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第74课时　概率、统计的综合问题
第十章　统计与成对数据的统计分析
[考试要求]
1．能从实际生活背景中构建概率模型，并会用统计思维看待和处理实际问题．
2．能灵活运用概率、统计、数列、函数、导数等知识解决综合问题，实现知识间的融合．
考点一　以统计图表为载体的概率、统计问题
[典例1]　AI技术驱动的自然语言处理工具引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用该工具的人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该
程序的人群中随机抽取了200名居民进行
调查，并依据年龄样本数据绘制了频率分
布直方图．
精研考点·提升素养
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数．
(2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民．
①完成下列2×2列联表，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析年龄与喜欢该程序是否有关联？
单位：人
对该程序的态度 年龄 合计
青年 非青年 喜欢 20
不喜欢 60
合计 200
②按照等比例分配分层随机抽样的方式从样本中随机抽取8名居民．若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
2025课标新变化：具有运用随机思想进行数据分析的意识．
[解]　(1)由频率分布直方图可知，
年龄在40岁以下的居民所占比例为10×＝0.65，
年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65＋10×0.020＝0.85，
所以75%分位数位于[40，50)内，
由40＋10×＝45，
所以样本数据的75%分位数为45．
(2)①由题知，2×2列联表为
单位：人
对该程序的态度 年龄 合计
青年 非青年 喜欢 90 20 110
不喜欢 60 30 90
合计 150 50 200
零假设为H0：年龄与喜欢该程序无关联．
根据列联表中的数据，可得
χ2＝≈6.061>3.841＝x0.05．
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为年龄与喜欢该程序有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
②按照分层随机抽样，青年居民应抽取8×＝6(人)，非青年居民应抽取2人．
设从中随机抽取的4名居民中青年居民的人数为X，
P，P，
所以P，
所以这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．
名师点评：该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象能力和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．
[巩固迁移]
1．(2026·云南昭通月考)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．
(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，设随机变量X表示抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望；
(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30，甲、乙、丙三家产品数在市场中所占比例分别为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？
[解]　(1)根据频率分布直方图可得(0.010＋0.015＋0.035＋m＋0.010)×10＝1，解得m＝0.030，
则这组数据的平均数＝55×0.01×10＋65×0.015×10＋75×0.035×10＋85×0.03×10＋95×0.01×10＝76.5．
(2)由题意知，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率为P＝(m＋0.01)×10＝0.4，
易知随机变量X服从二项分布，X~B(3，0.4)，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝·(1－0.4)3＝0.216，P(X＝1)＝·0.4×(1－0.4)2＝0.432，P(X＝2)＝·0.42×(1－0.4)＝0.288，P(X＝3)＝·0.43＝0.064，
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
E(X)＝3×0.4＝1.2．
(3)设事件A表示“取到的产品为优秀品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.4，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝0.3．
由全概率公式得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.4＋0.3×0.6＋0.5×0.3＝0.41．
P(B1|A)＝，
即在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率为．
考点二　概率、统计与数列的综合问题
[典例2]　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(qi．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
[解]　(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A，
所以P(A)＝P(BA＋)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6．
(2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝
，
所以pi+1－，
又p1－为公比的等比数列，
所以pi－，所以pi＝．
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi．
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝，
所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝．
名师点评：解答此类问题的关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立Pn+1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解．
[巩固迁移]
2．(2026·山西长治模拟)共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
(1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率；
(2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为n分的概率为Bn(n∈N*)，比如：B1表示累计积分为1分的概率，B2表示累计积分为2分的概率，试探求Bn与Bn-1之间的关系，并求数列的通项公式．
[解]　(1)设事件A为“某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分”，则
P(A)＝．
(2)依题意，随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，则
P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，
P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝．
所以ξ的分布列为



所以数学期望E(ξ)＝3×＝5．
ξ 3 4 5 6
P
(3)法一：使用共享交通工具的累计积分恰为n分的概率为Bn，积分跳过n分的情况只有先积n－1分，再积2分，概率为，
因为Bn＋Bn-1＋1(n≥2)，
所以Bn－，
故的等比数列，
所以Bn－．
法二：由题意可知Bn＝Bn-2(n≥3)，
则Bn＋Bn-2(n≥3)，
因为B2＋＝1，所以Bn＋Bn-1＝1(n≥2)，
