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第73课时　成对数据的统计分析
第十章　统计与成对数据的统计分析
[考试要求]
1．了解样本相关系数的统计含义，理解一元线性回归模型．
2．会运用2×2列联表解决独立性检验的简单实际问题．
3．会利用统计知识进行数据分析．
以题引理·激活思维
1．(人教A版选择性必修第三册P103习题8.1T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　)
A　　　　 　　B　　 　　　　C　　　　　 　D
√
D　[观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．故选D．]
2．(多选)(人教B版选择性必修第二册P121习题4－3AT3改编)下列说法正确的是(　　)
A．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
B．当r＝1时，两变量呈函数关系
C．当经验回归方程为＝0.3－0.7x时，变量x和y负相关
D．在经验回归方程＝0.4＋0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y增加0.5个单位
√
√
BC　[两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误；当样本相关系数r＝1时，两变量呈确定的函数关系，故B正确；因为－0.7<0，所以变量x和y负相关，故C正确；在经验回归方程＝0.4＋0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y约增加0.5个单位，故D错误．故选BC．]
3．(人教A版选择性必修第三册P103练习T3改编)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的样本相关系数为(　　)
A．
√
B　[根据题意得＝56，xiyi＝－20，
样本相关系数
r＝＝＝－1．故选B．]
4．(苏教版选择性必修第二册P169习题9.1T1)某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有如下数据：
x/℃ －2 －1 0 1 2
y/百元 5 4 2 2 1
甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得到3个经验回归方程：①＝－1.2x＋2.6．其中正确的是______．(填序号)
①
①　[根据表格数据可知，)满足经验回归方程，代入检验可得，只有①符合．]
5．(人教A版选择性必修第三册P133 例4改编)为了调查患肺癌是否与吸烟有关，某机构调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表．
单位：人
吸烟 肺癌 合计
肺癌患者 非肺癌患者
吸烟者 20 m 40
非吸烟者 n 55 60
合计 25 75 100
根据列联表数据，求得χ2＝_____________(保留3位有效数字)，那么在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肺癌与吸烟有关．
附：χ2＝．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
22.2
22.2　[由20＋m＝40，得m＝20．
由20＋n＝25，得n＝5．
故χ2＝≈22.2>10.828＝x0.001．
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肺癌与吸烟有关．]
1．变量的相关关系
(1)相关关系的分类：正相关和负相关．
(2)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在____________附近，我们就称这两个变量线性相关．
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
一条直线
2．相关关系的刻画
(1)散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．
(2)样本相关系数r的计算公式
r＝＝ ．
(3)样本相关系数r的性质
①样本相关系数r的取值范围为____________；
②当r>0时，称成对样本数据___相关；
③当r<0时，称成对样本数据___相关；
④样本相关系数与相关程度
当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
提醒：当两个变量的样本相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
[－1，1]
正
负
1
0
3．一元线性回归模型
(1)我们将称为Y关于x的经验回归方程，
其中
(2)残差：_________减去_________所得的差称为残差．
观测值
预测值
提醒：(1)经验回归直线过点()；
(2)求．
4．列联表与独立性检验
(1)分类变量X，Y的2×2列联表：
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
则χ2＝_________________________．
(2)基于小概率值α的检验规则：
①当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
②当χ2(3)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．
(2)残差平方和法
残差平方和为)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好．
(3)决定系数法
R2＝1－．R2的值越趋近于1，模型的拟合效果越好．
2．独立性检验的一般步骤
第一步，假设两个分类变量X与Y没有关系；
第二步，计算出χ2的值；
第三步，把χ2的值与临界值比较，作出合理的判断．
考点一　成对数据的相关性
[典例1]　(1)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中样本相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　　)
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部
分的样本相关系数一定是0.824 5
精研考点·提升素养
√
(2)设一组成对数据的样本相关系数为r，经验回归方程为，则下列说法正确的为(　　)
A．越大，则r越大
B．越大，则r越小
C．若r大于零，则一定大于零
D．若r大于零，则一定小于零
√
(3)已知一组成对数据(18，24)，(13，34)，(10，38)，(－1，m)的经验回归方程为＝－2x＋59.5，则该组数据的样本相关系数r＝_____________(精确到0.001)．
－0.998
(1)C　(2)C　(3)－0.998　[(1)∵样本相关系数r＝0.824 5，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，∴花瓣长度和花萼长度正相关．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数不一定是0.824 5，故选C．
(2)
一定大于零，故选项C正确，D错误．故选C．
(3)由条件可得，＝10，，
经验回归直线)，代入解得m＝62，
，
xiyi＝18×24＋13×34＋10×38－1×62＝1 192，
＝182＋132＋102＋(－1)2＝594，
＝242＋342＋382＋622＝7 020，
∴r＝＝≈－0.998．]
名师点评：判定两个变量正、负相关的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关．
(3)经验回归方程<0时，负相关．
[巩固迁移]
1．(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
