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第69课时　离散型随机变量的分布列和数字特征
[考试要求]　1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是 (　　)
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
2．(苏教版选择性必修第二册P146T7)设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取 1，2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是 (　　)
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n不能确定
3．(多选)(人教B版选择性必修第二册P89练习A T5改编)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的是 (　　)
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
4．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝___________．
5．(人教A版选择性必修第三册P69例5改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝，则E(X2)＝___________．
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有___________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以___________的随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi____0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝____．
3．两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
4．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)称E(X)＝_______________________________＝______________________为随机变量X的___________或数学期望，数学期望简称___________．它反映了离散型随机变量取值的___________．
(2)称D(X)＝__________________________________为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的____________________，并称____________________为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝___________．(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝___________．(a，b为常数)
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
1．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．
2．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
考点一　分布列的性质
[典例1]　已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝2，4，5，6，7，则P(1A．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
[巩固迁移]
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－q q－q2
则q＝___________．
考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征
[典例2]　(2025·河北张家口一模)很多小朋友对夜市中的“套圈”比较感兴趣．在一个“套圈”的摊位上，摊主规定：成功套中商品1次或套5次后游戏结束，每套一次圈需花费5元，每次套中商品的概率为，用随机变量X表示某位小朋友的“套圈”次数．
(1)求X的分布列和数学期望；
(2)若“套圈”摊位中，每件商品的平均价格为10元，调查发现，一个套圈摊位，每天约有40名小朋友玩“套圈”，用数学期望估计该摊主每天的利润(保留整数)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：离散型随机变量分布列的求解步骤
[巩固迁移]
2．(2026·广东深圳模拟)离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若E(X)＝2.7，则下列结论错误的是 (　　)
A．m＋n＝0.5　　 B．E(3X－1)＝7.1
C．D(X)＝0.81 D．P(X>2)＝0.5
考点三　数字特征在决策中的应用
[典例3]　(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：利用均值、方差进行决策的方法
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
[巩固迁移]
3．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．C　3．ACD　4．
No2．储备知识要点
1．(1)唯一　(2)一一列举
2．(2)≥　1
4．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　
5．(1)aE(X)＋b　(2)a2D(X)
精研考点·提升素养
考点一
典例1　A　[由题意得P(1巩固迁移
1．　[由离散型随机变量分布列的性质得
解得q＝．]
考点二
典例2　解：(1)已知规则为成功套中商品1次或套5次后游戏结束，每套一次圈需花费5元，每次套中商品的概率为，由题意知，随机变量X的取值为1，2，3，4，5，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，
即X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
所以E(X)＝1×．
(2)由题意小朋友套商品未成功的概率为，
则小朋友套商品成功的概率为1－．
记摊主每天的利润为Y元，则Y的期望为
E(Y)＝40×≈305，
故摊主每天利润的期望为305元．
巩固迁移
2．D　[由分布列的性质可得m＋n＋0.3＋0.2＝1，则m＋n＝0.5，故A正确；
E(X)＝2.7，则E(3X－1)＝3E(X)－1＝8.1－1＝7.1，故B正确；
由E(X)＝m＋0.6＋3n＋0.8＝2.7，则m＋3n＝1.3，联立m＋n＝0.5，所以m＝0.1，n＝0.4，
D(X)＝(1－2.7)2×0.1＋(2－2.7)2×0.3＋(3－2.7)2×0.4＋(4－2.7)2×0.2＝0.81，C正确；
P(X>2)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.4＋0.2＝0.6，故D错误．故选D．]
考点三
典例3　解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
∴比赛成绩不少于5分的概率
P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686．
(2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3，
∵0∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3
＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]
＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
＝3pq(p－q)(pq－p－q)
＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，
∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛．
(ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·q(1－q)2，
P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·q2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3，
∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q．
若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，
∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15pq(p－q)(p＋q－3)，
∵0∴p－q<0，p＋q－3<1＋1－3<0，
∴pq(p－q)(p＋q－3)>0，
即E(X)>E(Y)，
∴应该由甲参加第一阶段比赛．
巩固迁移
3．解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因为E(Y)>E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
6/6(共76张PPT)
第69课时　离散型随机变量的分布列和数字特征
第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布
[考试要求]
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．
2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
以题引理·激活思维
1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(　　)
A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点
