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2026年中考数学押题预测（浙江地区专用）
TOC \o "1-1" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc197675446" 押题预测一 位似图形（选择题） 1
HYPERLINK \l "_Toc197675448" 押题预测三 三角函数的应用（填空题） 16
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押题预测一 位似图形（选择题）
限时：4min
【改编题】如图，在平面直角坐标系中△AOB与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(4,2)，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
△AOB(4,2)考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以选择题出现，位似图形问题主要考查位似图形的性质、位似中心的识别，以及平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律，同时也会结合相似图形的概念进行辨析，对学生的基础识图和概念应用能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·浙江温州·一模）如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·浙江舟山·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（ ）
A．20 B． C．30 D．
7．（2026·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2026·浙江·模拟预测）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点与对应点的坐标分别为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
12．（25-26九年级上·辽宁·期末）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
押题预测二 反比例图象的性质（选择题）
试题前瞻·能力先查
限时：6min
【原创题】已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，随的增大而增大
C．该函数的图象位于第二、四象限
D．点在该函数的图象上
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以选择题出现，反比例函数图象性质问题主要考查k的几何意义、图象所在象限与k值的关系、增减性判断，同时也会结合一次函数图象考查交点与参数分析，对学生的数形结合能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江台州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·浙江舟山·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·浙江温州·一模）关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点在它的图象上，则也在图象上
C．当时，y的值随x的增大而减小
D．当时，
4．（2026·浙江湖州·一模）已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
7．（2026·山东聊城·一模）若点, ，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·天津河北·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．当时，
B．点和在此函数图象上
C．图象位于第二、第四象限
D．当时，y随x的增大而减小
10．（2026·江苏无锡·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论：
①一次函数是“2型闭函数”；
②若一次函数是“1型闭函数”，则；
③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则；
④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
11．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
12．（2026·山西朔州·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，随的增大而增大
B．当时，随的增大而增大
C．该函数的图象位于第二、四象限
D．点在该函数的图象上
押题预测三 三角函数的应用（填空题）
试题前瞻·能力先查
限时：6min
【新情景】光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（ ）
A． B． C． D．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以填空题出现，三角函数应用问题主要考查利用解直角三角形解决实际问题，如仰角俯角、坡度坡比、方向角等情境，同时也会涉及特殊角三角函数值的计算，对学生的建模和运算能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江金华·一模）已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（ ）米．
A．6 B． C． D．
2．（2026·广西玉林·一模）为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行．已知每级台阶高为，深为，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·广东深圳·一模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
4．（2026·福建三明·一模）2025年7月15日5时34分，搭载“天舟九号”货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射．当火箭上升到点A时，位于发射场地面R处的雷达测得点R到点A的距离为，仰角为θ，则此时火箭距地面的高度为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2026·云南昆明·一模）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
6．（2026·吉林长春·一模）市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
7．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知斜坡长，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡度为，则休闲平台的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26九年级上·云南·期末）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26九年级上·河南南阳·期末）“十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．某交警在一次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为96米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（ ）米/秒．
A． B．
C． D．
10．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，斜坡，则斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
11．（2026·上海黄浦·一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
12．（2026·全国·模拟预测）如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（ ）
A． B． C． D．
押题预测四 折叠问题（填空题）
试题前瞻·能力先查
限时：6min
【改编题】如图．在中，，点分别在上，连接．将沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则线段的长是______．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以填空题压轴题出现，折叠问题主要考查轴对称的性质，常结合矩形、正方形等图形，考查折叠后线段长度、角度计算，同时也会用到勾股定理、相似三角形建立方程求解，对学生的空间想象和方程思想有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）如图，是中边上的一点，将沿着对折，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则的长为_________．
2．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点G．则与四边形的面积比为________ ．
3．（2026·浙江宁波·一模）如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________．
4．（2026·广东佛山·一模）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，，，那么的长度是________．
5．（2026·黑龙江·一模）如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______．
6．（2026·安徽·三模）如图，在正方形中，，点E，F分别是上的两点，连接，沿着折叠四边形得到四边形，点G，H分别为A，B的对应点，点H恰好落在边上．请完成下列探究：
（1）若H为的中点，则________；
（2）设，，若，则的长为________．
7．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在中，，，D，P分别为，上的动点，将沿直线翻折（点B的对应点为），使射线恰好经过点A，若为等腰三角形，则的度数为________．
8．（2026·河南周口·一模）如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________．
9．（2026·山东济南·一模）如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______．
10．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接，当时，的长为___．
11．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______．
12．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，点D为边上一点，连接，将沿折叠．点A落至点E处，连接，线段交边于点F，且．当点F为线段上靠近点E的三等分点时，________，________．
押题预测五 全等三角形（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【改编题】如图，在中，点，分别在，边上，连接，，，，，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题出现，全等三角形问题主要考查全等三角形的判定定理与性质，常结合等腰三角形、平行四边形等图形，考查证明线段相等、角度相等，同时也会考查几何推理过程的严谨性，对学生的逻辑证明能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是等边三角形，为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的值．
