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第54课时　直线的方程
[考试要求]　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T2改编)已知直线l的一个方向向量为n＝(1，－)，则直线l的倾斜角为 (　　)
A．
2．(人教A版选择性必修第一册P55练习 T1改编)直线l经过点(－，则直线l的方程为 (　　)
A．x－＝0
B．x－y＋＝0
C．x－y＋3＝0
D．x＋＝0
3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T10改编)如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＋y＝___________．
5．(北师大版选择性必修第一册P13练习T3(2)改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．
1．直线的方向向量
(1)设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，___________与直线l___________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为__________________．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的___________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝___________(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝__________________．
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 ____________________ 不含直线x＝x0
斜截式 ____________________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 ____________________ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ____________________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
[二级结论]
1．特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0；
(2)y轴：x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx．
2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量v＝(－B，A)．
3．直线的方向向量v＝(m，n)(m≠0)，则直线斜率k＝．
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
α 0≤α< <α<π
k k≥0 不存在 k<0
2．截距可正，可负，也可以是零，而距离是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x＝ty＋b．
考点一　直线的倾斜角与斜率
[典例1]　(1)设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是 (　　)
A．[0，π] B．
C．
(2)(2025·湖南长沙模拟)设点A(4，－3)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 (　　)
A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－
C．－4≤k≤1 D．－≤k≤1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：斜率取值范围的两种求法
数形 结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数 图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分两种情况讨论．一般要用到y＝tan x的单调性，y＝tan x在上都是单调递增的．
[巩固迁移]
1．已知直线l的方程为y＝(－a2＋1)x＋b，则直线l的倾斜角的取值范围为 (　　)
A．
C．
2．(多选)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有 (　　)
A．直线l在y轴上的截距是2
B．直线l的斜率为
C．直线l不经过第三象限
D．直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
考点二　直线方程的求法
[典例2]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：求直线方程的两种方法
[巩固迁移]
3．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为___________．
4．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为___________．
考点三　直线方程的综合应用
[典例3]　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【深度思考1】　在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
【深度思考2】　本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式．
[巩固迁移]
5．若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为 (　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
6．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为___________．
第54课时　直线的方程
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．C　2．A　3．B　4.1
5．9x－y＝0或x＋y－10＝0
No2．储备知识要点
2．(1)x轴正向　向上　(2)0°≤α<180°
3．(1)正切值　tan α　(2)
4．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　＝1　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)C　(2)B　[(1)当sin θ＝0时，方程为x＝－2，倾斜角为．当sin θ≠0时，直线的斜率k＝tan α＝，所以tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即α∈．综上，α∈．
(2)依题意，直线PA，PB的斜率分别为kPA＝，kPB＝＝1．如图所示，
若直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，
则l的斜率k满足k≤kPA＝－或k≥kPB＝1，
即l的斜率k的取值范围是k≥1或 k≤－．故选B．]
巩固迁移
1．D　2．ACD
考点二
典例2　解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得直线BC的方程为，即x＋2y－4＝0．
(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2．
BC边的中线AD所在直线过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为＝1，即2x－3y＋6＝0．
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则边BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2．由(2)知，点D的坐标为(0，2)，则所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0．
巩固迁移
3．2x＋3y－5＝0
4．2x＋3y＝0或x＋y－1＝0　[当直线经过原点时，此时直线方程为2x＋3y＝0，且在x轴、y轴上的截距均为0，符合题意．
当在x轴、y轴上截距均不为0时，设直线方程为，
将＝1，解得a＝1，故直线方程为x＋y－1＝0．
所以所求直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0．]
考点三
典例3　解：法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0，1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)
＝×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
法二：设直线l：＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，
则1＝，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为×8＝4，
当且仅当时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＝1，
即x＋2y－4＝0．
