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第72课时　用样本估计总体
第十章　统计与成对数据的统计分析
[考试要求]
1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．
2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
3．掌握分层随机抽样的样本方差．
以题引理·激活思维
1．(北师大版必修第一册P170例3改编)为了判断甲、乙两位同学本学期几次数学考试成绩哪位较稳定，通常需要知道这两人成绩的
(　　)
A．平均数 B．众数
C．方差 D．频率分布
√
2．(人教A版必修第二册P215练习T2改编)若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
D　[根据方差的性质可知，数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，
那么数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8．故选D．]
√
3．(多选)(苏教版必修第二册P257练习T1改编)给定一组数1，3，3，4，6，7，8，8，则这组数据的(　　)
A．中位数为4 B．方差为6
C．平均数为5 D．70%分位数为7
√
√
√
BCD　[该组数据有8个，所以中位数是
＝5，故C正确；
方差为 ＝6，
故B正确；因为8×0.7＝5.6，所以70%分位数为第6个数7，故D正确．故选BCD．]
4．(人教A版必修第二册P204练习T2改编)某车间12名工人一天生产某产品的质量(单位：kg)分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是_____________________．
13.7，14.7，15.3　[将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8．
由i＝12×25%＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，即＝13.7．
13.7，14.7，15.3
由i＝12×50%＝6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7．
由i＝12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3．]
5．(人教A版必修第二册P207探究改编)某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则a＝_______；估计该校学生竞赛成绩的众数为_________，平均成绩为________．
0.010
75
75.5
0.010　75　75.5　[由于组距为10，所以有a＋0.020＋0.035＋0.025＋a＝0.1，得a＝0.010．竞赛成绩在[70，80)内的学生最多，可以将该区间的中点值75作为众数的估计值．
平均成绩为0.1×55＋0.2×65＋0.35×75＋0.25×85＋0.1×95＝75.5．]
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有____的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据_______________这个值．
p%
大于或等于
2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按____________排列原始数据；
第2步，计算i＝______；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第__项与第__________项数据的平均数．
从小到大
n×p%
j
i
(i＋1)
3．四分位数
(1)第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
(2)第____百分位数又称为第一四分位数或下四分位数；第____百分位数又称为第三四分位数或上四分位数．
25
75
4．平均数、中位数和众数
(1)平均数：______________________．
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最______的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的_________(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数______的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
(x1＋x2＋…＋xn)
中间
平均数
最多
5． 总体离散程度的估计
(1)方差和标准差
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用
为这组数据的标准差．
(2)总体方差和标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为为总体方差．
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为f i(i＝1，2，…，k)，则
总体方差为S2＝．
1．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a．
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2．
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．
2．频率分布直方图的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和相等．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
(4)百分位数：对于数据组[a，b)，a以下的数据比例为m%，b以下的数据比例为n%，若m≤p考点一　总体百分位数的估计
[典例1]　(1)已知由小到大排列的4个数据1，3，5，a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
精研考点·提升素养
√
(2)研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1 000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：h)分成五组：[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是(　　)
A．7
B．7.5
C．7.8
D．8
√
(1)A　(2)B　[(1)由小到大排列的4个数据1，3，5，a，则a≥5，
这4个数的极差为a－1，中位数为＝4，
因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍，
则a－1＝2×4，解得a＝9，
所以这4个数由小到大依次为1，3，5，9，
因为4×0.75＝3，所以这4个数据的第75百分位数是＝7．故选A．
(2)由于2×(0.05＋0.1)＝0.3，2×(0.05＋0.1＋0.2)＝0.7，
所以样本数据的第60百分位数的估计值是6＋×2＝7.5 h．故选B．]
名师点评：计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
[巩固迁移]
1．(2026·湖南长沙开学考试)设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是(　　)
A．[1，2] B．(1，2]
C．[3，4] D．{2}
√
A　[因为5×25%＝1.25，且五个数中下四分位数为m，所以由小到大排列，m在第二位，
所以1≤m≤2．故选A．]
2．(2025·江苏南通一模)一组从小到大排列的数据：0，1，3，4，6，7，9，x，11，12，若删去x，前后它们的第80百分位数相同，则x＝_____________．
11　[原来有10个数据，10×80%＝8，原来第80百分位数为，
删去x后有9个数据，9×80%＝7.2，则第80百分位数为11，
依题意可得＝11，解得x＝11．]
11
【教用·备选题】
1．在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩(评分满分为100分)，将所有数据按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为(　　)
A．80
B．78
C．76
D．74
√
B　[由0.005×10＋0.015×10＋0.020×10＝0.4，0.005×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.7，故这次调查数据的第64百分位数位于[70，80)，设这次调查数据的第64百分位数为x，则有，解得x＝78．]
2．若数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是_____________．
[4.5，＋∞)　[因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6个数据为4.5，
所以应该有5个数据不大于4.5，则x≥4.5．]
[4.5，＋∞)
