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江苏泰州市姜堰区2026年春学期九年级第二次学情调查数学试题
一、单选题
1．等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（ ）
A． B． C． D．
2．下列电车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为95分，“综合素养”为90分．若两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（）
A．91 B．92 C．93 D．94
5．如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为( )
A． B． C． D．
6．已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．当，时， B．当，时，
C．当，时， D．当，时，
二、填空题
7．单项式的次数是___________．
8．分式有意义的条件是______．
9．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为_____cm2．
10．命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”）
11．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图：
据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到小数点后一位）．
12．如图，沿方向平移后得到，已知，，则______．
13．已知二次函数图像经过，则______．
14．已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过______象限．
15．如图，内接于，于点，若为的内心，则______．
16．如图，矩形中，，，为的中点，为射线上一动点，为的中点，若直线直线，则______．
三、解答题
17．计算与解不等式：
(1)计算：；
(2)解不等式：．
18．为提升学生对健康知识的掌握，某校开展了校园健康知识竞赛，现从七、八两个年级分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行了收集、整理、描述、分析（竞赛成绩得分用表示，且为整数，分为四个等级：A．；B．；C．；D．；E．），下面给出了部分信息：
①七年级抽取学生成绩的条形统计图
②八年级抽取学生成绩的扇形统计图
③七年级学生在D等级的成绩数据：80，81，82，84，84，85，86，88；
④八年级学生在D等级的成绩数据：82，84，84，84，84，85，87，89；
⑤七、八年级学生成绩的平均数、众数、中位数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 80 84
八年级 78 83
(1)上述图表中的 ， ， ；
(2)该校七年级共有600名学生，八年级共有700名学生，全部参加了此次知识竞赛，请你估计两个年级知识竞赛成绩不低于80分的人数之和．
19．甲、乙2名学生各自随机选择到A、B、C三个书店购书．
(1)甲在A书店购书的概率为 ；
(2)用列表或画树状图的方法，求甲、乙2名学生不在同一书店购书的概率．
20．如图，小明从点出发，沿着坡角为的坡道向上走了到达点（），再沿着坡度为的坡道向上走了到达点（）．求小明沿垂直方向升高的高度（即的长）．（结果精确到．参考数据：，，，）
21．某练习上有这样一道题：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等，乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度．下面是小潘和小罗的解答过程：
小潘的解答（全部）： 小罗的解答（部分）：
解：设甲队每天修路的长度为米． 根据题意，得：， 解这个方程，得， 答：甲队每天修路70米． 解：设甲队修路700米所用时间为天． ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………
(1)批阅过程中，小潘被扣分了，你认他被扣分的主要原因是： ；
(2)批阅过程中，小罗得到了满分，请写出小罗的解答过程．
22．四边形中，．
(1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上；
(2)如图2，连结、，若，求证：．
23．阅读并完成相应的任务
证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，．（理由1 ） 在中，，（理由2 ） ．即．
(1)任务1：填空：理由1： ；
理由2： ；
(2)任务2：应用：在中，，，求证：．
24．如图，中，，，为中点，经过、、三点，为上异于A、C的一点，连接．
(1)在图1中，用圆规和没有刻度的直尺在延长线上求作点，使；（保留作图痕迹）
(2)如图2，若为的中点，．在（1）的条件下，求的长．
25．已知二次函数图像的顶点在二次函数（）图像上，令．
(1)若函数的最大值为，求的值；
(2)判断使成立的的个数，并说明理由；
(3)当时，判断下列结论中正确的有哪些，并对其中一个正确的结论说明理由．
①先随着增大而增大，再随着增大而减小；
②若的值始终大于，则的取值范围为；
③若，则的最大值小于．
26．如图，正方形中，，点为延长线上一动点（不与重合），以为底在上方作，，，点到直线、直线的距离为，，记，中的最小值为，若，则．
(1)若．
①当时，求的值；
②当时，求的值；
(2)若取某个值时，对应的值的个数记为．
①当，，则 ；
②若，，讨论所有可能的值并写出对应的的取值范围．
参考答案
1．A
解：∵已知高于海平面标注为，即规定高于海平面用正数表示，
∴低于海平面应用负数表示，标注为．
2．C
解： A、不是中心对称图形，所以本选项错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，所以本选项错误，不符合题意；
C、是中心对称图形，所以本选项正确，符合题意；
D、不是中心对称图形，所以本选项错误，不符合题意．
3．D
【详解】A．，故本选项原说法不符合题意；
B．，故本选项原说法不合题意；
C．，故本选项原说法不合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
4．C
解：∵综合成绩为两项成绩分别乘以对应权重的和，
∴小康的综合成绩为：．
5．D
解：∵，
∴，
∴，
∴．
6．B
解：∵ 点，在反比例函数的图象上，
∴ ，，
选项A：当，时，， ∴ ，即，A错误；
选项B：当，时，， ∴ ，，即，B正确；