深度思考1
解：由本例法二知，＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·，
当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋＝0．
深度思考2
解：法一：由本例法一知A，B(0，1－2k)(k<0)，
所以|MA|·|MB|＝
＝2×≥4．
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，＝1．所以|MA|·|MB|＝|＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
巩固迁移
5．C
6．4　[因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，
所以a＋b＝ab，
又因为a>0，b>0，所以＝1，
所以直线＝1在x轴与y轴上的截距之和为
b＋a＝(b＋a)
≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4．]
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第54课时
直线的方程
[考试要求]
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
以题引理·激活思维
1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T2改编)已知直线l的一个方向向量为n＝(1，－)，则直线l的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[由题意，直线l的斜率为－，
结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为．故选C．]
2．(人教A版选择性必修第一册P55练习 T1改编)直线l经过点(－，0)，倾斜角是直线x＝－1的倾斜角的，则直线l的方程为(　　)
A．x－＝0 B．x－y＋＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋＝0
√
A　[因为直线x＝－1的倾斜角为90°，所以直线l的方程为y－0＝
tan 30°[x－(－)]，即x－＝0，故选A．]
3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T10改编)如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
B　[因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，将直线方程Ax＋By＋C＝0化为y＝－，由AC<0，且BC>0，可得直线的斜率k＝－>0，在y轴上的截距为－<0，所以直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选B．]
4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＋y＝_____________．
1　[因为A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是斜率k＝2的直线上的三个点，所以kAB＝kAC＝2，所以＝2，解得x＝4，y＝－3，则x＋y＝1．]
1
5．(北师大版选择性必修第一册P13练习T3(2)改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_______________________．
9x－y＝0或x＋y－10＝0　[当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0．]
9x－y＝0或x＋y－10＝0
1．直线的方向向量
(1)设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，___________与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为________________．
x轴正向
向上
0°≤α<180°
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝__________(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝_____．
正切值
tan α
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 _______________ 不含直线x＝x0
斜截式 ____________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 ______________ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
名称 方程 适用范围
截距式 _____________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 ________________ ________________ 平面直角坐标系内的直线都适用
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
[二级结论]
1．特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0；
(2)y轴：x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx．
2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量v＝(－B，A)．
3．直线的方向向量v＝(m，n)(m≠0)，则直线斜率k＝．
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
α 0≤α< <α<π
k k≥0 不存在 k<0 2．截距可正，可负，也可以是零，而距离是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x＝ty＋b．
考点一　直线的倾斜角与斜率
[典例1]　(1)设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是 (　　)
A．[0，π] B．
C． D．
精研考点·提升素养
√
(2)(2025·湖南长沙模拟)设点A(4，－3)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－
C．－4≤k≤1 D．－≤k≤1
√
(1)C　(2)B　[(1)当sin θ＝0时，方程为x＝－2，倾斜角为．当sin θ≠0时，直线的斜率k＝tan α＝，所以tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即α∈．综上，α∈．
(2)依题意，直线PA，PB的斜率分别为kPA＝，kPB＝＝1．如图所示，
若直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，
则l的斜率k满足k≤kPA＝－或k≥kPB＝1，
即l的斜率k的取值范围是k≥1或 k≤－．
故选B．]
名师点评：斜率取值范围的两种求法
数形 结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数 图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分两种情况讨论．一般要用到y＝tan x的单调性，y＝tan x在上都是单调递增的．
[巩固迁移]
1．已知直线l的方程为y＝(－a2＋1)x＋b，则直线l的倾斜角的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[直线l的斜率为k＝－a2＋1≤1，设该直线的倾斜角为θ，则k＝tan θ≤1，
又因为0≤θ<π，当k<0时，则θ∈，当k∈[0，1]时，则θ∈．即θ∈．故选D．]
2．(多选)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(　　)
A．直线l在y轴上的截距是2
B．直线l的斜率为
C．直线l不经过第三象限
D．直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
√
√
√
ACD　[对于A，直线方程可变为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2，故A正确；
对于B，斜率k＝－，故B错误；
对于C，由直线方程y＝－x＋2可知，直线l不经过第三象限，故C正确；
对于D，该直线的一个方向向量为(1，－)，与v＝(－，3)平行，故D正确．故选ACD．]
【教用·备选题】
1．已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为(　　)
A．
√
A　[由题意得，直线l的斜率k＝，即直线l的倾斜角为．故选A．]
2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_____________，_____________．
－3
　－3　[如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，
则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，
直线OC的倾斜角为θ＋45°，
故kOA＝tan(θ－45°)＝，
kOC＝tan(θ＋45°)＝＝－3．]
考点二　直线方程的求法
