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第67课时　随机事件与概率
[考试要求]　1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．2．理解事件间的关系与运算．3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
1．(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是 (　　)
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
2．(北师大版必修第一册P211习题7－3A组T1)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石(古代容量单位)，验得米内夹谷(假设1粒米与1粒谷的体积相等)，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 (　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
3．(人教A版必修第二册P247习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为 (　　)
A．0.9 B．0.3
C．0.6 D．0.4
4．(北师大版必修第一册P189例3改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向上记为0，则这个试验的样本空间中有
个样本点，有且只有一次正面向上的概率为___________．
5．(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．
(1)如果B A，则P(A∪B)＝______________，
P(AB)＝______________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝___________，
P(AB)＝______________．
1．样本空间与样本点
(1)样本点：随机试验E的每个可能的______称为样本点，常用ω表示．
(2)样本空间：__________________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)随机事件：______________________称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件 (不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
3．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 ______
相等关系 B A且A B ______
并事件(和事件) A与B至少一个发生
交事件(积事件) A与B同时发生 ______
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 ______
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ______，
提醒：对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．
4．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有___________；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性___________．
5．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
6．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝___________．
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1．
性质6：(一般概率加法公式)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝__________________．
7．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐___________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率f n(A)估计概率P(A)．
(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
1．求样本空间中样本点个数的方法
(1)列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．
(2)树状图法：适用于需要分步完成的试验结果．树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复．
(3)排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组合的知识．
2．判断事件关系的三种常用方法：定义法、列举观察法及Venn图法．
考点一　随机事件的关系与运算
[典例1]　(2026·衡水中学开学考试)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为 (　　)
①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有1张是红色；③2张卡片至少有1张是红色；④2张卡片都为绿色．
A．1 B．2
C．3 D．4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
[巩固迁移]
1．(多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A＝“两人都中奖”，B＝“两人都没中奖”，C＝“恰有一人中奖”，D＝“至少一人没中奖”．下列关系正确的是 (　　)
A．B∪C＝D B．A∩C≠
C．C D D．B∩D＝B
考点二　随机事件的频率与概率
[典例2]　如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
[巩固迁移]
2．(多选)已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)＝，则 (　　)
A．P(B)＝
C．P(B∪C)＝ D．P(B∩C)＝0
考点三　古典概型
[典例3]　(1)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为 (　　)
A．
(2)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 (　　)
A．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：利用公式法求解古典概型问题的步骤
[巩固迁移]
3．(1)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 (　　)
A．
(2)(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为___________．
第67课时　随机事件与概率
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．B　2．B　3．D　4.8　　5．(1)0.4　0.2　(2)0.6　0
No2．储备知识要点
1．(1)基本结果　(2)全体样本点
2．(1)样本空间Ω的子集
3．A B　A＝B　A∪B或A＋B　A∩B或AB　A∩B＝ 　A∩B＝ 　A∪B＝Ω
4．(1)有限个　(2)相等
6．P(A)＋P(B)　1－P(B)　P(A)＋P(B)－P(A∩B)
7．(1)稳定于
精研考点·提升素养
考点一
典例1　C　[6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：
“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”．
给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有：
“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”．
而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥．
∴与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为①②④，一共3个．故选C．]
巩固迁移
1．ACD　[对于A，事件B∪C为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以B∪C＝D，故A正确；对于B，事件A∩C表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以A∩C＝ ，故B错误；对于C，“至少一人没中奖”包括“恰有一人中奖”和“两人都没中奖”两种情况，所以C D，故C正确；对于D，由C选项可知B D，所以B∩D＝B，故D正确．]
考点二
典例2　解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为＝0.44．
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间(分钟) 10~ 20 20~ 30 30~ 40 40~ 50 50~ 60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1．
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)巩固迁移
2．ACD　[因为事件A，B，C两两互斥，所以P(B∩C)＝0，故D正确；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋P(B)＝，则P(B)＝，故A正确；P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＋P(C)＝，则P(C)＝，故B错误；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，故C正确．故选ACD．]
考点三
典例3　(1)A　(2)B　[(1)从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种情况，
其中数字之和为5的倍数的有：
(1，4)，(2，3)，(4，6)，共3种情况，
所以所求的概率为．故选A．
