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第55课时　两条直线的位置关系
[考试要求]　1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于 (　　)
A．
C． ＋1
2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T8改编)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为 (　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x＋2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
3．(苏教版选择性必修第一册P31练习T3改编)若三条直线2x＋3y＋8＝0，x＋y＋1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则实数k的值为 (　　)
A．－2 B．
4．(人教B版选择性必修第一册P97练习BT1改编)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于___________．
5．(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3T7改编)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为___________．
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 ____________________ ____________________
垂直 ____________________ ____________________
相交 ____________________ ____________________
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝______________________．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝___________．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________________．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝______________________．
三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
考点一　两条直线位置关系的判断及应用
[典例1]　(多选)(2026·湖北随州模拟)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是 (　　)
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
[巩固迁移]
1．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为 (　　)
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形
2．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0，2x－3my－4＝0不能围成三角形，实数m的值最多有 (　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
考点二　两条直线的交点与距离问题
[典例2]　(1)(2026·湖北八市模拟)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于 (　　)
A．2
C．2 D．4
(2)经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为___________．
(3)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为______．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
(2)点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件
①求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
②求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
[巩固迁移]
3．若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为 (　　)
A．3 B．4
C．2 D．6
4．已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为___________，此时两平行直线方程分别为___________．
考点三　对称问题
　点(或直线)关于点对称
[典例3]　(1)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为 (　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
(2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为___________．
　点关于线对称
[典例4]　已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则的最小值为 (　　)
A．
　直线关于直线对称
[典例5]　两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为 (　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．
[二级结论]　五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(5)点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于直线y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．
[巩固迁移]
5．(多选)(2026·云南保山模拟)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．在直线l上有一点P，则 (　　)
A．|PA|＋|PB|的最小值为12
B．|PA|＋|PB|的最小值为6
C．|PA|－|PB|的最小值为－4
D．|PA|－|PB|的最大值为2
6．设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为___________．
第55课时　两条直线的位置关系
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．C　2．C　3．B　4.4　5．
No2．储备知识要点
1．k1＝k2且b1≠b2　A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0　k1·k2＝－1　A1A2＋B1B2＝0　k1≠k2　A1B2－A2B1≠0
3．(1)(2)
精研考点·提升素养
考点一
典例1　BD　[由直线l1：x＋my－1＝0，
l2：(m－2)x＋3y＋3＝0得，
若l1∥l2，则，解得m＝3，故A错误，B正确；
若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C错误，D正确．故选BD．]
巩固迁移
1．D
2．B　[要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，
则，解得m＝4；
若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，
则，无解；
若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，
则，解得m＝－；
若三条直线交于一点，由
可得m＝或m＝－1，
经检验，当m∈时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个．]
考点二
典例2　(1)B　(2)5x＋3y－1＝0　(3)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)因为菱形四条边都相等，
所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为，
3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为，
于是有，得|c1－c2|＝2．故选B．