选项C：当，时，， ∴ ，即，C错误；
选项D：当，时，， ∴ ，，即，D错误，
综上，答案为B．
7．3
解：对于单项式，的指数是，的指数是，则次数为．
故答案为： ．
8．
解：分式有意义
解得
故答案为．
9．
解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π 5=10π，∴圆锥的侧面积= 10π 2=10π（cm2）．
故答案为10π．
10．真
解：，
，都为正数，
根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，
可得，，
又，，
因此命题“若，则”是真命题．
11．
解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，投中的概率约为，结果保留到小数点后一位为，
故答案为：．
12．
解：∵，，
∴，
∴．
13．2026
解：将点代入，得 ，
整理得，即，
∴．
14．一、二、四
解：不等式的解集是，
，且当时，，即一次函数与轴交于点，
将代入得：，
整理得，
，
∴，
对于一次函数，，，根据一次函数的性质，其图象一定经过第一，第二，第四象限．
15．
解：如图，连接，
∵于点，
∴，
∴，
∵为的内心，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．2或14
解：如图，当在的左边，过作于，记与的交点为，
∵矩形，，，为的中点，
∴，，，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
如图，当在的右边时，
同理：，设，则，，
同理：，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
综上：的长度为或．
17．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18．(1)，，
(2)775
【详解】（1）七年级共抽取20名学生，中位数是从小到大排序后第10、11个数据的平均数，
根据条形图：人，因此第8~15个数据都在D等级，
即第10个数据是82，第11个数据是84，；
八年级成绩中位数为83，第10个第11个成绩的平均数为83，将成绩从大到小排，所以第10和第11成绩分别为84，82，所以为3人，
又因为D等级有8人，A，B，C占比相同，人数一样，为，
所以，所以，
八年级学生在D等级的成绩数据：82，84，84，84，84，85，87，89，
可知出现4次，出现次数最多，其它等级最多出现3次，故；
所以，，；
（2）七年级抽取的20人中，成绩不低于80分（即等级）的人数为：人，
七年级共有人，估计不低于80分人数为：人，
八年级抽取20人中，成绩不低于80分（即等级）的人数为：人，
八年级共有人，估计不低于80分人数为：人，
两个年级总人数：人，
答：两个年级知识竞赛成绩不低于80分的人数之和为775．
19．(1)
(2)
（1）解：甲学生到书店购书有A、B、C，3种选择，故到A书店的概率为．
（2）解：画树状图，
如图共有9种等可能性结果．甲、乙2名学生不在同一书店购书的结果有6种，
∴甲、乙2名学生不在同一书店购书的概率为．
20．
解：如图，过点作于点，作于点，
在中，，
．
在中，，
．
∵，
∴，解得．
．
21．(1)分式方程未检验
(2)
解得：
经检验：是原方程的解
答：甲队每天修路的长度70米．
（1）解：他被扣分的主要原因是分式方程未检验．
（2）略
22．(1)证明：连接，
，且经过、、三点，
为直径，
，
点在上．
(2)证明：取中点O，连接，，
∵，
∴
，
垂直平分
．
【详解】（1）略
（2）略
23．(1)等角对等边；三角形两边之和大于第三边
(2)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由“大角对大边”可得．
【详解】（1）证明：以为顶点作，
，
．（理由1等角对等边）
在中，，（理由2三角形两边之和大于第三边）
．
即．
（2）略
24．(1)解：所求图形如图所示．
(2)4
【详解】（1）作图略．
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
由作图有，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
即，
∵
∴
∵，为中点，
∴，
，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
∴．
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．(1)
(2)的个数为，
理由：由()得的顶点为，
代入得：，
整理得，
，
代入得，，
令，
整理得一元二次方程，
因为，
所以，
，
因此方程有个不相等的实根，即满足的的个数为，
的个数为．
(3)①③正确，
理由：①正确：
由（）得
∵，
∴，
∴对称轴在区间内，开口向下的二次函数，
∴对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小；
②错误，取值范围是，不是，
理由：当时，恒成立，
当时，;
当时，,
要在恒成立，需时,即
∴
当时，，
在区间内也成立，故，不是，
因此结论②错误；
③若，则
（1）解： ，
∵最大值为，，
，
解得；
（2）略
（3）略
26．(1)①；②
(2)①1；②当时，；当时，；当时，
（1）解：①如图，过点作于点，交的延长线于点，
，
．
．
在中，，
．
在正方形中，，
∴平行线与之间的距离为4．
．
，
．
②当时，点在线段的延长线上，
如图，过点作于点，
则，
在中，，
．
，
．
（2）解：①当，，则取某个值时，对应的值的个数为2，所以当点在直线下方时只有一种情况，即；当点在直线上方时只有一种情况．
当点在直线下方时，如图，过点作于点，交的延长线于点，
，
．
∴．
在中，，
．
．
．
，
，解得，
．
当点在直线上方时，
如图，过点作于点，交的延长线于点，
若，则，
∵，缩此种情况不满足题意，
∴，
∴，
∴，
∴，满足题意．
综上所述，当时，对应的值的个数为2．
②由①知，当点在直线下方时，
，；
当点在直线上方时，如图，过点作于点，交的延长线于点，
同理可得，，．
由①得，当时，，
则，
∴．
∴，解得，符合要求．
∴当时，．
当时，
若，则，
∵，
，
不满足题意，舍去．
则，∴．
∵，
∴．
．
不满足题意，舍去．
若，则．
∵，
，
不满足题意，舍去．
若，则，
∵，
∴，
∴，符合题意．
∴符合条件的只有一种情况．
∴当时，．
当时，
若，则，
∵，
，符合题意．
若，则．
∵，
∴．
，符合题意．
∵，
．
．
∴，
∴，则，
∵，
∴，符合题意．
∴当时，．
综上所述，当时，；当时，；当时，．

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