2．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
3．（2026·浙江舟山·一模）如图，是由绕点C顺时针旋转得到的，即，且．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
4．（2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且，
(1)求的长．
(2)求的值．
押题预测六 数据分析（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【改编题】中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从九年级一班、二班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
一班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49．
二班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50．
两班抽取的学生体测成绩统计表
一班 二班
平均数 47 47
众数 50 b
中位数 a 48
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表中，________，________，________；
(2)根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题出现，数据分析问题主要考查频数分布表、直方图、扇形统计图的解读，以及平均数、中位数、众数等统计量的计算，常结合生活实际情境考查样本估计总体，对学生的数据处理和信息提取能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江温州·一模）在学校组织的知识竞赛中,成绩分为（），（），（），（）四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（）班竞赛成绩统计图如图所示．
(1)求九（）班等级的百分比；
(2)已知九（）班竞赛成绩的中位数为分，小温、小州本次成绩在九（）班排名（从高到低）分别是第名、第名，小温的成绩是分，求小州的成绩；
(3)越越同学为了预估全校名同学中等级的总人数，随机抽取了名学生的成绩，结果等级人数比九（）班的多了人，请你估计该校等级的总人数．
2．（2026·浙江舟山·一模）为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图．
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差（ms） 频数 对应扇形区域
5 A
B
14 C
11 D
10 E
根据以上信息，解答下列问题：
(1)抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________．
(2)这组数据的中位数落在________组．
(3)若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数．
3．（2026·浙江湖州·一模）为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下：
(1)求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数；
(2)全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数．
4．（2026·浙江·模拟预测）2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表．
第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表
竞赛成绩（分） 5 7 8 9 10
人数（人） 2 1 13 16 18
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？
(2)求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分．
押题预测七 圆（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：10min
【改编题】如图，在中，D是边上一点（不与点A，B重合），经过点A，C，D，连接，若，．
(1)求的度数；
(2)若又满足，，求的长．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题出现，圆的问题主要考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定与性质，常结合勾股定理、等腰三角形等知识，考查证明切线、求线段长度和角度，对学生的几何综合分析能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江舟山·一模）如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，．
(1)求证：为切线；
(2)若，求的长．
2．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，为外一点，，分别与相切于点，，连接，．已知，的半径为18．
(1)求的度数．
(2)求的长．
3．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
4．（2026·浙江温州·一模）如图，以为直径作半圆O，过点B作半圆的切线，连接交半圆O于点D，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
押题预测八 二次函数综合（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：15min
【改编题】在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
(1)求证：该抛物线的顶点在第一象限；
(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表述式；
(3)在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）．
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值．
(2)已知在该函数图象上．
①若时，有且，求证：．
②若，存在，求的取值范围．
2．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且．
(1)已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标．
(2)记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值．
(3)若对于，都有，求的取值范围．
3．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知抛物线（为常数）．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)若抛物线与轴交于点．
①求的值．
②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值．
4．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（为常数）图象经过点．
(1)求二次函数表达式．
(2)过点（其中）与轴平行的直线交抛物线于，两点，若，求的值．
(3)设，二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值．
押题预测九 一次函数应用（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：12min
【改编题】某校组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图所示．
(1)求乙班返回时的速度．
(2)求的函数表达式．
(3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题出现，一次函数应用问题主要考查实际情境中的函数建模，如行程问题、销售利润问题、分段计费问题，同时也会考查函数图象的分析和自变量取值范围的确定，对学生的应用建模能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示．
(1)完成这个光缆铺设工程用了多少天
(2)求乙队y关于x的函数关系式．
(3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天
2．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填表：
甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______
(2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式；
(3)①图中的值为___________；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值．
3．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
4．（2026·浙江衢州·一模）如图1，为的直径，的周长为厘米．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为厘米/秒，点出发后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动（秒）时，点，与点之间较短的弧长分别为，．，与的函数图象如图2所示．
(1)求的值．
(2)当时，求关于的一次函数表达式．
(3)若点为图中两个函数图象的交点，求点的坐标，并求出此时点，点之间的劣弧长．
押题预测十 四边形综合（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：15min
【改编题】如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作分别交于点H，N．
①求证：四边形为正方形；
②求证：；
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题压轴题呈现，四边形综合问题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，常结合勾股定理、轴对称、最值问题综合设问，考查证明图形形状、求线段长度和面积，对学生的几何综合推理能力要求较高。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点．
(1)如图1，若，．
①求的度数．
②求证：．
(2)如图2，，点为中点，若，，求的长．
2．（2026·浙江舟山·一模）如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，设，将沿折叠得到，连接并延长交于点．
(1)用含的代数式表示．
(2)求证：
①；
②．
(3)如图2，当时，求的值．
3．（2026·浙江温州·模拟预测）已知菱形的面积为，．
(1)如图1，求菱形的边长．
(2)若点是射线上的一点（不与端点，重合），连接，．
①如图2，点关于的对称点为点，当点落在线段上时，求的长．
②如图3，求的最大值．
4．（2026·安徽·模拟预测）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
(1)如图，连接，当时，求证：；
(2)过点作的垂线交射线于点，连接，．
（）如图，求证：；
（）如图，当时，求的值．
押题预测十一 探究问题（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：12min
【新题型】【类比学习】
小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法：
即，所以．
【初步应用】
(1)请你完成下面的竖式计算．
