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广东省深圳市罗湖区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题只有一个选项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列式子中是一元一次不等式的是（　　）
A．2x+2＞5 B．x2﹣1＜0 C．2x﹣y≤3 D．
2．（3分）数学之美源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（　　）
A．国旗上升的过程
B．输送带运输的行李箱
C．轮船航行时的螺旋桨的转动
D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼
3．（3分）下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（x+y）（x+y）＝（x+y）2 B．x2+4xy+4y2＝（x+2y）2
C．ax+ay+1＝a（x+y）+1 D．x2+x+1＝（x+1）2
5．（3分）如图，直线与直线交于点P（﹣2，3），不等式的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°．下列尺规作图痕迹中，不能将△ABC的面积平分的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝3．N为AB上一点，且AN＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN．则BM+MN的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）若一个三角形三边的大小分别为5，12，13，则该三角形最大边上的高线长为　 　 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝4，则AE的长为 　 　 ．
11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（a+1，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b＝　 　 ．
12．（3分）已知关于x的不等式3x≤2a﹣1的解集为x≤﹣1，则a的值为　 　 ．
13．（3分）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则m的取值范围是　 　 ．
三、解答题（本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
14．（10分）解下列不等式：
（1）3x﹣2＞﹣8；
（2）2（x﹣3）≤12+5x；
（3）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
15．（6分）如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边AB，AC上的点，连接BE，CD交于点P，且AE＝BD．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若D点，E点分别在边AB，AC上改变位置时，AE＝BD保持不变，发现∠BPC为定值，直接写出∠BPC＝　 　 ．
16．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若点C1的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）若△A1B1C1绕着坐标原点O按逆时针方向旋转90°得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，并直接写出点B3的坐标．
17．（8分）尺规作图及计算
尺规作图是一种使用没有刻度的直尺和圆规的方法，我们初中阶段学习的基本作图包括五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线、过一点作已知直线的垂线，亲爱的同学们，你们准备好了吧，如图：Rt△ABC中，∠C＝90°．两直角边分别为AC、BC斜边AB＝6，按要求完成以下问题：
（1）求作斜边AB的垂直平分线MN，交AC边于一点D，连接BD．（采用尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若△BCD的周长为8，求出Rt△ABC的面积．
18．（8分）2026亚太经合组织APEC第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了A、B两款有关会场的纪念品，已知10个A款纪念品和15个B款纪念品的售价为2400元；30个A款纪念品和20个B款纪念品的售价为5200元．
（1）每个A款纪念品和B款纪念品的售价分别为多少元？
（2）已知A款纪念品和B款纪念品的成本分别为80元/个和50元/个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进了这两款纪念品共600个，其中B款纪念品的数量不超过A款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对A款纪念品降价10%后再销售，而B款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出，则A款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？
19．（9分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程x+3＝1的解为x＝﹣2，不等式组的解集﹣3≤x＜1因为﹣3≤﹣2＜1，所以方程x+3＝1是不等式组的“约定方程”．
（1）方程2（x﹣1）+10＝2是否为不等式组的“约定方程”？并说明理由．
（2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的“约定方程”，求a的取值范围．
（3）若方程2x＝﹣4和方程都是关于x的不等式组的“约定方程”，求m的取值范围．
