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龙东地区中考数学押题卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（　　）
A．（a2b）3＝a6b3 B．a2+a＝a3 C．a3 a4＝a12 D．a6÷a3＝a2
2．某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．在桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的最少个数为（　　）
A．5个 B．8个 C．10个 D．13个
4．学校组织爱国诗词朗诵比赛，有17位同学晋级决赛，每位选手得分各不相同．小红想要确定自己是否进入前8名；除了知道自己的得分以外，她还要了解这17名同学得分的（　　）
A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数
5．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
6．关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a≠1 C．a＞﹣1且a≠0 D．a＜﹣1
7．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线y = （k≠0）上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为（　　）
A． B．- C． D．-
9．如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN BF＝EC HN；④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC=；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
二．填空题（每小题3分，共30分）
11．电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为　 　 ．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为 　 　．
14．2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为 　 　 ．
15．不等式组 的解集是x＜m﹣2，则m的取值应为　 　．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则⊙O的直径长等于　 　 ．
17．已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6．则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 　 　．
18．如图，对折正方形纸片ABCD，得到折痕EF，将纸片展平，在AD上取一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形ABCD内部点M处，将纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ若正方形ABCD的边长为6，FQ＝1，则AP的长为 　 　 ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是 　 　 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y = -x+3交x轴于点A，交y轴于点B．四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4， 都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4， 都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4， 都在直线 y = -x+3上，连接BA1，B1A2，B2A3，B3A4， 分别交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4， 于点D1，D2，D3，D4， ．设△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4， 的面积分别为S1，S2，S3，S4， ，则S2025＝　 　 ．
三．解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+tan45°．
22．（6分）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求BC边所扫过的面积．（结果保留π）
23．（6分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求直线BC对应的函数表达式；
（3）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值．
24．（7分）为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动，某校为了解全校1000名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）本次调查属于　 　调查，样本容量是　 　；
（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；
（3）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（4）估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．
25．（8分）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A地路程s（米）之间的函数图象．
（1）a＝　 　，乐乐去A地的速度为 　 　；
（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．
26．（8分）△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，M是BC的中点，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD并延长到点E，使得DE＝AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F．
（1）如图①，点D在线段BM上，求证：CD＝DB+CF
（2）当点D在线段MC上时，如图②；当点D在MC的延长线上时，试探究线段CD，DB，CF之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．如图③，直接写出线段CD，DB，CF之间的数量关系，不需证明．
27．（10分）佳木斯市某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
28．（10分）如图，已知直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，OA，OB（OA＞OB）的长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，设点E的坐标为（﹣2，t），△ABE的面积为S．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）若点E在直线AB的上方，S＝2S△AOB，N是x轴上一点，M是直线AB上一点，是否存在点N，使△EMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A．2．D．3．A．4．B．5．C．6．A．7．B．8．D．9．B．10．C．
二．填空题
11．1.57×1010．12．x≠．13．AB∥DC（答案不唯一）．14．．15．m≥﹣3．
16．4．17．120°．18．3或．19．4.8．20．．
三．解答题
21．解：原式＝ ＝，当x＝+tan45°＝+1时，原式＝＝．
22．解：（1）画图略，点A1的坐标为：（1，﹣1）；（2）画图略；
（3）∵OB2＝32+22＝13，OC2＝42+22＝20，
∴BC边所扫过的面积是：＝．
23．解：（1）由题可得，抛物线过点A（1，0），C（0，5），
把点A和C代入抛物线的解析式，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）当y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
所以点B（5，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把点B和C代入解析式得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
（3）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），
∵MN∥y轴，
∴N（x，﹣x+5），
∴MN＝﹣x+5﹣x2+6x﹣5＝，
∴MN在处取得最大值，最大值为．
24．解：（1）抽样，50；（2）画图略，
（3）由题意可得，
＝5，
即这50名学生每周课外体育活动时间的平均数是5；
（4）由题意可得，
全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有：1000×（人），
即全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有300人．
25．解：（1）2，200米/分钟；
（2）设FG的解析式为：s＝kt+b（k≠0），
∵s＝kt+b（k≠0）的图象过点F（3，0）、G（7，1200），
∴，解得：，
∴FG的解析式为：s＝300t﹣900（3＜t≤7），
即乐乐从A地到C地的函数解析式：s＝300t﹣900（3＜t≤7）；
（3）设OH的解析式为：s＝kt（k≠0），
∵s＝kt（k≠0）的图象过点H（8，1200），
∴1200＝8k，解得：k＝150，
∴OH的解析式为：s＝150t（0≤t≤8），
即男男从A地到C地的函数解析式：s＝150t，
①0≤t≤2时，
200t＝400﹣150t，
解得：t＝；
②2＜t≤3时，
400＝150t﹣400，
解得：t＝＞3，舍去；
③3＜t≤7时，
400﹣（300t﹣900）＝150t﹣400或（300t﹣900）﹣400＝150t﹣400，
解得：t＝或t＝6，
综上，两人距B地的距离相等的时间为分钟或分钟或6分钟．
26．解：（1）证明：
过点E作EG⊥CB交CB的延长线于G，如图①所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠G＝∠ACD＝90°，
在△EGD和△ACD中，
，
∵△EGD≌△ACD（AAS），
∴DG＝CD＝DB+BG，EG＝AC，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∴EG＝BC，
∵BF⊥BE，EG⊥CB，
∴∠EBG+∠FBC＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠BEG＝∠FBC，
在△BEG和△FBC中，
，
∴△BEG≌△FBC（ASA），
∴BG＝CF，
∴CD＝DB+BG＝DB+CF；
当点D在线段MC上时，结论是 DB＝CD+CF，
证明如下：
过点E作EH⊥BC于H，如图②所示：
同理：△EHD≌△ACD（AAS），△EBH≌△BFC（ASA），
∴DH＝CD，BH＝CF，
∴DB＝DH+BH＝CD+CF；
图③的结论是： CF＝BD+CD．
27．解：（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则 ，
解得： ，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇（80﹣m）箱，
则 ，
解得：40≤m≤42，
∵m为正整数，
∴m＝40，41，42，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
28．解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0，
得x1＝2 x2＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝2，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把点A（﹣4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，
得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y= x+2；
（2）连接OE．
当x＝﹣2 时，y = （﹣2）+2＝1；
当t＞1时，S＝S△AOE+S△OBE﹣S△AOB＝2t﹣2；
当0＜t＜1时，S＝S△AOB﹣S△AOE﹣S△OBE＝﹣2t+2；
当t≤0时，S＝S△AOB+S△AOE﹣S△OBE＝﹣2t+2．
综上所述，S = ；
（3）存在．
点N的坐标为（，0）或（﹣3，0）．
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