即Bn＝－Bn-1＋1(n≥2)，所以Bn－，
故的等比数列，
所以Bn－．
【教用·备选题】
1．(2019·全国Ⅰ卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api-1＋bpi＋cpi+1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8．
①证明：{pi+1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
[解]　(1)由题意可知X所有可能的取值为－1，0，1．
Pβ，P，
P．
则X的分布列为
X －1 0 1
P β αβ＋ α
(2)∵α＝0.5，β＝0.8，
∴a＝0.5×0.8＝0.4，b＝0.5×0.8＋0.5×0.2＝0.5，c＝0.5×0.2＝0.1．
①证明：∵pi＝api-1＋bpi＋cpi+1(i＝1，2，…，7)，
即pi＝0.4pi-1＋0.5pi＋0.1pi+1(i＝1，2，…，7)，
整理可得：5pi＝4pi-1＋pi+1，
∴pi+1－pi＝4，
又∵p1－p0＝p1≠0，
∴是以p1为首项，4为公比的等比数列．
②由①知：pi+1－pi＝·4i＝p1·4i，
∴p8－p7＝p1·47，p7－p6＝p1·46，…，p1－p0＝p1·40．
作和可得：p8－p0＝p1·
，
∴p4＝p4－p0＝p1·．
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
2．甲、乙两位乒乓球爱好者进行一次对抗赛，第一个球的发球权通过掷硬币确定，从第二个球开始，上一个球谁赢谁发球．由以往数据可知，甲发球甲赢的概率为．
(1)求第1个球甲赢的概率p1；
(2)求第n个球甲赢的概率pn；
(3)定义第n个球甲赢的期望En＝npn，求Ei．
[解]　(1)设第1个球的发球人为甲为事件A0，第1个球的发球人为乙为事件B0，第1个球甲赢为事件A1，由题知，P(A0)＝P(B0)＝，
由全概率公式知，p1＝P(A1)＝P(A0)P(A1|A0)＋P(B0)P(A1|B0)＝，
∴第1个球甲赢的概率p1＝．
(2)设事件An：第n个球甲赢，事件Bn：第n个球乙赢，
由题知，当n≥2时，P(An|An-1)＝，
P(An|Bn-1)＝，
由全概率公式知，当n≥2时，pn＝P(An)＝P(An|An-1)P(An-1)＋P(An|Bn-1)
P(Bn-1)＝，∴pn－，
∵p1－，
∴数列的等比数列，
∴pn－，∴pn＝．
(3)由(2)知，En＝npn＝．
设数列的前n项和为Tn，
则Tn＝＋…＋，①
∴＋…＋，②
①－②得，＋…＋
＝＝，
∴Tn＝，
易知数列，
∴．
考点三　概率、统计与函数的交汇问题
[典例3]　根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为
X 1 2 3 0
P α α(1－p) α(1－p)2
其中α>0，0(1)若p＝，求α及P(B)．
(2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)．
①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？
②是否存在p使得E(X)＝？请说明理由．
[解]　(1)由题意得．
又因为P(B|A1)＝，
P(B|A3)＝．
所以P(B)＝(i＝1，2，3)．
(2)①由已知＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，
变形整理得，＋3．
可设f (p)＝p2－3p＋＋3，0设g(p)＝2p3－3p2－1，即g'(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)<0，
故g(p)在(0，1)内单调递减，
因为g(0)＝－1，所以g(p)<0，所以f '(p)<0，
故f (p)在(0，1)内单调递减，所以增加p的取值，会减小，α增大，即P(X＝2)增大．
②假设存在p使E(X)＝，
又因为＋3，
将上述两等式化简整理得：5p3－6p2＋2＝0，
设h(p)＝5p3－6p2＋2，0即h'(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4)．
所以h(p)在
>0．
所以不存在p，使得E(X)＝．
名师点评：该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化．
[巩固迁移]
3．某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化．经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i＝1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i＝1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
其中，ui＝ln xi(i＝1，2，…，5)，分别为数据xi，yi，ui(i＝1，2，…，5)的平均数．
xi yi ui (xi －)2 (yi －)2 (ui －)2 (xi－) ·(yi－) (ui－
)
15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9
(1)请从样本相关系数的角度，判断哪一个模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系？
(2)根据(1)的结果解决下列问题：
①建立y关于x的经验回归方程(斜率的结果四舍五入保留整数)；
②如果日产量x(单位：吨)与日生产总成本c(x)(单位：万元)满足关系c(x)＝x＋3，根据①中建立的经验回归方程估计日产量x为何值时，日利润r(x)最大？
参考数据：≈25．
2025课标新变化：强化主题间的关联问题．
[解]　(1)设模型的样本相关系数为r2，
所以r1＝＝≈0.975，
r2＝＝≈0.993 75，
由于0(2)①由(1)知y关于x的经验回归方程为，
由题可得＝5，所以＝10ln x＋5．
②由题可得r(x)＝10ln x＋5－x＋2(x≥1)，
所以r'(x)＝＝0，解得x＝20．
当1≤x<20时，r'(x)>0，当x>20时，r'(x)<0，则r(x)在[1，20)内单调递增，在(20，＋∞)上单调递减，所以当x＝20时，日利润r(x)最大．
【教用·备选题】
1．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；
(3)根据你的理解说明第(2)问结论的实际含义．
[解]　(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1．
(2)证明：法一(常规求导)：
p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x>0，
令f (x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，
f '(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，
令g(x)＝f '(x)，则g'(x)＝2p2＋6p3x>0，
∴f '(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时，f '(x)≤f '(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f (x)在(0，1]上单调递减，注意到f (1)＝0，∴x＝1，即p＝1．
当E(X)＝p1＋2p2＋3p3>1时，注意到f '(0)＝p1－1<0，
f '(1)＝p1＋2p2＋3p3－1>0，
∴存在唯一的x0∈(0，1)使f '(x0)＝0，且当0当x00，f (x)单调递增，
注意到f (0)＝p0>0，f (1)＝0，∴f (x0)∴f (x)在(0，x0)上有一个零点x1，另一个零点为1，∴p＝x1<1．
法二(巧妙因式分解)：
由题意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3，
由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0，
∴p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0 p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)(x＋1)＝0，(x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0，