(2)法一：解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1，2)．设垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为5x＋3y＋c＝0，于是－5＋6＋c＝0，解得c＝－1，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0．
法二：设经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点的直线系方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，即(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋λ－1＝0，由其垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0，得3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，得λ＝，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0．
(3)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0．
由题意知，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．即直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．]
巩固迁移
3．B　[由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)距离的平方，
得其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，
即d2＝＝4．]
4．3　3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0
[两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，
当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，
|AB|＝，
这两条平行直线之间的距离最大值为3，
因为直线AB的斜率kAB＝，
故这两条平行直线的斜率为－3，
则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．]
考点三
考向1　典例3　(1)B　(2)x＋4y－4＝0
[(1)法一：设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点，
因为点在直线3x－2y＝0上，
所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0．
法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，
设点O，M关于点的对称点分别为O'，M'，
则O'，M'，
所以所求直线方程为，
即3x－2y－2＝0．
(2)设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．]
考向2　典例4　D　[表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1，1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，
设点A(1，1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A'(x0，y0)，
则
所以对称点为A'(－2，－2)，
则|A'B|＝，
由图知的最小值为2．]
考向3　典例5　C　[设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M'(x1，y1)，
则(*)
∵点M'在直线3x－2y－6＝0上，
∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，
化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．故选C．]
巩固迁移
5．AC　[直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，如图，
令A'(a，b)是A(2，0)关于l：x－2y＋8＝0的对称点，
则
∴a＝－2，b＝8，即A'(－2，8)，P为A'B与l的交点，
|PA'|＝|PA|，则|PA|＋|PB|＝|PA'|＋|PB|＝|A'B|＝12，
当且仅当B，P，A'三点共线且点P在线段A'B上时取等号，即|PA|＋|PB|的最小值为12．
由图知，－|AB|≤|P'A|－|P'B|<|AB|(直线AB与直线l的交点离A点更近)，即－4，
当且仅当B，P'，A三点共线且点P'在射线BA上时取最小值，但无最大值，即最小值是－4．故选AC．]
6．2x－y－5＝0　[∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，
∴直线AB与直线BC关于直线x＝0对称，直线AC与直线BC关于直线y＝x对称．
A(－3，1)关于直线x＝0的对称点A1(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于直线y＝x的对称点A2(1，－3)也在直线BC上．
由两点式，可得直线BC的方程为2x－y－5＝0．]
5/5(共75张PPT)
第55课时　两条直线的位置关系
第八章　解析几何
[考试要求]
1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
以题引理·激活思维
1．(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A． B．2－
C．－1 D．＋1
√
C　[由题意得＝1，即|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1．]
2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T8改编)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x＋2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
√
C　[∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1．
∴直线l的方程为x＋2y＋1＝0．]
3．(苏教版选择性必修第一册P31练习T3改编)若三条直线2x＋3y＋8＝0，x＋y＋1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则实数k的值为(　　)
A．－2 B．
C．2 D．
√
B　[设三条直线交于一点P，则直线2x＋3y＋8＝0，x＋y＋1＝0交于点P，联立即P(5，－6)，直线x＋ky＝0过点P，即5－6k＝0，解得k＝．]
4．(人教B版选择性必修第一册P97练习BT1改编)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于_____________．
4
4　[因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以，解得m＝4．]
5．(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3T7改编)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为_____________．
　[因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得
d＝．]
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 ___________________ _________________
________________
垂直 ______________ ________________
相交 ________ ____________________
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝________________________________．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝_________．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_____________．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝____________．
