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第56课时　圆的方程
[考试要求]　1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．(北师大版选择性必修第一册P44复习题一A组T2改编)圆C：x2＋y2－4x＋4y＋4＝0的圆心坐标与半径分别为 (　　)
A．(2，－2)，4 B．(－2，2)，4
C．(－2，2)，2 D．(2，－2)，2
2．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 (　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
3．(人教B版选择性必修第一册P110练习BT4改编)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是 (　　)
A．(－2，＋∞) B．
C． D．(－2，2)
4．(人教A版选择性必修第一册P88习题2.4T4)若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是 (　　)
A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x－2)2＋y2＝10 D．(x＋2)2＋y2＝10
5．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为___________．
1．圆的定义及方程
定义 平面上到___________的距离等于___________的点的集合(轨迹)
标准 方程 ______________ 圆心___________，半径r
一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心__________________，半径______________
[二级结论]
(1)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，且>0，即D2＋E2－4AF>0．
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则__________________________．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则__________________________．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则__________________________．
1．求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标．
考点一　圆的方程
[典例1]　(1)(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为 (　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－3)2＝13
C．＝22
D．
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：几何法求圆的方程时常用的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
[巩固迁移]
1．(2025·北京海淀区二模)圆心坐标为C(－1，2)，且与x轴相切的圆的方程为 (　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是___________，半径是___________．
3．已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为___________．
考点二　与圆有关的最值问题
　斜率型、截距型、距离型最值问题
[典例2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
　建立函数关系求最值
[典例3]　设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为___________．
　利用对称性求最值
[典例4]　已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为 (　　)
A．　　　C．2　　　D．3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)与圆有关的最值问题的三种几何转化法
①斜率型：形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
②截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
③距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
②“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
[巩固迁移]
4．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是 (　　)
A．1＋　　 B．4
C．1＋3 D．7
5．已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是 (　　)
A．[－3，1] B．[－1，1]
C．[－1，3] D．[1，3]
6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是___________．
考点三　与圆有关的轨迹问题
[典例5]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
提醒：注意特殊点的取舍．
[巩固迁移]
7．已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝|PM|．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
【拓展融合】　阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|．
当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
【拓展典例】　(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知A(1，0)，M(－2，0)，N(2，0)，直线l：y＝kx＋1，动点P满足|PM|＝3|PN|，则 (　　)
A．点P的轨迹是圆
B．△PMN面积的最大值为3
C．点A到l距离的最大值为2
D．sin∠PMN的最大值为
【加固训练】　(2025·宁夏吴忠二模)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则|PA|2＋|PB|2的最大值为 (　　)
A．16＋8
C．7＋4
第56课时　圆的方程
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．A　3．C　4．C　5．x2＋y2－2x＝0
No2．储备知识要点
1．定点　定长　(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)　(a，b)　
2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2　(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2　(3)(x0－a)2＋(y0－b)2精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)AB　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5
[(1)对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；
对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；
对于C，四点都不在圆＝22上，故C错误；
对于D，四点都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB．
(2)法一：圆的定义
∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在☉M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴＝＝R，
a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
法二：由题意可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线y＝3x－4与直线2x＋y－1＝0的交点(1，－1)．所以圆的半径R＝，所以☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．]
巩固迁移
