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第61课时　抛物线
[考试要求]　1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3．了解抛物线的简单应用．4．理解数形结合的思想．
1．(苏教版选择性必修第一册P116练习T2)抛物线y＝2x2的焦点坐标是 (　　)
A．
C．
2．(北师大版选择性必修第一册P75练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 (　　)
A．
D．0
3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于 (　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为___________．
5．(人教B版选择性必修第一册P167习题2-7AT2改编)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是___________．
1．抛物线的概念
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离___________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的___________，直线l叫做抛物线的___________．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 ______
对称 轴 y＝0 x＝0
焦点 坐标 F ______ ______ F
离心 率 e＝1
准线 方程 ______ x＝ y＝－ ______
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
[二级结论]　与焦点弦有关的常用结论
如图，过点F且倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点且与对称轴垂直的弦长等于2p；
(4)焦半径：|AF|＝(点A在x轴上方)，|BF|＝(点B在x轴下方)，特别地；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|OF|·|y1－y2|．
1．求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法．当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．
2．抛物线性质的应用要树立两个意识
(1)转化意识：见准线想焦点，见焦点想准线．
(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．
考点一　抛物线的定义及标准方程
　求抛物线的标准方程
[典例1]　(1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A是抛物线C上一点，AD⊥l于D．若AF＝2，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为 (　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(2)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为___________．
【拓展变式】　本例(2)的条件变为“动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3”，则动点M满足的方程为___________．
　抛物线上的点到定点的距离及最值
[典例2]　(1)(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝ (　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)(2026·福建名校联考)设抛物线C：x2＝8y的焦点为F，A(4，5)，点B在C上，则△FAB的周长的最小值为 (　　)
A．8 B．10
C．12 D．16
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：抛物线定义的应用规律
[巩固迁移]
1．已知点F(0，1)，动点M在直线l：y＝－1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．则曲线C的方程为 (　　)
A．x2＝－4y B．x2＝4y
C．x2＝－2y D．x2＝2y
2．已知P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为 (　　)
A．6 B．10
C．4 D．8
考点二　抛物线的几何性质
[典例3]　(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为___________．
(2)(2026·四川锦江区校级模拟)已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且||＝12，则p的值为 (　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
[巩固迁移]
3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则|AF|＝ (　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为___________．
考点三　直线与抛物线的位置关系
[典例4]　(1) (多选)(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则 (　　)
A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB|
C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18
(2)(2026·江西上饶模拟)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，若＝0，则△OMN的面积为___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用．
[巩固迁移]
5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是 (　　)
A．10 B．9
C．8 D．5
6．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，过抛物线x2＝2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (　　)
A．抛物线在点x＝1处的切线方程为2x－2y－1＝0
B．若点M坐标为＝0
C．|OA|＋|OB|>
D．若BN垂直抛物线准线于点N，则A，O，N三点在一条直线上
第61课时　抛物线
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．B　3．B　4．y2＝－8x或x2＝－y　5．y2＝16x
No2．储备知识要点