[典例2]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
[解]　(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得直线BC的方程为，即x＋2y－4＝0．
(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2．
BC边的中线AD所在直线过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为＝1，即2x－3y＋6＝0．
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则边BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2．由(2)知，点D的坐标为(0，2)，则所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0．
名师点评：求直线方程的两种方法
[巩固迁移]
3．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为__________________．
2x＋3y－5＝0　[联立解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1，1)．
∵直线的方向向量v＝(－3，2)，∴直线的斜率k＝－．
则直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0．]
2x＋3y－5＝0
4．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为________________________．
2x＋3y＝0或x＋y－1＝0　[当直线经过原点时，此时直线方程为2x＋3y＝0，且在x轴、y轴上的截距均为0，符合题意．
当在x轴、y轴上截距均不为0时，设直线方程为，
将＝1，解得a＝1，故直线方程为x＋y－1＝0．所以所求直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0．]
2x＋3y＝0或x＋y－1＝0
考点三　直线方程的综合应用
[典例3]　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
[解]　法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0，1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)＝×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
法二：设直线l：＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，
则1＝，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×8＝4，
当且仅当时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＝1，即x＋2y－4＝0．
【深度思考1】　在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
[解]　由本例法二知，＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋，
当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋＝0．
【深度思考2】　本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
[解]　法一：由本例法一知A，B(0，1－2k)(k<0)，
所以|MA|·|MB|＝
＝2×≥4．
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，＝1．所以|MA|·|MB|＝||·|＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
名师点评：处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式．
[巩固迁移]
5．若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
√
C　[若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限；
若a≠0，将l的方程转化为y＝－，
因为l经过第四象限，
所以－<0或解得a<0或a>．
综上，a的取值范围为(－∞，0)∪．]
6．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为_____________．
4　[因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab，
又因为a>0，b>0，所以＝1，
所以直线＝1在x轴与y轴上的截距之和为
b＋a＝(b＋a)
≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4．]
4
【教用·备选题】
1．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4．当0　[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，
直线l1在y轴上的截距为2－a，
直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝．
又02．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
[解]　(1)证明：法一：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线l恒过定点(－2，1)．
(2)法一：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有
解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)．
法二：直线l方程可化为y＝kx＋1＋2k，
∴解得k≥0，
∴k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k>0．
∵S＝·|OA|·|OB|＝·|1＋2k|
＝≥×(2×2＋4)＝4，
当且仅当k>0且4k＝，即k＝时等号成立，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
一、单项选择题
1．(2026·江苏苏州模拟)已知直线mx－y＋1＝0的一个方向向量为(1，2)，则实数m的值为(　　)
A．－　　　　B．　　　　C．2 　　　　D．－2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(五十四)　直线的方程
√
16
17
C　[因为直线mx－y＋1＝0的一个方向向量为(1，2)，可得直线的斜率为2，解得m＝2．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．(2026·山西临汾模拟)如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是(　　)
A．k1>k2>k3
B．k2>k3>k1
C．k2>k1>k3
D．k3>k2>k1
√
16
17
B　[直线l2与l3的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l3的倾斜角，则k2>k3>0，又k1<0，故k2>k3>k1．故选B．]
3．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为(　　)
A． B．－
C．或0 D．－或－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
17
C　[因为l1：x＋y＝0的斜率为k＝－，
所以其倾斜角为120°．直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)，
如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°，
则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝或k＝0．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
16
17
4．已知直线l的方程为kx－y＋2k－2＝0(k∈R)，若直线l不经过第二象限，则k的取值范围为(　　)
A．k≤1 B．k≥0
C．0≤k≤1 D．k≥1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
17
C　[法一：方程化为斜截式l：y＝kx＋2k－2，斜率存在，且直线l与y轴的交点为(0，2k－2)，
当k＝0时，直线l的方程为y＝－2，满足题意；
当k≠0时，直线l不经过第二象限，点(0，2k－2)需在y轴非正半轴上，且斜率k>0，即，解得0综上可得，k的取值范围为0≤k≤1．故选C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
法二：方程化为点斜式l：y＋2＝k(x＋2)，
所以不论k为何值，直线l都过定点P(－2，－2)，
作直线l1经过定点P且平行于x轴，直线l2经过定点P和O，如图所示，
因为直线l不经过第二象限，所以l1和l2是符合
条件的临界位置，即0＝＝1，