1．D　2．(－2，－4)　5
3．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0　[设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
由题意可得
在圆C的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0．
故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0．]
考点二
考向1　典例2　解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图1)，此时，解得k＝±．
所以，最小值为－．
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值(如图2)，此时，解得b＝－2±．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4．
考向2　典例3　12　[法一：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，的值最大，最大值为6×4－12＝12．
法二：由向量的极化恒等式，得－4，
由于点P在圆x2＋(y－3)2＝1上，则
当点P坐标为(0，4)时，取得最大值16，
∴的最大值为16－4＝12．]
考向3　典例4　D　[曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0是以C1(2，2)为圆心，半径为1的圆，C2：x2＋y2－2x＝0是以C2(1，0)为圆心，半径为1的圆．由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|－1，|PN|的最小值为|PC2|－1．
作C2关于直线x＋y＋1＝0对称的点B，设坐标为(m，n)，可得
解得m＝－1，n＝－2，即B(－1，－2)．
连接BC1，交直线于点P，连接PC2，可得
|PC1|＋|PC2|＝|PC1|＋|PB|≥|BC1|＝
＝5．当且仅当B，P，C1三点共线可得|PC1|＋|PC2|的最小值为5，
则|PM|＋|PN|的最小值为5－2＝3．
故选D．]
巩固迁移
4．C
5．C　[将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为(2，0)．所以＝(2－x，－y)，而＝(－x，－y)，所以＝x2＋y2－2x．因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以＝4x－3－2x＝2x－3．因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3．因此－1≤2x－3≤3，从而(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．故选C．]
6．4＋　[由题知C1(2，3)且半径r1＝1，C2(3，4)且半径r2＝3，
所以|C1C2|＝又M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，
要使|PN|－|PM|最大，P，M，N，C1，C2共线且M，N在C1，C2的两侧，所以(|PN|－|PM|)max＝|C1C2|＋r2＋r1＝4＋．]
考点三
典例5　解：(1)法一(直接法)：设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1．
又kAC＝，kBC＝，
所以＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)(相关点法)：设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
巩固迁移
7．解：(1)设动点P的坐标为(x1，y1)，
因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝|PM|，
所以，
整理得＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2．
(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以，即(x－x0，y－y0)＝2(6－x，－y)，
解得又点A在轨迹C上运动，
所以(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝，
所以点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝．
拓展典例
ABD　[对于A，设P(x，y)，
由|PM|＝3|PN|，得，
即，即点P的轨迹是圆，A正确；
对于B，P在圆上运动，其圆心在x轴上，则
△PMN面积的最大值为＝3，B正确；
对于C，当直线l与过点(1，0)和(0，1)的直线垂直时，点A(1，0)到直线l的距离最大，(1，0)和(0，1)间的距离为，即点A到l距离的最大值为，C错误；
对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，∠PMN最大，此时PM⊥PC，易知|MC|＝2＋，|PC|＝，
则sin∠PMN＝，D正确．
故选ABD．]
加固训练
A　[以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨取A(－1，0)，B(1，0)．
设P(x，y)，则，
整理得(x－2)2＋y2＝3，
所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝3．
则|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，
x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方，
所以(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8，
即|PA|2＋|PB|2的最大值为16＋8，
故选A．]
6/6(共96张PPT)
第56课时　圆的方程
第八章　解析几何
[考试要求]
1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
以题引理·激活思维
1．(北师大版选择性必修第一册P44复习题一A组T2改编)圆C：x2＋y2－4x＋4y＋4＝0的圆心坐标与半径分别为(　　)
A．(2，－2)，4 B．(－2，2)，4
C．(－2，2)，2 D．(2，－2)，2
√
D　[由圆C：x2＋y2－4x＋4y＋4＝0，可得圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心坐标为C(2，－2)，半径为2．故选D．]
2．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
A　[法一：AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝，所以圆的方程为x2＋y2＝2．
法二：以AB为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2．]
√
3．(人教B版选择性必修第一册P110练习BT4改编)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．
C． D．(－2，2)
C　[由题意得解得－2√
4．(人教A版选择性必修第一册P88习题2.4T4)若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x－2)2＋y2＝10 D．(x＋2)2＋y2＝10
C　[设圆心坐标为C(a，0)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，有解得a＝2，r2＝10，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10．]
√
x2＋y2－2x＝0　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
∴
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]
5．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_____________．
x2＋y2－2x＝0
1．圆的定义及方程
定义 平面上到______的距离等于______的点的集合(轨迹)
标准 方程 ______________________ 圆心__________，半径r
一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心__________，
半径_________
定点
定长
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
(a，b)
[二级结论]
(1)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，且－4·>0，
即D2＋E2－4AF>0．