A　[观察题图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|r|相比于其他题图更接近1．故选A．]
2．已知成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2)中x1，x2，…，xn不全相等，且所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组成对样本数据的样本相关系数r＝_____________，其决定系数R2＝_____________．
－1
－1　1　[由所有样本点
<0，由题易知r＝－1，R2＝1．]
1
【教用·备选题】
(多选)对两组数据进行统计后得到的散点图如图所示，关于其样本相关系数的结论正确的是(　　)
A．r1<0　　　　　
B．r2>1
C．r1＋r2>0
D．
√
√
AC　[由散点图可知，样本相关系数r1的图象表示y与x负相关，故
－10，故C正确，D错误．
故选AC．]
考点二　回归模型
考向1　一元线性回归模型
[典例2]　(2026·广东广州模拟)经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大，树就越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高．在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图．
经计算得＝6．
(1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数r(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；
(2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程(系数精确到0.01)，并预测胸径为45 cm的树高．
附：样本相关系数r＝．
[解]　(1)根据树高与树的胸径的散点图，可判断两个变量是线性相关．根据题中所给数据，得n＝12，＝22．
所以r＝＝≈0.95．
由于r的值接近于1，故相关性较强．
故两个变量线性相关，样本相关系数r≈0.95，且相关程度较强．
(2)由(1)知n＝12，＝22．
所以
＝22－0.24×29＝15.04．
所以经验回归方程为＝0.24x＋15.04．
当x＝45时，＝0.24×45＋15.04＝25.84，即树高的预测值大约为25.84 m．
故树高关于胸径的经验回归方程为＝0.24x＋15.04，预测胸径为
45 cm的树高为25.84 m．
【教用·备选题】
按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017－2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码xi 1 2 3 4 5
yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
(1)求2017—2021年年份代码xi与yi的样本相关系数(精确到0.01)；
(2)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；
(3)预测2026年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，样本相关系数r＝．
参考数据：≈6．
[解]　(1)由已知可得，＝3，＝5.1，
由题可列下表：
xi－ －2 －1 0 1 2
yi－ 1.3 0.4 －0.1 －0.3 －1.3
＝－5.9，，
所以r＝＝≈－0.98．
(2)由(1)知，y与x的样本相关系数r≈－0.98，接近1，所以y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．
由(1)所求知，＝5.1－(－0.59)×3＝6.87，
所以所求经验回归方程为＝－0.59x＋6.87．
(3)令x＝10，则＝－0.59×10＋6.87＝0.97，
故预测2026年的酸雨区面积占国土面积的百分比为0.97%．
考向2　非线性回归模型
[典例3]　为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1~10分别对应年份2015~2024．
根据散点图，分别用模型①x＋，②作为年研发投入y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
(xi－)2 (ti－)2 )· (xi－) (yi－
)
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中ti＝ti．
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型？并说明理由．
(2)①根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
②设该科技公司的年利润L(单位：亿元)和年研发投入y(单位：亿元)满足L＝(x∈N*且x∈)，问该科技公司哪一年的年利润最大？
附：对于一组数据，…，
．
[解]　(1)根据题图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜．
(2)①设t＝t，
所以＝75－6.3×2.25＝60.825，
所以y关于x的非线性经验回归方程为．
②由题设可得L＝，
当＝4，即x＝16时，年利润L有最大值，故该公司2030年的年利润最大．
名师点评：求经验回归方程的步骤
(1)根据散点图判断两变量是否线性相关，若不是，应通过换元构造线性相关．
(2)利用公式，求出回归系数．
(3)利用经验回归直线过点(．
提醒：非线性问题处理策略要通过换元、取对数等手段把非线性问题转化为线性问题．
[巩固迁移]
3．(多选)(2026·四川绵阳模拟)某类汽车在今年1月至5月的销量y(单位：千辆)如下表所示(其中2月份销量未知)：
月份x 1 2 3 4 5
月销量y 2.4 m 4 5 5.5
若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为＝0.85x＋1.45，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝3.1
B．残差绝对值最大为0.2
C．样本相关系数r<0
D．当解释变量x每增加1，响应变量y增加0.85
√
√
AB　[由题意知：＝0.85x＋1.45，又＝3，
代入方程得＝0.85×3＋1.45＝4，所以＝4，解得m＝3.1，故A正确；
1月份的残差为2.4－(0.85×1＋1.45)＝0.1，2月份的残差为3.1－(0.85×2＋1.45)＝－0.05，3月份的残差为4－(0.85×3＋1.45)＝0，4月份的残差为5－(0.85×4＋1.45)＝0.15，5月份的残差为5.5－(0.85×5＋1.45)＝－0.2，所以残差绝对值最大为0.2，故B正确；
由题中表格可知变量y与x呈正线性相关，则r>0，故C不正确；
当解释变量x每增加1，响应变量y平均约增加0.85，故D不正确．故选AB．]
4．(2025·山东济南二模)每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况，
天数x 1 2 3 4 5
胚芽长度y/cm 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2
通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①．
(1)根据以上数据，计算模型①中的y关于x的样本相关系数r，若0.95≤≤1，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型(结果精确到0.01)？
(2)根据(1)的结果，试建立y关于x的经验回归方程，并预测第7天种子的胚芽长度(结果精确到0.01)．
附：经验回归直线．
样本相关系数r＝．
参考数据：)＝52.1．