三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
考点一　两条直线位置关系的判断及应用
[典例1]　(多选)(2026·湖北随州模拟)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
精研考点·提升素养
√
√
BD　[由直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0得，
若l1∥l2，则，解得m＝3，故A错误，B正确；
若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C错误，D正确．故选BD．]
名师点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
[巩固迁移]
1．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(　　)
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形
√
D　[由kBC＝，kAD＝，
kAB＝，kCD＝，
∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，
∴BC∥AD，AB与CD不平行，
∴四边形ABCD为梯形，
又∵kAD·kAB＝－1，
∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形．]
2．使三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0，2x－3my－4＝0不能围成三角形，实数m的值最多有(　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
√
B　[要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，则，解得m＝4；
若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，则，无解；
若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，则，解得m＝－；
若三条直线交于一点，由可得m＝或m＝－1，
经检验，当m∈时，均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个．]
考点二　两条直线的交点与距离问题
[典例2]　(1)(2026·湖北八市模拟)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
√
(2)经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为___________________．
(3)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为___________________________．
5x＋3y－1＝0
x＋3y－5＝0或x＝－1
(1)B　(2)5x＋3y－1＝0　(3)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)因为菱形四条边都相等，
所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为，
3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为，
于是有，得|c1－c2|＝2．故选B．
(2)法一：解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1，2)．设垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为5x＋3y＋c＝0，于是－5＋6＋c＝0，解得c＝－1，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0．
法二：设经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点的直线系方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，即(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋λ－1＝0，由其垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0，得3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，得λ＝，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0．
(3)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0．
由题意知，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝
－1，也符合题意．即直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．]
名师点评：(1)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
(2)点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件
①求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
②求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
[巩固迁移]
3．若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．2 D．6
√
B　[由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)距离的平方，
得其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝＝4．]
4．已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为_____________，此时两平行直线方程分别为___________________________________．
3　3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0　[两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，
当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，
3
3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0
|AB|＝，
这两条平行直线之间的距离最大值为3，
因为直线AB的斜率kAB＝，
故这两条平行直线的斜率为－3，
则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．]
【教用·备选题】
1．(2025·广西来宾模拟)已知直线l的一个方向向量为a＝(2，1)，则过点A(1，－1)且与l垂直的直线方程为(　　)
A．x－2y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y－1＝0
√
D　[因为直线l的一个方向向量为a＝(2，1)，
所以直线l的斜率k＝，
所以与直线l垂直的直线斜率为－2，
所以所求直线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0．故选D．]
2．(2025·江苏南京模拟)已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为(　　)
A． B．
C．5 D．10
√
B　[直线l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，
由得x＝1，y＝2，所以直线过定点A(1，2)，
当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为．故选B．]
考点三　对称问题
考向1　点(或直线)关于点对称
[典例3]　(1)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
(2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_______________．
√
x＋4y－4＝0
(1)B　(2)x＋4y－4＝0　[(1)法一：设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点，
因为点在直线3x－2y＝0上，
所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0．