(2)画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为．
故选B．]
巩固迁移
3．(1)A　(2)
6/6(共76张PPT)
第67课时　随机事件与概率
第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布
[考试要求]
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2．理解事件间的关系与运算．
3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
以题引理·激活思维
1．(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是(　　)
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
√
B　[“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．]
2．(北师大版必修第一册P211习题7－3A组T1)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石(古代容量单位)，验得米内夹谷(假设1粒米与1粒谷的体积相等)，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 (　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
B　[由抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒估计夹谷频率为，所以这批米内夹谷约为1 534×≈169石．]
√
3．(人教A版必修第二册P247习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)
A．0.9 B．0.3
C．0.6 D．0.4
√
D　[设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件是“该射手在一次射击中不小于8环”．
∵事件包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，
∴P()＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4．]
4．(北师大版必修第一册P189例3改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向上记为0，则这个试验的样本空间中有_______个样本点，有且只有一次正面向上的概率为__________．
8
8　　[这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，0，0)}，共8个样本点． 设事件A＝“有且只有一次正面向上”，则A包含(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)三个样本点，故P(A)＝．]
5．(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．
(1)如果B A，则P(A∪B)＝___________，P(AB)＝___________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝_________，P(AB)＝_________．
0.4
0.2
0.6
0
(1)0.4　0.2　(2)0.6　0　[(1)因为B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2．
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝0．]
1．样本空间与样本点
(1)样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示．
(2)样本空间：_______________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
基本结果
全体样本点
2．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)随机事件：_______________________称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件 (不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
样本空间Ω的子集
3．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 ____
相等关系 B A且A B ______
并事件(和事件) A与B至少一个发生 _____________
交事件(积事件) A与B同时发生 _____________
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 ________
互为对立 A与B有且仅有一个发生 _______，_________
A B
A＝B
A∪B或A＋B
A∩B或AB
A∩B＝
A∩B＝
A∪B＝Ω
提醒：对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．
4．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有_________；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性______．
5．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
有限个
相等
6．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_____________．
P(A)＋P(B)
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝____________．
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1．
性质6：(一般概率加法公式)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝________________________________．
1－P(B)
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
7．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐_________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率f n(A)估计概率P(A)．
(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
稳定于
1．求样本空间中样本点个数的方法
(1)列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．
(2)树状图法：适用于需要分步完成的试验结果．树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复．
(3)排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组合的知识．
2．判断事件关系的三种常用方法：定义法、列举观察法及Venn图法．
考点一　随机事件的关系与运算
[典例1]　(2026·衡水中学开学考试)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为(　　)
①2张卡片都不是红色；
②2张卡片恰有1张是红色；
③2张卡片至少有1张是红色；
④2张卡片都为绿色．
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
精研考点·提升素养
√
C　[6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：
“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”．
给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有：
“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”．
而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥．
∴与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为①②④，一共3个．故选C．]
名师点评：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
[巩固迁移]
1．(多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A＝“两人都中奖”，B＝“两人都没中奖”，C＝“恰有一人中奖”，D＝“至少一人没中奖”．下列关系正确的是(　　)
A．B∪C＝D B．A∩C≠
C．C D D．B∩D＝B
√
√
√
ACD　[对于A，事件B∪C为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以B∪C＝D，故A正确；对于B，事件A∩C表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以A∩C＝ ，故B错误；对于C，“至少一人没中奖”包括“恰有一人中奖”和“两人都没中奖”两种情况，所以C D，故C正确；对于D，由C选项可知B D，所以B∩D＝B，故D正确．]
考点二　随机事件的频率与概率
[典例2]　如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间 (分钟) 10~ 20 20~ 30 30~ 40 40~ 50 50~
60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
[解]　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为＝0.44．
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间 (分钟) 10~ 20 20~ 30 30~ 40 40~ 50 50~
60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1．