√
D　[第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5．
故选D．]
2．(苏教版选择性必修第二册P146T7)设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取 1，2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是(　　)
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n不能确定
√
C　[因为随机变量X的可能取值为1，2，…，n，
并且取1，2，…，n是等可能的，
所以P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，解得n＝10．]
3．(多选)(人教B版选择性必修第二册P89练习A T5改编)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的是(　　)
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
√
√
√
ACD　[因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故B错误，C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD．]
4．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝_____________．
　[由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a＋a＝1，解得a＝．]
5．(人教A版选择性必修第三册P69例5改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝，D(X)＝，则E(X2)＝_____________．
　[因为E(X)＝，D(X)＝，
由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，
得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝．]
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以____________的随机变量．
唯一
一一列举
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi____0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝__．
≥
1
3．两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
4．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)称E(X)＝______________________＝ __________为随机变量X的_________或数学期望，数学期望简称______．它反映了离散型随机变量取值的____________．
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
均值
xipi
期望
平均水平
(2)称D(X)＝_________________为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的____________，并称________为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
(xi－E(X))2pi
偏离程度
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝______________．(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝____________．(a，b为常数)
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
aE(X)＋b
a2D(X)
1．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．
2．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
考点一　分布列的性质
[典例1]　已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝2，4，5，6，7，则P(1A． B．
C． D．
精研考点·提升素养
√
A　[由题意得P(1名师点评：分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
[巩固迁移]
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q＝_____________．
X －1 0 1
P 1－q q－q2
　[由离散型随机变量分布列的性质得
解得q＝．]
【教用·备选题】
1．(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是(　　)
A．P(X＝1.5)＝0　　　 B．P(X>－1)＝
C．P(2√
√
AB　[由分布列可知，事件“X＝1.5”不存在，所以P(X＝1.5)＝0，所以A正确．
因为P(X>－1)＝1－P(X＝－1)＝，所以B正确．因为P(22．设离散型随机变量X的分布列为


(1)求2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列．
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
[解]　(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3．
列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由(1)知m＝0.3，列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征
[典例2]　(2025·河北张家口一模)很多小朋友对夜市中的“套圈”比较感兴趣．在一个“套圈”的摊位上，摊主规定：成功套中商品1次或套5次后游戏结束，每套一次圈需花费5元，每次套中商品的概率为，用随机变量X表示某位小朋友的“套圈”次数．
(1)求X的分布列和数学期望；
(2)若“套圈”摊位中，每件商品的平均价格为10元，调查发现，一个套圈摊位，每天约有40名小朋友玩“套圈”，用数学期望估计该摊主每天的利润(保留整数)．
[解]　(1)已知规则为成功套中商品1次或套5次后游戏结束，每套一次圈需花费5元，每次套中商品的概率为，由题意知，随机变量X的取值为1，2，3，4，5，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，
即X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
所以E(X)＝1×．
(2)由题意小朋友套商品未成功的概率为，
则小朋友套商品成功的概率为1－．
记摊主每天的利润为Y元，则Y的期望为
E(Y)＝40×≈305，
故摊主每天利润的期望为305元．
名师点评：离散型随机变量分布列的求解步骤
[巩固迁移]
2．(2026·广东深圳模拟)离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若E(X)＝2.7，则下列结论错误的是(　　)
A．m＋n＝0.5 B．E(3X－1)＝7.1
C．D(X)＝0.81 D．P(X>2)＝0.5
√
D　[由分布列的性质可得m＋n＋0.3＋0.2＝1，则m＋n＝0.5，故A正确；
E(X)＝2.7，则E(3X－1)＝3E(X)－1＝8.1－1＝7.1，故B正确；
由E(X)＝m＋0.6＋3n＋0.8＝2.7，则m＋3n＝1.3，联立m＋n＝0.5，所以m＝0.1，n＝0.4，
D(X)＝(1－2.7)2×0.1＋(2－2.7)2×0.3＋(3－2.7)2×0.4＋(4－2.7)2×0.2＝0.81，C正确；
P(X>2)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.4＋0.2＝0.6，故D错误．
故选D．]
【教用·备选题】
(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
[解]　(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．
(2)由题意可知， X 的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06 ．
X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．
考点三　数字特征在决策中的应用
[典例3]　(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
[解]　(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
∴比赛成绩不少于5分的概率
P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686．
(2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3，
∵0∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3
＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]
＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
＝3pq(p－q)(pq－p－q)
＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，
∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛．
(ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·q(1－q)2，