考点二　总体集中趋势的估计
[典例2]　(多选)某校高二年级举行体育测试，共有500人参加考试．为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间[50，60)
内的人数为32，则由样本估计总体，可知
下列结论正确的为(　　)
A．n＝200
B．估计考生成绩的众数为72
C．估计考生成绩的中位数为71
D．估计该市考生成绩的平均分为70.6
√
√
√
ACD　[由频率分布直方图可知x＝0.1－(0.004＋0.010＋0.030＋0.040)＝0.016，
∴n＝＝200，故A正确；
由频率分布直方图可知众数落在区间[70，80)内，则考生成绩的众数为75，故B错误；
由于0.16＋0.30＝0.46<0.50<0.46＋0.40＝0.86，所以中位数位于区间[70，80)内，
可知考生成绩的中位数为70＋10×＝71，故C正确；
由频率分布直方图可知样本中，考生成绩的平均分为55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.1＋95×0.04＝70.6，
可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确．故选ACD．]
名师点评：频率分布直方图中求中位数，一般先确定中位数所在的区间，再利用“0.5－较低累积频率＝(x－区间左端点值)×区间纵坐标”，求得x即可．一般地，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数．
[巩固迁移]
3．(2026·河南安阳模拟)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是(　　)
A．图(1)的平均数＝中位数＝众数
B．图(2)的众数<中位数<平均数
C．图(2)的平均数<众数<中位数
D．图(3)的平均数<中位数<众数
√
C　[题图(1)的分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；题图(2)中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；题图(3)左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确．故选C．]
4．有13名同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是_____________．(填“众数”“中位数”或“平均数”)
中位数
中位数　[因为7名获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的分数按从小到大排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖．]
【教用·备选题】
某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组，绘成频率分布直方图(如图)．
(1)求x的值；
(2)分别求出抽取的20人中得分落在[0，20)
和[20，40)内的人数；
(3)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．
[解]　(1)由频率分布直方图的性质得：
(0.005 0＋0.007 5＋x＋0.012 5＋0.015 0)×20＝1，
解得x＝0.010 0．
(2)由频率分布直方图得：
得分落在[0，20)内的人数为20×0.005 0×20＝2，
得分落在[20，40)内的人数为20×0.007 5×20＝3．
(3)所有参赛选手得分的平均数为
0.005 0×20×10＋0.007 5×20×30＋0.015 0×20×50＋0.012 5×20×70＋0.010 0×20×90＝56．
设所有参赛选手得分的中位数为a，
则0.005 0×20＋0.007 5×20＋0.015 0×(a－40)＝0.5，
解得a＝．
所有参赛选手得分的众数估计值为＝50．
考点三　总体离散程度的估计
[典例3]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2．
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
(1)求，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．(
[解]　(1)由题意，求出zi的值如表所示，
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61．
(2)因为2，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
名师点评：标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
[巩固迁移]
5．已知数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是5，方差是9，则＝(　　)
A．159　　B．204　　C．231　　D．636
√
B　[根据题意，数据x1，x2，x3，x4，x5，x6中，平均数＝5，方差s2＝9，则s2＝＝9，
所以＝204．故选B．]
6．(2026·湖北武汉模拟)某研究所为深入研究某地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了m株和n株(m，n∈N*)古茶树进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量(单位：kg)如下表所示．
编号位置 ① ② ③ ④
山上 5 4 4 3
山下 4 2 2 1
(1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
(2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为
的大小关系．
[解]　(1)由山上试验田4株古茶树产茶量数据，
得样本平均数＝4，
则山上试验田m株古茶树的产茶量总产量估计为4×m＝4m．
(2)山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，
故，
＝，故．
一、单项选择题
1．(2025·全国二卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　)
A．8 B．9
C．12 D．18
C　[×(2＋8＋14＋16＋20)＝12．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
课后作业(七十二)　用样本估计总体
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
2．“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多．某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：



则这50名学生的借书数量的上四分位数是(　　)
A．8 B．8.5
C．9 D．10
√
借书数量/本 5 6 7 8 9 10
频数/人 5 8 13 11 9 4
C　[由50×75%＝37.5，得上四分位数为借书数量从小到大排序后的第38个数．又5＋8＋13＋11＝37<38，所以上四分位数是9．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
3．已知一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差为s2＝－9，则另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
√
B　[由s2＝＝3．故所求为2×3－1＝5．故选B．]
4．某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(　　)
A．7.6 B．7.8
C．8 D．8.2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
√
B　[依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列后，8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6，7，8，9，9，所以平均数为＝7.8．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
5．(2025·江苏苏锡常镇二模)诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是(　　)
A．极差 B．平均数
C．中位数 D．标准差
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
√
C　[根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，
因此一定不变的数字特征是中位数．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
6．某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替)(　　)
A．x3B．x2C．x1D．x1题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