[解]　(1)由题设，＝3，
所以)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，
所以r＝＝≈0.94，故应选模型②．
(2)令ui＝，
所以＝11，＝2，
所以)2＝(1－11)2＋(4－11)2＋(9－11)2＋(16－11)2＋(25－11)2＝374，
所以≈0.14，
又2＝0.14×11＋＝0.14u＋0.46，
所以经验回归方程为＝0.14×49＋0.46＝7.32(cm)，
所以预测第7天种子的胚芽长度为7.32 cm．
【教用·备选题】
某研究所为了研究某种昆虫的产卵数y(单位：个)与温度x(单位：℃)之间的关系，现将收集到的温度xi和一组昆虫的产卵数yi的6组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计数据．
经计算得到以下数据：＝3 930，
＝236.64．
(1)若用线性回归模型来拟合数据的变化关系，求y关于x的经验回归方程．(结果精确到0.1)
(2)若用非线性回归模型来拟合数据的变化关系，求得y关于x的非线性经验回归方程＝0.06e0.230 3x，且决定系数为R2＝0.967 2．
①试与(1)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好；
②用拟合效果好的模型预测温度为35 ℃时该组昆虫的产卵数．(结果四舍五入取整数)
附参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，…，
，
．
参考数据：e8.060 5≈3 167．
[解]　(1)由题意可知≈6.6，
＝33－6.6×26＝－138.6．
所以y关于x的经验回归方程是＝6.6x－138.6．
(2)①用指数回归模型拟合y与x的关系，决定系数R2＝0.967 2，
用线性回归模型拟合y与x的关系，决定系数≈0.939 8， 且0.939 8<0.967 2，
所以用＝6.6x－138.6拟合效果更好．
②＝0.06e0.230 3x中，令x＝35，
则＝0.06e0.230 3×35＝0.06e8.060 5≈0.06×3 167≈190(个)，
故预测温度为35 ℃时该组昆虫产卵数约为190个．
考点三　独立性检验
[典例4]　(2026·河南安阳模拟)近年来水产品消费呈上升趋势，为了解男、女消费者对水产品类型的偏好情况，随机调查了男、女消费者各100人，得到如下列联表：
单位：人
喜爱情况 性别 合计
男消费者 女消费者
喜欢粗加工水产品 65 40 105
喜欢深加工水产品 35 60 95
合计 100 100 200
(1)从调查的消费者中任选一人，记事件“此人是女性”为A，事件“此人喜欢深加工水产品”为B，求P(B)和P(B|A)；
(2)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关？
附：χ2＝．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
[解]　(1)由列联表可知，喜欢深加工水产品的消费者共95人，总调查人数200人，故P(B)＝；
女性消费者共100人，其中喜欢深加工水产品的有60人，故P(B|A)＝．
(2)零假设为H0：消费者对水产品类型的偏好与性别无关．
根据列联表中的数据，
经计算得到χ2＝≈12.531>10.828＝x0.001，
所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
名师点评：独立性检验的注意事项
一是在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆；二是在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有可能出错；三是对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误．
[巩固迁移]
5．(多选)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果整理得到如下等高堆积条形图和列联表，则(　　)
单位：人
性别 数学兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣
女生 a b a＋b
男生 c d c＋d
合计 a＋c b＋d 100
附：χ2＝，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．表中a＝12，c＝30
B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生人数多
C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异
D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异
√
√
√
ACD　[由题可知，男生抽取的人数为600×
＝40，
由等高堆积条形图知，抽取男生感兴趣的人数为60×0.5＝30，抽取男生不感兴趣的人数为60×0.5＝30，
抽取女生感兴趣的人数为40×0.3＝12，抽取女生不感兴趣的人数为40×0.7＝28， 2×2列联表如下：
单位：人
性别 数学兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣
女生 12 28 40
男生 30 30 60
合计 42 58 100
由此表可知，a＝12，c＝30，故A正确；
女生不感兴趣的人数约为400×
＝300，
所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生人数少，故B错误；
零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异．
χ2＝≈3.941>3.841＝x0.05．
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05，故C正确；
零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异，
则χ2＝≈3.941<6.635＝x0.01．
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故D正确．故选ACD．]
6．(2025·河南郑州二模)为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．
(1)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．
单位：人
户外活动时间 近视情况 合计
近视 未近视
不足2小时 35
超过2小时 55
合计 60
(2)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理＋药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理＋药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为
，求近视学生被治愈的概率．
参考公式与数据：
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[解]　(1)列联表如下：
单位：人
户外活动时间 近视情况 合计
近视 未近视
不足2小时 35 10 45
超过2小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为H0：学生患近视与户外活动时间长短无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝≈10.774>7.879＝x0.005，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
(2)设事件A＝“使用‘物理＋药物’治疗方案并且治愈”，事件B1＝“该近视同学每天户外活动时间超过2小时”，B2＝“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”，则