法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，
设点O，M关于点的对称点分别为O'，M'，
则O'，M'，
所以所求直线方程为，
即3x－2y－2＝0．
(2)设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．]
考向2　点关于线对称
[典例4]　已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则的最小值为(　　)
A． B．2
C． D．2
√
D　[表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1，1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，
设点A(1，1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A'(x0，y0)，
则解得
所以对称点为A'(－2，－2)，
则|A'B|＝，
由图知的最小值为2．]
【教用·备选题】
已知A(0，2)，B(3，－1)，点P为x轴上一动点，则|PA|－|PB|的最大值是(　　)
A． B．3
C．2 D．
√
A　[由已知可得，点A关于x轴的对称点为C(0，－2)，
kBC＝，
直线BC方程为y＝x－2，
令y＝0得x＝6，所以直线BC与x轴交点为Q(6，0)，
|PA|－|PB|＝|PC|－|PB|≤|CB|＝，当且仅当P是直线BC与x轴交点Q时等号成立．]
考向3　直线关于直线对称
[典例5]　两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
√
C　[设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M'(x1，y1)，
则(*)
∵点M'在直线3x－2y－6＝0上，
∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，
化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．
故选C．]
名师点评：对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．
[二级结论]　五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(5)点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于直线y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．
[巩固迁移]
5．(多选)(2026·云南保山模拟)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．在直线l上有一点P，则(　　)
A．|PA|＋|PB|的最小值为12
B．|PA|＋|PB|的最小值为6
C．|PA|－|PB|的最小值为－4
D．|PA|－|PB|的最大值为2
√
√
AC　[直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，如图，
令A'(a，b)是A(2，0)关于l：x－2y＋8＝0的对称点，
则
∴a＝－2，b＝8，
即A'(－2，8)，P为A'B与l的交点，
|PA'|＝|PA|，则|PA|＋|PB|＝|PA'|＋|PB|＝|A'B|＝12，
当且仅当B，P，A'三点共线且点P在线段A'B上时取等号，即|PA|＋|PB|的最小值为12．
由图知，－|AB|≤|P'A|－|P'B|<|AB|(直线AB与直线l的交点离A点更近)，
即－4，
当且仅当B，P'，A三点共线且点P'在射线BA上时取最小值，但无最大值，即最小值是－4．
故选AC．]
2x－y－5＝0　[∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，
∴直线AB与直线BC关于直线x＝0对称，直线AC与直线BC关于直线y＝x对称．
A(－3，1)关于直线x＝0的对称点A1(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于直线y＝x的对称点A2(1，－3)也在直线BC上．
由两点式，可得直线BC的方程为2x－y－5＝0．]
6．设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为_____________．
2x－y－5＝0
一、单项选择题
1．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A．－4 B．20
C．0 D．24
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(五十五)　两条直线的位置关系
√
A　[∵直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，
∴－＝－1，解得a＝10，
∴直线l1：5x＋2y－1＝0．
∵(1，c)在直线5x＋2y－1＝0上，
∴5＋2c－1＝0， 解得c＝－2．
又∵(1，－2)也在直线l2：2x－5y＋b＝0上，
∴2×1＋5×2＋b＝0，解得b＝－12，
∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2025·辽宁葫芦岛一模)若直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：kx－2y＋1＝0(k∈R)平行，则这两条直线间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：kx－2y＋1＝0(k∈R)平行，则，解得k＝－1，故直线l2：x＋2y－1＝0，
这两条直线间的距离为．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
3．(2026·山东省实验中学模拟)实数a，b满足a＋b＋1＝0，则a2－2a＋b2的最小值为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[实数a，b满足a＋b＋1＝0， a2－2a＋b2＝(a－1)2＋b2－1，
其中(a－1)2＋b2为两点(1，0)与(a，b)距离的平方，
所以其最小值即为(1，0)到直线a＋b＋1＝0距离的平方，即＝2，所以a2－2a＋b2的最小值为1．故选B．]
4．直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0对称的直线方程为
(　　)
A．7x－y－22＝0 B．7x＋y＋22＝0
C．6x－y＋22＝0 D．6x＋y＋22＝0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[联立
则交点坐标为P．
取直线x－y－2＝0上一点A(0，－2)，
设点A关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为A'(x'，y')，
则由kAA'·kl＝－1，且线段AA'的中点在直线l上，
得
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
故所求直线过点P，A'(－3，－1)．
所以所求直线方程为y＋，
即7x＋y＋22＝0．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
5．(2025·广东深圳一模)点P(－1，3)关于直线x－y＝0的对称点为Q，则点Q到直线3x＋y－2＝0的距离为(　　)
A． B．3
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[设P(－1，3)关于直线x－y＝0的对称点为Q(a，b)，由对称关系可得解得∴Q(3，－1)．
则点Q(3，－1)到直线3x＋y－2＝0的距离为d＝．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．(2025·四川广安区二模)已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD，DA和AB上的点P2，P3和P4(入射角等于反射角)，设P4坐标为(x4，0)，若1A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan θ＝，由题设条件知，1题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：(a－1)x＋y＋a＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．当a＝1时，直线l1的倾斜角为135°
B．当l1⊥l2时，a＝
C．若l1∥l2，则a＝－1
D．直线l1始终过定点(－1，0)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