(2)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中□、△代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出______，______．
【深入研究】
(3)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了：．（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题压轴题呈现，探究问题主要考查规律探究、存在性问题、最值问题，常结合图形变换、代数式运算等情境，需要学生通过观察、预测、验证得出结论，同时也会用到分类讨论、转化等数学思想，对学生的创新思维与综合探究能力要求较高。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图．
推理过程：若接近于，则有，．例如，估算的近似值，此时，取，即，则．
(1)请用上述方法估算的值．
(2)在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同．
①请验证小金的发现．
②求取13或14时，所得近似值相同的无理数．
2．（2026·浙江温州·一模）【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：．
【推导验证】
已知：如图,在中,记, ,．求证：的面积证明：过点A作于点D,设,则,∴,……
(1)请你继续完成上述推导．
(2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积．
3．（2026·浙江·一模）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，，求的值．解：由完全平方公式：，因此．因为，，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)填空：若，，则 ；
【类比应用】
(2)若关于的方程满足，求的值．
4．（2026·广东·一模）【问题提出】
如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除．
【问题探究】
以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．
这个结论的论证过程表述如下：
．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除．
【类比探究】
判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征：
三位数 能否被7整除 特征
133 能 ，7能被7整除
224 能 ，14能被7整除
294 能 ，21能被7整除
148 不能 ，不能被7整除
(1)根据以上探究过程，提出预测：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除；
(2)证明这个预测的正确性．
【拓展应用】
结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除；
(3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值．
②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系．
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2026年中考数学押题预测（浙江地区专用）
TOC \o "1-1" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc197675446" 押题预测一 位似图形（选择题） 1
HYPERLINK \l "_Toc197675448" 押题预测三 三角函数的应用（填空题） 16
6
2
7
3
TOC \o "1-1" \h \z \u 8
4
2
4
押题预测一 位似图形（选择题）
限时：4min
【改编题】如图，在平面直角坐标系中△AOB与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(4,2)，则点D的坐标为（ ）
A． B．(4,9) C．(12,9) D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴与△AOB的位似比为，
∵B点坐标为(4,2)，
∴点D的坐标为(12,9)，
故选：C．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以选择题出现，位似图形问题主要考查位似图形的性质、位似中心的识别，以及平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律，同时也会结合相似图形的概念进行辨析，对学生的基础识图和概念应用能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形，
∴，，，且三点共线，三点共线，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意．
2．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为，
与的位似比为，
B点坐标为，
点的对应点的坐标为即．
3．（2026·浙江温州·一模）如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，，，
，即，
，
，解得，
，
四边形是平行四边形，
．
4．（2026·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：与的位似比为，点的坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
5．（2026·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，，
∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称
∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
6．（2026·浙江舟山·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（ ）
A．20 B． C．30 D．
【答案】A
【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
7．（2026·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵与是位似图形，且点的对应点为，
∴与位似比为，
∴点的对应点的坐标为．
8．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，，
∵与关于点P位似，且相似比为，
∴与的面积比为，
故选：C．
9．（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【详解】解：与位似，
．
．
的面积为4，
故选：D．
10．（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为，
∴四边形和四边形的周长比为，
∵四边形的周长为，
∴四边形的周长为．
故选：C．
11．（2026·浙江·模拟预测）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点与对应点的坐标分别为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形，点与点的坐标分别为，
与的位似比，
点C坐标为，
点的坐标为．
故选：B．
12．（25-26九年级上·辽宁·期末）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴
与是位似图形，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为，
故选：B．
押题预测二 反比例图象的性质（选择题）
试题前瞻·能力先查
限时：6min
【原创题】已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，随的增大而增大
C．该函数的图象位于第二、四象限
D．点在该函数的图象上
【答案】D
【详解】解：已知反比例函数，其中，
A项：当时， =5，A项正确；
∵ <0，
∴ 反比例函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，因此选项C正确；
当时，随的增大而减小，故选项B正确；
对选项D，将代入，得，
∴ 点不在该函数图象上，选项D错误．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以选择题出现，反比例函数图象性质问题主要考查k的几何意义、图象所在象限与k值的关系、增减性判断，同时也会结合一次函数图象考查交点与参数分析，对学生的数形结合能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江台州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，在反比例函数的图象上，且，
，符号相同，
，符号相同，
．
2．（2026·浙江舟山·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ，
∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ .
3．（2026·浙江温州·一模）关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点在它的图象上，则也在图象上
C．当时，y的值随x的增大而减小
D．当时，
【答案】D
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴它的图象分布在一、三象限，选项A说法正确；
若点在它的图象上，则满足，可得，因此点也满足函数解析式，故选项B说法正确；
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，选项C说法正确；
对于选项D，当时，，当时，，
因此当时，不是所有都满足，选项D说法错误．
4．（2026·浙江湖州·一模）已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵在反比例函数上
∴，
要求，代入得：
∵，
∴不等式变形为：
移项得
∵分子，
∴分母
解得．
5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【详解】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意；
B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意；
C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意；
D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意．
6．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【详解】解：设，反比例函数为，分两种情况讨论：
情况1：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小．
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，的最小值为，
又∵，可得，
∵，
∴．
当时，左边，不等式恒成立，符合条件，
当时，两边同乘，得，
又∵，
∴；
情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大，
∵对任意，都有，
∴小于的最小值，代入，得，
∵，
∴，
∵，两边同乘，得，与矛盾，
∴此情况无解．
综上，的取值范围是或．
7．（2026·山东聊城·一模）若点, ，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，
且在每个象限内，随的增大而减小，
∵点横坐标，
∴点在第三象限，得，
∵点、横坐标，，
∴、都在第一象限，得，，
又∵，且第一象限内随增大而减小，
∴.