√
A　[由频率分布直方图可知众数为
，所以x3题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
二、多项选择题
7．(2026·江苏镇江模拟)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)与田块数的关系，并整理下表
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150，
1 200]
田块数 6 12 18 30 24 10
据表中数据，下列结论正确的是(　　)
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例低于70%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
√
√
BC　[对于A选项，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36<100×0.5＝50，所以100块稻田亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A选项错误；
对于B选项，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34，所以100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田占比为×100%＝66%，故B选项正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
对于C选项，稻田亩产量的最大值在区间[1 150，1 200]内，最小值在区间[900，950)内，故100块稻田亩产量的极差在[200，300]范围内，故C选项正确；
对于D选项，由频数分布表可得，100块稻田亩产量的平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D选项错误．故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
8．(2025·河南信阳二模)某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100]内的学生成绩方差为10．则(　　)
A．a＝0.004
B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
√
√
√
BCD　[A项，(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，
∴a＝0.005，A项错误；
B项，[50，70)内频率为：5×0.005×10＝0.25<0.5，
[50，80)内的频率为：12×0.005×10＝0.6>0.5，
则中位数在[70，80)内，设中位数为x，则0.25＋(x－70)×7×0.005＝0.5，
则x≈77.14，B正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
成绩在80分及以上的学生的成绩的平均数为×95＝87.5(分)，
方差为×[10＋(87.5－95)2]＝30.25，C，D正确．故选BCD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
三、填空题
9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如表(单位：环)：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
如果甲、乙只有1人能入选，则入选的应是_____________．
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
甲
甲　[甲的平均数为(10＋8＋9＋9＋9)＝9，
乙的平均数为(10＋10＋7＋9＋9)＝9，
甲的方差为，
乙的方差为，
∵，∴甲、乙的平均水平相同，
∵，∴甲的成绩稳定，故甲入选．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
10．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m．若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是_______________________
_____________________．(写出一个满足条件的m值即可)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
7或8或9或10(填上述4个数
中任意一个均可)
7或8或9或10(填上述4个数中任意一个均可) [7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第2个数，即为7，所以7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位数为7，而8×0.25＝2，所以7为第2个数与第3个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
11．(2026·湖北孝感模拟)某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量(单位：千瓦时)划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.6元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过220元的占80%，求a，b的值；
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
2025课标新变化：具有用函数分析事物的意识．
题号
2
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4
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9
10
11
[解]　(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.6×200＋0.8(x－400)＝0.8x－100．
所以y与x之间的函数解析式为
y＝
题号
2
1
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10
11
(2)由(1)可知，当y＝220时，x＝400，
即用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0．
题号
2
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10
11
(3)因为用电量低于300千瓦时的所占比例为
(0.001 0＋0.002 0＋0.003 0)×100×100%＝60%，
用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数在[300，400)内，所以300＋×100＝375，
即用电量的75%分位数为375．
题号
2
1
3
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6
8
7
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10
11
谢 谢 ！第72课时　用样本估计总体
[考试要求]　1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．3．掌握分层随机抽样的样本方差．
1．(北师大版必修第一册P170例3改编)为了判断甲、乙两位同学本学期几次数学考试成绩哪位较稳定，通常需要知道这两人成绩的 (　　)
A．平均数 B．众数
C．方差 D．频率分布
2．(人教A版必修第二册P215练习T2改编)若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为 (　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
3．(多选)(苏教版必修第二册P257练习T1改编)给定一组数1，3，3，4，6，7，8，8，则这组数据的 (　　)
A．中位数为4 B．方差为6
C．平均数为5 D．70%分位数为7
4．(人教A版必修第二册P204练习T2改编)某车间12名工人一天生产某产品的质量(单位：kg)分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是___________．
5．(人教A版必修第二册P207探究改编)某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则a＝___________；估计该校学生竞赛成绩的众数为___________，平均成绩为___________．
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有___________的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据__________________这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按___________排列原始数据；