令f (x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，
f (x)图象的对称轴为直线x＝－<0，
注意到f (0)＝－p0<0，f (1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1，
当E(X)≤1时，f (1)≤0，f (x)＝0的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1，
当E(X)>1时，f (1)>0，f (x)＝0的正实根x0<1，原方程的最小正实根p＝x0<1．
(3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
2．某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”，已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2．
(1)若p1＝，求他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率．
(2)已知p1＋p2＝，则
①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；
②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？
[解]　(1)每个小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”，
则可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次．
∵p1＝，
∴他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为．
(2)①由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为
P＝·p1(1－p1)·p2(1－p2)＋．
∵p1＋p2＝．
又0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1＋p2＝，∴≤p1≤1．
令m＝p1p2＝－p1＝－，则m∈，
∴P＝f (m)＝－3m2＋m＝－3．
∵P＝－3m2＋上单调递增，
∴Pmax＝f ，此时p1＝p2＝．
②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ~B，
∵np＝297，则n＝＝625，
∴平均要进行625轮游戏．
1．(2026·湖北武汉模拟)在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力．某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师(年龄在35岁及以上的教师)，200名经验不丰富教师(年龄在35岁以下的教师)，会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：
课后作业(七十四)　概率、统计的综合问题
单位：人
考核 结果 参会人员 合计
经验丰富教师 经验不丰富教师 优秀 200 150 350
合格 100 50 150
合计 300 200 500
(1)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析这次考核结果是否与经验丰富有关？
(2)若从参会人员中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
[解]　(1)零假设为H0：这次考核结果与经验丰富无关，
由题意χ2＝≈3.968<6.635＝x0.01，
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为这次考核结果与经验丰富无关．
(2)由题意，10名教师中经验丰富的教师人数为10×
＝4(人)，
则X可取的值有0，1，2，3，4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝0×．
2．(2025·陕西西安二模)某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；(同一组数据用该区间的中点值作代表)
(2)根据频率分布直方图，求样本的80%分位数(四舍五入精确到整数)；
(3)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数(四舍五入精确到整数)．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈
0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解]　(1)设样本平均数的估计值为＝10(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62．
所以样本平均数的估计值为62．
(2)由题图可知，前三组的频率和为0.1＋0.2＋0.3＝0.6，第四组的频率为0.24，所以样本的80%分位数为65＋≈73．
(3)由(1)可知，样本平均数的估计值μ＝62，
所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90，
则P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝(1－0.954 5)＝0.022 75．
所以估计能参加复试的人数为2 000×0.022 75≈46．
3．蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y(单位：个)和平均温度x(单位：℃)有关．现收集到一只蝗虫的产卵数y个和温度x ℃的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝ebx+a，②y＝cx2＋d分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
)2 )2 )· (xi－) )·
(ti－)
24 2.9 646 168 422 688 50.4 70 308
表中zi＝ln yi，ti．
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线
．
(1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，判断哪个模型比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出y关于x的经验回归方程．
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到30 ℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到30 ℃以上的概率为p(0①求f (p)取得最大值时对应的概率p0；
②当f (p)取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为X，求X的均值和方差．
[解]　(1)模型①更合适，理由如下：
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，
所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适．
令z＝ln y，则x，
由所给的参考数据可得，＝0.3，
所以＝2.9－0.3×24＝－4.3，
因此z关于x的经验回归方程为＝0.3x－4.3，
即ln y＝0.3x－4.3，
所以产卵数y关于温度x的经验回归方程为＝e0.3x-4.3．
(2)①由题意得，f (p)＝p2(1－p)n-2(0所以f '(p)＝2p(1－p)n-3(2－np)，
令f '(p)＝0，得p＝，
当p∈时，f '(p)>0；当p∈时，f '(p)<0．
所以f (p)在内单调递减，
所以f (p)取得最大值时对应的概率p0＝(n≥3，n∈N*)．
②由①知，当p0＝(n≥3，n∈N*)时，f (p)取最大值，
所以当n＝5时，p0＝，
由题意可知每年需要人工防治的概率为
p＝，
所以E(X)＝np＝5×．
一、单项选择题
1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法不正确的是(　　)
A．该年级500名学生的体重是总体
B．该年级每名学生的体重是个体
C．抽取的60名学生的体重是一个样本
D．抽取的60名学生的体重是样本容量
题号