P(B1)＝，
则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝，
所以该近视学生使用“物理＋药物”治疗方案被治愈的概率为．
【教用·备选题】
为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗．某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1 000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感．医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有95%呈阳性(感染)，而没有患流感的人其检测结果有99%呈阴性(未感染)．
(1)估计该市流感感染率是多少？
(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为注射流感疫苗与预防流感有关；
(3)已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率．(精确到0.001)
附：χ2＝，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[解]　(1)估计流感的感染率P＝＝0.3．
(2)由题意， 2×2列联表如下：
单位：人
疫苗情况 流感情况 合计
患有流感 不患有流感
注射疫苗 220 580 800
没注射疫苗 80 120 200
合计 300 700 1 000
零假设为H0：注射流感疫苗与预防流感无关，
则χ2＝≈11.9．
因为11.9>10.828＝x0.001，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为注射流感疫苗与预防流感有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
(3)设事件A为“一次检测结果呈阳性”，事件B为“被检测者确实患有流感”，
由题意得P(B)＝0.3，P()＝0.01，P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝0.3×0.95＝0.285，
由全概率公式得P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P()·P(A|)＝0.3×0.95＋0.7×0.01＝0.292，
P(B|A)＝≈97.6%，
所以此人真的患有流感的概率是97.6%．
一、单项选择题
1．(2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是(　　)
A．沿海地区气温高，海水表层温度就高
B．沿海地区气温高，海水表层温度就低
C．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
课后作业(七十三)　成对数据的统计分析
√
C　[对于AB，当沿海地区气温高时，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误．
对于CD，因为沿海地区气温与海水表层温度相关，且样本相关系数为正，故随着沿海地区气温由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
2．(2026·浙江温州模拟)某同学将收集到的6对数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)制作成如图所示的散点图(点旁数据为该点坐标)，由最小二乘法计算得经验回归方程l1：
．则以下结论中，不正确的是(　　)
A．r1>0，r2>0 B．>0
C．
√
D　[从题干散点图可以看出，两个变量是正相关，故A正确；从题干散点图可以看出，经验回归直线的斜率是正数，且l1的斜率大于l2的斜率，故B和C正确；从题干散点图可以看出，去掉“离群点”E后，相关性更强，拟合的效果更好，R2值越大，模型的拟合效果越好，所以，故D错误．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
3．已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：


由题表中的数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是(　　)
A．产品的销售量和单价呈负相关
B．该经验回归直线过点(65，35)
C．样本点(60，38)的残差为－1
D．当单价定为100元时，销售量估计为21件
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
√
单价x/元 40 50 60 70 80 90
销售量y/件 45 39 38 35 30 23
C　[由线性经验回归方程中的回归系数－0.4<0，可知产品的销售量和单价呈负相关，故选项A正确；
由题表中的数据得
＝35，所以该经验回归直线过点(65，35)，
故选项B正确；
由＝61，
所以＝－0.4x＋61．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
当x＝60时，＝－0.4×60＋61＝37，所以样本点(60，38)的残差为38－37＝1，故选项C错误；
当x＝100时，
估计为21件，故选项D正确．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
二、多项选择题
4．(2025·江苏盐城三模)下列说法正确的是(　　)
A．经验回归直线)
B．对于独立性检验，随机变量χ2的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小
C．在一元线性回归模型中，若决定系数R2＝1，则残差的平方和为0
D．x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
√
√
√
ABC　[对于A，根据最小二乘法可知，一元线性经验回归直线一定过点()，故A正确；
对于B，独立性检验中，χ2值越大，说明实际观测值与理论期望的差异越大，拒绝原假设的把握越大，从而判定“两个变量有关系”犯错误的概率越小，故B正确；
对于C，由决定系数R2＝1－)2＝0，说明所有数据点均在经验回归直线上，故C正确；
对于D，因为xi＋yi＝10且xi故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
5．(2026·广东汕头模拟)暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．在被调查者中，下列说法正确的是(　　)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人
C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右
D．在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
√
√
√
BCD　[设男生人数为x，则女生人数为x＋20，
由题得x＋x＋20＝180，
解得x＝80，即在被调查者中，男、女生人数分别为80，100，可得到如下2×2列联表，
单位：人
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
性别 锻炼情况 合计
经常锻炼 不经常锻炼
男生 48 32 80
女生 40 60 100
合计 88 92 180
由表可知，A显然错误；
男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48－40＝8，B正确；
在经常锻炼者中男生的频率为≈1.6，C正确；
零假设为H0：假期经常锻炼与性别无关，