1．相等　焦点　准线
2．O(0，0)　F　x＝－
精研考点·提升素养
考点一
考向1　典例1　(1)C　(2)x2＝12y　[(1)如图，连接DF，设准线与x轴交点为M，
抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l：x＝－，
由抛物线的定义可得|AF|＝|AD|，又∠DAF＝60°，所以△DAF为等边三角形，
所以|DF|＝|AF|＝2，∠DFM＝60°，
所以在Rt△DFM中，|DF|＝2|MF|＝2p＝2，则p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x．故选C．
(2)由题意得，直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，
设圆M的半径为r，则点M到l'：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l'为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
拓展变式
y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0)　[动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，
当x≥0时，动点M到定点F(3，0)的距离等于到直线x＝－3的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝3，即p＝6，所以y2＝12x；
当x<0时，直线y＝0上的点满足条件．
综上所述，动点M的轨迹方程为：当x≥0时，y2＝12x；当x<0时，y＝0．]
考向2　典例2　(1)C　(2)C　[(1)根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，A(4，4)，所以|AF|＝|AB|＝5．
(2)如图，由已知，抛物线的准线方程为y＝－2，△FAB周长为|AB|＋|BF|＋|AF|，
设BD垂直于抛物线的准线于D，则由抛物线的定义，|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋|AF|，
因为F(0，2)，A(4，5)，
所以|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋5，
要使周长最小，即|AB|＋|BD|最小，
当且仅当A，B，D三点共线时，取最小值为7，
所以最小周长为12．]
巩固迁移
1．B　[法一(轨迹方程法)：
设点P(x，y)，则点M(x，－1)．连接PF，由题意知
|PF|＝|PM|，即＝|y＋1|，整理得x2＝4y，则曲线C的方程为x2＝4y．
法二(几何定义法)：
由题意知，点P到点F(0，1)的距离等于其到直线y＝－1的距离，
则点P的轨迹为以F(0，1)为焦点，以y＝－1为准线的抛物线，
则曲线C的方程为x2＝4y．故选B．]
2．D　[如图，过点P作PH垂直准线于点H，连接PM交☉M于点Q．
由题意可得F(2，0)，C的准线方程为x＝－2，|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|．
因为|PQ|＝|PM|－|QM|＝|PM|－2，
所以|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PM|－2，
当M，P，H三点共线时，|PH|＋|PM|取得最小值，最小值为8＋2＝10，
所以|PF|＋|PQ|的最小值为10－2＝8．
故选D．]
考点二
典例3　(1)x＝－　(2)B　[(1)法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－．
法二(射影定理法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，此时|＝(x1＋x2＋x3)＋，
因为F为△ABC 的重心，
所以，所以x1＋x2＋x3＝，
则||＝3p＝12，解得p＝4．故选B．]
巩固迁移
3．C
4．　[法一(通性通法)：由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为点M，根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|＝4， 设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x，可得y＝±2，所以△POF的面积为．
法二(巧用结论)：设点P在第一象限，∠PFx＝θ，则|PF|＝＝4，
∴cos θ＝，即θ＝60°．
设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin θ＝4×，
∴S△POF＝．]
考点三
典例4　(1)ACD　(2)　[(1)直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AD|＝|AF|，故A正确；
当AB⊥x轴时，令A，B，则E，|AB|＝6，|AE|＝3，此时|AE|≠|AB|，故B错误；
易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－6my－9＝0，Δ>0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；
由C项可知，当m＝0，即AB⊥x轴时，|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18．当m≠0时，直线EF：x＝－，E，|EF|＝，S△AEB＝(6＋6m2)·＝9(1＋m2>9，所以|AE|·|BE|>>18．综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确．故选ACD．
(2)由抛物线C：x2＝8y，则p＝4，其焦点F(0，2)，
由题意易知直线l的斜率k存在，可设为y＝kx＋2，
设N(x1，y1)，M(x2，y2)，x1<0，x2>0，
联立消去y可得x2－8kx－16＝0，Δ＝64k2＋64>0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，
由＝(x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)，且＝0，则x2＝－3x1，
由x1x2＝－16，则－3＝－16，
解得x1＝－，x2＝4，
所以S△OMN＝．]
巩固迁移
5．B　[由题知C的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，作AM垂直于准线，BN垂直于准线，l：y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0，即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4>0 k2<1，
∴x1x2＝＝1．
又∵|AF|＝|AM|＝x1＋1，
|BF|＝|BN|＝x2＋1，
∴4|AF|＋|BF|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5≥2＋5＝2×2＋5＝9，
当且仅当4x1＝x2时取等号．故选B．]