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阶段评估(十四)　(第71课时~第74课时)
√
D　[由题可知，从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，其中总体是该年级500名学生的体重，个体是该年级每名学生的体重，样本是抽取的60名学生的体重，样本容量是60，故只有D不正确．]
题号
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题号
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2．(2025·湖南学业考试)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)
A．30人，30人，30人
B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人
D．30人，50人，10人
√
B　[甲校、乙校、丙校的学生数比例为3 600∶5 400∶1 800＝2∶3∶1，
抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生90×＝15人．故选B．]
题号
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3．(2026·四川成都模拟)某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：
结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数r1＝0.92；
结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数r2＝－0.12；
结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数r3＝0.75．
下列说法正确的是(　　)
题号
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A．由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因
B．由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联
C．结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强
D．结论一中接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系
题号
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√
D　[由r1＝0.92，可知PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系，但并不能说明机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因，故A错误，D正确；
由r2＝－0.12，可知绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率呈负相关，相关性不是很强，但不能说绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联，故B错误；
由于|r1|>|r3|，r3＝0.75，则表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，但线性相关性没有结论一的强，故C错误．故选D．]
题号
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4．(2026·湖北孝感模拟)已知有8个样本数据分别为4，6，8，10，12，15，21，22，则估计该组数据的第三四分位数为(　　)
A．7 B．8
C．15 D．18
题号
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√
D　[由题意，数据的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个，
由75%×8＝6，所以第三四分位数为＝18．故选D．]
5．(2025·浙江温州二模)某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长(单位：h)，得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差s2的值分别是(　　)
A．9.5，1.5 B．9，1.5
C．9.5，3 D．9，3
题号
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√
D　[×10.5＝9，s2＝×[0.75＋(9－10.5)2]＝3．故选D．]
6．(2026·天津南开模拟)某公司研发新产品投入金额x(单位：万元)与该产品的收益(单位：万元)的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额x与收益y满足经验回归方程＝2.5x＋，则下列结论不正确的是(　　)
A．＝4
B．x＝11时，残差为0.5
C．x与y有正相关关系
D．当新产品投入金额为10万元时，该产品的收益大约为29万元
题号
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√
x 5 7 8 9 11
y 16 22 24 27 31
B　[根据题表中的数据可求得：
＝8，＝24．
因为经验回归直线经过点(，
解得＝4，所以A正确；所以经验回归方程为＝2.5x＋4．
当x＝11时，＝2.5×11＋4＝31.5，
所以残差为31－31.5＝－0.5，所以B错误；
因为经验回归方程为＝2.5x＋4，2.5>0，所以x，y正相关，所以C正确；
令x＝10，则＝2.5×10＋4＝29，所以D正确．故选B．]
题号
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二、多项选择题
7．(2026·山东潍坊模拟)某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分(满分10分)，得到如图所示的折线统计图，则(　　)
题号
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A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
题号
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√
√
√
ABD　[甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲：7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3，乙：8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1，故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为8.9，乙的中位数为8.6，故A正确；
甲的极差为9.3－7.0＝2.3，乙的极差为9.1－8.1＝1，故B正确；
6×75%＝4.5，所以甲得分的第75百分位数为9.2，乙得分的第75百分位数为8.7，故C错误；
由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确．故选ABD．]
题号
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8．(2025·广东广州二模)一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥10，n∈N*)的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数r＝
，则(　　)
题号
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A．若r>0，则>0
B．若zi＝yi－2(i＝1，2，…，n)，则成对样本数据(xi，zi)的样本相关系数r1等于r
C．若zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，则成对样本数据(xi，zi)的样本相关系数r2大于r