所以k的取值范围为0≤k≤1．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
5．(2025·湖北武汉一模)已知直线方程为cos 300°x＋sin 300°y＝3，则直线的倾斜角为(　　)
A．60° B．60°或300°
C．30° D．30°或330°
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
17
C　[设直线的倾斜角为α，α∈[0，π)．
∴tan α＝－
＝tan 30°， ∴α＝30°．故选C．]
6．已知点A(2，0)，B(0，4)，若过P(－6，－8)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　　)
A．k≤1 B．k≥2
C．k≥2或k≤1 D．1≤k≤2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
17
D　[过P(－6，－8)的直线l与线段AB相交，
如图所示，可得kAP≤k≤kPB，即
，即k∈[1，2]．故选D．]
7．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
17
A　[易知A(－1，0)，P(2，3)．
∵|PA|＝|PB|，
∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，
∴B(5，0)．∴kPB＝－1．
∴直线PB的方程为y－0＝－(x－5)，
即x＋y－5＝0．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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12
13
14
15
16
17
8．直线l：x－＝0与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转105°得到直线l'，则直线l'的方程为(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－＝0 D．x＋y－1＝0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
17
A　[直线l：x－＝0，即y＝x＋1，
则直线l的斜率为，倾斜角为30°，
令x＝0得y＝1，即P(0，1)，
则直线l'的倾斜角为30°＋105°＝135°，斜率为tan 135°＝－1，
所以直线l'的斜截式方程为y＝－x＋1，即直线l'的方程是x＋y－1＝0．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9．已知直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)经过点(1，4)，则的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．9 D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
17
B　[因为直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)经过点(1，4)，所以a＋4b＝2，所以(a＋4b)＝＝8，当且仅当，即a＝1，b＝时取等号．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
二、多项选择题
10．下列说法正确的有(　　)
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)
C．过点(2，－1)且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
17
√
√
ABC　[对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以直线的斜率k<0，截距b>0，故点(k，b)在第二象限，所以A正确；对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值，点(3，2)都满足方程，所以B正确；对于C，过点(2，－1)且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以C正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误．故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
16
17
11．已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是(　　)
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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11
12
13
14
15
16
17
A　　　　　B　　　　C　　　　D
√
√
AC　[直线l1：ax－y－b＝0可化为y＝ax－b，斜率为a，在y轴上的截距为－b．直线l2：bx－y＋a＝0可化为y＝bx＋a，斜率为b，在y轴上的截距为a．在选项A中，a＝b<0，直线l1与l2平行，直线l1在y轴上的截距－b>0，直线l2在y轴上的截距a<0，且两截距互为相反数，故A正确；在选项B中，由直线l2在y轴上的截距可得a>0．与直线l1的斜率a<0矛盾，故B不正确；在选项C中，直线l2的斜率b<0，直线l1在y轴上的截距－b>0．直线l2在y轴上的截距a>0，直线l1的斜率a>0，故C正确；在选项D中，两直线的斜率a>0，b<0，与直线l1在y轴上的截距－b<0，b>0相矛盾，故D不正确．故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
12．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
17
√
√
ABC　[当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．
综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0．故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
三、填空题
13．若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
　[由题意，设直线方程为y＝kx＋b，直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，直线方程为y＝k(x－2)＋b＋1，化简得y＝kx－2k＋b＋1，因为平移后与原直线重合，则kx＋b＝kx－2k＋b＋1，解得k＝，即直线l的斜率为．]
14．(2025·福建南平模拟)对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ______________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
(－1，－1)(答案不唯一)　[由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得则A(2，1)．
又B(1，0)，则＝(－1，－1)．
即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．]
(－1，－1)(答案不唯一)
　[由题意，在Rt△BCD中，
∠BCD＝，|BC|＝|CD|，
∴tan∠CBD＝，
∴∠CBD＝，∴直线BC的倾斜角为，故kBC＝tan．]
15．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝|AB|，则直线BC的斜率为_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
16．(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
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15
16
17
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
√
D　[如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1．因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝＝0.725，解得k3＝0.9，故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
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13
14
15
16
17
17．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角
形，写出满足条件的k的两个可能取值：___________________和
____________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
－2或－(任选2个即可)
或－2或－(任选2个即可)　[令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k，
当围成的等腰三角形的底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan(π－α)＝－tan α＝－2；
