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2025—2026学年浙教版七年级下学期期末素养达标卷(浙江专用)
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．将数据83，85，87，89，84，85，86，88，87分组，这一组的频数是（ ）
A．2 B．0.2 C．3 D．0.3
2．关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．3
3．如图．在三角形中，，把三角形沿直线向右平移后得到三角形，连接，以下．结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．春季花粉易引发过敏，某种花粉的直径约为0.0000092米，将数据0.0000092用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的值为（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
6．某景区在五一期间每日的人流量如图1所示，该景区的每日人流量占该地区每日总人流量的百分比如图2所示，下列说法错误的是（ ）
A．该景区的每日人流量占该地区总人流量的百分比先增加后减少
B．该景区在五一期间的每日人流量在逐日增加
C．该景区在5月3日人流量占该地区总人流量的百分比达到最高
D．该地区5月4日的总人流量比5月5日的总人流量多
7．设，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
8．将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，把三个大小相同的正方形甲，乙，丙放在边长为14的大正方形中，甲与丙的重叠部分面积记为，乙与丙的重叠部分面积记为，且均为正方形，正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为，若，且，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
10．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
…
则中，第三项系数为(　　)
A．45 B．50 C．55 D．60
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知有一个20个数据的数列中最大值为38，最小值为13；若组距是5，则将这些数据分为________组．
12．已知方程组，则的值为______．
13．已知，则分式的值为________．
14．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则______．
15．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）．
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________．
16．如图，射线，分别与直线交于点，．现将射线沿直线向右平移过点，若，，则的度数为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
18．解方程组．
(1)
(2)
19．先化简，再求值：，其中，，．
20．某校为响应国家“五育并举”的号召，开展了文化节活动，并对本次文化节学生最喜爱的节目类型进行了调查(A．配音，B．舞蹈，C．歌剧，D．皮影戏)．已知随机调查了m名学生(每名学生必选一种)，将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图解答以下问题：
(1)________，________；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)根据抽样调查的结果，请估算在全校7000名学生中，最喜爱“A．配音”或“C．歌剧”的学生共有多少名．
21．为丰富新学期校园文体生活，学校计划采购两类器材：A类：篮球，B类：羽毛球拍套装．根据预算，共需资金1636元．已知购买1个篮球和2套羽毛球拍套装共需236元；购买2个篮球和1套羽毛球拍套装共需208元．
(1)购买一个篮球和一套羽毛球拍套装分别需要多少元？
(2)若学校计划购买的篮球数量比羽毛球拍套装数量的2倍多3个，且全部预算资金恰好用完，则学校购买篮球、羽毛球拍套装各多少个？
22．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：__________；
(2)若a、b满足，求的值；
(3)已知（m为任意实数），求的最小值．
23．阅读例题和嘉嘉所做的习题及思路，完成下列问题：
例题：比较和的大小． 解：． 因为， 所以__________． 嘉嘉所做的习题：若，，比较和的大小． 思路：可设，再将和用含的代数式表示，化简后比较和的大小．
(1)例题中横线处应填__________．（填“”“”或“”）
(2)根据嘉嘉的思路完成习题的解答．
(3)应用嘉嘉的方法解决问题：若，求的值．
24．如图，，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若，，则 ；若，，则 ；
(2)如图2，试说明，；
(3)如图3，若，与相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A A D C C D A
1．C
本题主要考查了频数．根据题意可得这一组有3个数，即可求解．
解：根据题意得：这一组有3个数，
∴这一组的频数是3．
故选：C
2．B
根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值．
解：∵分式方程有增根，
∴最简公分母，解得，
即方程的增根为，
方程两边同乘，得，
展开整理得：，
移项化简得：，
将代入得，
解得．
3．D
根据图形平移的性质对各选项进行解答即可．
解：A、由平移的性质得，则，即，结论正确；
B、由平移的性质得，则，结论正确；
C、由平移的性质得，
∵，即，
∴，结论正确；
D、由题意得是的边长，为平移的距离，两者不一定相等，结论错误．
4．A
科学记数法的表示形式为，需满足，为整数，确定和的值即可求解．
解：．
5．A
根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可．
解：∵，
∴，
∴
．
6．D
本题考查条形图和折线图，从统计图中有效的获取信息，逐一进行判断即可．
解：A、由折线图可知，该景区的每日人流量占该地区总人流量的百分比先增加后减少，原说法正确，不符合题意；
B、由条形图可知：该景区在五一期间的每日人流量在逐日增加，原说法正确，不符合题意；
