资源简介

综合与实践
进位制的认识与探究
（第21课时）导学案
2026--2027学年人教版七年级数学上册
班级：________ 姓名：________ 日期：________
一、学习目标
【知识技能】
1. 理解进位制的概念，知道十进制与二进制的区别与联系
2. 掌握十进制数与二进制数相互转化的方法（短除法、按权展开法）
3. 了解八进制、十六进制及其在计算机中的应用
【核心素养】
1. 数学抽象：从生活中提炼进位制的数学模型
2. 运算能力：掌握不同进位制之间的转换技能
3. 应用意识：体会进位制在计算机科学中的实际应用
4. 数据分析：解读进位制对照表，归纳转换规律
二、学习重难点
【重点】十进制与二进制之间的相互转化
【难点】理解位值制原理，掌握短除法竖式的规范书写
三、情境导入
【情境1】计算机只认识0和1
你知道吗？世界上所有的电子设备——手机、电脑、计算器——它们内部都只认识两个数字：0和1！
问题1：为什么计算机要用二进制？它和我们的十进制有什么关系？
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【情境2】古代的计数方式
在没有数字的远古时代，人们用结绳记事来计数。每打一个结代表一个事物，这就是最原始的"满一进一"思想。
问题2：算盘是中国古代的伟大发明，它用什么来表示数？它和进位制有什么关系？
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【情境3】密码与编码
在计算机中，每一个英文字母、汉字、标点符号都可以用一串0和1表示，这就是编码。
问题3：你知道"Hello"在计算机中是怎么表示的吗？为什么要学习进位制？
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学法提示：本课是"综合与实践"活动课，重在探究与实践！让我们一起探索数字王国的奥秘。
四、合作探究
探究点1：进位制的概念
【自主学习】阅读课本，完成以下问题：
问题1：什么是进位制？什么叫"满十进一"？你能举出一个生活中的例子吗？
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问题2：十进制的基数是______，基本数字有______个，分别是______。
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问题3：二进制的基数是______，基本数字有______个，分别是______。
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【探究】观察进位制对照表，归纳规律：
图1：常用进位制对照表（0-15）
问题4：在二进制中，为什么没有数字"2"？当满了"2"时该怎么办？
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问题5：观察二进制数，从右往左，每一位上的"1"代表十进制的多少？（提示：1, 2, 4, 8, 16...）
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探究点2：十进制转二进制（短除法）
【例题】将十进制数13转换为二进制数。
图2：十进制转二进制——短除法流程图
【方法总结】
短除法步骤：
① 用2连续去除十进制数；
② 记录每一次的余数（0或1）；
③ 一直除到商为0为止；
④ 余数从下往上读取，就是二进制结果。
形象记忆：短除法就像"剥洋葱"，一层一层剥开，每次留下一个数字（余数）！
【练习】用短除法将下列十进制数转为二进制：
(1) 10 = ______ ；(2) 25 = ______ ；(3) 42 = ______
________
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探究点3：二进制转十进制（按权展开法）
【例题】将二进制数1101转换为十进制数。
图3：二进制转十进制——按权展开法
【方法总结】
按权展开法步骤：
① 写出二进制数的每一位；
② 标出每位数字的权值（从右往左：2 , 2 , 2 , 2 ...）；
③ 每位数字乘以对应的权值；
④ 把所有乘积相加，得到十进制结果。
【练习】用按权展开法将下列二进制数转为十进制：
(1) 101 = ______；(2) 1111 = ______；(3) 10010 = ______
________
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探究点4：其他进位制简介
【八进制】
基数为8，使用0-7八个数字。满8进1。
问题1：观察对照表，十六进制的A、B、C、D、E、F分别代表十进制的多少？
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【十六进制】
基数为16，使用0-9和A-F共16个符号。满16进1。
问题2：十六进制数1A对应的十进制数是多少？（提示：1×16 + 10×16 = ）
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图4：进位制的历史演变
【应用拓展】
二进制：计算机内部、逻辑电路
八进制：Unix/Linux文件权限
十六进制：网页颜色代码（如#FF0000表示红色）
五、典型例题
例1 将十进制数37转换为二进制数。
思路：使用短除法，用2连续除37，记录余数，直到商为0。
解：
37÷2=18......1
18÷2=9......0
9÷2=4......1
4÷2=2......0
2÷2=1......0
1÷2=0......1
余数从下往上：100101，所以37=100101
例2 将二进制数10110转换为十进制数。
思路：按权展开，从右往左标权值：2 , 2 , 2 , 2 , 2 ...