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则_____________________________．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则_____________________________．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则____________________________．
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)21．求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标．
考点一　圆的方程
[典例1]　(1)(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝13
C．＝22 D．＋(y－1)2＝
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为________________________．
精研考点·提升素养
√
√
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
(1)AB　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5　[(1)对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；
对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；
对于C，四点都不在圆＝22上，故C错误；
对于D，四点都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB．
(2)法一：圆的定义
∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在☉M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴＝R，
a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
法二：由题意可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线y＝3x－4与直线2x＋y－1＝0的交点(1，－1)．所以圆的半径R＝，所以☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．]
名师点评：几何法求圆的方程时常用的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
[巩固迁移]
1．(2025·北京海淀区二模)圆心坐标为C(－1，2)，且与x轴相切的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
√
D　[∵圆心坐标为C(－1，2)，且与x轴相切，
∴圆的半径r＝2， ∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4．故选D．]
2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是_____________，半径是_____________．
(－2，－4)　5　[由已知方程表示圆，得a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1．
当a＝2时，原方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．]
(－2，－4)
5
3．已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为_____________________________________．
x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0　[设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
由题意可得
在圆C的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．③
x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0．
故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0．]
【教用·备选题】
1．(2025·广东揭阳期末)方程|x|－1＝表示的曲线为(　　)
A．两个半圆　　　　　　　 B．一个圆
C．半个圆 D．两个圆
√
A　[等号两边同时平方得(|x|－1)2＝2y－y2，
化简得(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，
由|x|－1≥0得|x|≥1，即x≥1或x≤－1，
当x≥1时，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
表示圆心为(1，1)且半径为1的圆的右半圆；
当x≤－1时，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
表示圆心为(－1，1)且半径为1的圆的左半圆．
综上所述，得方程|x|－1＝表示的曲线为两个半圆．
故选A．]
2．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
[解]　由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m>0，则m<0或m>8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m．令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－．
此时C(0，－1)，AB的中点M即为圆心，
半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为．
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0．
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0．
令可得
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和．
考点二　与圆有关的最值问题
考向1　斜率型、截距型、距离型最值问题
[典例2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最
小值(如图1)，此时，解得k＝±．
所以，最小值为－．
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值(如图2)，此时，解得b＝－2±．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4．
考向2　建立函数关系求最值
[典例3]　设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为_____________．
12　[法一：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，的值最大，最大值为6×4－12＝12．
12
法二：由向量的极化恒等式，得－4，
由于点P在圆x2＋(y－3)2＝1上，则
当点P坐标为(0，4)时，取得最大值16，
∴的最大值为16－4＝12．]
考向3　利用对称性求最值
[典例4]　已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．　　　C．2　　　D．3
√
D　[曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0是以C1(2，2)为圆心，半径为1的圆， C2：x2＋y2－2x＝0是以C2(1，0)为圆心，半径为1的圆．由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|－1，|PN|的最小值为|PC2|－1．
作C2关于直线x＋y＋1＝0对称的点B，
设坐标为(m，n)，可得
解得m＝－1，n＝－2，即B(－1，－2)．
连接BC1，交直线于点P，连接PC2，可得
|PC1|＋|PC2|＝|PC1|＋|PB|≥|BC1|＝＝5．
当且仅当B，P，C1三点共线可得|PC1|＋|PC2|的最小值为5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－2＝3．故选D．]
名师点评：(1)与圆有关的最值问题的三种几何转化法
①斜率型：形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
②截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