则χ2＝≈7.115>6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为假期经常锻炼与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，D正确．
故选BCD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
三、填空题
6．(2026·江西新余模拟)某无人机的研发费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如表所示．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
研发费用x 3.4 4.7 5 5.6 6.3
销售量y 15 16.9 19.2 18 20.9
根据表中数据可得经验回归方程为，则第三个样本点对应的残差为_____________．
1.2
1.2　[由已知，得＝5，＝18，
所以，于是，
当x＝5时，＝18，
因此，第三个样本点对应的残差为＝19.2－18＝1.2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
四、解答题
7．为了了解不同学历人群对某软件的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该软件的使用情况是否与学历有关？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[解]　零假设为H0：该软件的使用情况与学历无关，根据列联表中的数据，可得χ2＝≈4.604<6.635＝x0.01，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为该软件的使用情况与学历无关．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
8．(2026·广东深圳开学考试)药物临床试验是确认新药有效性和安全性必不可少的步骤，为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y(单位：mg/L)与代谢时间x(单位：h)的相关数据，如下表所示：
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
x 2 3 4 5 6
y 55 20 6 3 1
若采用一元线性回归模型，已知一个经验回归方程为＝e-x+6②．
(1)求；
(2)①与②哪个更适合作为y关于x的经验回归方程？请比较其决定系数的大小，并说明理由．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
附：(ⅰ)参考数据：)2≈2.22；
(ⅱ)对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，决定系数R2＝1－．
2025课标新变化：能够合理构建统计模型来描述成对数据的统计规律．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
[解]　(1)由题意，(55＋20＋6＋3＋1)＝17，
则＝17＋12×4＝65．
(2)在方程①中，经验回归方程为＝－12x＋65，
则＝－7，
所以)2＝(55－41)2＋(20－29)2＋(6－17)2＋(3－5)2＋(1＋7)2＝466，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
在方程②中，)2≈2.22<466，
∵决定系数R2＝1－，
∴①的决定系数小于②的决定系数，
∴②更适合作为y关于x的经验回归方程．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
谢 谢 ！第73课时　成对数据的统计分析
[考试要求]　1．了解样本相关系数的统计含义，理解一元线性回归模型．2．会运用2×2列联表解决独立性检验的简单实际问题．3．会利用统计知识进行数据分析．
1．(人教A版选择性必修第三册P103习题8.1T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是 (　　)
A　　　　　　　B
C　　　　 　　D
2．(多选)(人教B版选择性必修第二册P121习题4－3AT3改编)下列说法正确的是 (　　)
A．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
B．当r＝1时，两变量呈函数关系
C．当经验回归方程为＝0.3－0.7x时，变量x和y负相关
D．在经验回归方程＝0.4＋0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y增加0.5个单位
3．(人教A版选择性必修第三册P103练习T3改编)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的样本相关系数为 (　　)
A．
4．(苏教版选择性必修第二册P169习题9.1T1)某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有如下数据：
x/℃ －2 －1 0 1 2
y/百元 5 4 2 2 1
甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得到3个经验回归方程：①＝－1.2x＋2.6．其中正确的是___________．(填序号)
5．(人教A版选择性必修第三册P133 例4改编)为了调查患肺癌是否与吸烟有关，某机构调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表．
单位：人
吸烟 肺癌 合计
肺癌患者 非肺癌患者
吸烟者 20 m 40
非吸烟者 n 55 60
合计 25 75 100
根据列联表数据，求得χ2＝___________(保留3位有效数字)，那么在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肺癌与吸烟有关．
附：χ2＝．
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
1．变量的相关关系
(1)相关关系的分类：正相关和负相关．
(2)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在___________附近，我们就称这两个变量线性相关．
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
2．相关关系的刻画
(1)散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．
(2)样本相关系数r的计算公式
r＝_______________________________
＝_______________________________．
(3)样本相关系数r的性质
①样本相关系数r的取值范围为___________；
②当r>0时，称成对样本数据___________相关；
③当r<0时，称成对样本数据___________相关；
④样本相关系数与相关程度
当|r|越接近___________时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近___________时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
提醒：当两个变量的样本相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
3．一元线性回归模型
(1)我们将称为Y关于x的经验回归方程，
其中
(2)残差：___________减去___________所得的差称为残差．
提醒：(1)经验回归直线过点()；
(2)求．
4．列联表与独立性检验
(1)分类变量X，Y的2×2列联表：
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
