资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
高一下学期数学26个易混易错全归纳
内容导览 易混易错01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错 2
易混易错02 诱导公式认识不深导致变形致错 3
易混易错03 三角求值不能深挖角的范围致错 4
易混易错04 判断三角函数的单调性忽略系数的符号致错 4
易混易错05 混淆函数图象变换的规律而致错 5
易混易错06 参数问题不能准确判断临界点致错 6
易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱 7
易混易错08 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错 8
易混易错09 忽略向量共线时的两种情况致错 9
易混易错10 错用平面向量的运算律致错 10
易混易错11 解三角形时错判解的个数致错 11
易混易错12 忽略边角互化条件致错 12
易混易错13 忽略三角形中的隐含条件致错 14
易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错 15
易混易错15 复数的几何意义应用陷阱 15
易混易错16 对斜二测法规则掌握不牢致错 16
易混易错17 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错 16
易混易错18 线面位置关系考虑不全面致错 17
易混易错19 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错 18
易混易错20 忽略异面直线所成角的范围致错 20
易混易错21 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错 21
易混易错22 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错 22
易混易错23 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错 22
易混易错24 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 24
易混易错25 混淆“有放回”与“不放回”致错 25
易混易错26 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 26
易混易错01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错
辨析：三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
（1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.
（2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题.
（3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.
【典例1】（24-25高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ．
【典例2】(25-26高三·全国·专题练习)已知角的终边过点且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
【跟踪训练1】（2025·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练2】 (多选)（25-26高三上·湖南郴州·期末）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．对任意
易混易错02 诱导公式认识不深导致变形致错
辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
【跟踪训练1】（2026·陕西商洛·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（25-26高一上·四川成都·期末）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
易混易错03 三角求值不能深挖角的范围致错
辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
【典例1】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
易混易错04 判断三角函数的单调性忽略系数的符号致错
辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决.
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（2004·天津·高考真题）函数，的增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
易混易错05 混淆函数图象变换的规律而致错
辨析：在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
【典例1】（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移个单位
B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移个单位
C．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
D．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
【典例2】（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【跟踪训练1】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【跟踪训练2】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为，且图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增
C．将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称
D．函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为
易混易错06 参数问题不能准确判断临界点致错
辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解.
【典例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【跟踪训练1】（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【跟踪训练2】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱
辨析：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．
【典例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【典例2】（24-25高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
【跟踪训练1】(多选) （2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·四川成都·期中）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
易混易错08 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错
辨析：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角；
（2）向量的夹角是指向量方向的夹角；
（3）向量的夹角范围是，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.
【典例1】（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若，则
C．若与的夹角为锐角，则实数的范围为
D．当时，在上的投影向量的坐标为
易混易错09 忽略向量共线时的两种情况致错
辨析：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况
【典例1】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ．
【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期末）已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【跟踪训练1】（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若则
【跟踪训练2】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．若共线，则
C．若且，则
D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则
易混易错10 错用平面向量的运算律致错
辨析：（1）在实数中：若，且，则，但在向量的数量积中，若，且，不能推出．
（2）已知实数，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有．
（3）在实数中有，但是在向量数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量．
【典例1】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ）
B. C. D.∥
【典例2】（多选）（24-25高三·河北石家庄期末）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则的最大值与最小值之和为
【跟踪训练1】（25-26高三上·福建福州·期中）已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．非零向量、，满足且与同向，则
B．
C．若，则不与垂直
D．
【跟踪训练2】（多选）（2026·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
易混易错11 解三角形时错判解的个数致错
辨析：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数.
【典例1】（25-26高三上·河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（ ）
A．或 B． C． D．或
【典例2】（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练1】（2025·陕西咸阳·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）．
A．若，，，则有两解
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，则为等腰三角形
【跟踪训练2】(多选) (25-26高三上·河南安阳·期末）下列说法错误的有（ ）
A．命题的否定是
B．若，则，的夹角为锐角
C．若方程有两个不等的正实数根，则
D．在中，若角，则有两解
易混易错12 忽略边角互化条件致错
辨析：若等式中每一项的边或者三角的正弦的个数相同，可以考虑直接改成对应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用进行等量代换.
【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【典例2】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【跟踪训练1】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【跟踪训练2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
易混易错13 忽略三角形中的隐含条件致错
辨析：处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
【典例】（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.