③距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
②“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
[巩固迁移]
4．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　　　　　 B．4
C．1＋3 D．7
√
C　[法一(判别式法)：令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，则Δ≥0，
即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3，
故x－y的最大值是1＋3．故选C．
法二(换元法)：x2＋y2－4x－2y－4＝0，
整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3＋1，
因为θ∈[0，2π]，所以θ＋，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1．
故选C．
法三(几何意义)：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得
(x－2)2＋(y－1)2＝9，
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3．
故选C．]
5．已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是(　　)
A．[－3，1] B．[－1，1]
C．[－1，3] D．[1，3]
√
C　[将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为(2，0)．所以＝(2－x，－y)，而＝(－x，－y)，所以＝x2＋y2－2x．因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以＝4x－3－2x＝2x－3．因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3．因此－1≤2x－3≤3，从而(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．故选C．]
6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是_____________．
4＋　[由题知C1(2，3)且半径r1＝1，C2(3，4)且半径r2＝3，
所以|C1C2|＝又M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，
要使|PN|－|PM|最大，P，M，N，C1，C2共线且M，N在C1，C2的两侧，所以(|PN|－|PM|)max＝|C1C2|＋r2＋r1＝4＋．]
4＋
【教用·备选题】
(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2，6]　　　　　　　 B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3]
√
A　[圆心(2，0)到直线的距离d＝，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝d1．因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．]
考点三　与圆有关的轨迹问题
[典例5]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解]　(1)法一(直接法)：设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1．
又kAC＝，kBC＝，
所以＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)(相关点法)：设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
名师点评：求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
提醒：注意特殊点的取舍．
[巩固迁移]
7．已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝|PM|．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
[解]　(1)设动点P的坐标为(x1，y1)，
因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝|PM|，
所以，
整理得＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2．
(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以，即(x－x0，y－y0)＝2(6－x，－y)，
解得又点A在轨迹C上运动，
所以(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝，
所以点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝．
【拓展融合】　阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|．
当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
【拓展典例】　(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知A(1，0)，M(－2，0)，N(2，0)，直线l：y＝kx＋1，动点P满足|PM|＝3|PN|，则(　　)
A．点P的轨迹是圆
B．△PMN面积的最大值为3
C．点A到l距离的最大值为2
D．sin∠PMN的最大值为
√
√
√
ABD　[对于A，设P(x，y)，由|PM|＝3|PN|，得，
即，即点P的轨迹是圆，A正确；
对于B，P在圆上运动，
其圆心在x轴上，则△PMN面积的最大值为＝3，B正确；
对于C，当直线l与过点(1，0)和(0，1)的直线垂直时，点A(1，0)到直线l的距离最大，(1，0)和(0，1)间的距离为，即点A到l距离的最大值为，C错误；
对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，∠PMN最大，此时PM⊥PC，易知|MC|＝2＋，|PC|＝，则sin∠PMN＝，D正确．
故选ABD．]
【加固训练】　(2025·宁夏吴忠二模)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则|PA|2＋|PB|2的最大值为(　　)
A．16＋8 B．8＋4
C．7＋4 D．3＋
√
A　[以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨取A(－1，0)，B(1，0)．
设P(x，y)，则，整理得(x－2)2＋y2＝3，
所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝3．
则|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，
x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方，
所以(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8，
即|PA|2＋|PB|2的最大值为16＋8．故选A．]
【教用·备选题】
1．(多选)(2024·海南中学模拟)已知在平面直角坐标系Oxy中，A，B．点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10
C．在C上存在点M，使得
D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9
√
√
AD　[由题意可设点P，由A，B
，
化简得x2＋y2＋8x＝0，即＋y2＝16，A正确；
点(1，1)到圆上的点的最大距离为d＝＋4<10，故不存在点D符合题意，B错误；
设M(x0，y0)，由，得
＝16，
联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，C错误；
C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝＝5，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为d＋r＝5＋4＝9，D正确．
故选AD．]
2．在平面直角坐标系Oxy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是____________________________．
[－2－1，2－1]　[设P(x，y)，则，