6．AD　[对于A，由抛物线x2＝2y，得y＝x2，得y'＝x，抛物线在点x＝1处切线的斜率为k＝1，
则切线方程为y－＝x－1，即2x－2y－1＝0，A正确；
对于B，抛物线的焦点为，由题意知，直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y＝kx＋，
联立
可得x2－2kx－1＝0，Δ>0，所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1，
y1y2＝k(x1＋x2)＋，
则(y1＋y2)＋y1y2＝k2，即B错误；
对于C，当直线AB与x轴平行时，A，B或B，A，故|OA|＝|OB|＝，|OA|＋|OB|＝，故C错误；
对于D，BN垂直抛物线准线于点N，即直线x＝x2与准线y＝－的交点，得N，直线OA的方程为y＝x，与x＝x2的交点坐标为N'，
因为，得N'，即N与N'重合，所以A，O，N三点在一条直线上，故D正确．故选AD．]
6/6(共94张PPT)
第61课时　抛物线
第八章　解析几何
[考试要求]
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．了解抛物线的简单应用．
4．理解数形结合的思想．
以题引理·激活思维
1．(苏教版选择性必修第一册P116练习T2)抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)
A．
C．
√
D　[抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，
所以焦点在y轴上，由2p＝．]
2．(北师大版选择性必修第一册P75练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A．
D．0
√
B　[点M到准线的距离等于M到焦点的距离，
又准线方程为y＝－＝1，
∴y0＝．]
3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
√
B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．]
4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为_________________________．
y2＝－8x或x2＝－y　[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝
－y．]
y2＝－8x或x2＝－y
5．(人教B版选择性必修第一册P167习题2-7AT2改编)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是_____________．
y2＝16x　[∵点M到F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，
∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，∴点M的轨迹方程为y2＝16x．]
y2＝16x
1．抛物线的概念
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______．
相等
焦点
准线
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 ____________
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 坐标 F __________ __________ F
离心率 e＝1
准线 方程 ________ x＝ y＝－ ____________
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
O(0，0)
[二级结论]　与焦点弦有关的常用结论
如图，过点F且倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：
|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点且与对称轴垂直的弦长等于2p；
(4)焦半径：|AF|＝
；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：
S△AOB＝|OF|·|y1－y2|．
1．求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法．当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．
2．抛物线性质的应用要树立两个意识
(1)转化意识：见准线想焦点，见焦点想准线．
(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．
考点一　抛物线的定义及标准方程
考向1　求抛物线的标准方程
[典例1]　(1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A是抛物线C上一点，AD⊥l于D．若AF＝2，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
精研考点·提升素养
√
(2)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为_____________．
x2＝12y
(1)C　(2)x2＝12y　[(1)如图，连接DF，设准线与x轴交点为M，
抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，
由抛物线的定义可得|AF|＝|AD|，又∠DAF＝60°，所以△DAF为等边三角形，
所以|DF|＝|AF|＝2，∠DFM＝60°，
所以在Rt△DFM中，|DF|＝2|MF|＝2p＝2，
则p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x．故选C．
(2)由题意得，直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，
设圆M的半径为r，则点M到l'：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l'为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
【拓展变式】　本例(2)的条件变为“动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3”，则动点M满足的方程为______________________________．
y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0)　[动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，当x≥0时，动点M到定点F(3，0)的距离等于到直线x＝－3的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝3，即p＝6，所以y2＝12x；当x<0时，直线y＝0上的点满足条件．
综上所述，动点M的轨迹方程为：当x≥0时，y2＝12x；当x<0时，y＝0．]