综上，，故选C．
8．（2026·天津河北·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ 点，， 都在反比例函数的图象上
∴将各点横坐标分别代入解析式计算：
把代入得
把代入得
把代入得
∵
∴．
9．（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．当时，
B．点和在此函数图象上
C．图象位于第二、第四象限
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【详解】解：A项：当时，，A项说法正确，不符合题意；
B项：∵点在函数的图象上，
∴，即，
对于点，将代入函数中，可得，
又∵，
∴，即点在函数图象上，
对于点，将代入函数中，可得，
又∵，
∴，则，
即点在函数图象上，B项说法正确，不符合题意；
C项：在反比例函数中，，
根据反比例函数性质，当时，图象分别位于第二、四象限，C项说法正确，不符合题意；
D项：∵，在反比例函数中，
当时，函数图象在第二象限，且在第二象限内y随x的增大而增大，而不是减小，
D项说法错误，符合题意，
综上，说法错误的是D．
10．（2026·江苏无锡·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论：
①一次函数是“2型闭函数”；
②若一次函数是“1型闭函数”，则；
③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则；
④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【详解】解：①对于一次函数
，随增大而增大
时，；时，，即，，
又，满足
①正确；
②对于一次函数，是“1型闭函数”，则
当时，随增大而增大，，得
当时，随增大而减小，，得
故或
②错误；
③对于反比例函数
，随增大而减小，
，
∴
函数是“k型闭函数”，
，约去得
，
③正确；
④二次函数，开口向下，对称轴为，，由定义得，即
当时，函数在上，随着的增大而减小，
∴，
解得
当时，最大值在取得，最小值在取得，
∴，
∵，，
∴在上的值随着的增大而减小，
∴
∴；
当时，最大值在取得，最小值在取得，
∴，
∵，
∴在上，的值随着的增大而增大，
∴
∴；
当时，函数在上，随着的增大而增大，
∴，
解得
综上，，
④正确．
综上，正确结论为①③④．
11．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【详解】解∵反比例函数中，，
∴函数图象位于第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大，
∵，且，
∴，两点不在同一象限，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
解不等式组得．
12．（2026·山西朔州·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，随的增大而增大
B．当时，随的增大而增大
C．该函数的图象位于第二、四象限
D．点在该函数的图象上
【答案】D
【详解】解：已知反比例函数，其中，
∵ ，
∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，因此选项C错误；
当时，随的增大而减小，故选项A错误；
当时，随的增大而减小，故选项B错误；
对选项D，将代入，得，与点的纵坐标相等，
∴ 点在该函数图象上，选项D正确．
押题预测三 三角函数的应用（填空题）
试题前瞻·能力先查
限时：6min
【新情景】光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，，
，
过D作于G，则四边形是矩形，
，，
，
，
；
折射率．
故选：C．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以填空题出现，三角函数应用问题主要考查利用解直角三角形解决实际问题，如仰角俯角、坡度坡比、方向角等情境，同时也会涉及特殊角三角函数值的计算，对学生的建模和运算能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江金华·一模）已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（ ）米．
A．6 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．（2026·广西玉林·一模）为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行．已知每级台阶高为，深为，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点作，交延长线于，
∵每级台阶高为，深为，
∴，，
∵斜坡的坡度，
∴，即
∴，
∴．
3．（2026·广东深圳·一模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，如图：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
，
，
若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过．
4．（2026·福建三明·一模）2025年7月15日5时34分，搭载“天舟九号”货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射．当火箭上升到点A时，位于发射场地面R处的雷达测得点R到点A的距离为，仰角为θ，则此时火箭距地面的高度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意可得，
∴．
5．（2026·云南昆明·一模）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意，在中，，，，
∴，
∴，
∴档案盒的厚度为．
6．（2026·吉林长春·一模）市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
在中，
（米），
∵由题意可知，
∴四边形为矩形，
∴（米），
∴米．
7．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知斜坡长，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡度为，则休闲平台的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作于点，延长交于点，
则，
，，
，
，
，
，
，
，，
平行于，，
是矩形，
，
，
，
斜坡的坡度为，
，
，
．
故选：D．
8．（25-26九年级上·云南·期末）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设交于点，
∵，，
∴，，
在中，，
∵，
∴.