整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5，0)为圆心，2为半径的圆上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|a＋1|≤2．故实数a的取值范围是[－2－1，2－1]．]
[－2－1，2－1
3．如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．
[解]　如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．
设P(x，y)，因为PA⊥PB，
所以＝－1(x≠±a)．
化简得x2＋y2＝a2(x≠±a)．
当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2．
一、单项选择题
1．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离是(　　)
A．2 B．2
C．3 D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课后作业(五十六)　圆的方程
√
C　[由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，
即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为d＝．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2026·河南郑州模拟)已知圆A的圆心为(4，4)，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
√
A　[由圆心坐标(4，4)可知，圆心到x轴的距离为d＝4，
又圆A截x轴所得的弦长为6，所以圆的半径r＝＝5．故选A．]
3．(2025·贵州三模)“关于x，y的方程：x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆”是“a>2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[关于x，y的方程：x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆，则＋(y＋1)2＝－1，则－1>0，解得a>2或a<－2，
故“关于x，y的方程：x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆”是“a>2”的必要不充分条件．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2025·长宁区期末)已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC外接圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．(x＋3)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋3)2＝5 D．(x－3)2＋y2＝5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[由题意知，△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
∴圆的半径为，圆心为(－3，0)，
∴圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5，故选B．]
5．(2025·北京顺义一模)已知A(1，0)，B(0，1)，C(0，3)，点M满足＝0，则|AM|的可能取值是(　　)
A．4 B．
C．1 D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[设点M(x，y)，由＝(－x，1－y)·(－x，3－y)＝0，整理得x2＋(y－2)2＝1，
即点M的轨迹是以E(0，2)为圆心，半径为1的圆，
因为|AE|＝>1，即点A(1，0)在圆外，
则|AM|表示圆外的点A(1，0)到圆E上的点的距离，
如图，有＋1．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2026·江苏常州模拟)实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝2，则的取值范围是(　　)
A．[－7，1]
B．[－1，7]
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
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11
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13
14
√
C　[由圆的方程(x－1)2＋(y－1)2＝2，可得圆心为(1，1)，半径为r＝，
又由表示圆上的点P(x，y)与点A(0，－2)连线的斜率，
当直线AP与圆相切时，如图所示，设＝t，可得tx－y－2＝0，圆心到直线AP的距离为，
则，整理得t2＋6t－7＝0，解得t＝－7
或t＝1，可得的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．
故选C．]
题号
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二、多项选择题
7．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(　　)
A．F＝4
B．圆关于直线y＝－2x对称
C．圆与y轴相切
D．的最大值为9
题号
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√
√
√
ABD　[由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
化成圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，A正确；
因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确；
圆心到y轴的距离d＝2<4，则圆与y轴相交，C错误；
题号
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14
的几何意义为圆上任意一点(x，y)到点(2，1)的距离，
从而的最大值为圆心(2，－4)到点(2，1)的距离与半径之和，
故
＋4＝9，D正确．故选ABD．]
题号
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8．已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有(　　)
A．|PA|·|PB|＝10 B．＝3
C．|PA|2＋|PB|2＝10 D．|PA|2－|PB|2＝10
题号
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√
√
BC　[如图所示，以线段AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(－2，0)，B(2，0)．
A项，若|PA|·|PB|＝10，则·＝10，
整理得(x2＋y2＋4)2－(4x)2＝100，
以－x代替x，以－y代替y，方程不变，
故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点，
令x＝0，得y＝±；
令y＝0，得x＝±，所以该轨迹不是圆，故A错误；
题号
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B项，由|PA|＝3|PB|，得|PA|2＝9|PB|2，
即(x＋2)2＋y2＝9，
整理得x2＋y2－5x＋4＝0，即，
所以点P的轨迹是以为半径的圆，故B正确；
C项，若|PA|2＋|PB|2＝10，则(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝10，
即x2＋y2＝1，所以点P的轨迹为圆，故C正确；
D项，因为|PA|2－|PB|2＝10，
所以(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2＝10，
即x＝，所以点P的轨迹为直线，故D错误．故选BC．]
题号
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三、填空题
9．(2026·山东菏泽模拟)写出一个半径为，且与直线2x－3y＋6＝0相切于点(3，4)的圆的方程：
_____________________________________________________．
题号
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(x－1)2＋(y－7)2＝13或(x－5)2＋(y－1)2＝13(写1个即可)
题号
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(x－1)2＋(y－7)2＝13或(x－5)2＋(y－1)2＝13(写1个即可)　[设圆心坐标为(a，b)，半径为，
