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北京市丰台区
高三高考模拟检测卷
数 学 试 题
一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．复数化简的结果等于 （ ）
A．-i B．i
C．-2i D．2i
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．在右面的程度框图中，若x=5，则输出i的值是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
4．直线所得劣弧所对圆
心角为 （ ）
A． B． C． D．
5．若，则在下列四个选项中，较大的是 （ ）
A． B． C． D．b
6．奇函数上单调递增，若则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．若集合，则Q中元素的个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
8．在，的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．若一个底面是正三角形的棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 cm3.
10．设等比数列的公比为前n项和为= .
11．已知向量等于 .
12．函数的图象在点处的切线方程是 .
13．已知函数= .
14．已知点A（1，-1），点B（3，5），点P是直线上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（12分）
已知函数的图象经过点
（I）求实数a、b的值；
（II）若，求函数的最大值及此时x的值.
16．（13分）
如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.
（I）求证：BD⊥FG；
（II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由.
17．（15分）
某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题.
（I）求全班人数及分数在之间的频数；
（II）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；
（III）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率.
18．（13分）
设
（I）若函数在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；
（II）若函数处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数 的单调性.
19．（13分）
在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.
（I）求轨迹C的方程；
（II）是否存在常数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
20．（14分）
设集合W由满足下列两个条件的数列构成：
①
②存在实数M，使（n为正整数）
（I）在只有5项的有限数列
；试判断数列是否为集合W的元素；
（II）设是等差数列，是其前n项和，证明数列；并写出M的取值范围；
（III）设数列且对满足条件的常数M，存在正整数k，使
求证：
参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分）
ADCDDABC
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．
10．15
11．5
12．
13．2
14．（2，2）
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
15．（12分）
解：（I）∵函数的图象经过点，
…………4分
解得： …………5分
（II）由（I）知： …………8分
…………9分
时，
取得最大值 …………12分
16．（13分）
证明：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD.
∴BD⊥平面APC，
平面PAC，
∴BD⊥FG …………7分
（II）当G为EC中点，即时，
FG//平面PBD， …………9分
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，
而FG平面PBD，PB平面PBD，
故FG//平面PBD. …………13分
17．（15分）
解：（I）由茎叶图知，分数在之间的频数为2，频率为
全班人数为 …………3分
所以分数在之间的频数为 …………5分
（II）分数在之间的总分为56+58=114；
分数在之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；
分数在之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；
分数在之间的总分约为85×4=340；
分数在之间的总分数为95+98=193；
所以，该班的平均分数为…………8分
估计平均分时，以下解法也给分：
分数在之间的频率为2/25=0.08;
分数在之间的频率为7/25=0.28；
分数在之间的频率为10/25=0.40;
分数在之间的频率为4/25=0.16
分数在之间的频率为2/25=0.08;
所以，该班的平均分约为
频率分布直方图中间的矩形的高为…………10分
（III）将之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6）
（4，5），（4，6）
（5，6）共15个， …………12分
其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个， …………14分
故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是 …………15分
18．解： …………2分
（1）（1，4）内单调递减，
…………5分
（2）处有极值是1，
即
所以a=0或3. …………8分
当a=0时，f（x）在上单调递增，
在（0，1）上单调递减，所以f（0）为极大值，
这与函数f（x）在x=a处取得极小值是1矛盾，
所以 …………10分
当a=3时，f（x）在（1，3）上单调递减，在上单调递增，
所以f（3）为极小值，
所以a=3时，此时，在区间（1，4）内函数f（x）的单调性是：
f（x）在（1，3）内减，在内增. …………13分
19．（13分）
解：（1）的距离之和是4，
的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，
其方程为 …………4分
（2）将，代入曲线C的方程，
整理得 ①
…………6分
设由方程①，得
② …………8分
又 ③
若
得 …………10分
将②、③代入上式，
解得 …………12分
又因k的取值应满足
即（*），
将代入（*）式知符合题意 …………13分
20．（14分）
解：（I）对于数列，当n=1时，
显然不满足集合W的条件，①
故不是集合W中的元素， …………2分
对于数列，当时，
不仅有
而且有，
显然满足集合W的条件①②，
故是集合W中的元素. …………4分
（II）是等差数列，是其前n项和，
设其公差为d，
…………7分
的最大值是
即
，且M的取值范围是 …………9分
（III）证明：
整理，
又
…………14分

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