解：10110 = 1×2 + 0×2 + 1×2 + 1×2 + 0×2
= 16 + 0 + 4 + 2 + 0
= 22
例3 计算二进制加法：101 + 11 = ______
思路：按二进制加法规则：0+0=0，0+1=1，1+1=10（进位）
解：
101
+ 011
------
1000
所以 101 + 11 = 1000
【变式训练】
1. 将十进制数19转换为二进制：19=______
________
2. 将二进制数1001转换为十进制：1001 =______
________
3. 计算：110 + 101 = ______
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六、实践探究
【活动1：进制转换器设计】
小组合作，设计一个简易的十进制转二进制流程图（或程序框图）。
步骤：① 输入一个十进制数N ② 判断N是否为0 ③ 用2除N，记录余数 ④ 更新N ⑤ 输出二进制结果
________
________
【活动2：密码破译挑战】
下面是一些字符的二进制编码，尝试破译它们（提示：查阅ASCII码表）：
01001000 = H（对应十进制72）
01100101 = ______
01101100 = ______
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【活动3：趣味计算】
计算下列二进制算式的结果：
(1) 1 + 1 = ______
(2) 10 + 1 = ______
(3) 11 + 1 = ______
(4) 111 + 1 = ______
________
学法提示：二进制加法和十进制加法类似，只是"满2进1"，而不是"满10进1"！
七、达标检测
A组 基础巩固（必做）
1. 下列进位制中，基数最小的是（ ）
A. 二进制 B. 八进制 C. 十进制 D. 十六进制
2. 十进制数13用二进制表示为（ ）
A. 1101 B. 1011 C. 1110 D. 1001
3. 二进制数101 用十进制表示为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 在二进制中，1+1的结果是（ ）
A. 2 B. 10 C. 11 D. 1
5. 完成进制转换： = ______
B组 能力提升（选做）
6. 计算二进制加法：1101 + 101 = ______
________
7. 十六进制数1F对应的十进制数是______。（提示：1×16 + 15×16 ）
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8. 若一个二进制数末尾是0，将它乘以2后，末尾会变成______。
________
9. 观察规律：1 =1，11 =3，111 =7，你能发现什么规律？
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C组 拓展探究（挑战）
10. 某同学设计了一个密码：用出生年份（2010年）的二进制编码作为密码的一部分。（1）2010的二进制表示是什么？（2）如果密码的二进制最后四位是"0101"，对应的十进制是多少？
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11. 在计算机中，一个字节（Byte）由8个二进制位（bit）组成，能表示0-255的数。（1）一个字节最多能表示多少个不同的数？（2）如果用2个字节（16位），最多能表示多少个数？
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中考链接
1. （2024·北京）将二进制数1011 转化为十进制数，正确的是（ ）
A. A. 8 B. B. 10 C. C. 11 D. D. 12
2. （2024·上海）十进制数25用二进制表示为______ 。
3. （2025·模拟）阅读理解：计算机中的颜色常用十六进制表示，如#FF0000表示红色，#00FF00表示绿色。如果#0000FF表示蓝色，那么#FFFF00表示什么颜色？______
学法提示：FF在十六进制中等于255，表示该颜色取最大值。
八、课堂小结
【知识结构图】
转换类型 方法 关键点
十进制→二进制 短除法 除以2，取余数
从下往上读
二进制→十进制 按权展开法 每位数字×权值
求和
二进制加法 竖式计算 满2进1
借1当2
其他进位制 类比迁移 八进制满8进1
十六进制满16进1
【我的收获】
1. 进位制的核心是：__________________
________
2. 十进制转二进制的方法：__________________
________
3. 二进制转十进制的方法：__________________
________
4. 本节课让我最感兴趣的是：__________________
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九、课后反思
1. 本节课我学会了________________________________________________