y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0)
【教用·备选题】
动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
√
D　[设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1．又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1．根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D．]
考向2　抛物线上的点到定点的距离及最值
[典例2]　(1)(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
√
(2)(2026·福建名校联考)设抛物线C：x2＝8y的焦点为F，A(4，5)，点B在C上，则△FAB的周长的最小值为(　　)
A．8 B．10
C．12 D．16
√
(1)C　(2)C　[(1)根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，A(4，4)，
所以|AF|＝|AB|＝5．
(2)如图，由已知，抛物线的准线方程为y＝－2，△FAB周长为|AB|＋|BF|＋|AF|，
设BD垂直于抛物线的准线于D，则由抛物线的定义，|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋|AF|，因为F(0，2)，A(4，5)，
所以|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋5，
要使周长最小，即|AB|＋|BD|最小，
当且仅当A，B，D三点共线时，取最小值为7，
所以最小周长为12．]
名师点评：抛物线定义的应用规律
[巩固迁移]
1．已知点F(0，1)，动点M在直线l：y＝－1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．则曲线C的方程为(　　)
A．x2＝－4y B．x2＝4y
C．x2＝－2y D．x2＝2y
√
B　[法一(轨迹方程法)：
设点P(x，y)，则点M(x，－1)．连接PF，由题意知
|PF|＝|PM|，即＝|y＋1|，整理得x2＝4y，则曲线C的方程为x2＝4y．
法二(几何定义法)：
由题意知，点P到点F(0，1)的距离等于其到直线y＝－1的距离，
则点P的轨迹为以F(0，1)为焦点，以y＝－1为准线的抛物线，
则曲线C的方程为x2＝4y．故选B．]
2．已知P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为
(　　)
A．6 B．10
C．4 D．8
√
D　[如图，过点P作PH垂直准线于点H，连接PM交☉M于点Q．
由题意可得F(2，0)，C的准线方程为x＝－2，|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|．
因为|PQ|＝|PM|－|QM|＝|PM|－2，
所以|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PM|－2，
当M，P，H三点共线时，|PH|＋|PM|取得最小值，
最小值为8＋2＝10，
所以|PF|＋|PQ|的最小值为10－2＝8．故选D．]
【教用·备选题】
1．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线l与坐标轴交于点N，M是抛物线上一点，若|FN|＝|FM|，则△FMN的面积为(　　)
A．4 B．2
D．2
√
D　[由x2＝4y，得p＝2，则|FN|＝|FM|＝2，
根据抛物线的定义知|FM|＝yM＋＝yM＋1＝2，
解得yM＝1，代入x2＝4y，得xM＝±2，
所以△FMN的面积为×2×2＝2．
故选D．]
2．已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于_____________．
42或22　[当点M(20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|．
当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42．
42或22
当M(20，40)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58．
当p＝58时，y2＝116x，
点M(20，40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22．]
3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为_____________．
y2＝8x　[如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，
由抛物线的定义可知，|AA1|＝|FA|，|BB1|＝|FB|，
∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|，
y2＝8x
则易知B为AD的中点．连接OB，
则OB为△DFA的中位线，
∴2|OB|＝|FA|，∴|OB|＝|FB|，
∴点B在线段OF的垂直平分线上，
∴点B的横坐标为，
∴|FB|＝＝3，∴p＝4，
∴抛物线C的标准方程为y2＝8x．]
考点二　抛物线的几何性质
[典例3]　(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为_____________．
(2)(2026·四川锦江区校级模拟)已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且||＝12，则p的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
√
x＝－
(1)x＝－　(2)B　[(1)法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝．
法二(射影定理法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝
．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，此时|，
因为F为△ABC 的重心，所以，
则||＝3p＝12，解得p＝4．故选B．]
名师点评：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
[巩固迁移]
3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则|AF|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
√
C　[抛物线及其准线如图所示，过点A作AB垂直准线于点B，
过焦点F作FC垂直于AB于点C，由题意可知p＝2，∠AFx＝∠FAC＝，
根据抛物线的定义知，|AF|＝|AB|＝|AC|＋|CB|．
在Rt△AFC中，|AC|＝|AF|·cos|AF|，
又|BC|＝p＝2，所以|AF|＝|AB|＝|AF|＋2，
解得|AF|＝4．故选C．]
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为_____________．