故选：A ．
9．（25-26九年级上·河南南阳·期末）“十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．某交警在一次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为96米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（ ）米/秒．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，过点A作于点D，
由题意得，，，，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∵汽车通过山洞的时间为12秒，
∴小车过山洞的平均速度为（米/秒），
故选：B．
10．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，斜坡，则斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴斜坡的坡度为，
故选：．
11．（2026·上海黄浦·一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【详解】解：设两楼水平距离为，每层楼高为，对面楼高为．
∵小明住8楼，高度为，
∴，．
∵小丽住9楼，高度为，
∴，．
∵，
∴，即，
且，即．
∴且，
故选：B．
12．（2026·全国·模拟预测）如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，两景点相距，
∴．
∴，两景点相距．
故选：B．
押题预测四 折叠问题（填空题）
试题前瞻·能力先查
限时：6min
【改编题】如图．在中，，点分别在上，连接．将沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则线段的长是______．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
设，则，
则，
解得：，
∴的长为．
∴AE=4 - =
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以填空题压轴题出现，折叠问题主要考查轴对称的性质，常结合矩形、正方形等图形，考查折叠后线段长度、角度计算，同时也会用到勾股定理、相似三角形建立方程求解，对学生的空间想象和方程思想有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）如图，是中边上的一点，将沿着对折，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则的长为_________．
【答案】
【详解】解：设与交于点，
∵将沿着对折，点的对应点恰好落在上，，，
∴，
∴，
∴点，在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
∴是中边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，且与等高，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即的长为．
2．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点G．则与四边形的面积比为________ ．
【答案】
【详解】解：延长，与的延长线交于点，
在中，，，
，， ，，
，，，，
将沿翻折得，点B，F，E恰好在同一直线上，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设边的上的高为，则的边上的高为，的底边上的高为，
则与四边形的面积比为．
3．（2026·浙江宁波·一模）如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________．
【答案】
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（2026·广东佛山·一模）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，，，那么的长度是________．
【答案】4
【详解】解：设，
，
，，
由折叠的性质可知：，
，
，
又，
，
,
，
，
，
, 即，
解得，
即的长度是．
5．（2026·黑龙江·一模）如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______．
【答案】或
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∵为的中点，
∴
由翻折性质得：
分两种情况讨论：
当时
∵，内错角相等得，
结合翻折性质，
∴，由等腰三角形等角对等边得，
当时，延长交于点，
∵，
∴，
由翻折得，
∴在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
综上，的长为或．
6．（2026·安徽·三模）如图，在正方形中，，点E，F分别是上的两点，连接，沿着折叠四边形得到四边形，点G，H分别为A，B的对应点，点H恰好落在边上．请完成下列探究：
（1）若H为的中点，则________；
（2）设，，若，则的长为________．
【答案】
【详解】（1）解：正方形中，，因此，
为中点，
故，
∴由折叠的性质得：，
设，则，，
在中，由勾股定理：，
故，
解得，
，
，
，
．
由折叠性质得：．
，
；
（2）由正方形边长为4，得，，
．
，代入得，
解得：，，即．
过作于，连接，
由折叠性质得，得证，
．
设，则，
，即．
在中由勾股定理得：，
，
解得：．
故答案为：（1）；（2）．
7．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在中，，，D，P分别为，上的动点，将沿直线翻折（点B的对应点为），使射线恰好经过点A，若为等腰三角形，则的度数为________．
【答案】
或或
【详解】解：，，
．
由折叠的性质可知，，．
射线恰好经过点，即、、三点共线，
．
．
在中，．
点在上，
．
①当时， ，
；
②当时， ，
；
③当时， ， ，
．
综上所述，的度数为或或．
8．（2026·河南周口·一模）如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________．
【答案】或/或
【详解】解：连接，与交于点O，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，，
∴，
∵将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，
∴，
设，则，
如图，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得，
即；
如图，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得，
即，
综上所述，当为直角三角形时，线段的长为或．
9．（2026·山东济南·一模）如图，正方形的边上有一点E，将沿翻折，使得点C落在点F处，射线，相交于点G，若，，则______．
【答案】
【详解】解：作于点，于点，则，
四边形是正方形，点在边上，，，
，，
AI将沿翻折，点落在点处，
，，，，
，，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
10．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接，当时，的长为___．
【答案】
【详解】解：由折叠的性质，知，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，设，则，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴
11．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______．
【答案】或
【详解】解：，，
，
沿折叠，点B的对应点为F，
，，
为等腰三角形，
当时，
，
，
过点Ｆ作于点Ｍ，
，
，
，
，
设，则，
则，
根据题意，得，
，
解得；
当时，
，
，
，
，
设，则，
则，
，
解得；
12．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，点D为边上一点，连接，将沿折叠．点A落至点E处，连接，线段交边于点F，且．当点F为线段上靠近点E的三等分点时，________，________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点F为线段上靠近点E的三等分点，即，
∴，
∴，即，
∴；
设，则，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
押题预测五 全等三角形（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【改编题】如图，在中，点，分别在，边上，连接，，，，，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
（2）解：如图，过点作交于点，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，，
，
，
，
.