C、由折线图可知，该景区在5月3日人流量占该地区总人流量的百分比达到最高，原说法正确，不符合题意；
D、该地区5月4日的总人流量为（万人），该地区5月5日的总人流量（万人），故该地区5月4日的总人流量比5月5日的总人流量少，原说法错误，符合题意；
故选：D．
7．C
解：∵
，
又∵，
∴，，，，
∴，，，
∴正确的是②③．
8．C
由题意得，；由的度数求得，从而可判定①；由平行线的性质，则可求得，从而可判定②；由可判定③；由可得，则可判定④；
解：由题意得，；
∵，
∴，
∴，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴；故②错误；
∵，
∴
；
∴；故③正确；
∵，
即，
∴，
∴，
∴，
∴；故④正确；
综上，①③④正确．
9．D
设正方形甲，乙，丙的边长为，由正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为，且，大正方形边长为14，推出，解得，设正方形，的边长为，，从而得到，即①，再由，得，利用平方差公式可求得②，再利用完全平方公式得，，则，即得，最后根据阴影部分正方形的面积，代入数据计算即可求解．
解：设正方形甲，乙，丙的边长为，
正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为，且，大正方形边长为14，
∴，
解得．
设正方形，的边长为，，
∴，即①，
又，
，即，
②，
由①得：，
由②得：，
∴，
∴，
．
故选D．
本题主要考查二元一次方程的应用，平方差公式，完全平方公式，关键是能结合图形列出方程．
10．A
此题考查了数字的变化规律，根据题意得到第三项系数的规律即可解答，能够根据所给杨辉三角，观察得出系数的变化规律是解题的关键．
解：由题意可得，的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
，
的第三项系数为，
故选：A．
11．5
本题考查了组距与组数．先计算数据的极差，再通过极差除以组距确定分组数.，即可作答．
解：数据的极差，
∵组距是5，
∴
∴将这些数据分为5组．
12．3
两式相加，整体求出的值即可．
解：，
①+②得：，
整理得：，解得：．
13．
本题考查非负数的性质，分式的求值，根据非负性求出的值，代入分式进行计算即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
14．6
本题考查平方差公式与几何图形的面积，根据，得到，进行求解即可．
解：由图可知：，
∴，
∵，，
∴；
∴；
故答案为：6．
15．
本题考查二项式展开式的规律探索和应用．从给出的图中可以分析出，第二项系数为，且第二项的次数为，通过化简计算即可得出含项的系数．
由题意可得，含项是，所以含项的系数是．
16．
根据平移的性质得，然后利用平行线的性质求出，再根据平角的定义求出即可．
解：如图，
∵将射线沿直线向右平移过点，，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
17．(1)
(2)
(3)
（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式
．
18．(1)；
(2)．
（1）解：，
将②代入①得，
解得，
将代入②，得，
∴方程组的解为；
（2）解：整理得，
得，，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
19．，
解：
，
当，时，原式．
20．(1)100；35
(2)见解析
(3)大约3150名
本题考查了条形统计图和扇形统计图结合，用样本估计容量，读懂统计图，从不同的统计图中得到关键信息是解题的关键．
（1）根据条形统计图和扇形统计图里对应的数据，即可得到调查学生数即样本容量，再利用样本容量减去喜欢其余选项的人数，即可得到喜欢“D皮影戏”的人数；
（2）根据“A配音”人数1减去喜欢其余选项的人数的占比乘以样本容量，“C歌剧”人数其所占百分比乘以样本容量，补充条形统计图即可；
（3）根据调查中最喜爱“A配音”或“C歌剧”的学生占比乘以该校的总人数即可得到答案．
（1）解：调查学生数为：名
D皮影戏占比为：，
∴ ．
故答案为：100，35；
（2）A配音人数为：名，
C歌剧人数为：；
（3）名，
所以，最喜爱“A配音”或“C歌剧”的学生共有3150名．
21．(1)购买一个篮球需要60元，购买一套羽毛球拍套装需要88元
(2)购买篮球17个，羽毛球拍套装7套
（1）设购买一个篮球需要x元，购买一套羽毛球拍套装需要y元，根据“购买1个篮球和2套羽毛球拍套装共需236元；购买2个篮球和1套羽毛球拍套装共需208元”列方程组求解即可；
（2）设购买羽毛球拍套装a套，根据“共需资金1636元”列方程求解即可．
（1）解：设购买一个篮球需要x元，购买一套羽毛球拍套装需要y元，
∵购买1个篮球和2套羽毛球拍套装共需236元；购买2个篮球和1套羽毛球拍套装共需208元，
∴，
解得：，
∴购买一个篮球需要60元，购买一套羽毛球拍套装需要88元；
（2）解：设购买羽毛球拍套装a套，
∵购买的篮球数量比羽毛球拍套装数量的2倍多3个，
∴购买的篮球个，
∵共需资金1636元，全部预算资金恰好用完，
∴，
解得：，
∴，
∴购买篮球17个，羽毛球拍套装7套．
22．(1)
(2)9
(3)
此题考查了非负数的性质，整式的加减运算的应用，完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得，，进而可得的值；
（3）用减得，利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可；
（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴
∴的最小值为．
23．(1)
(2)
(3)
（1）根据题意可得，则；
（2）设，则，据此仿照题意求解即可；
（3）设，，则，，据此求出x、y的值即可得到答案．
（1）解：∵，
∴，
∴
（2）解：设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵，
∴，
∴，
，
∴．
24．(1)；
(2)见解析
(3)，见解析
（1）过点E作，根据平行线的性质证明，再根据具体角度，求出结果即可；
（2）过点 E 作，根据平行线的性质求出，，即可得出答案；
（3）根据解析（1）和（2）的结论，进行求解即可．
（1）解：过点E作，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当，时，，
当，时，．
（2）证明：过点 E 作，如图所示：
则，
∵，
∴
∴，
∴
．
（3）解：，
理由：设，，则，，
∴，，
由 （1）得：，
由（2）得：，
∴，
∴
．

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