结合圆与直线2x－3y＋6＝0相切于点(3，4)，
得
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－7)2＝13或(x－5)2＋(y－1)2＝13．]
10．已知线段AB的端点B的坐标是(5，3)，端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为_______________________．
题号
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14
＝1　[设A(a，b)，M(x，y)，由M为AB的中点，
则
＝1
由点A在圆x2＋y2＝4上，则a2＋b2＝4，
即(2x－5)2＋(2y－3)2＝4，
化简可得＝1．]
题号
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四、解答题
11．已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点．
(1)求圆C的方程；
(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足，求点Q的轨迹方程．
题号
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[解]　(1)由题意可知，AB的中点为(2，3)，kAB＝0，
所以AB的中垂线方程为x＝2，它与x轴的交点为圆心C(2，0)，
又半径r＝|AC|＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由，
得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
所以
又点P在圆C上，故(x0－2)2＋＝10，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝．
题号
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12．(多选)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为(　　)
A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4
B．点P到原点O的距离的最大值为5
C．△PAB面积的最大值为4
D．的最大值为18
题号
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√
√
√
ABD　[设动点P(x，y)，
则由＝2，得＝2，
即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，
化简得x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确；
因为点P的轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，则点P到原点O的距离的最大值为d＝＋2＝5，B正确；
题号
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又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3，
所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2＝3，C错误；
又＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2，
因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，
所以＝－5x－7(－5≤x≤－1)，
则≤－5×(－5)－7＝18，D正确．故选ABD．]
题号
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14
　[如图所示，以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则A，B，C，
设P(x，y)，
13．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为_____________．
题号
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14
由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，得x2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－＝0，即x2＋，因此，点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆， |PA|的最大值等于|MA|＋r＝．]
题号
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14．在平面直角坐标系Oxy中，设二次函数f (x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
(1)求实数b的取值范围；
(2)请问圆C是否经过某定点，且定点坐标与b无关？请证明你的结论．
题号
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[解]　(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，
令f (x)＝x2＋2x＋b＝0，
由题意得b≠0，且Δ＝4－4b>0，解得b<1，且b≠0．
即实数b的取值范围是{b|b<1，且b≠0}．
(2)圆C经过定点且坐标与b无关．
证明如下：设所求圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得函数f (x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和两坐标轴的交点，
令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．
令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，
由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得E＝－b－1，
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0(b<1，且b≠0)．
题号
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把圆C的方程改写为x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0，
令解得
故圆C过定点(0，1)和(－2，1)．
题号
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谢 谢 ！课后作业(五十六)　圆的方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共89分
一、单项选择题
1．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离是 (　　)
A．2 B．2
C．3 D．
2．(2026·河南郑州模拟)已知圆A的圆心为(4，4)，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为 (　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
3．(2025·贵州三模)“关于x，y的方程：x2＋y2＋ax＋2y＋2＝0表示圆”是“a>2”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2025·长宁区期末)已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC外接圆的方程是 (　　)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．(x＋3)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋3)2＝5 D．(x－3)2＋y2＝5
5．(2025·北京顺义一模)已知A(1，0)，B(0，1)，C(0，3)，点M满足＝0，则|AM|的可能取值是 (　　)
A．4 B．
C．1 D．
6．(2026·江苏常州模拟)实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝2，则的取值范围是 (　　)
A．[－7，1]
B．[－1，7]
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
二、多项选择题
7．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是 (　　)
A．F＝4
B．圆关于直线y＝－2x对称
C．圆与y轴相切
D．的最大值为9