当围成的等腰三角形的底边在直线l2上时，
α＝2θ，θ∈，tan α＝tan 2θ＝＝2，
整理得k2＋k－1＝0，而k>0，解得k＝；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
当围成的等腰三角形的底边在直线l2上，θ∈，
可解得k＝－；当围成的等腰三角形的底边在直线l1上时，
θ＝2α，可解得k＝－．
所以k的取值为或－2或－．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
谢 谢 ！课后作业(五十四)　直线的方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共88分
一、单项选择题
1．(2026·江苏苏州模拟)已知直线mx－y＋1＝0的一个方向向量为(1，2)，则实数m的值为 (　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
2．(2026·山西临汾模拟)如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是 (　　)
A．k1>k2>k3 B．k2>k3>k1
C．k2>k1>k3 D．k3>k2>k1
3．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为 (　　)
A． B．－
C．或0 D．－或－
4．已知直线l的方程为kx－y＋2k－2＝0(k∈R)，若直线l不经过第二象限，则k的取值范围为 (　　)
A．k≤1 B．k≥0
C．0≤k≤1 D．k≥1
5．(2025·湖北武汉一模)已知直线方程为cos 300°x＋sin 300°y＝3，则直线的倾斜角为 (　　)
A．60° B．60°或300°
C．30° D．30°或330°
6．已知点A(2，0)，B(0，4)，若过P(－6，－8)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为 (　　)
A．k≤1 B．k≥2
C．k≥2或k≤1 D．1≤k≤2
7．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是 (　　)
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
8．直线l：x－y＋＝0与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转105°得到直线l'，则直线l'的方程为 (　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－＝0 D．x＋y－1＝0
9．已知直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)经过点(1，4)，则的最小值为 (　　)
A．4 B．8
C．9 D．
二、多项选择题
10．下列说法正确的有 (　　)
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)
C．过点(2，－1)且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
11．已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是 (　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
12．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为 (　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
三、填空题
13．若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为________．
14．(2025·福建南平模拟)对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ________．
15．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝|AB|，则直线BC的斜率为________．
16．(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝ (　　)
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
17．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和 ________．
课后作业(五十四)
1．C
2．B　[直线l2与l3的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l3的倾斜角，则k2>k3>0，又k1<0，故k2>k3>k1．故选B．]
3．C　[因为l1：x＋y＝0的斜率为k＝－，
所以其倾斜角为120°．直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)，
如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°，
则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝或k＝0．故选C．]
4．C　5．C　6．D
7．A　[易知A(－1，0)，P(2，3)．
∵|PA|＝|PB|，
∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，
∴B(5，0)．
∴kPB＝－1．
∴直线PB的方程为y－0＝－(x－5)，
即x＋y－5＝0．故选A．]
8．A　[直线l：x－y＋＝0，
即y＝x＋1，
则直线l的斜率为，倾斜角为30°，
令x＝0得y＝1，即P(0，1)，
则直线l'的倾斜角为30°＋105°＝135°，斜率为tan 135°＝－1，
所以直线l'的斜截式方程为y＝－x＋1，即直线l'的方程是x＋y－1＝0．故选A．]
9．B　[因为直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)经过点(1，4)，所以a＋4b＝2，所以(a＋4b)＝＝8，当且仅当，即a＝1，b＝时取等号．故选B．]
10．ABC　[对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以直线的斜率k<0，截距b>0，故点(k，b)在第二象限，所以A正确；对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值，点(3，2)都满足方程，所以B正确；对于C，过点(2，－1)且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以C正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误．故选ABC．]
11．AC　[直线l1：ax－y－b＝0可化为y＝ax－b，斜率为a，在y轴上的截距为－b．直线l2：bx－y＋a＝0可化为y＝bx＋a，斜率为b，在y轴上的截距为a．在选项A中，a＝b<0，直线l1与l2平行，直线l1在y轴上的截距－b>0，直线l2在y轴上的截距a<0，且两截距互为相反数，故A正确；在选项B中，由直线l2在y轴上的截距可得a>0．与直线l1的斜率a<0矛盾，故B不正确；在选项C中，直线l2的斜率b<0，直线l1在y轴上的截距－b>0．直线l2在y轴上的截距a>0，直线l1的斜率a>0，故C正确；在选项D中，两直线的斜率a>0，b<0，与直线l1在y轴上的截距－b<0，b>0相矛盾，故D不正确．故选AC．]
12．ABC　[当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．
综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0．故选ABC．]
13．
14．(－1，－1)(答案不唯一)　[由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得
解得则A(2，1)．
又B(1，0)，则＝(－1，－1)．
即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．]
15．　[由题意，在Rt△BCD中，∠BCD＝，|BC|＝|AB|＝|CD|，
∴tan∠CBD＝，
∴∠CBD＝，∴直线BC的倾斜角为，故kBC＝tan．]
16．D　[如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1．因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝＝0.725，解得k3＝0.9，故选D．
]
17．或－2或－(任选2个即可)
[令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k，
当围成的等腰三角形的底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan(π－α)＝－tan α＝－2；
当围成的等腰三角形的底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈，tan α＝tan 2θ＝＝2，
整理得k2＋k－1＝0，而k>0，解得k＝；
当围成的等腰三角形的底边在直线l2上，θ∈，可解得k＝－；当围成的等腰三角形的底边在直线l1上时，θ＝2α，可解得k＝－．
所以k的取值为或－2或－．]
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