P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·q2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3，
∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q．
若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，
∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]
＝15pq(p－q)(p＋q－3)，
∵0∴pq(p－q)(p＋q－3)>0，即E(X)>E(Y)，
∴应该由甲参加第一阶段比赛．
名师点评：利用均值、方差进行决策的方法
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
[巩固迁移]
3．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解]　(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因为E(Y)>E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
一、单项选择题
1．在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是
(　　)
A．8 B．10
C．12 D．14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(六十九)　离散型随机变量的分布列和数字特征
√
C　[选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
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13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2026·山东青岛开学考试)随机变量X的分布列为P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，则E(X)＝(　　)
A． B．
C．2 D．
√
B　[因为随机变量X的分布列为P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
所以E(X)＝1×．故选B．]
3．已知随机变量X的分布列如表所示：
若P(X≤0)＝，且2X＋Y＝1，则D(Y)＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
X －1 0 1
P m n
C　[由P(X≤0)＝，得m＝，n＝1－P(X≤0)＝，
则E(X)＝－1×，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×，
由2X＋Y＝1，得Y＝1－2X，
所以D(Y)＝4D(X)＝．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2026·湖北八市模拟)已知随机变量X，Y均服从两点分布，若P(X＝1)＝，P(Y＝0)＝，且P(X＝Y)＝，则P(XY＝0)＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[因为随机变量X，Y均服从两点分布，且P(X＝1)＝，P(Y＝0)＝，
所以P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)＝，P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝0)＝，所以P(X＝1，Y＝1)＝P(X＝0，Y＝0)，
又因为P(X＝Y)＝，即P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝0，Y＝0)＝，
所以P(X＝1，Y＝1)＝P(X＝0，Y＝0)＝，
所以P(XY＝0)＝1－P(X＝1，Y＝1)＝1－．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝，
ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，
P(ξ＝6)＝，
故E(ξ)＝2×．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
10
11
12
13
6．已知随机变量ξ的分布列为

则下列说法正确的是(　　)
A．E(ξ)有最小值 B．E(ξ)有最大值
C．D(ξ)有最小值0 D．D(ξ)有最大值
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
ξ 0 1 2
P b－a b a
√
D　[由题意知b－a＋b＋a＝2b＝1，即b＝．
又b－a>0，则0题号
2
1
3
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5
6
8
7
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10
11
12
13
二、多项选择题
7．(2025·辽宁名校联盟一模)随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X~B(n，p)，其概率分布可用下图直观的表示，则(　　)
A．n＝5
B．p＝
C．b＝
D．D(X)＝
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
BCD　[对于A，由题图可得X可以取0，1，2，3，4，所以n＝4，故A错误；
对于B，由P(X＝4)＝，所以p＝，故B正确；
对于C，P(X＝1)＝p(1－p)3＝4×，所以b＝，故C正确；
对于D，D(X)＝np(1－p)＝4×，故D正确．故选BCD．]
题号
2
1
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8
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9
10
11
12
13
8．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(01.75，则p的取值可以为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
AB　[由题意可知，P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3．由E(X)>1.75可得4p2－12p＋5>0，解得p<或p>．又p∈(0，1)，故0题号
2
1
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11
12
13
三、填空题
9．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝_____________，D(ξ)＝_____________．
题号
2
1
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6
8
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11
12
13
1
1
1　1　[ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ＝1)＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
所以ξ的分布列为
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
ξ 0 1 3
P
E(ξ)＝0×＝1．
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．]
10．(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝_____________，E(ξ)＝_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
　[由题意知P(ξ＝2)＝．
ξ的所有可能取值为1，2，3，4．
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，∴E(ξ)＝1×．]
四、解答题
11．(2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字，有种方法，
然后每种小球各取1个，有种取法，所以P．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)由题意可知，X的可能取值为1，2，3，
当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以P；
当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以P；
当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以P，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
所以X的分布列为
所以E．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
X 1 2 3
P
12．(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明)
2025课标新变化：具有运用随机思想进行数据分析的意识．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)法一：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，
由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4，
所以P(A)＝．
法二：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，
由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算，