则χ2＝______________________．
(2)基于小概率值α的检验规则：
①当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
②当χ2(3)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．
(2)残差平方和法
残差平方和为)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好．
(3)决定系数法
R2＝1－．
R2的值越趋近于1，模型的拟合效果越好．
2．独立性检验的一般步骤
第一步，假设两个分类变量X与Y没有关系；
第二步，计算出χ2的值；
第三步，把χ2的值与临界值比较，作出合理的判断．
考点一　成对数据的相关性
[典例1]　(1)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中样本相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是 (　　)
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.824 5
(2)设一组成对数据的样本相关系数为r，经验回归方程为，则下列说法正确的为 (　　)
A．越大，则r越大
B．越大，则r越小
C．若r大于零，则一定大于零
D．若r大于零，则一定小于零
(3)已知一组成对数据(18，24)，(13，34)，(10，38)，(－1，m)的经验回归方程为＝－2x＋59.5，则该组数据的样本相关系数r＝______(精确到0.001)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：判定两个变量正、负相关的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关．
(3)经验回归方程>0时，正相关；当<0时，负相关．
[巩固迁移]
1．(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是 (　　)
A　　　　　　　 　B
C　　　　　　 　　D
2．已知成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2)中x1，x2，…，xn不全相等，且所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组成对样本数据的样本相关系数r＝___________，其决定系数R2＝___________．
考点二　回归模型
　一元线性回归模型
[典例2]　(2026·广东广州模拟)经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大，树就越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高．在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图．
经计算得＝6．
(1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数r(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；
(2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程(系数精确到0.01)，并预测胸径为45 cm的树高．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　非线性回归模型
[典例3]　为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1~10分别对应年份2015~2024．
根据散点图，分别用模型①x＋，②作为年研发投入y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
(xi－)2 (ti－)2 )·(xi－) (yi－)
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中ti＝ti．
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型？并说明理由．
(2)①根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
②设该科技公司的年利润L(单位：亿元)和年研发投入y(单位：亿元)满足L＝)，问该科技公司哪一年的年利润最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：求经验回归方程的步骤
(1)根据散点图判断两变量是否线性相关，若不是，应通过换元构造线性相关．
(2)利用公式，求出回归系数．
(3)利用经验回归直线过点(．
提醒：非线性问题处理策略要通过换元、取对数等手段把非线性问题转化为线性问题．
[巩固迁移]
3．(多选)(2026·四川绵阳模拟)某类汽车在今年1月至5月的销量y(单位：千辆)如下表所示(其中2月份销量未知)：
月份x 1 2 3 4 5
月销量y 2.4 m 4 5 5.5
若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为＝0.85x＋1.45，则下列说法正确的是 (　　)
A．m＝3.1
B．残差绝对值最大为0.2
C．样本相关系数r<0
D．当解释变量x每增加1，响应变量y增加0.85
4．(2025·山东济南二模)每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况，
天数x 1 2 3 4 5
胚芽长度y/cm 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2
通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①．
(1)根据以上数据，计算模型①中的y关于x的样本相关系数r，若0.95≤≤1，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型(结果精确到0.01)？
(2)根据(1)的结果，试建立y关于x的经验回归方程，并预测第7天种子的胚芽长度(结果精确到0.01)．
参考数据：)＝52.1．
考点三　独立性检验
[典例4]　(2026·河南安阳模拟)近年来水产品消费呈上升趋势，为了解男、女消费者对水产品类型的偏好情况，随机调查了男、女消费者各100人，得到如下列联表：
单位：人
喜爱情况 性别 合计
男消费者 女消费者
喜欢粗加工水产品 65 40 105
喜欢深加工水产品 35 60 95
合计 100 100 200
(1)从调查的消费者中任选一人，记事件“此人是女性”为A，事件“此人喜欢深加工水产品”为B，求P(B)和P(B|A)；
(2)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：独立性检验的注意事项
一是在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆；二是在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有可能出错；三是对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误．
[巩固迁移]
5．(多选)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果整理得到如下等高堆积条形图和列联表，则 (　　)
单位：人
性别 数学兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣
女生 a b a＋b
男生 c d c＋d
合计 a＋c b＋d 100
A．表中a＝12，c＝30
B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生人数多