20．（11分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，D是AC上的一点，CD＝6，点Q从B点出发沿射线BC以每秒2个单位的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，连接AQ．
（1）如图1，当t＝2时，求AQ的长度．（结果保留根号）
（2）如图2，△ABQ为等腰三角形时，求t的值．
（3）如图3，过点D作DE⊥AQ于E点，在点Q运动过程中，当t＝　 　 时，DE＝CD．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题只有一个选项是符合题目要求的。）
1. A．
2．C．
3． D．
4． B．
5． B．
6． D．
7． A．
8． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9． ．
10． 2．
11．0．
12．﹣1．
13．
﹣1≤m＜0．
三、解答题（本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
14．解：（1）3x﹣2＞﹣8，
3x＞﹣8+2，
3x＞﹣6，
x＞﹣2；
（2）2（x﹣3）≤12+5x，
2x﹣6≤12+5x，
2x﹣5x≤12+6，
﹣3x≤18，
x≥﹣6；
（3），
2x+4﹣6≤1﹣x，
2x+x≤1﹣4+6，
3x≤3，
x≤1，
数轴表示如下：
．
15．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBD＝60°，
在△ABE与△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴CD＝BE；
（2）解：∵△ABE≌△BCD，
∴∠ABE＝∠BCD，
∵∠BPD＝∠PBC+∠DCB＝∠PBC+∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣∠BPD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BPC为定值，
故答案为：120°．
16．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点B1的坐标为（3，﹣2）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点B2的坐标为（2，﹣1）．
（3）如图，△A3B3C3即为所求．
点B3的坐标为（2，3）．
17．
解：（1）图形如图所示：
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8，
∵∠C＝90°，AB＝6，
∴BC2+AC2＝36，
∵BC2+2BC AC+AC2＝64，
∴BC AC＝14，
∴△ABC的面积＝BC AC＝7．
18．
解：（1）设每个A款纪念品的售价为x元，每个B款纪念品的售价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A款纪念品的售价为120元，每个B款纪念品的售价为80元；
（2）设再购进m个A款纪念品，则购进（600﹣m）个B款纪念品，
根据题意得：，
解得：200≤m≤260，
设该店再购进的这两款纪念品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝[120×（1﹣10%）﹣80]m+（80﹣50）（600﹣m），
即w＝﹣2m+18000，
∵﹣2＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝200时，w取得最大值，最大值为﹣2×200+18000＝17600．
答：当A款纪念品购进200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元．
19．
解：（1）解方程2（x﹣1）+10＝2：
2x﹣2+10＝2，
2x+8＝2，
2x＝﹣6，
x＝﹣3，
解不等式组，
解不等式①得，x＜，
解不等式②得，x≤﹣2，
不等式组的解集为x≤﹣2，
验证：x＝﹣3满足x≤﹣2，因此方程是该不等式组的“约定方程”；
（2）解方程2x﹣a＝1，得x＝，
解不等式组，
解不等式①得x＞，
解不等式②，得x≤3，
不等式组的解集为＜x≤3，
根据“约定方程”定义，＜≤3，解得0＜a≤5．
（3）解方程：2x＝﹣4，得x＝﹣2，
＝﹣，得2x+1＝﹣1，即x＝﹣1，
解不等式组，
由mx+2x＜m+2，得（m+2）x＜m+2（m≠﹣2），
若m+2＞0，则x＜1，
若m+2＜0，则x＞1，
由x+3≥m，得x≥m﹣3，
要使x＝﹣2和x＝﹣1都在解集中，解集需包含﹣2和﹣1，因此只能是m＞﹣2的情况，解集为m﹣3≤x＜1，
根据定义，x＝﹣2和x＝﹣2都满足m﹣3≤x＜1，
最小的解是x＝﹣2，因此m﹣3≤﹣2，得m≤1，
同时m＞﹣2，故m的取值范围是﹣2＜m≤1．
20．
解：（1）当t＝2秒时，BQ＝4，
∴CQ＝8，
由勾股定理得，AQ＝＝＝8，
∴AQ的长为8；
（2）当△ABQ为等腰三角形时，由题意知，分当AQ＝BQ，当AB＝BQ，当AB＝AQ，三种情况求解；如图1，
由勾股定理得，AB＝＝＝20，
①当AQ＝BQ＝2t时，CQ＝2t﹣12，
由勾股定理得，AQ2＝CQ2+AC2，即（2t）2﹣（2t﹣12）2＝162，
解得t＝；
②当AB＝BQ＝20时，2t＝20，
解得t＝10；
③当AB＝AQ时，
由等腰三角形的性质可知，QC＝BC＝12，
∴BQ＝QC+BC＝24，
∴2t＝24，
解得t＝12；
综上所述，t的值为或10或12；
（3）∵CD＝6，
∴DE＝CD＝6，AD＝10，
如图，连接QD，
由勾股定理得，AE＝＝8，
在Rt△QDE和Rt△QDC中，
，
∴Rt△QDE≌Rt△QDC（HL），
∴QE＝QC，
设QE＝QC＝x，则AQ＝x+8，
由勾股定理得，AQ2﹣QC2＝AC2，
即（x+8）2﹣x2＝162，
解得，x＝12，
∴QC＝12，
∴BQ＝2t＝0，
解得t＝0；
由轴对称的性质可知，当BQ＝2t＝12+12时，DE＝CD成立，
解得，t＝12；
综上所述，当t的值为0或12时，DE＝CD，
故答案为：0或12．

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