D．若zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，则成对样本数据(xi，zi)的经验回归方程
题号
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√
√
√
ABD　[当r>0时，变量正相关，所以>0，故A正确；
因为zi＝yi－2(i＝1，2，…，n)，所以成对样本数据(xi，zi)对应点相当于把成对样本数据(xi，yi)对应的点向下平移2个单位长度，不改变变量的相关性，故B正确；
因为zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，则成对样本数据(xi，zi)对应点相当于把成对样本数据(xi，yi)对应的点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，故变量间的相关性不变，故C错误；
题号
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当zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，
由，故D正确．故选ABD．]
题号
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三、填空题
9．样本数据90，80，79，85，72，74，82，77的极差和第75百分位数分别为_____________．
题号
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18；83.5
18；83.5　[将这组数据从小到大排列为：72，74，77，79，80，82，85，90，共8个，
极差为90－72＝18，因为8×75%＝6，所以这组数据的第75百分位数为＝83.5．]
10．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生有500人、女生有400人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为_____________．
题号
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15　[根据等高堆积条形图可知： 喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，
所以喜欢徒步的总人数为300＋160＝460，
按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为×23＝15．]
题号
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四、解答题
11．(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：
单位：只
题号
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药物 疾病 合计
未患病 患病 未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合计 250 t 400
(1)求s，t；
(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值；
(3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析药物A是否对预防疾病B有效？
附：χ2＝．
题号
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α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
[解]　(1)s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150．
(2)因为．
(3)零假设为H0：药物A对预防疾病B无效．
根据列联表中的数据可得
χ2＝≈6.734>6.635＝x0.01．
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效，此推断犯错误的概率不大于0.01．
题号
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12．(2026·湖南长沙模拟)乒乓球被称为我国的“国球”，是一种流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守．某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社．以下是接下来7个星期(用x＝1表示第1个星期，用x＝2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据．
题号
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x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 14 20 37 74 108 203
(1)根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型y＝cdx，试建立y与x的经验回归方程(精确到0.01)；
(2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高(单位：cm)情况．采用按比例分配的分层随机抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差S2．
题号
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参考数据：xiyi＝2 681，
zi．
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线．
题号
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[解]　(1)已知y＝cdx，两边取常用对数可得lg y＝lg(cdx)＝lg c＋xlg d，
设z＝lg y，a＝lg c，b＝lg d，则经验回归方程变为x．
先计算，＝4．
根据参考公式，
＝4代入可得：≈0.25．
≈1.57－0.25×4＝0.57．
题号
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则＝0.25x＋0.57，
因为a＝lg c，b＝lg d，所以lg c≈0.57，lg d≈0.25，
则c≈100.57，d≈100.25．
所以y与x的经验回归方程为＝100.57·100.25x．
即＝100.25x+0.57．
题号
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(2)全体学生身高的平均数
＝167.5，
S2＝＝42.6．
则全体学生身高的平均数为167.5，方差为42.6．
题号
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13．(2026·河北衡水模拟)某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组(50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)，其中第二组的频数是第
五组的频数的8倍，请根据下面尚未完
成的频率分布直方图(如图所示)解决下
列问题．
题号
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(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰90%的学生，仅留10%的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？
(2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10．已知这10个分数的平均数＝90，标准差s＝5，若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
(3)从样本数据在50≤x<60，80≤x<90，90≤x≤100这三个组内的学生中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率．
题号
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[解]　(1)由题意知，第二组的频数是第五组的频数的8倍，所以a＝8b，