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)名师点评：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
[巩固迁移]
2．(多选)已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)＝，P(A∪B)＝，P(A∪C)＝，则(　　)
A．P(B)＝ B．P(C)＝
C．P(B∪C)＝ D．P(B∩C)＝0
√
√
√
ACD　[因为事件A，B，C两两互斥，所以P(B∩C)＝0，故D正确；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋P(B)＝，则P(B)＝，故A正确；P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＋P(C)＝，则P(C)＝，故B错误；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，故C正确．故选ACD．]
【教用·备选题】
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．
一次购 物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件及以上
顾客数/人 x 30 25 y 10
结算时 间/(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
[解]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝．
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝，
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为．
考点三　古典概型
[典例3]　(1)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为
(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A． B．
C． D．
√
(1)A　(2)B　[(1)从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种情况，
其中数字之和为5的倍数的有：
(1，4)，(2，3)，(4，6)，共3种情况，
所以所求的概率为．故选A．
(2)画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为．故选B．]
名师点评：利用公式法求解古典概型问题的步骤
[巩固迁移]
3．(1)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为_____________．
(1)A　(2)　[(1)设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：
乙 甲 A B C D E F
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) (D，F)
E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) (E，F)
F (F，A) (F，B) (F，C) (F，D) (F，E) (F，F)
共36种情况．其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为．故选A．
(2)从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为＝56，
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，
则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点共3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为．]
【教用·备选题】
班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[根据题意，画出树状图如图所示．

由图可知，共有24种等可能的结果，其中A，B两位同学座位相邻的结果有12种，故A，B两位同学座位相邻的概率是．故选A．]
一、单项选择题
1．从6个男生、3个女生中任意选派4人，则下列事件中是必然事件的是(　　)
A．3个都是男生 B．至少有1个男生
C．3个都是女生 D．至少有1个女生
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课后作业(六十七)　随机事件与概率
√
B　[从6个男生、3个女生中任意选派4人，由于女生只有3名，故至少有1个男生是必然事件．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第1 001次出现正面朝上的概率是(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[由概率的性质得，无论试验多少次，概率始终不变，故第1 001次出现正面朝上的概率是．]
3．(2025·温州学业考试)某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件Ji(i＝1，2，3)表示随机事件“第i(i＝1，2，3)次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为(　　)
A．J1∩J2 B．
C．J1∩J2∩ D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C　[根据题意，用事件Ji(i＝1，2，3)表示随机事件“第i(i＝1，2，3)次跳远成绩及格”，
依次分析选项：
对于A，J1∩J2表示前两次测试成绩均及格，故A错误；
对于B，表示后两次测试都没有及格，故B错误；
对于C，J1∩J2∩表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确；
对于D，表示三次测试成绩均不及格，故D错误，故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2026·浙江杭州模拟)根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为0.2，英语考试不及格的概率为0.3，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为0.35，则他数学和英语两门都不及格的概率为(　　)
A．0.1 B．0.15
C．0.06 D．0.3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[设“数学考试不及格”为事件A，“英语考试不及格”为事件B，
已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(A∪B)＝0.35，
根据概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，则0.35＝0.2＋0.3－P(A∩B)，
故P(A∩B)＝0.15，因此，他数学和英语两门都不及格的概率为0.15．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．(2026·山东济宁模拟)从2至12的整数中随机取出1个数，则这个数是合数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[根据题意，在2至12的整数中，合数有4，6，8，9，10，12共6个整数，
故从中随机取出1个数，则这个数是合数的概率为．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2025·河南安阳三模)某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C　[P＝1－．故选C．]
7．(教材改编)甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始，在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C　[记事件A＝“甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8”，两个人各有6种不同的下法，故共有36个样本点，事件A包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有2＋2＋1＝5(个)样本点，所以P(A)＝．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．(2025·辽宁抚顺一模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，从直线AC，BD，A1C1，B1D1以及该正方体的12条棱所在直线中任取2条直线，则这2条直线平行的概率为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[根据题意有，AC∥A1C1，BD∥B1D1，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，AD∥BC∥A1D1∥B1C1，
AB∥CD∥A1B1∥C1D1，
则这2条直线平行的概率为．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
10
11
12
13
14
二、多项选择题
9．某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是(　　)
A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件
C．E＝C∪D D．A＝C∩E
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABC　[根据题意，依次分析选项：
对于A，事件A与事件D不会同时发生，A与D是互斥事件，A正确；
对于B，事件B：至少参加两种科普活动，其对立事件为至多参加一种科普活动，B正确；
对于C，事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，E＝C∪D，C正确；对于D，C∩E＝C，D错误．故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
所需时间 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是(　　)
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．线路一所需的平均时间比线路二少