8．已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有 (　　)
A．|PA|·|PB|＝10
B．＝3
C．|PA|2＋|PB|2＝10
D．|PA|2－|PB|2＝10
三、填空题
9．(2026·山东菏泽模拟)写出一个半径为，且与直线2x－3y＋6＝0相切于点(3，4)的圆的方程：________________．
10．已知线段AB的端点B的坐标是(5，3)，端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
四、解答题
11．(13分)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点．
(1)求圆C的方程；
(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程．
12．(多选)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为 (　　)
A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4
B．点P到原点O的距离的最大值为5
C．△PAB面积的最大值为4
D．的最大值为18
13．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．
14．(13分)在平面直角坐标系Oxy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
(1)求实数b的取值范围；
(2)请问圆C是否经过某定点，且定点坐标与b无关？请证明你的结论
课后作业(五十六)
1．C　2．A　3．B
4．B　[由题意知，△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
∴圆的半径为，圆心为(－3，0)，
∴圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5，故选B．]
5．B　[设点M(x，y)，由＝(－x，1－y)·(－x，3－y)＝0，整理得x2＋(y－2)2＝1，
即点M的轨迹是以E(0，2)为圆心，半径为1的圆，
因为|AE|＝>1，即点A(1，0)在圆外，
则|AM|表示圆外的点A(1，0)到圆E上的点的距离，如图，有－1≤|AM|≤＋1．
故选B．]
6．C　[由圆的方程(x－1)2＋(y－1)2＝2，可得圆心为(1，1)，半径为r＝，
又由表示圆上的点P(x，y)与点A(0，－2)连线的斜率，
当直线AP与圆相切时，如图所示，设＝t，可得tx－y－2＝0，圆心到直线AP的距离为，
则，整理得t2＋6t－7＝0，解得t＝－7或t＝1，可得的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．故选C．]
7．ABD　[由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
化成圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，A正确；
因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确；
圆心到y轴的距离d＝2<4，则圆与y轴相交，C错误；
的几何意义为圆上任意一点(x，y)到点(2，1)的距离，
从而的最大值为圆心(2，－4)到点(2，1)的距离与半径之和，
故的最大值为
＋4＝9，D正确．
故选ABD．]
8．BC　[如图所示，以线段AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设P(x，y)，则
A(－2，0)，B(2，0)．
A项，若|PA|·|PB|＝10，
则·＝10，
整理得(x2＋y2＋4)2－(4x)2＝100，
以－x代替x，以－y代替y，方程不变，
故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点，
令x＝0，得y＝±；
令y＝0，得x＝±，
所以该轨迹不是圆，故A错误；
B项，由|PA|＝3|PB|，得|PA|2＝9|PB|2，
即(x＋2)2＋y2＝9，
整理得x2＋y2－5x＋4＝0，即＋y2＝，
所以点P的轨迹是以为半径的圆，故B正确；
C项，若|PA|2＋|PB|2＝10，则(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝10，
即x2＋y2＝1，所以点P的轨迹为圆，故C正确；
D项，因为|PA|2－|PB|2＝10，
所以(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2＝10，
即x＝，所以点P的轨迹为直线，故D错误．故选BC．]
9．(x－1)2＋(y－7)2＝13或(x－5)2＋(y－1)2＝13(写1个即可)　[设圆心坐标为(a，b)，半径为，
结合圆与直线2x－3y＋6＝0相切于点(3，4)，
得
解得
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－7)2＝13或(x－5)2＋(y－1)2＝13．]
10．＝1　[设A(a，b)，M(x，y)，由M为AB的中点，
则
由点A在圆x2＋y2＝4上，则a2＋b2＝4，
即(2x－5)2＋(2y－3)2＝4，
化简可得＝1．]
11．解：(1)由题意可知，AB的中点为(2，3)，kAB＝0，
所以AB的中垂线方程为x＝2，
它与x轴的交点为圆心C(2，0)，
又半径r＝|AC|＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由＝3，
得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
所以
又点P在圆C上，故(x0－2)2＋＝10，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝．
12．ABD　[设动点P(x，y)，
则由＝2，得＝2，
即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，
化简得x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确；
因为点P的轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，
则点P到原点O的距离的最大值为d＝
＋2＝5，B正确；
又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3，
所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2＝3，C错误；
又＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2，
因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，
所以＝－5x－7(－5≤x≤－1)，
则≤－5×(－5)－7＝18，D正确．
故选ABD．]
13．　[如图所示，以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则A，B，C，设P(x，y)，
由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，得x2＋＋y2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－y－＝0，
即x2＋，
因此，点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆， |PA|的最大值等于|MA|＋r＝．]
14．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，
令f (x)＝x2＋2x＋b＝0，
由题意得b≠0，且Δ＝4－4b>0，解得b<1，且b≠0．
即实数b的取值范围是{b|b<1，且b≠0}．
(2)圆C经过定点且坐标与b无关．
证明如下：设所求圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得函数f (x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和两坐标轴的交点，
令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．
令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，
由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得E＝－b－1，
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0(b<1，且b≠0)．
把圆C的方程改写为x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0，
令
解得
故圆C过定点(0，1)和(－2，1)．
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