因为(0.008＋0.016＋a＋0.04＋b)×10＝1，所以a＝0.032，b＝0.004．
因为成绩落在[50，80)内的频率为0.16＋0.32＋0.40＝0.88，
落在[50，90)内的频率为0.16＋0.32＋0.40＋0.08＝0.96，
所以第90百分位数在[80，90)内．
设第90百分位数为m，则(m－80)×0.008＝0.9－0.88，解得m＝82.5，
所以晋级分数线划为82.5分合理．
题号
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(2)因为＝90，所以x1＋x2＋…＋x10＝10×90＝900，
所以s2＝＋…＋＋…＋＝81 250．
剔除其中的96和84这2个分数，设剩余8个分数为x1，x2，x3，…，x8，
平均数与标准差分别为，s0，
则剩余8个分数的平均数
＝90，
方差＋…＋)－902
＝(81 250－962－842)－902＝22.25．
题号
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(3)由题图可知，按分层随机抽样法，这三组应分别抽取4人，2人，1人，
则所求概率P＝．
题号
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14．某汽车公司拟对家用款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x(单位：亿元)与科技改造直接收益y(单位：亿元)的数据统计如下：
题号
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15
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68
当0(1)根据下列表格中的数据，比较当0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
回归模型 模型① 模型②
经验回归方程 ＝4.1x＋11.8 －14.4
)2 182.4 79.2
)
(2)科技改造后，家用款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N(0.52，0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元，求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望．
(附2：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.954 5)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
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13
14
15
[解]　(1)由题表中的数据，有182.4>79.2，
因为1－，
所以模型①的R2小于模型②的R2，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，
所以当x＝16亿元时，科技改造直接收益的预测值为：－14.4＝70.8(亿元)．
题号
2
1
3
4
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8
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15
(2)因为P(0.52－0.02≤X≤0.52＋0.02)＝0.954 5，
所以P(X≤0.5)＝＝0.022 75，
因为P(0.52－0.01≤X≤0.52＋0.01)＝0.682 7，
所以P(X>0.53)＝＝0.158 65，
所以P(0.50题号
2
1
3
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15
设每台发动机获得的奖励为Y(万元)，则Y的分布列为
题号
2
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15
Y 0 2 4
P 0.022 75 0.818 6 0.158 65
所以每台发动机获得奖励的数学期望
E(Y)＝0×0.022 75＋2×0.818 6＋4×0.158 65＝2.271 8．
15．(2026·四川宜宾模拟)我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立．
(1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
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13
14
15
(2)若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为Pn．
①求证：{Pn+1－Pn}是等比数列；
②求Pn的最大值．
题号
2
1
3
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15
[解]　(1)由答对概率p＝，X的可能取值为3，4，5，6，
P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，
所以随机变量X的分布列为
题号
2
1
3
4
5
6
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9
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13
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15
X 3 4 5 6
P
期望E(X)＝3×＝5．
(2)①证明：对n≥2，得分n＋1的事件是答最后一题之前，已得n分且最后一题答错的事件与答最后一题之前已得n－1分且最后一题答对的事件和，则Pn+1＝Pn-1．
于是Pn+1－Pn＝－
，
所以为公比的等比数列．
题号
2
1
3
4
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②由①得，当n≥2时，Pn＝P1＋，而P1＝，
当n为正偶数时，Pn＝，数列{Pn}单调递减，因此Pn≤P2；
当n为正奇数时，Pn＝，
所以Pn的最大值为．
题号
2
1
3
4
5
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谢 谢 ！第74课时　概率、统计的综合问题
[考试要求]　1．能从实际生活背景中构建概率模型，并会用统计思维看待和处理实际问题．2．能灵活运用概率、统计、数列、函数、导数等知识解决综合问题，实现知识间的融合．
考点一　以统计图表为载体的概率、统计问题
[典例1]　AI技术驱动的自然语言处理工具引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用该工具的人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数．
(2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民．
①完成下列2×2列联表，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析年龄与喜欢该程序是否有关联？
单位：人
对该程序的态度 年龄 合计
青年 非青年
喜欢 20
不喜欢 60
合计 200
②按照等比例分配分层随机抽样的方式从样本中随机抽取8名居民．若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率．
2025课标新变化：具有运用随机思想进行数据分析的意识．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象能力和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．
[巩固迁移]
1．(2026·云南昭通月考)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．
(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，设随机变量X表示抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望；