．
法二(巧用结论)：设点P在第一象限，∠PFx＝θ，则|PF|＝，即θ＝60°．
设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin θ＝4×，
∴S△POF＝．]
考点三　直线与抛物线的位置关系
[典例4]　(1) (多选)(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　　)
A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB|
C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18
(2)(2026·江西上饶模拟)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，若＝0，则△OMN的面积为_____________．
√
√
√
(1)ACD　(2)　[(1)直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AD|＝|AF|，故A正确；当AB⊥x轴时，令A，
则E，此时|AE|≠|AB|，故B错误；
易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋
得y2－6my－9＝0，Δ>0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；
由C项可知，当m＝0，即AB⊥x轴时，|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18．当m≠0时，直线EF：x＝－|AE|·|BE|sin∠AEB＝(6＋6m2)·>9，所以|AE|·|BE|>>18．
综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确．故选ACD．
(2)由抛物线C：x2＝8y，则p＝4，其焦点F(0，2)，
由题意易知直线l的斜率k存在，可设为y＝kx＋2，
设N(x1，y1)，M(x2，y2)，x1<0，x2>0，
联立消去y可得x2－8kx－16＝0，Δ＝64k2＋64>0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，
由＝0，则x2＝－3x1，
由x1x2＝－16，则－3，
所以S△OMN＝．]
名师点评：解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．
(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
[巩固迁移]
5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是(　　)
A．10 B．9
C．8 D．5
√
B　[由题知C的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，作AM垂直于准线，BN垂直于准线，l：y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0，
即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4>0 k2<1，
∴x1x2＝＝1．
又∵|AF|＝|AM|＝x1＋1，|BF|＝|BN|＝x2＋1，
∴4|AF|＋|BF|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5≥2＋5＝2×2＋5＝9，
当且仅当4x1＝x2时取等号．故选B．]
6．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，过抛物线x2＝2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(　　)
A．抛物线在点x＝1处的切线方程为2x－2y－1＝0
B．若点M坐标为＝0
C．|OA|＋|OB|>
D．若BN垂直抛物线准线于点N，则A，O，N三点在一条直线上
√
√
AD　[对于A，由抛物线x2＝2y，得y＝x2，得y'＝x，抛物线在点x＝1处切线的斜率为k＝1，
则切线方程为y－＝x－1，即2x－2y－1＝0，A正确；
对于B，抛物线的焦点为
，
联立
可得x2－2kx－1＝0，Δ>0，所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1，
y1y2＝，
则(y1＋y2)＋y1y2＝k2，即B错误；
对于C，当直线AB与x轴平行时，A，故C错误；
对于D，BN垂直抛物线准线于点N，即直线x＝x2与准线y＝－
，
因为，即N与N'重合，
所以A，O，N三点在一条直线上，故D正确．故选AD．]
【教用·备选题】
1．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
√
√
AC　[由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．
因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，A正确；
不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1，B错误；
l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为
＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，C正确；
由两点间距离公式可得|OM|＝，D错误．故选AC．]
2．抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是_____________．
(－)　[当k＝0时，显然成立．当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由＝2x2，两式相减得(y1＋y2)·(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝
，且k≠0．
综上，k的取值范围为(－)．]
(－)
一、单项选择题
1．(2025·北京朝阳二模)若抛物线C：x2＝my(m≠0)的焦点坐标为(0，－1)，则抛物线C的准线方程为(　　)
A．x＝2 B．x＝1
C．y＝2 D．y＝1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(六十一)　抛物线
√
D　[因为抛物线C：x2＝my(m≠0)的焦点坐标为(0，－1)，所以抛物线方程为x2＝－4y，准线方程为y＝1．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2026·湖北武汉模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，4)在抛物线上，点M到点F的距离与到直线y＝－的距离相等，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
B　[抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，又点M(x0，4)在抛物线上，