C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
BD　[“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
11．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
　[根据题意，从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝＝70(种)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(种)，故所求概率P＝．]
12．(2026·福建泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标有数字1到8．将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
　[由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，
可以按照公差为－3，－2，－1，0，1，2，3分类，其中公差为－3，－2，－1和3，2，1的结果数对应相等．
公差为0的有，…，共8种结果；
公差为1的有，…，共6种结果，同公差为－1的；
公差为2的有，(4，6，8)共4种结果，同公差为－2的；
公差为3的有共2种结果，同公差为－3的；
所以三个数恰好构成等差数列的概率P＝．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
四、解答题
13．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费/元 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如表所示的统计表：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(3)由所给数据得


调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a．
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
14．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[解]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝
－100．
所以Y的所有可能值为900，300，－100．
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
谢 谢 ！课后作业(六十七)　随机事件与概率
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共92分
一、单项选择题
1．从6个男生、3个女生中任意选派4人，则下列事件中是必然事件的是 (　　)
A．3个都是男生
B．至少有1个男生
C．3个都是女生
D．至少有1个女生
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第1 001次出现正面朝上的概率是 (　　)
A． B．
C． D．
3．(2025·温州学业考试)某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件Ji(i＝1，2，3)表示随机事件“第i(i＝1，2，3)次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为 (　　)
A．J1∩J2 B．∩
C．J1∩J2∩ D．∩∩
4．(2026· 浙江杭州模拟)根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为0.2，英语考试不及格的概率为0.3，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为0.35，则他数学和英语两门都不及格的概率为 (　　)
A．0.1 B．0.15
C．0.06 D．0.3
5．(2026·山东济宁模拟)从2至12的整数中随机取出1个数，则这个数是合数的概率为 (　　)
A． B．
C． D．
6．(2025·河南安阳三模)某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为 (　　)
A． B．
C． D．
7．(教材改编)甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始，在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率为 (　　)
A． B．
C． D．
8．(2025·辽宁抚顺一模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，从直线AC，BD，A1C1，B1D1以及该正方体的12条棱所在直线中任取2条直线，则这2条直线平行的概率为 (　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是 (　　)
A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件
C．E＝C∪D D．A＝C∩E
10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
所需时间 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是 (　　)
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．线路一所需的平均时间比线路二少
C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
三、填空题
11．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
12．(2026·福建泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标有数字1到8．将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为________．
四、解答题
13．(15分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费/元 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如表所示的统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
14．(15分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高 气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
课后作业(六十七)
1．B　2．D
3．C　[根据题意，用事件Ji(i＝1，2，3)表示随机事件“第i(i＝1，2，3)次跳远成绩及格”，
依次分析选项：
对于A，J1∩J2表示前两次测试成绩均及格，故A错误；
对于B，∩表示后两次测试都没有及格，故B错误；
对于C，J1∩J2∩表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确；
对于D，∩∩表示三次测试成绩均不及格，故D错误，
故选C．]
4．B　[设“数学考试不及格”为事件A，“英语考试不及格”为事件B，
已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(A∪B)＝0.35，
根据概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，则0.35＝0.2＋0.3－P(A∩B)，
故P(A∩B)＝0.15，因此，他数学和英语两门都不及格的概率为0.15．
故选B．]
5．B　[根据题意，在2至12的整数中，合数有4，6，8，9，10，12共6个整数，
故从中随机取出1个数，则这个数是合数的概率为．故选B．]
6．C　[P＝1－＝1－．故选C．]
7．C　[记事件A＝“甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8”，两个人各有6种不同的下法，故共有36个样本点，事件A包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有2＋2＋1＝5(个)样本点，所以P(A)＝．]
8．D　[根据题意有，AC∥A1C1，BD∥B1D1，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，AD∥BC∥A1D1∥B1C1，AB∥CD∥A1B1∥C1D1，
则这2条直线平行的概率为．
故选D．]
9．ABC
10．BD　[“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确．]
11．　[根据题意，从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝＝70(种)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(种)，故所求概率P＝．]
12．　[由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，
可以按照公差为－3，－2，－1，0，1，2，3分类，其中公差为－3，－2，－1和3，2，1的结果数对应相等．
公差为0的有共8种结果；
公差为1的有共6种结果，同公差为－1的；
公差为2的有(1，3，5)，(2，4，6)，(3，5，7)，(4，6，8)共4种结果，同公差为－2的；
公差为3的有共2种结果，同公差为－3的；
所以三个数恰好构成等差数列的概率P＝．]
13．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3．
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a．
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a．
14．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为
＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100．
所以Y的所有可能值为900，300，－100．
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．
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