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题出现，全等三角形问题主要考查全等三角形的判定定理与性质，常结合等腰三角形、平行四边形等图形，考查证明线段相等、角度相等，同时也会考查几何推理过程的严谨性，对学生的逻辑证明能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是等边三角形，为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理可得，，，
∴，
由（1）得，
∴，即，
解得．
2．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵点，分别是，中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点，分别是，中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
3．（2026·浙江舟山·一模）如图，是由绕点C顺时针旋转得到的，即，且．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴．
4．（2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且，
(1)求的长．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
押题预测六 数据分析（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【改编题】中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从九年级一班、二班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
一班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49．
二班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50．
两班抽取的学生体测成绩统计表
一班 二班
平均数 47 47
众数 50 b
中位数 a 48
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表中，________，________，________；
(2)根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
【答案】(1)49；48；45
(2)一班班成绩较好，理由见解析
(3)估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人
【详解】（1）解：由题意可得：一班学生的体测成绩在A组的人数为：（人）,
一班学生的体测成绩在B组的人数为：（人），
一班学生的体测成绩在C组的人数为：人，
将一班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49，
故一班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数；
二班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数，
一班学生的体测成绩在D组的人数为：，
∴，
∴；
（2）解：一班成绩较好，理由如下：
一班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以一班较好；
（3）解：两个班级中，一班满分的有：（人），二班满分的有4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题出现，数据分析问题主要考查频数分布表、直方图、扇形统计图的解读，以及平均数、中位数、众数等统计量的计算，常结合生活实际情境考查样本估计总体，对学生的数据处理和信息提取能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江温州·一模）在学校组织的知识竞赛中,成绩分为（），（），（），（）四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（）班竞赛成绩统计图如图所示．
(1)求九（）班等级的百分比；
(2)已知九（）班竞赛成绩的中位数为分，小温、小州本次成绩在九（）班排名（从高到低）分别是第名、第名，小温的成绩是分，求小州的成绩；
(3)越越同学为了预估全校名同学中等级的总人数，随机抽取了名学生的成绩，结果等级人数比九（）班的多了人，请你估计该校等级的总人数．
【答案】(1)；
(2)分；
(3)该校等级的总人数为人．
【详解】（1）解：九（）班等级的百分比：；
（2）解：设小州的成绩为分，
由题意,得，
解得，
∴小州的成绩为分；
（3）解：（人），
答：该校等级的总人数为人．
2．（2026·浙江舟山·一模）为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图．
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差（ms） 频数 对应扇形区域
5 A
B
14 C
11 D
10 E
根据以上信息，解答下列问题：
(1)抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________．
(2)这组数据的中位数落在________组．
(3)若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数．
【答案】(1)50，10，22
(2)C
(3)116
【详解】（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台），
∴，；
（2）解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为，
∴这组数据的中位数落在C组；
（3）解：由题意得：
（台）；
答：200台同款机器人中合格的台数为116台．
3．（2026·浙江湖州·一模）为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下：
(1)求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数；
(2)全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数．
【答案】(1)众数是5分，中位数是分，平均数是分
(2)估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人．
【详解】（1）解：5分的占比最高，所以众数是5分，
先将所有打分按从小到大排序，累计占比：
2分→3分(累计)→4分(累计)→5分(累计)，
中位数是第和第位置的数，
所以中位数是（分），
计算加权平均数：
（分），
（2）解：（人），
答：估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人．
4．（2026·浙江·模拟预测）2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表．
第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表
竞赛成绩（分） 5 7 8 9 10
人数（人） 2 1 13 16 18
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？
(2)求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分．
【答案】(1)9分；9分
(2)分
【详解】（1）解：由题意得，第一次竞赛排列为：5分：2人（累计2）
7分：1人（累计3）
8分：13人（累计16）
9分：16人（累计32）
10分：18人（累计50）
第25、26位数据均落在9分组内，
∴第一次竞赛得分的中位数为分；
第二次竞赛：8分：人，
9分：人，
10分：人，
排列为：8分：20人（累计20）
9分：25人（累计45）
10分：5人（累计50）
第25、26位数据均落在9分组内，
∴第二次竞赛得分的中位数为分；
（2）解：由题意得，总分：
分，
∴平均分：分．
押题预测七 圆（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：10min
【改编题】如图，在中，D是边上一点（不与点A，B重合），经过点A，C，D，连接，若，．
(1)求的度数；
(2)若又满足，，求的长．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)如图，延长交于点M，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题出现，圆的问题主要考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定与性质，常结合勾股定理、等腰三角形等知识，考查证明切线、求线段长度和角度，对学生的几何综合分析能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江舟山·一模）如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，．
(1)求证：为切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴为切线；
（2）解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
2．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，为外一点，，分别与相切于点，，连接，．已知，的半径为18．
(1)求的度数．
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，分别与相切于点，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，的半径为18，
∴．
3．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，，与相切，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，，作，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
4．（2026·浙江温州·一模）如图，以为直径作半圆O，过点B作半圆的切线，连接交半圆O于点D，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵是半圆O的切线，
∴，
∴．
∵为半圆O的直径，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
