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陕西渭南市韩城市2025-2026学年第二学期期末检测数学试题
一、单选题
1．在等比数列中，，公比，则（ ）
A．6 B．18 C．27 D．54
2．已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（ ）
A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项
3．已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若，则是该物体（ ）
A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度
C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度
5．若数列满足，，则等于（ ）
A． B．-1 C．2 D．
6．宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
7．已知是定义在上的可导函数，且满足．对任意实数，，若，则必有（ ）
A． B． C． D．
8．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（ ）
A．1013 B．1014 C．2025 D．2026
二、多选题
9．（多选）下列叙述错误的是（ ）
A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列
C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列
10．已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（ ）

A．在上单调递减
B．在处取得极小值
C．
D．在处取得极小值
11．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均不为零的数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列
C．数列的前项和为 D．对任意，都有
三、填空题
12．已知函数的导函数为，且，则__________．
13．已知等差数列的前项和为，若，，则__________．
14．已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为__________．
四、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
16．设等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值及取得最大值时的的值．
17．已知函数，是的导函数．
(1)求的值；
(2)求曲线在处的切线方程；
(3)求的最小值．
18．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和．
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围；
(3)若对任意，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】由等比数列的通项公式得到.
2．D
【详解】根据数列通项可知：，令，
解得，故7是这个数列的第25项．
3．A
【详解】因为函数在某点处的导数即过该点处的切线的斜率，
由图知，.
4．C
【详解】根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导，
这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），
可知表示在这一时刻的瞬时速度．
5．C
【详解】因为，，
所以，，，
所以数列为周期数列，周期为3，即，
所以.
6．B
【详解】因为数列从第5项开始是等差数列，
所以，
．
7．D
【详解】令，所以，所以在上单调递减，
又，所以，所以.
8．A
【详解】，
因为方程的判别式，
所以方程有两个不相等的实数根，设其根为，其中，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以为函数的极值点，且，
由已知，
9．AB
【详解】对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误；
对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同，
那么这两个数列是不同的数列，故B错误；
对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确；
对于D，当时，数列和表示同一数列，故D项正确．
故选：AB.
10．ACD
【详解】由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确；
，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误；
由，时，，单调递减，时，，单调递增，
所以是极小值，D正确．
故选：ACD
11．ACD
【详解】选项A，已知，且各项不为零，
两边同除以得，故A正确；
选项B，由，，可知是首项为1、公差为1的等差数列，
因此，即，故是递减数列，故B错误；
选项C，，
前项和，故C正确；
选项D：要证，代入，即证，
右边通分得，
只需证，
化简得，即，恒成立，D正确.
12．
【详解】因为，
所以，
，解得.
13．33
【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列，
可得，即，解得.
14．
【详解】由题意得：在上恒成立，所以，
令，所以，
当时，，所以在单调递增，
所以，所以，所以实数的最大值为.
15．(1)
；
(2)
.
【详解】（1）；
（2）.
16．(1)，
(2)最大值为30，或时
【详解】（1）设公差为.
由已知可得，解得，
∴，.
（2）因为，，.
所以
，
所以，当时，单调递增；当时，单调递减.
又，
所以，或时，最大，最大值为30．
17．(1)
(2)
（或等价形式）
(3)
【详解】（1）已知，则，
进而.
（2）令，则.
则在处切线斜率.
根据（1）知，切点为.
由点斜式得直线方程 ，整理得切线方程.
（3）由，因，故，即在上单调递增.
又，则当时，，单调递减;
当时，，单调递增.
故在处取最小值，，即最小值为.
18．(1)
(2)
【详解】（1），
当时，，解得．
又当时，，
，，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
．
（2），
由题意知，.
，
设数列的前项和为，
，
，
则，
两式相减得：，
即，
．
19．(1)当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)；
(3)．
【详解】（1）定义域为；
，
当时，，故在上单调递增；
当时，令，解得；
当时，，故在上单调递增；
当时，，解得，故在上单调递增，
，解得，故在上单调递减；
综上：当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）若函数在上有且仅有2个零点，
则在上有两个根，即；
令，；
令，解得；
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
则，，；
因为在上有两个根，故与有两个交点；
故的取值范围为；
（3）由可得，，即，
令，在上恒成立；
因为，故在上单调递增，
故，即，在上恒成立，
由（2）可知，，故的取值范围为．

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