ABD　[对于A，当a＝1时，直线l1：x＋y＋1＝0，故斜率k＝－1，则倾斜角为135°，A正确．
对于B，l1⊥l2等价于a－1＋a＝0，解得a＝，B正确．
对于C，若l1∥l2，a(a－1)－1＝0且a≠a－1，故a＝，C错误．
对于D，l1：x＋ay＋1＝0，令y＝0，得x＋1＝0，解得x＝－1，y＝0，
故恒过(－1，0)，D正确．故选ABD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值可为
(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
ABC　[当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，即dmax＝|PQ|＝＝5，
∴0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、填空题
9．已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为______________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2x＋3y－1＝0
2x＋3y－1＝0　[∵P(2，3)在已知的两条直线上，∴
∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y－1＝0上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y－1＝0．]
10．在x轴上求一点P，使以A(1，2)，B(3，4)和P为顶点的三角形的面积为10，则点P的坐标为___________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(9，0)或(－11，0)　[设P(a，0)，kAB＝＝1，直线AB的方程是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，则点P(a，0)到直线AB的距离d＝．因为|AB|＝，S＝＝10，解得a＝9或a＝－11，所以点P的坐标为(9，0)或(－11，0)．]
(9，0)或(－11，0)
四、解答题
11．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
12．一条光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：
(1)入射光线所在直线的方程；
(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)设点Q'(x'，y')为点Q关于直线l的对称点，QQ'交l于点M，∵kl＝－1，∴kQQ'＝1，
∴QQ'所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0．
由
∴交点M，∴
解得 ∴Q'(－2，－2)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
设入射光线与l交于点N，则P，N，Q'三点共线，
又P(2，3)，Q'(－2，－2)，
∴入射光线所在直线的方程为，
即5x－4y＋2＝0．
(2)由(1)知，|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ'|＝|PQ'|
＝，
即这条光线从P到Q所经路线的长度为．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
13．已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．
(1)求证：直线l过定点；
(2)已知点P(－1，－2)，当最小时，求实数m的值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)证明：直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，即为(x－2y)m＋2x－y－3＝0，由
即直线l过定点(2，1)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)由题意可设直线l的方程为＝1，a>0，b>0，则A(a，0)，B(0，b)，又直线l过定点(2，1)，则＝1，又点P(－1，－2)，则＝(a＋1，2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝(a＋2b)＋5＝9＋＝13，当且仅当，即a＝4，b＝2时取等号，所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4，0)，即4(m＋2)－3＝0，解得m＝－，经检验符合题意．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
谢 谢 ！课后作业(五十五)
1．A
2．B　[直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：kx－2y＋1＝0(k∈R)平行，则≠，解得k＝－1，故直线l2：x＋2y－1＝0，
这两条直线间的距离为．
故选B．]
3．B　[实数a，b满足a＋b＋1＝0， a2－2a＋b2＝(a－1)2＋b2－1，
其中(a－1)2＋b2为两点(1，0)与(a，b)距离的平方，
所以其最小值即为(1，0)到直线a＋b＋1＝0距离的平方，即＝2，所以a2－2a＋b2的最小值为1．故选B．]
4．B　[联立则交点坐标为P．
取直线x－y－2＝0上一点A(0，－2)，
设点A关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为A'(x'，y')，
则由kAA'·kl＝－1，且线段AA'的中点在直线l上，
得
解得
故所求直线过点P，A'(－3，－1)．
所以所求直线方程为y＋，
即7x＋y＋22＝0．故选B．]
5．C　[设P(－1，3)关于直线x－y＝0的对称点为Q(a，b)，
由对称关系可得
解得∴Q(3，－1)．
则点Q(3，－1)到直线3x＋y－2＝0的距离为d＝．故选C．]
6．C　[考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan θ＝，由题设条件知，17．ABD　[对于A，当a＝1时，直线l1：x＋y＋1＝0，故斜率k＝－1，则倾斜角为135°，A正确．
对于B，l1⊥l2等价于a－1＋a＝0，解得a＝，B正确．
对于C，若l1∥l2，a(a－1)－1＝0且a≠a－1，故a＝，C错误．
对于D，l1：x＋ay＋1＝0，令y＝0，得x＋1＝0，解得x＝－1，y＝0，
故恒过(－1，0)，D正确．故选ABD．]
8．ABC　[当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，即dmax＝|PQ|＝＝5，
∴09．2x＋3y－1＝0
10．(9，0)或(－11，0)　[设P(a，0)，kAB＝＝1，直线AB的方程是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，则点P(a，0)到直线AB的距离d＝．
因为|AB|＝＝2，S＝×|AB|×d＝×2＝10，解得a＝9或a＝－11，所以点P的坐标为(9，0)或(－11，0)．]
11．解：依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0．
12．解：(1)设点Q'(x'，y')为点Q关于直线l的对称点，QQ'交l于点M，∵kl＝－1，
∴kQQ'＝1，
∴QQ'所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0．
由
∴交点M，
∴
解得 ∴Q'(－2，－2)．
设入射光线与l交于点N，则P，N，Q'三点共线，
又P(2，3)，Q'(－2，－2)，
∴入射光线所在直线的方程为
，
即5x－4y＋2＝0．
(2)由(1)知，|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ'|＝|PQ'|＝
＝，
即这条光线从P到Q所经路线的长度为．
13．解：(1)证明：直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，即为(x－2y)m＋2x－y－3＝0，由
即直线l过定点(2，1)．
(2)由题意可设直线l的方程为＝1，a>0，b>0，则A(a，0)，B(0，b)，又直线l过定点(2，1)，则＝1，又点P(－1，－2)，则＝(a＋1，2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝(a＋2b)＋5＝9＋≥9＋2＝13，当且仅当，即a＝4，b＝2时取等号，所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4，0)，即4(m＋2)－3＝0，解得m＝－，经检验符合题意．
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