第2步，计算i＝___________；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第____项数据；若i是整数，则第p百分位数为第____项与第___________项数据的平均数．
3．四分位数
(1)第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
(2)第___________百分位数又称为第一四分位数或下四分位数；第___________百分位数又称为第三四分位数或上四分位数．
4．平均数、中位数和众数
(1)平均数：_______________________________．
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最___________的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的______(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数___________的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
5． 总体离散程度的估计
(1)方差和标准差
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，称___________________________为这组数据的方差，也可以写成_______________________的形式；称_______________________________为这组数据的标准差．
(2)总体方差和标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝_______________________________为总体方差．
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为f i(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝．
1．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为＋a．
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2．
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．
2．频率分布直方图的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和相等．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
(4)百分位数：对于数据组[a，b)，a以下的数据比例为m%，b以下的数据比例为n%，若m≤p考点一　总体百分位数的估计
[典例1]　(1)已知由小到大排列的4个数据1，3，5，a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是 (　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
(2)研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1 000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：h)分成五组：[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是 (　　)
A．7 B．7.5
C．7.8 D．8
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
[巩固迁移]
1．(2026·湖南长沙开学考试)设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是 (　　)
A．[1，2] B．(1，2]
C．[3，4] D．{2}
2．(2025·江苏南通一模)一组从小到大排列的数据：0，1，3，4，6，7，9，x，11，12，若删去x，前后它们的第80百分位数相同，则x＝___________．
考点二　总体集中趋势的估计
[典例2]　(多选)某校高二年级举行体育测试，共有500人参加考试．为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间[50，60)内的人数为32，则由样本估计总体，可知下列结论正确的为 (　　)
A．n＝200
B．估计考生成绩的众数为72
C．估计考生成绩的中位数为71
D．估计该市考生成绩的平均分为70.6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：频率分布直方图中求中位数，一般先确定中位数所在的区间，再利用“0.5－较低累积频率＝(x－区间左端点值)×区间纵坐标”，求得x即可．一般地，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数．
[巩固迁移]
3．(2026·河南安阳模拟)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是 (　　)
A．图(1)的平均数＝中位数＝众数
B．图(2)的众数<中位数<平均数
C．图(2)的平均数<众数<中位数
D．图(3)的平均数<中位数<众数
4．有13名同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是___________．(填“众数”“中位数”或“平均数”)
考点三　总体离散程度的估计
[典例3]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2．
(1)求，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
[巩固迁移]
5．已知数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是5，方差是9，则＝ (　　)
A．159　　B．204　　C．231　　D．636
6．(2026·湖北武汉模拟)某研究所为深入研究某地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了m株和n株(m，n∈N*)古茶树进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量(单位：kg)如下表所示．
编号位置 ① ② ③ ④
山上 5 4 4 3
山下 4 2 2 1
(1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
(2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为的大小关系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第72课时　用样本估计总体
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．C　2．D　3．BCD　4．13.7，14.7，15.3　5．0.010　75　75.5
No2．储备知识要点
1．p%　大于或等于
2．从小到大　n×p%　j　i　(i＋1)
3．(2)25　75
4．(1)(x1＋x2＋…＋xn)　(2)中间　平均数　(3)最多
5．(1))2
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)A　(2)B　[(1)由小到大排列的4个数据1，3，5，a，则a≥5，
这4个数的极差为a－1，中位数为＝4，
因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍，
则a－1＝2×4，解得a＝9，
所以这4个数由小到大依次为1，3，5，9，
因为4×0.75＝3，所以这4个数据的第75百分位数是＝7．故选A．
(2)由于2×(0.05＋0.1)＝0.3，2×(0.05＋0.1＋0.2)＝0.7，
所以样本数据的第60百分位数的估计值是6＋×2＝7.5 h．故选B．]
巩固迁移
1．A　[因为5×25%＝1.25，且五个数中下四分位数为m，
所以由小到大排列，m在第二位，
所以1≤m≤2．故选A．]
2．11　[原来有10个数据，10×80%＝8，原来第80百分位数为，
删去x后有9个数据，9×80%＝7.2，则第80百分位数为11，
依题意可得＝11，解得x＝11．]
考点二
典例2　ACD　[由频率分布直方图可知x＝0.1－(0.004＋0.010＋0.030＋0.040)＝0.016，
∴n＝＝200，故A正确；
由频率分布直方图可知众数落在区间[70，80)内，则考生成绩的众数为75，故B错误；
由于0.16＋0.30＝0.46<0.50<0.46＋0.40＝0.86，所以中位数位于区间[70，80)内，
可知考生成绩的中位数为70＋10×＝71，故C正确；
由频率分布直方图可知样本中，考生成绩的平均分为55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.1＋95×0.04＝70.6，
可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确．故选ACD．]
巩固迁移