(1)若，，求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【跟踪训练2】（25-26高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错
辨析：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【典例2】（25-26高二上·云南大理·期末）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（2025·云南·模拟预测）复数的实部为__________.
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津河西·月考）复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____.
易混易错15 复数的几何意义应用陷阱
辨析：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.
【典例1】（25-26浙江绍兴统考）设复数满足，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例2】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 .
【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________．
【跟踪训练2】（25-26高二上·上海·月考）已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________．
易混易错16 对斜二测法规则掌握不牢致错
辨析：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
【典例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ．
【跟踪训练1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）.
A．5 B． C． D．10
【跟踪训练2】（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________．
易混易错17 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错
辨析：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离.
【典例1】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
【典例2】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______
【跟踪训练2】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 .
易混易错18 线面位置关系考虑不全面致错
辨析：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
【典例1】（2025·四川成都联考）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
【典例2】（25-26高三上·上海·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ）.
A．若是一对异面直线，且，则.
B．若，则.
C．若，，，，则.
D．若，，则.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若与所成角相等，则
易混易错19 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错
辨析：1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件.
2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才会垂直于另一个平面.
【典例】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台中，平面平面，，．

(1)证明；
(2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值．
【跟踪训练1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.

(1)求证：平面ADEF；
(2)求证：平面BDE.
【跟踪训练2】（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知正三棱柱的底面边长为为中点．
(1)若，证明：平面；
(2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积．
易混易错20 忽略异面直线所成角的范围致错
辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.
【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________
【跟踪训练2】（25-26高二上·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
易混易错21 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错
辨析：在求数据的中位数、百分数时，一定要先把数据从小到大排列，然后再根据中位数、百分数的定义进行求解.
【典例】（25-26高三上·湖北襄阳·月考）一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（2026·河北衡水·模拟预测）某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则m的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【跟踪训练2】(多选)（2026·河北·一模）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B．这10个月营业额的平均数为32.5万元
C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43
易混易错22 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错
辨析：(1) 总体是指考察对象的全体，而总体容量是指总体的个数；
(2)样本是指从总体中抽取的若干个个体组成的集合，而样本容量是指样本个体的数目，要注意二者的区别．
【典例】（25-26高二上·安徽·月考）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体
C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体
【跟踪训练】(多选)（24-25高一下·广东揭阳·期中）从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1000名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
易混易错23 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错
辨析：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
【典例】（多选）（25-26高三上·江西上饶·期末）上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组， ，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（ ）

A．第二组的频率为0.016
B．第七组的频率为0.06
C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为
D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为
【跟踪训练1】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家AAAA级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区，总面积约27平方千米，始建于西汉．午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地．为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．判断下列说法正确的是（ ）
A．
B．工作人员所选取的100人中在的人数为3人
C．工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，则在中抽取2人，在中抽取4人
D．按分层抽样的方法从评分在的两组中抽取的6人中再抽两人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·浙江宁波·期末）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示.
记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中，
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
易混易错24 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错
辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（ ）
A．发生的概率为 B．与互斥
C．与相互独立 D．发生的概率为
【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A．若与相互独立，则
B．若，则与相互独立
C．若与互斥，且与也相互独立，则
D．若与相互独立，且与也相互独立，则
【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（ ）
A．与互斥，但不对立
B．与互斥，但不对立
C．
D．
易混易错25 混淆“有放回”与“不放回”致错
辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变.
【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（24-25高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________．
易混易错26 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错
辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率.
【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________．
【跟踪训练3】（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
高一下学期数学26个易混易错全归纳
内容导览 易混易错01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错 2
易混易错02 诱导公式认识不深导致变形致错 4
易混易错03 三角求值不能深挖角的范围致错 6
易混易错04 判断三角函数的单调性忽略系数的符号致错 9
易混易错05 混淆函数图象变换的规律而致错 11
易混易错06 参数问题不能准确判断临界点致错 14
易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱 16
易混易错08 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错 18
易混易错09 忽略向量共线时的两种情况致错 20
易混易错10 错用平面向量的运算律致错 23
易混易错11 解三角形时错判解的个数致错 25
易混易错12 忽略边角互化条件致错 27
易混易错13 忽略三角形中的隐含条件致错 31
易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错 34
易混易错15 复数的几何意义应用陷阱 35
易混易错16 对斜二测法规则掌握不牢致错 37
易混易错17 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错 39
易混易错18 线面位置关系考虑不全面致错 42
易混易错19 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错 44
易混易错20 忽略异面直线所成角的范围致错 48
易混易错21 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错 51
易混易错22 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错 53
易混易错23 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错 54
易混易错24 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 58
易混易错25 混淆“有放回”与“不放回”致错 60
易混易错26 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 63
易混易错01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错
辨析：三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
（1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.