押题预测八 二次函数综合（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：15min
【改编题】在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
(1)求证：该抛物线的顶点在第一象限；
(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表述式；
(3)在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)；
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴
∴抛物线的顶点为，
∵，
∴，
∴该抛物线的顶点在第一象限．
（2）解：将代入，
得，
∴，
∴此抛物线的表达式为．
（3）解：∵，
∴抛物线开口向下．
∵抛物线的对称轴是直线，
∴离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小．
∵抛物线上有两点和，且，
∴，
∴，
解得：．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）．
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值．
(2)已知在该函数图象上．
①若时，有且，求证：．
②若，存在，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【详解】（1）解：把代入抛物线解析式，
得，
解得；
（2）①证明：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
，
为到抛物线对称轴直线的距离，
为到抛物线对称轴直线的距离，
，
抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大，
；
②解：
或，
当时，，
，
解得，
解得，
∴不等式组无解；
当时，即，
，
，
解得，
解得，
∴不等式组的解集为，
综上，．
2．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且．
(1)已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标．
(2)记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值．
(3)若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：或（舍），
∴二次函数的解析式为，
令得，解得：，
∴该抛物线与轴的另一交点坐标为；
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
3．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知抛物线（为常数）．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)若抛物线与轴交于点．
①求的值．
②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值．
【答案】(1)直线
(2)①或8；②或24
【详解】（1）解：∵（为常数），
∴对称轴为直线．
（2）解：①把代入得：，解得：或8．
②由①得：或8，
当时，，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且，
∴下方的平行线不能在顶点上方，
∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，
∴下方的直线经过顶点，此时与抛物线两交点的横坐标分别为和，
∴，两交点为，此时，为直线，
∴；
当时，，
∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且，
∴下方的平行线在顶点上方，
∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，
∴直线与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为且要尽可能靠近对称轴，
∴，即：直线与对称轴右侧的抛物线交点分别为，
∴．
综上，或24．
4．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（为常数）图象经过点．
(1)求二次函数表达式．
(2)过点（其中）与轴平行的直线交抛物线于，两点，若，求的值．
(3)设，二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得，
∴二次函数表达式为．
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
设点，则点，
∵，
∴
∵
∴,
∴，
当时，，
解得，
∴，
∵，
∴不合；
当时，
解得，
∴，符合．
综上，的值为．
（3）解：∵，
∴二次函数在的图象端点分别位于对称轴的两侧，
∵二次函数图象开口向下，直线在直线的上方，
∴当直线和二次函数图象相切时，
直线和二次函数图象两交点间的水平距离最大，
的值最大，
设直线和这一段图象切点为，
∴，
化简得．
∴，
解得，
∴另一条直线为．
∴当端点在直线上时，
设端点为，，
端点满足，
解得．
又，
故为使最大，
取．
故的最大值为6．
押题预测九 一次函数应用（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：12min
【改编题】某校组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图所示．
(1)求乙班返回时的速度．
(2)求的函数表达式．
(3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或
【详解】（1）解：∵，
∴乙班返回共用走完，
∴乙班返回时的速度为：．
（2）解：∵，
设的表达式为，把代入得：
，
解得：，
∴的表达式为．
（3）解：∵，
设的函数表达式为，则，
解得：，
∴的函数表达式为，
由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，
∴，
解得：．
∵，
设的函数表达式为，则
，
解得：，
∴的表达式为，
由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同，
∵的表达式为，
∴，解得：．
综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题出现，一次函数应用问题主要考查实际情境中的函数建模，如行程问题、销售利润问题、分段计费问题，同时也会考查函数图象的分析和自变量取值范围的确定，对学生的应用建模能力有一定要求。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示．
(1)完成这个光缆铺设工程用了多少天
(2)求乙队y关于x的函数关系式．
(3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天
【答案】(1)14天
(2)
(3)2天
【详解】（1）解：由图象得完成这个光缆铺设工程用了天；
（2）解：设乙队y关于x的函数关系式为，
把，代入得，
解得，
则乙队y关于x的函数解析式；
（3）解：，
原计划甲队y关于x的函数解析式，
甲、乙两队完成光缆工程需满足，
解得，
（天），
答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天．
2．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填表：
甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______
(2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式；
(3)①图中的值为___________；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值．
【答案】(1)40；160；240
(2)
(3)①144；②或或
【详解】（1）解：根据题意，当时，甲车的速度为，
∴甲车离开A地时，离A地的距离为，
由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和；
∴填表如下：
甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240
（2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为，
代入，得，则；
∵，
则当时，此时；
当，设乙车的与的函数关系式为，
代入和，得，
解得，
综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为；
（3）解：①由（2）可知，；
②令，
解得，
当时，两车相遇，
当时，甲车的速度为，
根据题意得：，
解得：
当时，甲、乙两车相距；
当时，
根据题意得：，
解得；
当时，
根据题意得：，
解得
综上所述，当或或时，两车相距．
3．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
【答案】(1)小丽，小明
(2)
(3)8
【详解】（1）解：小丽的速度：
小丽到达点A的时间为，
小明到达点A的时间为：，
小明的速度：；
（2）解：点B到点C所用时间为，
则点B的时间为，
点
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，，
则线段的函数表达式为；
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
∴，
离山庄的路程为．
4．（2026·浙江衢州·一模）如图1，为的直径，的周长为厘米．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为厘米/秒，点出发后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动（秒）时，点，与点之间较短的弧长分别为，．，与的函数图象如图2所示．
(1)求的值．
(2)当时，求关于的一次函数表达式．
(3)若点为图中两个函数图象的交点，求点的坐标，并求出此时点，点之间的劣弧长．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【详解】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，所以
．
（2）根据函数图象可知，当时，可设关于的一次函数表达式为
因为一次函数图象经过点和，可得
解得
所以关于的一次函数表达式为
（3）设当时，关于的一次函数表达式为．