3．C　[题图(1)的分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；题图(2)中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；题图(3)左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确．故选C．]
4．中位数　[因为7名获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的分数按从小到大排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖．]
考点三
典例3　解：(1)由题意，求出zi的值如表所示，
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61．
(2)因为2，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
巩固迁移
5．B　[根据题意，数据x1，x2，x3，x4，x5，x6中，平均数＝5，方差s2＝9，
则s2＝)－＝9，
所以＝204．
故选B．]
6．解：(1)由山上试验田4株古茶树产茶量数据，
得样本平均数＝4，
则山上试验田m株古茶树的产茶量总产量估计为4×m＝4m．
(2)山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，
故＝＝，
＝＝，
故．
7/7课后作业(七十二)　用样本估计总体
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共67分
一、单项选择题
1．(2025·全国二卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为 (　　)
A．8 B．9
C．12 D．18
2．“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多．某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量/本 5 6 7 8 9 10
频数/人 5 8 13 11 9 4
则这50名学生的借书数量的上四分位数是 (　　)
A．8 B．8.5
C．9 D．10
3．已知一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差为s2＝－9，则另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数为 (　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
4．某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为 (　　)
A．7.6 B．7.8
C．8 D．8.2
5．(2025·江苏苏锡常镇二模)诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是 (　　)
A．极差 B．平均数
C．中位数 D．标准差
6．某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替) (　　)
A．x3C．x1二、多项选择题
7．(2026·江苏镇江模拟)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)与田块数的关系，并整理下表
亩产 量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200]
田块 数 6 12 18 30 24 10
据表中数据，下列结论正确的是 (　　)
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例低于70%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
8．(2025·河南信阳二模)某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100]内的学生成绩方差为10．则 (　　)
A．a＝0.004
B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
三、填空题
9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如表(单位：环)：
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙只有1人能入选，则入选的应是________．
10．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m．若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是________．(写出一个满足条件的m值即可)
11．(15分)(2026·湖北孝感模拟)某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量(单位：千瓦时)划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.6元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过220元的占80%，求a，b的值；
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
课后作业(七十二)
1．C　2．C
3．B　[由s2＝＝9．
又>0，所以＝3．故所求为2×3－1＝5．
故选B．]
4．B　[依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列后，8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6，7，8，9，9，所以平均数为＝7.8．故选B．]
5．C
6．A　[由频率分布直方图可知众数为＝2.5，即x1＝2.5，平均数x2＝0.2×1.5＋0.24×2.5＋0.2×3.5＋0.16×4.5＋0.12×5.5＋0.04×6.5＋0.04×7.5＝3.54，显然第一四分位数位于[2，3)之间，则0.2＋(x3－2)×0.24＝0.25，解得x3＝，
所以x37．BC　[对于A选项，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36<100×0.5＝50，所以100块稻田亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A选项错误；
对于B选项，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34，所以100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田占比为×100%＝66%，故B选项正确；
对于C选项，稻田亩产量的最大值在区间[1 150，1 200]内，最小值在区间[900，950)内，故100块稻田亩产量的极差在[200，300]范围内，故C选项正确；
对于D选项，由频数分布表可得，100块稻田亩产量的平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D选项错误．
故选BC．]
8．BCD　[A项，(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，∴a＝0.005，A项错误；
B项，[50，70)内的频率为：5×0.005×10＝0.25<0.5，
[50，80)内的频率为：12×0.005×10＝0.6>0.5，
则中位数在[70，80)内，设中位数为x，则0.25＋(x－70)×7×0.005＝0.5，
则x≈77.14，B正确；
成绩在80分及以上的学生的成绩的平均数为×85＋×95＝87.5(分)，
方差为×[12＋(87.5－85)2]＋×[10＋(87.5－95)2]＝30.25，C，D正确．
故选BCD．]
9．甲
10．7或8或9或10(填上述4个数中任意一个均可)　[7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第2个数，即为7，所以7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位数为7，而8×0.25＝2，所以7为第2个数与第3个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10．]
11．解：(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.6×200＋0.8(x－400)＝0.8x－100．
所以y与x之间的函数解析式为
y＝
(2)由(1)可知，当y＝220时，x＝400，
即用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0．
(3)因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001 0＋0.002 0＋0.003 0)×100×100%＝60%，
用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数在[300，400)内，
所以300＋×100＝375，
即用电量的75%分位数为375．
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