根据抛物线的定义可知，点M到点F的距离与到直线x＝－，解得x0＝4，
即M(4，4)，所以42＝2p×4，解得p＝2．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
3．(2026·河北山海关区模拟)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝
(　　)
A．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[由抛物线的性质可得，|PF|＝|PQ|，又∠PQF＝30°，则易知PF的倾斜角为120°，
则，
所以|PQ|＝．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，
∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，
从而得a＝
，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
5．(2026·云南昆明模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则的值为(　　)
A．
C．3 D．2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[由题意可得，F(1，0)，设B(x1，y1)，由延长FB交准线于点C，且|BC|＝2|BF|，
则．
所以直线AB的方程为y＝(x－1)，即y＝(x－1)，
联立消去y可得3x2－10x＋3＝0，Δ>0，
则xA＋x1＝＝3．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14
C．12 D．10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－
(x－1)．
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
同理得|DE|＝4＋4k2，
所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋＝16，
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号．
故|AB|＋|DE|的最小值为16．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．抛物线C：x2＝2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t，1)时，|PF|＝2，直线l与抛物线相交于A，B两点，下列结论正确的是
(　　)
A．抛物线的方程为x2＝8y
B．抛物线的准线方程为y＝－1
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．|AF|＋|BF|≥4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
BC　[对于A，当P运动到(t，1)时，|PF|＝1＋＝2，故p＝2，即抛物线为x2＝4y，故A错误；
对于B，由x2＝4y，故抛物线的准线方程为y＝－1，故B正确；
对于C，当直线l过焦点F时，设A为(x0，y0)，则|AF|＝y0＋＝y0＋1，
故以AF为直径的圆的半径为
，
圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切，故C正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
对于D，由题意直线l斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m，
联立
整理得x2－4kx－4m＝0，Δ＝(－4k)2＋16m>0，
即k2＋m>0，所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4m，
所以yA＋yB＝k(xA＋xB)＋2m＝4k2＋2m，
yAyB＝＝m2，
所以|AF|＋|BF|＝yA＋1＋yB＋1＝yA＋yB＋2＝4k2＋2m＋2，
不能确定什么时候最小，则D错误．故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过C的焦点F作直线l：x＝ty＋1，若C与l交于A，B两点，，则下列结论正确的有(　　)
A．p＝2
B．|AF|＝3
C．t＝2
D．线段AB中点的横坐标为
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
ABD　[抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F在x轴上，过F作直线l：x＝ty＋1，可知F(1，0)，则＝1，得p＝2，A选项正确；
抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，，得y1＝－2y2，
解得y1＝－2，
t＝，C选项错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
则x1＝2，x2＝，D选项正确；
|AB|＝x1＋x2＋p＝＝3，B选项正确．故选ABD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、填空题
9．(人教A版选择性必修第一册P139习题3.3T8改编)如图为抛物线形拱桥，当拱桥的顶点距离水面3 m时，水面宽12 m，则水面上升1 m后，水面宽度为_____________m．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4
4　[如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝my，
将A(6，－3)代入x2＝my(m<0)，解得m＝－12，所以x2＝－12y，将B(x0，－2)代入，解得x0＝2 m．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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10．(人教B选择性必修第一册P164例2改编)已知点P在抛物线x2＝
－5y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为_____________．
题号
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．]
四、解答题
11．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若，求|AB|．
题号
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[解]　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F．
由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
Δ＝144(t－1)2－4×9×4t2>0，即t<，则x1＋x2＝－，
从而－．所以l的方程为y＝．
题号