(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30，甲、乙、丙三家产品数在市场中所占比例分别为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点二　概率、统计与数列的综合问题
[典例2]　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(qi．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解答此类问题的关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立Pn+1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解．
[巩固迁移]
2．(2026·山西长治模拟)共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．
(1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率；
(2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为n分的概率为Bn(n∈N*)，比如：B1表示累计积分为1分的概率，B2表示累计积分为2分的概率，试探求Bn与Bn-1之间的关系，并求数列的通项公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　概率、统计与函数的交汇问题
[典例3]　根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为
X 1 2 3 0
P α α(1－p) α(1－p)2
其中α>0，0(1)若p＝，求α及P(B)．
(2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)．
①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？
②是否存在p使得E(X)＝？请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化．
[巩固迁移]
3．某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化．经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i＝1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i＝1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
xi yi ui (xi－)2 (yi－)2 (ui－)2 (xi－)· (yi－) (ui－)·(yi－)
15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9
其中，ui＝ln xi(i＝1，2，…，5)，分别为数据xi，yi，ui(i＝1，2，…，5)的平均数．
(1)请从样本相关系数的角度，判断哪一个模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系？
(2)根据(1)的结果解决下列问题：
①建立y关于x的经验回归方程(斜率的结果四舍五入保留整数)；
②如果日产量x(单位：吨)与日生产总成本c(x)(单位：万元)满足关系c(x)＝x＋3，根据①中建立的经验回归方程估计日产量x为何值时，日利润r(x)最大？
参考数据：≈25．
2025课标新变化：强化主题间的关联问题．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第74课时　概率、统计的综合问题
精研考点·提升素养
考点一
典例1　解：(1)由频率分布直方图可知，
年龄在40岁以下的居民所占比例为10×＝0.65，
年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65＋10×0.020＝0.85，
所以75%分位数位于[40，50)内，
由40＋10×＝45，
所以样本数据的75%分位数为45．
(2)①由题知，2×2列联表为
单位：人
对该程序 的态度 年龄 合计
青年 非青年
喜欢 90 20 110
不喜欢 60 30 90
合计 150 50 200
零假设为H0：年龄与喜欢该程序无关联．
根据列联表中的数据，可得
χ2＝≈6.061>3.841＝x0.05．
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为年龄与喜欢该程序有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
②按照分层随机抽样，青年居民应抽取8×＝6(人)，非青年居民应抽取2人．
设从中随机抽取的4名居民中青年居民的人数为X，
P，
P，
所以P＋P(X＝4)＝，
所以这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．
巩固迁移
1．解：(1)根据频率分布直方图可得(0.010＋0.015＋0.035＋m＋0.010)×10＝1，解得m＝0.030，
则这组数据的平均数＝55×0.01×10＋65×0.015×10＋75×0.035×10＋85×0.03×10＋95×0.01×10＝76.5．
(2)由题意知，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率为P＝(m＋0.01)×10＝0.4，
易知随机变量X服从二项分布，X~B(3，0.4)，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝·(1－0.4)3＝0.216，
P(X＝1)＝·0.4×(1－0.4)2＝0.432，
P(X＝2)＝·0.42×(1－0.4)＝0.288，
P(X＝3)＝·0.43＝0.064，
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
E(X)＝3×0.4＝1.2．
(3)设事件A表示“取到的产品为优秀品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.4，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝0.3．
由全概率公式得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.4＋0.3×0.6＋0.5×0.3＝0.41．
P(B1|A)＝＝，
即在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率为．
考点二
典例2　解：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A，
所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6．
(2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi+1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi+1＝0.4pi＋0.2＝，
所以pi+1－，
又p1－为公比的等比数列，
所以pi－，
所以pi＝．
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi．
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝，
所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝．
巩固迁移
2．解：(1)设事件A为“某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分”，则
P(A)＝．
(2)依题意，随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，则
P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝4)＝，
P(ξ＝5)＝，
P(ξ＝6)＝．
所以ξ的分布列为
ξ 3 4 5 6
P
所以数学期望E(ξ)＝3×＝5．
(3)法一：使用共享交通工具的累计积分恰为n分的概率为Bn，积分跳过n分的情况只有先积n－1分，再积2分，概率为Bn-1，其中B1＝，
因为Bn＋Bn-1＝1(n≥2)，
即Bn＝－Bn-1＋1(n≥2)，
所以Bn－，