则P(A)＝1－．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)(ⅰ)由题知X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，
则P(X＝0.4)＝＝0.8，P(X＝－0.4)＝＝0.1，
P(X＝－1.2)＝＝0.06，P(X＝－2.0)＝＝0.03，
P(X＝－2.6)＝＝0.01，
故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122．
题号
2
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10
11
12
13
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(ⅰ)中E(X)估计值大．
证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则
对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，
对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，
对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，
对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，
对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，
故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.125 2．所以E(X)题号
2
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5
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8
7
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10
11
12
13
13．(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝_____________．
题号
2
1
3
4
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6
8
7
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10
11
12
13
　[X的所有可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
所以X的分布列为


所以E(X)＝1×．]
题号
2
1
3
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5
6
8
7
9
10
11
12
13
X 1 2 3
P
谢 谢 ！课后作业(六十九)　离散型随机变量的分布列和数字特征
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共83分
一、单项选择题
1．在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是 (　　)
A．8 B．10
C．12 D．14
2．(2026·山东青岛开学考试)随机变量X的分布列为P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，则E(X)＝ (　　)
A． B．
C．2 D．
3．已知随机变量X的分布列如表所示：
X －1 0 1
P m n
若P(X≤0)＝，且2X＋Y＝1，则D(Y)＝ (　　)
A． B．
C． D．
4．(2026·湖北八市模拟)已知随机变量X，Y均服从两点分布，若P(X＝1)＝，P(Y＝0)＝，且P(X＝Y)＝，则P(XY＝0)＝ (　　)
A． B．
C． D．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为 (　　)
A． B．
C． D．
6．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P b－a b a
则下列说法正确的是 (　　)
A．E(ξ)有最小值 B．E(ξ)有最大值
C．D(ξ)有最小值0 D．D(ξ)有最大值
二、多项选择题
7．(2025·辽宁名校联盟一模)随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X~B(n，p)，其概率分布可用下图直观的表示，则 (　　)
A．n＝5 B．p＝
C．b＝ D．D(X)＝
8．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(01.75，则p的取值可以为 (　　)
A． B．
C． D．
三、填空题
9．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．
10．(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________．
四、解答题
11．(13分)(2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
12．(13分)(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明)
2025课标新变化：具有运用随机思想进行数据分析的意识．
13．(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．
课后作业(六十九)
1．C　2．B　3．C　4．A
5．B　[依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝，
ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，
P(ξ＝6)＝，
故E(ξ)＝2×＋4×＋6×．
故选B．]
6．D　[由题意知b－a＋b＋a＝2b＝1，即b＝．
又b－a>0，则0因为D(ξ)＝a＝－4a2＋2a＋＝－4．
又07．BCD　[对于A，由题图可得X可以取0，1，2，3，4，所以n＝4，故A错误；
对于B，由P(X＝4)＝p4＝，
所以p＝，故B正确；
对于C，P(X＝1)＝p(1－p)3＝4×，所以b＝，故C正确；
对于D，D(X)＝np(1－p)＝4×，故D正确．故选BCD．]
8．AB　[由题意可知，P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，
则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3．由E(X)>1.75可得4p2－12p＋5>0，解得p<或p>．
又p∈(0，1)，故09．1　1
10．　[由题意知P(ξ＝2)＝．
ξ的所有可能取值为1，2，3，4．
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，
∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×．]
11．解：(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字，有种方法，
然后每种小球各取1个，有种取法，所以P．
(2)由题意可知，X的可能取值为1，2，3，
当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，
所以P；
当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，
所以P；
当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，
所以P，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E＝1×＋2×＋3×．
12．解：(1)法一：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，
由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4，
所以P(A)＝．
法二：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，
由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算，
则P(A)＝1－．
(2)(ⅰ)由题知X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，
则P(X＝0.4)＝＝0.8，P(X＝－0.4)＝＝0.1，
P(X＝－1.2)＝＝0.06，P(X＝－2.0)＝＝0.03，
P(X＝－2.6)＝＝0.01，
故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122．
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(ⅰ)中E(X)估计值大．
证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则
对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，
对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，
对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，
对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，
对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，
故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.125 2．
所以E(X)13．　[X的所有可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×6＝，P(X＝3)＝×6＝，所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×．]
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