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(2)由得y1＝－3y2．
由，
所以y1＋y2＝2．
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．
代入C的方程得x1＝3，x2＝．
故|AB|＝．
题号
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12．已知点A(m，4)(m>0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．
题号
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[解]　(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m>0，∴m＝4．
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝＝0，∴x1＋x2＝－8，
∴kBC＝＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2．
题号
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(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，，
∴x0＝1．
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，
∴－2＋b>．
题号
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由得x2＋8x－4b＝0，Δ＝64＋16b>0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b．
∴|BC|＝|x1－x2|＝
＝．
又b>．
∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．
题号
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13．(2025·浙江台州二模)已知抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，直线l与抛物线Γ交于A，B两点，且M为线段AB的中点．
(1)求抛物线Γ的标准方程；
(2)求直线l的方程；
(3)过点Q(m，1)(m<0)作抛物线Γ的两条切线，
分别交l于C，D两点，求△QCD面积的最小值．
题号
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[解]　(1)因为抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，
所以＝1 p＝2，所以抛物线Γ：y2＝4x．
(2)由题易知直线AB的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则．
因为线段AB的中点为M，
所以y1＋y2＝2，x1＋x2＝5，所以＝2，
则AB的方程为y－1＝2，即2x－y－4＝0．
题号
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(3)设抛物线的切线方程为x－m＝t(y－1)，
联立
消去x得y2－4ty＋4t－4m＝0，
由Δ＝0，可得t2－t＋m＝0，
设QC的方程为x－m＝t1(y－1)，
题号
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联立．
所以|CD|＝
＝，
Q点到直线l的距离d＝，所以S△QCD＝，
题号
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令h(m)＝，h'(m)＝，
因为1－4m>0，则m<，
当m<－时，h'(m)<0，h(m)单调递减，
当－时，h'(m)>0，h(m)单调递增，
所以h(m)min＝h．
题号
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谢 谢 ！课后作业(六十一)　抛物线
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、单项选择题
1．(2025·北京朝阳二模)若抛物线C：x2＝my(m≠0)的焦点坐标为(0，－1)，则抛物线C的准线方程为 (　　)
A．x＝2 B．x＝1
C．y＝2 D．y＝1
2．(2026·湖北武汉模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，4)在抛物线上，点M到点F的距离与到直线y＝－的距离相等，则p＝ (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(2026·河北山海关区模拟)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝ (　　)
A． B．
C． D．
4．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为 (　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
5．(2026·云南昆明模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则的值为 (　　)
A． B．
C．3 D．2
6．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为 (　　)
A．16 B．14
C．12 D．10
二、多项选择题
7．抛物线C：x2＝2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t，1)时，|PF|＝2，直线l与抛物线相交于A，B两点，下列结论正确的是 (　　)
A．抛物线的方程为x2＝8y
B．抛物线的准线方程为y＝－1
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．|AF|＋|BF|≥4
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过C的焦点F作直线l：x＝ty＋1，若C与l交于A，B两点，＝2，则下列结论正确的有 (　　)
A．p＝2
B．|AF|＝3
C．t＝2或－2
D．线段AB中点的横坐标为
三、填空题
9．(人教A版选择性必修第一册P139习题3.3T8改编)如图为抛物线形拱桥，当拱桥的顶点距离水面3 m时，水面宽12 m，则水面上升1 m后，水面宽度为________　m．
10．(人教B选择性必修第一册P164例2改编)已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为________．
四、解答题
11．(13分)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|．
12．(15分)已知点A(m，4)(m>0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．
