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高三高考数学模拟检测卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U={1, 2, 3, 4}，M={1, 2}，N={2, 3}，则(M∪N) = ▲ ．
2．复数（i是虚数单位）的虚部为 ▲ ．
3．设向量a，b满足：，，则 ▲ ．
4．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线互相垂直的充要条件是m= ．
5．函数的最小正周期是 ▲ ．
6．在数列{an}中，若对于n∈N*，总有＝2n－1，则= ▲ ．
7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是 ▲ ．
8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ．
9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲ ．
10．关于直线和平面，有以下四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则且；④若，则或.
其中假命题的序号是 ▲ ．
11．已知函数若，则实数a的取值范围是 ▲ ．
12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的
四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，则PC·PD的最大值为 ▲ ．
13．设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3，4），P是该四边形内任意一点，P点到第i条边的距离记为hi，若, 则.类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi，则相应的正确命题是：若,则 ▲ ．
14．在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，，若函数 的零点，则k= ▲ ．
【填空题答案】
1．； 2．; 3．2； 4．； 5．；
6．； 7．； 8．90； 9．10； 10．①③④ ；
11．； 12．4； 13．； 14．0．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2=ac，向量和满足.（1）求的值；（2）求证：三角形ABC为等边三角形．
【解】（1）由得，， ……………………2分
又B=π(A+C)，得cos(AC)cos(A+C)=， ……………………4分
即cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=，所以sinAsinC=． ……………6分
【证明】（2）由b2=ac及正弦定理得，故. ……………8分
于是，所以 或. 因为cosB =cos(AC)>0， 所以 ，故． ………………… 11分
由余弦定理得，即，又b2=ac，所以 得a=c.
因为，所以三角形ABC为等边三角形. ………………… 14分
16．（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD，
DE＝2AB，F为CD的中点．
（1） 求证：AF∥平面BCE；（2） 求证：平面BCE⊥平面CDE．
【证明】（1）因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE.
取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为的中点，所以GF∥ED∥BA， GF＝ED＝BA，
从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG. ……………………4分
因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE． ……………………7分
（2）因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，
所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF. ……………………9分
又AC=AD，所以AF⊥CD. ………………… 11分
而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE. 因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.
因为BG平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE． ………………… 14分
17．（本小题满分15分）设等差数列的前项和为且．
（1）求数列的通项公式及前项和公式；
（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得
成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 ……………………2分
即解得……………………4分.故. ………6分
（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，……8分.整理得， …………… 11分
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.
故存在正整数t，使得成等差数列. ………………… 15分
18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，
已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个
变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. （1）设，把y表示成的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
【解】（1）在中，所以=OA=.
所以由题意知. ……………………2分
所以点P到A、B、C的距离之和为
. ……………………6分
故所求函数关系式为. ……………………7分
（2）由（1）得，令即，又，从而. ……………………9分.当时，；当时, .
所以当 时，取得最小值， ………………… 13分
此时（km），即点P在OA上距O点km处.
【答】变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分
19．（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若
曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．
【解】（1）由离心率，得，即. ① ………………2分
又点在椭圆上，即. ② ………………4分
解 ①②得，
故所求椭圆方程为. …………………6分
由得直线l的方程为. ………8分
（2）曲线，
即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线
上，半径为的动圆. ………………… 10分
由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.
设与直线l相切于点T，则由，得，………………… 12分
当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，
解方程组得. ………………… 14分
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，
所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，
解得. ………………… 16分
（说明：若不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分）
20．（本小题满分16分）
已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．令
．
（1）求 g(x)的表达式；
（2）若使成立，求实数m的取值范围；
（3）设，，
证明:对，恒有
【解】 （1）设，于是
所以
又，则．所以. ……………………4分
（2）
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；
当m=0时，对，恒成立； ……………………6分
当m<0时，由，列表：
x
－ 0 ＋
减 极小 增
……………………8分
所以若，恒成立，则实数m的取值范围是.
故使成立，实数m的取值范围．……………… 10分
（3）因为对，所以在内单调递减.
于是
………………… 12分
记，
则
所以函数在是单调增函数， ………………… 14分
所以，故命题成立. ………………… 16分
附加题部分
21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1　几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF
交AF的延长线于点D. 求证：DC是⊙O的切线.
【证明】连结OC，所以∠OAC=∠OCA.
又因为CA平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC，
于是∠FAC=∠OCA，所以OC//AD.
又因为CD⊥AF，所以CD⊥OC，
故DC是⊙O的切线． ………………… 10分
B．选修4—2　矩阵与变换
变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换T作用
下所得的曲线方程．
【解】变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，即，代入，
即，
所以变换后的曲线方程为． ………………… 10分
C．选修4—4　参数方程与极坐标（本题满分10分）
已知圆和圆的极坐标方程分别为，．
（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
【解】（1），所以；因为，
所以，所以． ………5分
（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为．
化为极坐标方程为，即． ………………… 10分
D．选修4—5　不等式证明选讲（本题满分10分）
已知，求证：.
【解】因为，所以，所以要证，
即证， 即证，
即证，而显然成立，故．…………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域（含边界）上运动，且到点F（0，1）和直线l的距离之和为4．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积．
【解】（1）设P（x，y），根据题意，得＋3－y＝4，化简，得y＝x2（y≤3）．
…………………4分
（2）设过Q的直线方程为y＝kx－1，代入抛物线方程，整理得x2－4kx＋4＝0．
由△＝16k2－16＝0．解得k＝±1．
于是所求切线方程为y＝±x－1（亦可用导数求得切线方程）.
切点的坐标为（2，1），（－2，1）．
由对称性知所求的区域的面积为S＝ ………………… 10分
23．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，
AB＝BC=，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
【解】 （1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，
BB1⊥面ABC，∠ABC＝．
以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AC＝2，∠ABC＝90 ，所以AB＝BC＝，
从而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E．
所以，
设AF＝x，则F(，0，x)，
.
，所以
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.
由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，
故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．……………… 5分
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）.
设平面B1CF的法向量为，则由得
令z=1得，
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
………………… 10分
k≥-3
？
/
开始
k1
S0
SS – 2k
kk -1
结束
输出S
Y
N
（第9题图）
（第8题图）
字数/分钟
频率
组距
0.0050
0.0075
0.0100
0.0125
0.0150
50
70
90
110
130
150
A
B
C
D
E
F
(第16题图)
O
B
C
A
P
（第18题图）
A
B
C
DD
F
O
A
B
C
C1
B1
A1
F
D
（第23题图）
A
B
C
C1
B1
A1
F
D
x
y
z

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