故是首项为B1－，公比为－的等比数列，
所以Bn－，
即Bn＝．
法二：由题意可知Bn＝Bn-2(n≥3)，
则Bn＋Bn-2(n≥3)，
因为B2＋＝1，
所以Bn＋Bn-1＝1(n≥2)，
即Bn＝－Bn-1＋1(n≥2)，
所以Bn－，
故是首项为B1－，公比为－的等比数列，
所以Bn－，
即Bn＝．
考点三
典例3　解：(1)由题意得＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，p＝，解得α＝．
又因为P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
P(B|A3)＝．
所以P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)＝(i＝1，2，3)．
(2)①由已知＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，
变形整理得，＋3．
可设f (p)＝p2－3p＋＋3，0所以f '(p)＝．
设g(p)＝2p3－3p2－1，
即g'(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)<0，
故g(p)在(0，1)内单调递减，
因为g(0)＝－1，所以g(p)<0，
所以f '(p)<0，
故f (p)在(0，1)内单调递减，所以增加p的取值，会减小，α增大，即P(X＝2)增大．
②假设存在p使E(X)＝＋2α＋3α(1－p)＝，
又因为＋3，
将上述两等式化简整理得：5p3－6p2＋2＝0，
设h(p)＝5p3－6p2＋2，0即h'(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4)．
所以h(p)在内单调递增，故h(p)min＝h>0．
所以不存在p，使得E(X)＝．
巩固迁移
3．解：(1)设模型的样本相关系数为r1，ln x＋模型的样本相关系数为r2，
所以r1＝＝≈0.975，
r2＝＝≈0.993 75，
由于0(2)①由(1)知y关于x的经验回归方程为ln x＋，
由题可得＝9.937 5≈10，＝5，
所以＝10ln x＋5．
②由题可得r(x)＝10ln x＋5－x－3＝10ln x－x＋2(x≥1)，
所以r'(x)＝，令r'(x)＝＝0，解得x＝20．
当1≤x<20时，r'(x)>0，当x>20时，r'(x)<0，则r(x)在[1，20)内单调递增，在(20，＋∞)上单调递减，所以当x＝20时，日利润r(x)最大．
5/5课后作业(七十四)　概率、统计的综合问题
说明：本试卷共45分
1．(15分)(2026·湖北武汉模拟)在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力．某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师(年龄在35岁及以上的教师)，200名经验不丰富教师(年龄在35岁以下的教师)，会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：
单位：人
考核 结果 参会人员 合计
经验丰富教师 经验不丰富教师
优秀 200 150 350
合格 100 50 150
合计 300 200 500
(1)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析这次考核结果是否与经验丰富有关？
(2)若从参会人员中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
2．(15分)(2025·陕西西安二模)某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；(同一组数据用该区间的中点值作代表)
(2)根据频率分布直方图，求样本的80%分位数(四舍五入精确到整数)；
(3)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数(四舍五入精确到整数)．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
3．(15分)蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y(单位：个)和平均温度x(单位：℃)有关．现收集到一只蝗虫的产卵数y个和温度x ℃的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝ebx+a，②y＝cx2＋d分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
(xi－)2 (ti－)2 (zi－)· (xi－) (yi－)·(ti－)
24 2.9 646 168 422 688 50.4 70 308
表中zi＝ln yi，zi，ti＝ti．
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线u＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．
(1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，判断哪个模型比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出y关于x的经验回归方程．
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到30 ℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到30 ℃以上的概率为p(0①求f (p)取得最大值时对应的概率p0；
②当f (p)取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为X，求X的均值和方差．
课后作业(七十四)
1．解：(1)零假设为H0：这次考核结果与经验丰富无关，
由题意χ2＝≈3.968<6.635＝x0.01，
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为这次考核结果与经验丰富无关．
(2)由题意，10名教师中经验丰富的教师人数为10×＝6(人)，经验不丰富的教师人数为10×＝4(人)，
则X可取的值有0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×．
2．解：(1)设样本平均数的估计值为＝10(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62．
所以样本平均数的估计值为62．
(2)由题图可知，前三组的频率和为0.1＋0.2＋0.3＝0.6，第四组的频率为0.24，所以样本的80%分位数为65＋×10＝65＋≈73．
(3)由(1)可知，样本平均数的估计值μ＝62，
所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90，
则P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝(1－0.954 5)＝0.022 75．
所以估计能参加复试的人数为
2 000×0.022 75≈46．
3．解：(1)模型①更合适，理由如下：
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，
所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适．
令z＝ln y，则x，
由所给的参考数据可得，
＝0.3，
所以＝2.9－0.3×24＝－4.3，
因此z关于x的经验回归方程为＝0.3x－4.3，
即ln y＝0.3x－4.3，
所以产卵数y关于温度x的经验回归方程为＝e0.3x-4.3．
(2)①由题意得，f (p)＝p2(1－p)n-2(0所以f '(p)＝2p(1－p)n-2－(n－2)p2(1－p)n-3＝p(1－p)n-3[2(1－p)－(n－2)p]＝p(1－p)n-3(2－np)，
令f '(p)＝0，得p＝，
当p∈时，f '(p)>0；
当p∈时，f '(p)<0．
所以f (p)在内单调递减，
所以f (p)取得最大值时对应的概率p0＝(n≥3，n∈N*)．
②由①知，当p0＝(n≥3，n∈N*)时，f (p)取最大值，
所以当n＝5时，p0＝，
由题意可知每年需要人工防治的概率为p＝，且X服从二项分布B，
所以E(X)＝np＝5×＝2，D(X)＝np(1－p)＝5×．
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