因为函数图象经过和（，可得
解得
，
所以关于的一次函数表达式为．
根据题意，可得
解得
所以点C的坐标为．
．
押题预测十 四边形综合（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：15min
【改编题】如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作分别交于点H，N．
①求证：四边形为正方形；
②求证：；
【答案】(1)证明见解析
①证明见解析；②证明见解析；
【详解】（1）解：∵正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵四边形为正方形，
∴
∵，
∴，
∴．
∴四边形为正方形；
②证明：延长交于点K，
∵四边形为正方形，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题压轴题呈现，四边形综合问题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，常结合勾股定理、轴对称、最值问题综合设问，考查证明图形形状、求线段长度和面积，对学生的几何综合推理能力要求较高。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点．
(1)如图1，若，．
①求的度数．
②求证：．
(2)如图2，，点为中点，若，，求的长．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
【详解】（1）①解：连接、、，
，，
、，
，
即，
，
，
，
；
②证明：连接、、、、，
，
，
为的直径，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，，
是等腰三角形，
，
由①知，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）解：连接、、、，
四边形是平行四边形，
、，
为的中点、为的中点，
、，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形，
、，
，
，
、，
，
，
，
，
，
，
，
、，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
设、，
，
，
在和中，
，
，
、，
，
、，
在中，，
，
解得，
、、，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
．
2．（2026·浙江舟山·一模）如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，设，将沿折叠得到，连接并延长交于点．
(1)用含的代数式表示．
(2)求证：
①；
②．
(3)如图2，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
(3)
【详解】（1）解：∵菱形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
（2）证明：①∵菱形，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，延长交于，作于．
由（2）得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，．
在中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2026·浙江温州·模拟预测）已知菱形的面积为，．
(1)如图1，求菱形的边长．
(2)若点是射线上的一点（不与端点，重合），连接，．
①如图2，点关于的对称点为点，当点落在线段上时，求的长．
②如图3，求的最大值．
【答案】(1)10
(2)①；②
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
，
设，则，，
菱形的面积为，
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
（2）解：①点关于的对称点落在线段上，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
如图2，过点作于点，则，
由（1）知，，，
，
；
②如图3，过点作于点，过点作的垂线与的垂直平分线（点为垂足）相交于点，连接，，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
当，，三点共线时，的最大值为．
4．（2026·安徽·模拟预测）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
(1)如图，连接，当时，求证：；
(2)过点作的垂线交射线于点，连接，．
（）如图，求证：；
（）如图，当时，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（）证明见解析；
（）．
【详解】（1）证：连接，
是边的中点，
，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
为的中点，，，
中，，
，
点一定在线段的垂直平分线上，
故；
（2）（）证明：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形为正方形，是边的中点，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即；
（）解：由（1）可知，
，，
又，
，
，
，
，，
设，则，
，
又，
则有，
解得，
即，
．
押题预测十一 探究问题（解答题）
试题前瞻·能力先查
限时：12min
【新题型】【类比学习】
小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法：
即，所以．
【初步应用】
(1)请你完成下面的竖式计算．
(2)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中□、△代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
得出______，______．
【深入研究】
(3)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了：．（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解．
【答案】(1)见解析
(2)5，3
(3)见解析
【详解】（1）解：列式如下：
（2）解：仿照例题，得：，
∴，
则有，，
∴，；
（3）解：列式如下：
∴
，
∴将多项式可因式分解为．
考纲分析
从近五年浙江中考情况来看，本部分多以解答题压轴题呈现，探究问题主要考查规律探究、存在性问题、最值问题，常结合图形变换、代数式运算等情境，需要学生通过观察、预测、验证得出结论，同时也会用到分类讨论、转化等数学思想，对学生的创新思维与综合探究能力要求较高。
终极预测·精练通关
1．（2026·浙江杭州·一模）小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图．
推理过程：若接近于，则有，．例如，估算的近似值，此时，取，即，则．
(1)请用上述方法估算的值．
(2)在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同．
①请验证小金的发现．
②求取13或14时，所得近似值相同的无理数．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【详解】（1）解：由题意可得此时，取，即，
；
（2）①解：当，时，
；
当，时，
；
所以小金的发现正确；
②解：当时，
；
当时，
；
∴
解得，
．
2．（2026·浙江温州·一模）【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：．
【推导验证】
已知：如图,在中,记, ,．求证：的面积证明：过点A作于点D,设,则,∴,……
(1)请你继续完成上述推导．
(2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点A作于点D，
设,则，
∴，
，
，
，
解得，
∴，
∴
．
（2）解：假设, ,，代入得：
．
3．（2026·浙江·一模）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，，求的值．解：由完全平方公式：，因此．因为，，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)填空：若，，则 ；
【类比应用】
(2)若关于的方程满足，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：由完全平方公式：，
因此．
因为，，
所以；
（2）解：∵，且，
，
，
由完全平方公式可得：，，
，
∵，
4．（2026·广东·一模）【问题提出】
如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除．
【问题探究】
以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．
这个结论的论证过程表述如下：
．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除．
【类比探究】
判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征：
三位数 能否被7整除 特征
133 能 ，7能被7整除
224 能 ，14能被7整除
294 能 ，21能被7整除
148 不能 ，不能被7整除
(1)根据以上探究过程，提出预测：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除；
(2)证明这个预测的正确性．
【拓展应用】
结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除；
(3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值．
②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)①；②是的倍数，且是的倍数
【详解】（1）解：由题意得：一个三位数，如果可以被7整除，那么就能被7整除；
（2）解：∵，
，
∵是的倍数，
∴是的倍数时，那么就能被7整除，
即是的倍数时，那么就能被7整除；
（3）解：①设中前面的数字为，则可表示为，
∵，
∴当是的倍数时，能被整除，
∵为整数，
∴的最小值为，
∴的最小值为；
②：∵能被整除，
∴
∴是的倍数；
∵能被整除，
∴
∴是的倍数；
综上所述，当是的倍数，且是的倍数时，四位数，既能被整除，也能被整除．
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