C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异
D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异
6．(2025·河南郑州二模)为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．
(1)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．
单位：人
户外活动时间 近视情况 合计
近视 未近视
不足2小时 35
超过2小时 55
合计 60
(2)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理＋药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理＋药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，求近视学生被治愈的概率．
参考公式与数据：
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
第73课时　成对数据的统计分析
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．BC　3．B　4．①　5.22.2
No2．储备知识要点
1．(2)一条直线
2．(2)
(3)[－1，1]　正　负　1　0
3．(1)　(2)观测值　预测值
4．(1)
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)C　(2)C　(3)－0.998　[(1)∵样本相关系数r＝0.824 5，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，∴花瓣长度和花萼长度正相关．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数不一定是0.824 5，故选C．
(2)影响的是经验回归直线的斜率，样本相关系数r影响两个变量之间的相关性，所以与r之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB错误；若r大于零，则说明两个变量正相关，故一定大于零，故选项C正确，D错误．故选C．
(3)由条件可得，
＝10，，
经验回归直线＝－2x＋59.5一定过点()，代入解得m＝62，
，
xiyi＝18×24＋13×34＋10×38－1×62＝1 192，
＝182＋132＋102＋(－1)2＝594，
＝242＋342＋382＋622＝7 020，
∴r＝＝≈－0.998．]
巩固迁移
1．A
2．－1　1　[由所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，
又－<0，由题易知r＝－1，R2＝1．]
考点二
考向1　典例2　解：(1)根据树高与树的胸径的散点图，可判断两个变量是线性相关．根据题中所给数据，得n＝12，＝29，＝22．
所以r＝≈0.95．
由于r的值接近于1，故相关性较强．
故两个变量线性相关，样本相关系数r≈0.95，且相关程度较强．
(2)由(1)知n＝12，＝29，＝22．
所以＝≈0.24，
＝22－0.24×29＝15.04．
所以经验回归方程为＝0.24x＋15.04．
当x＝45时，＝0.24×45＋15.04＝25.84，即树高的预测值大约为25.84 m．
故树高关于胸径的经验回归方程为＝0.24x＋15.04，预测胸径为45 cm的树高为25.84 m．
考向2　典例3　解：(1)根据题图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜．
(2)①设t＝t，
所以＝6.3，＝75－6.3×2.25＝60.825，
所以y关于x的非线性经验回归方程为．
②由题设可得L＝，
当＝4，即x＝16时，年利润L有最大值，故该公司2030年的年利润最大．
巩固迁移
3．AB　[由题意知：＝0.85x＋1.45，又＝3，
代入方程得＝0.85×3＋1.45＝4，
所以＝4，解得m＝3.1，故A正确；
1月份的残差为2.4－(0.85×1＋1.45)＝0.1，2月份的残差为3.1－(0.85×2＋1.45)＝－0.05，3月份的残差为4－(0.85×3＋1.45)＝0，4月份的残差为5－(0.85×4＋1.45)＝0.15，5月份的残差为5.5－(0.85×5＋1.45)＝－0.2，所以残差绝对值最大为0.2，故B正确；
由题中表格可知变量y与x呈正线性相关，则r>0，故C不正确；
当解释变量x每增加1，响应变量y平均约增加0.85，故D不正确．
故选AB．]
4．解：(1)由题设，＝3，
所以(xi－)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，
所以r＝＝≈0.94，故应选模型②．
(2)令ui＝，
所以＝11，＝2，
所以(ui－)2＝(1－11)2＋(4－11)2＋(9－11)2＋(16－11)2＋(25－11)2＝374，
所以≈0.14，
又2＝0.14×11＋＝0.46，故＝0.14u＋0.46，
所以经验回归方程为＝0.14x2＋0.46，当x＝7时，有＝0.14×49＋0.46＝7.32(cm)，
所以预测第7天种子的胚芽长度为7.32 cm．
考点三
典例4　解：(1)由列联表可知，喜欢深加工水产品的消费者共95人，总调查人数200人，故P(B)＝；
女性消费者共100人，其中喜欢深加工水产品的有60人，故P(B|A)＝．
(2)零假设为H0：消费者对水产品类型的偏好与性别无关．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈12.531>10.828
＝x0.001，
所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
巩固迁移
5．ACD　[由题可知，男生抽取的人数为600×＝60，女生抽取的人数为400×＝40，
由等高堆积条形图知，抽取男生感兴趣的人数为60×0.5＝30，抽取男生不感兴趣的人数为60×0.5＝30，
抽取女生感兴趣的人数为40×0.3＝12，抽取女生不感兴趣的人数为40×0.7＝28， 2×2列联表如下：
单位：人
性别 数学兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣
女生 12 28 40
男生 30 30 60
合计 42 58 100
由此表可知，a＝12，c＝30，故A正确；
女生不感兴趣的人数约为400×＝280，男生不感兴趣的人数约为600×＝300，
所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生人数少，故B错误；
零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异．
χ2＝≈3.941>3.841＝x0.05．
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05，故C正确；
零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异，
则χ2＝≈3.941<6.635＝x0.01．
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故D正确．故选ACD．]
6．解：(1)列联表如下：
单位：人
户外活动时间 近视情况 合计
近视 未近视
不足2小时 35 10 45
超过2小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为H0：学生患近视与户外活动时间长短无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝≈10.774>7.879＝x0.005，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
