵，，
∴、、．
∴，．
∵四边形OCED的面积为20，
∴，解得．
∴．
又∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
∴反比例函数的表达式为．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：（1）∵k＞0，
∴ 在反比例函数的图象上 ，在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵2＜5，
∴y1＞y2。
故答案为：＞；
【分析】（1）根据反比例函数的性质，可直接得出y1＞y2。
（2）根据四边形OCED的面积为20，可得出．进而得出反比例函数的表达式为．
20．【答案】（1）解：∵在平行四边形ABCD中，，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∵，．
在中，，
∴．
∴．
（2）解：过点A作，垂足为点E，如图所示．
∵四边形ABCD为平行四边形，
在中，，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形；多边形的面积
【解析】【分析】（1）首先根据，可得出平行四边形ABCD为菱形．进而根据菱形的性质可得出，．进而根据勾股定理，可得出．进而根据菱形的周长计算公式可得出．
（2）过点A作，垂足为点E，如图所示．通过解直角三角形，可得出．进而得出．
21．【答案】（1）解：设“天眼号”的速度是xm/s，则“花江号”的速度是．
根据行驶时间相等，得，解得．
经检验，是原分式方程的解．∴．
答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是．
（2）解：我不赞同甲队同学的看法．理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变．
∴“天眼号”所用时间：，“花江号”所用时间：．
∵．
∴两车不能同时到达终点．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设“天眼号”的速度是xm/s，则“花江号”的速度是．根据当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差10 m．可得出，解方程并进行检验即可；
（2）我不赞同甲队同学的看法，天眼号”所用时间：，“花江号”所用时间：．两车不能同时到达终点．
22．【答案】（1）
（2）解：过点A作于点F，交MN于点G，如答图所示．
则四边形MGFE为矩形．
∴，．
在中，，，
∴，．
∴，．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：落水点距水池边缘的距离CH的长度约为．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（1）∵， ∠AMN=37°，
∴∠ANM=90°-37°=53°，
∵，
∴∠ACE=∠ANM=53°；
故答案为：53°；
【分析】（1）首先根据直角三角形两锐角互余，可得出∠ANM=90°-37°=53°，进而根据平行线的性质，即可得出∠ACE=∠ANM=53°；
（2）过点A作于点F，交MN于点G，如答图所示．可得出则四边形MGFE为矩形．进而得出，．然后通过解，可得出AG=6，MG=8，进而得出．然后在中，可得出CF=25.5，进而即可得出．
23．【答案】（1）证明：∵点D为的中点，
∴．
∴．
∴BD是的角平分线．
又∵，，
∴．
（2）解：DE与相切．
理由：如答图所示，连接OD．
由（1）知．，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵OD是的半径，
∴DE与相切．
（3）解：由（1）知．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴图中阴影部分的面积为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先根据在同圆或等圆中，等弧对等角可得出BD是的角平分线．进而根据角平分线的性质可得出．
（2）DE与相切．连接OD．首先根据角平分线的定义及等腰三角形的性质可得出．进而得出．进而可得出．再根据切线的判定即可得出结论；
（3）利用割补法可得出图中阴影部分的面积为．
24．【答案】（1）解：根据题意，得抛物线顶点坐标为．
设抛物线的关系式为．
将代入关系式，得，
∴．
∴拱圈抛物线的函数关系式为或．
（2）解：一艘露出水面高的航船不能在不触碰桥面AB的情况下安全通过该拱桥，理由如下：
分别过点C、D作、，垂足分别为点E、点F，如图所示．
根据对称性可知，，
∴．∵，则．
∴，
∴这艘船航不能在不触碰桥面AB的情况下安全通过该拱桥．
（3）解：∵，
∴从左起第4根垂直吊杆在抛物线的对称轴上．
①当时，，
解得．
即从左起第3根与第4根吊杆高度差为．
②当时，根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等，
∴第4根与第5根的高度差也为0.5米．
∴．
综上所述，t的值为3或4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出拱圈抛物线的函数关系式；
（2）①当时，，解得．②当时，根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等，可得，综上所述，t的值为3或4．
25．【答案】（1）
（2）解：如图所示，过点作，交BC于点G．
∵四边形ABCD和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，，
∴，
．
∴和均为等边三角形．
∴，．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解：连接，连接BD交AC于点O，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴，即．
∴．
∴．
∴．
当点在线段AO上时，如图所示，则．
∴．
由（2）可知．
∴．
∵，
∴．
当点在线段OC上时，连接，如图所示，
则．
∴．
∴．
∴．
综上所述，CE的长度为或．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接O'B。
∵α=90°，
∴菱形ABCD和菱形A'B'C'O'都是正方形.
∴∠ABC=90°，∠ACF=45°，AB=CB，∠AOC=90°
∵
∴O'是AC 的中点.
∴BO'=AC=CO'，∠O'BC=∠ABC=45°=∠O'CF，BO’⊥AC.
∴∠BO'C=90°=∠A'O'C’
∴∠BO'C-∠EO'C=∠A'O'C'-∠EO'C.
∴∠BO'E=∠CO'F.
∴，
∴BE=CF.
又BC=BE+CE，
∴BC=CF+CE.
故答案为：。
【分析】（1），首先根据α=90°，可得出菱形ABCD和菱形A'B'C'O'都是正方形.进而得出∠ABC=90°，∠ACF=45°，AB=CB，∠AOC=90°，再根据，可得出O'是AC 的中点.，进而可根据正方形的性质，得出，进而得出BE=CF.，进一步即可得出BC=CF+CE.
（2）如图所示，过点作，交BC于点G．根据，结合菱形的性质，可得出和均为等边三角形．进而得出是等边三角形．进而得出．再根据，得出．进而得出．
（3）连接，连接BD交AC于点O，如图所示．当点在线段AO上时，求得．然后在在（2）的条件下，可得出．进而得出；当点在线段OC上时，连接，如图所示，，可得出，进而得出．综上，CE的长度为或．
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