________
2. 我还不明白的地方是____________________________________________
________
3. 我想进一步探究的问题是：________________________________________
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4. 给本节课打个分（1-10分）：______分，我的收获是___________________
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参考答案
合作探究要点归纳答案
探究点1：进位制的概念
问题1：
- 什么是进位制：进位制是一种计数规则，用一组固定的数字符号和“逢基数进位”的规则来表示数。
- “满十进一”：指在十进制中，当某一位的数达到10时，就向前一位进1，本位变为0。
- 生活例子：数数时，个位从0数到9，再加1个位满10，向十位进1（即9+1=10）；或者人民币10个1角换成1元。
问题2：
- 基数：10
- 基本数字个数：10个
- 分别是：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
问题3：
- 基数：2
- 基本数字个数：2个
- 分别是：0, 1
问题4：
- 原因：二进制只有0和1两个基本数字，最大数字就是1，因此没有“2”。
- 满2处理：当某一位满2时，向前一位进1，本位变为0，称为“满二进一”。例如：1+1=10 。
问题5：
- 从右往左（最低位开始），每一位上的“1”依次代表十进制的：1, 2, 4, 8, 16, …
即第1位（右1）是20=1，第2位是 21=，第3位是 22=4，第4位是23=8，以此类推。
探究点2：
(1) 10 = 10102
(2) 25 = 110012
(3) 42 =1010102
探究点3：
(1) 1012 = 1×22 +0×21 + 1×20 = 4+0+1 = 5
(2)11112 = 8+4+2+1 = 15
(3) 100102 = 1×24 + 0×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 16+0+0+2+0 = 18
探究点4：其他进位制简介
问题1：观察对照表，十六进制的A、B、C、D、E、F分别代表十进制的多少？
- A = 10
- B = 11
- C = 12
- D = 13
- E = 14
- F = 15
问题2：
- 1A16 = 1×161 + 10×160 = 16 + 10 = 26
探究1. 进位制是按进位方式计数的制度，"满十进一"是指在十进制中，当某一位的数达到10时就向高位进1。例如：10个苹果装一箱，满10箱就进一位。
探究2. 十进制基数是10，基本数字有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
探究3. 二进制基数是2，基本数字有2个：0、1。
探究4. 二进制中只有0和1两个数字，没有数字"2"。当满2时，就像十进制满10进1一样，二进制要"满2进1"。
探究5. 从右往左，二进制每位"1"代表：1=2 , 2=2 , 4=2 , 8=2 , 16=2 ...
探究6. 1A = 1×16 + 10×16 = 16 + 10 = 26
典型例题答案
例1. 37 = 100101
例2. 10110 = 22
例3. 101 + 11 = 1000
变式1. 19 = 10011
变式2. 1001 = 9
变式3. 110 + 101 = 1011
实践探究答案
活动1. 设计流程图：开始→输入N→判断N>0？→是→N÷2→记录余数→否→输出余数（倒序）→结束
密码破译. 01001000=H；01100101=e；01101100=l
趣味计算1. 1+1=10
趣味计算2. 10+1=11
趣味计算3. 11+1=100
趣味计算4. 111+1=1000
达标检测答案
A1. A（二进制基数最小为2）
A2. A（13=1101 ）
A3. C（101 =1×2 +0×2 +1×2 =5）
A4. B（1+1=10，满2进1）
A5. 27=11011
B6. 1101 +101 =10010 （进位注意）
B7. 1F =31（1×16+15=31）
B8. 末尾变成0（乘2后原数左移一位）
B9. 规律：n个1的二进制数 = 2 -1，如111 =7=2 -1
C10. （1）2010的二进制：2010=11111011010 （2）0101 = 5
C11. （1）一个字节可表示0-255，共256个不同的数（2）2个字节可表示0-65535，共65536个数
中考链接答案
1. C（1011 =1×2 +0×2 +1×2 +1×2 =8+0+2+1=11）
2. 11001（25÷2的余数倒序）
3. 黄色（FF=255, FF=255, 00=0，即红+绿=黄）

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