(2)设事件A＝“使用“物理＋药物”治疗方案并且治愈”，事件B1＝“该近视同学每天户外活动时间超过2小时”，B2＝“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”，则
P(B1)＝，P(B2)＝，
且P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，
则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝，
所以该近视学生使用“物理＋药物”治疗方案被治愈的概率为．
11/16课后作业(七十三)　成对数据的统计分析
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共58分
一、单项选择题
1．(2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是 (　　)
A．沿海地区气温高，海水表层温度就高
B．沿海地区气温高，海水表层温度就低
C．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势
2．(2026·浙江温州模拟)某同学将收集到的6对数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)制作成如图所示的散点图(点旁数据为该点坐标)，由最小二乘法计算得经验回归方程l1：x＋，样本相关系数为r1，决定系数为；残差分析确定点E对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得经验回归方程l2：x＋，样本相关系数为r2，决定系数为．则以下结论中，不正确的是 (　　)
A．r1>0，r2>0 B．>0，>0
C．> D．>
3．已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：
单价x/元 40 50 60 70 80 90
销售量y/件 45 39 38 35 30 23
由题表中的数据，求得经验回归方程为＝－0.4x＋，下列说法错误的是 (　　)
A．产品的销售量和单价呈负相关
B．该经验回归直线过点(65，35)
C．样本点(60，38)的残差为－1
D．当单价定为100元时，销售量估计为21件
二、多项选择题
4．(2025·江苏盐城三模)下列说法正确的是 (　　)
A．经验回归直线x＋经过点()
B．对于独立性检验，随机变量χ2的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小
C．在一元线性回归模型中，若决定系数R2＝1，则残差的平方和为0
D．x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为和，若xi＋yi＝10且xi5．(2026·广东汕头模拟)暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．在被调查者中，下列说法正确的是 (　　)
A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人
C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右
D．在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
三、填空题
6．(2026·江西新余模拟)某无人机的研发费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如表所示．
研发费用x 3.4 4.7 5 5.6 6.3
销售量y 15 16.9 19.2 18 20.9
根据表中数据可得经验回归方程为x＋，则第三个样本点对应的残差为________．
四、解答题
7．(13分)为了了解不同学历人群对某软件的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该软件的使用情况是否与学历有关？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
8．(13分)(2026·广东深圳开学考试)药物临床试验是确认新药有效性和安全性必不可少的步骤，为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y(单位：mg/L)与代谢时间x(单位：h)的相关数据，如下表所示：
x 2 3 4 5 6
y 55 20 6 3 1
若采用一元线性回归模型，已知一个经验回归方程为＝－12x＋①；若采用一元非线性回归模型，可求得经验回归方程为＝e-x+6②．
(1)求；
(2)①与②哪个更适合作为y关于x的经验回归方程？请比较其决定系数的大小，并说明理由．
附：(ⅰ)参考数据：＝3 471；在经验回归方程②中，(yi－)2≈2.22；
(ⅱ)对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，决定系数R2＝1－．
2025课标新变化：能够合理构建统计模型来描述成对数据的统计规律．
课后作业(七十三)
1．C　[对于AB，当沿海地区气温高时，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误．
对于CD，因为沿海地区气温与海水表层温度相关，且样本相关系数为正，故随着沿海地区气温由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误．故选C．]
2．D　3．C
4．ABC　[对于A，根据最小二乘法可知，一元线性经验回归直线一定过点()，故A正确；
对于B，独立性检验中，χ2值越大，说明实际观测值与理论期望的差异越大，拒绝原假设的把握越大，从而判定“两个变量有关系”犯错误的概率越小，故B正确；
对于C，由决定系数R2＝1－，当R2＝1时，可得残差平方和yi－)2＝0，说明所有数据点均在经验回归直线上，故C正确；
对于D，因为xi＋yi＝10且xi5．BCD　[设男生人数为x，则女生人数为x＋20，
由题得x＋x＋20＝180，
解得x＝80，即在被调查者中，男、女生人数分别为80，100，可得到如下2×2列联表，
单位：人
性别 锻炼情况 合计
经常锻炼 不经常锻炼
男生 48 32 80
女生 40 60 100
合计 88 92 180
由表可知，A显然错误；
男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48－40＝8，B正确；
在经常锻炼者中男生的频率为≈1.6，C正确；
零假设为H0：假期经常锻炼与性别无关，
则χ2＝≈7.115>6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为假期经常锻炼与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，D正确．故选BCD．]
6．1．2　[由已知，
得＝5，＝18，
所以＝18－×5＝，
于是x＋，
当x＝5时，×5＋＝18，
因此，第三个样本点对应的残差为＝19.2－18＝1.2．]
7．解：零假设为H0：该软件的使用情况与学历无关，根据列联表中的数据，可得χ2＝≈4.604<6.635＝x0.01，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为该软件的使用情况与学历无关．
8．解：(1)由题意，(2＋3＋4＋5＋6)＝4，(55＋20＋6＋3＋1)＝17，
则＋12＝17＋12×4＝65．
(2)在方程①中，经验回归方程为＝－12x＋65，
则＝41，＝29，＝17，＝5，＝－7，
所以(yi－)2＝(55－41)2＋(20－29)2＋(6－17)2＋(3－5)2＋(1＋7)2＝466，
在方程②中，(yi－)2≈2.22<466，
∵决定系数R2＝1－，
∴①的决定系数小于②的决定系数，
∴②更适合作为y关于x的经验回归方程．
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