13．(15分)(2025·浙江台州二模)已知抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，直线l与抛物线Γ交于A，B两点，且M为线段AB的中点．
(1)求抛物线Γ的标准方程；
(2)求直线l的方程；
(3)过点Q(m，1)(m<0)作抛物线Γ的两条切线，分别交l于C，D两点，求△QCD面积的最小值．
课后作业(六十一)
1．D　2．B
3．C　[由抛物线的性质可得，|PF|＝|PQ|，又∠PQF＝30°，则易知PF的倾斜角为120°，则|PF|＋|PQ|＝|PF|＝2，从而|PF|＝，所以|PQ|＝．故选C．]
4．B　[如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
又|AF|＝4，
∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝．∵AE∥FG，∴，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x．故选B．]
5．C　[由题意可得，F(1，0)，设B(x1，y1)，由延长FB交准线于点C，且|BC|＝2|BF|，
则，则x1＝， y1＝－．
所以直线AB的方程为y＝(x－1)，
即y＝(x－1)，
联立消去y可得3x2－10x＋3＝0，Δ>0，
则xA＋x1＝，即xA＝3，则＝3．故选C．]
6．A　[由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，故l1：y＝k(x－1)， l2：y＝－(x－1)．
由
消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋．
同理得|DE|＝4＋4k2，
所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16，
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号．
故|AB|＋|DE|的最小值为16．]
7．BC　[对于A，当P运动到(t，1)时，|PF|＝1＋＝2，故p＝2，即抛物线为x2＝4y，故A错误；
对于B，由x2＝4y，故抛物线的准线方程为y＝－1，故B正确；
对于C，当直线l过焦点F时，设A为(x0，y0)，则|AF|＝y0＋＝y0＋1，
故以AF为直径的圆的半径为，又F(0，1)，故以AF为直径的圆的圆心坐标为，
圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切，故C正确；
对于D，由题意直线l斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m，联立
整理得x2－4kx－4m＝0，Δ＝(－4k)2＋16m>0，即k2＋m>0，
所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4m，
所以yA＋yB＝k(xA＋xB)＋2m＝4k2＋2m，yAyB＝＝m2，
所以|AF|＋|BF|＝yA＋1＋yB＋1＝yA＋yB＋2＝4k2＋2m＋2，
不能确定什么时候最小，则D错误．
故选BC．]
8．ABD　[抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F在x轴上，过F作直线l：x＝ty＋1，可知F(1，0)，则＝1，得p＝2，A选项正确；
抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0，Δ>0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，＝2，得y1＝－2y2，
解得y1＝－2，y2＝或y1＝2，y2＝－，
t＝，则t＝或t＝－，C选项错误；
则x1＝2，x2＝，线段AB中点的横坐标为，D选项正确；
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＋2＝，|AF|＝|AB|＝＝3，B选项正确．故选ABD．]
9．4
10．　[设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－5y，而且|PA|2＝x2＋(y＋3)2＝y2＋y＋9＝，又因为y≤0，所以当y＝－时，|PA．因此所求最小值为．]
11．解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4，所以x1＋x2＝．
由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
Δ＝144(t－1)2－4×9×4t2>0，即t<，
则x1＋x2＝－，
从而－，得t＝－．
所以l的方程为y＝x－．
(2)由＝3得y1＝－3y2．
由得y2－2y＋2t＝0，Δ＝4－4×2t>0，即t<，
所以y1＋y2＝2．
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．
代入C的方程得x1＝3，x2＝．
故|AB|＝．
12．解：(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，
又m>0，∴m＝4．
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝＝0，
∴x1＋x2＝－8，
∴kBC＝＝＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2．
(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，
则kPQ＝，
∴x0＝1．∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，
∴－2＋b>，即b>．
由得x2＋8x－4b＝0，
Δ＝64＋16b>0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b．
∴|BC|＝|x1－x2|
＝
＝．
又b>，∴|BC|>10．
∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．
13．解：(1)因为抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，
所以＝1 p＝2，所以抛物线Γ：y2＝4x．
(2)由题易知直线AB的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则．
因为线段AB的中点为M，
所以y1＋y2＝2，x1＋x2＝5，
所以＝2，
则AB的方程为y－1＝2，
即2x－y－4＝0．
(3)设抛物线的切线方程为x－m＝t(y－1)，
联立
消去x得y2－4ty＋4t－4m＝0，
由Δ＝0，可得t2－t＋m＝0，
设QC的方程为x－m＝t1(y－1)，
联立得xC＝，同理xD＝．
所以|CD|＝|xC－xD|＝＝，
Q点到直线l的距离d＝，
所以S△QCD＝|CD|·d＝，
令h(m)＝，
h'(m)＝，
因为1－4m>0，则m<，h'(m)＝0，m＝－，
当m<－时，h'(m)<0，h(m)单调递减，
当－0，h(m)单调递增，
所以h(m)min＝h＝12，此时S△QCD＝6．
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