（2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题.
（3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.
【典例1】（24-25高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限（易错点）．
易错之处是只考虑终边在第二象限
当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点，
则点P到原点的距离，∴．
当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点，
则点到原点的距离，∴．
综上，或．
【典例2】(25-26高三·全国·专题练习)已知角的终边过点且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】角的终边过点且，
所以且，解得.
故选：B.
【跟踪训练1】（2025·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为角的终边落在直线上，
当角的终边在第一象限时，终边过点，
此时，，，，
当角的终边在第三象限时，终边过点，
此时，，，，
故选：C.
【跟踪训练2】 (多选)（25-26高三上·湖南郴州·期末）已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．对任意
【答案】BC
【解析】对于A：或，故A错误；
对于B：因为角是由角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到，
所以，，故B正确；
对于C：若，则点在第一象限且，所以，
又因为，
所以，故C正确；
对于D；由C可知，当时，，
当时，点在第三象限，，
则，此时，
所以对于任意，或，故D错误.
故选：BC
易混易错02 诱导公式认识不深导致变形致错
辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（易错点），
利用诱导公式求值时特别要注意所求值的符号
又，
所以.
故选：A.
【典例2】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
【答案】（答案不唯一）， （答案不唯一）
【解析】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求.
【跟踪训练1】（2026·陕西商洛·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，可得．又，
所以，所以．
所以．
【跟踪训练2】（25-26高一上·四川成都·期末）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
而，故，
所以，
而，
所以.
易混易错03 三角求值不能深挖角的范围致错
辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
【典例1】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，
，，
由，易知，解得，
由，，且，则，
可得，
所以
，
当时，，，
此时，则，
由，，
则，易知，解得，此时（易错点）
注意缩小角的范围
；
当时，，，
此时，则（易错点），
由缩小角的范围
由，，
则，易知，解得，；
故选：B.
【典例2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，且，即，
所以，且，
则.
故选：D.
【跟踪训练1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
又因为、，所以，，
则，，所以，
因为，
所以，故.
故选：B.
【跟踪训练2】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，又，
所以，则，
因为，，所以，
又，所以，
所以，
因为，，所以，
所以
，
所以.
故选：C
易混易错04 判断三角函数的单调性忽略系数的符号致错
辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决.
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为(易错点)，
注意利用诱导公式先将x的系数化为正，再将函数与y=-sinx类比确定单调区间
令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为．
故选：B
【典例2】（25-26高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，
要求的递增区间即求的递减区间，
当，，即，时，
单调递减，即单调递增，故B正确.
故选：B.
【跟踪训练1】（2004·天津·高考真题）函数，的增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得.
令，解得.
所以函数的单调增区间为.
因为，所以令，则得函数，的单调增区间为 .
故选：C.
【跟踪训练2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【解析】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
易混易错05 混淆函数图象变换的规律而致错
辨析：在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
【典例1】（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移个单位
B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移个单位
C．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
D．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
【答案】C
【解析】（易错点），
利用诱导公式转化时特别要注意符号
将函数的图象各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位，即可
得出函数的图象(易错点)，
注意：左右平移是针对x而言的
故选：C．
【典例2】（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】因为函数，又函数，
所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象.
故选：D
【跟踪训练1】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】已知是的零点，因此，
代入得： ，即 ，解得，
所以
又
所以将向左平移个单位长度得到函数的图象.
【跟踪训练2】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为，且图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增
C．将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称
D．函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为
【答案】D
【解析】因为，
对于A选项，函数的最小正周期为，
因为，
故函数的图象不关于直线对称，A错；
对于B选项，因为，
所以函数的图象不关于点中心对称，
当时，，故函数在区间上不单调，B错；
对于C选项，将的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
因为，故函数的图象不关于直线对称，
C错；
对于D选项，由可得，
当时，，所以或，解得或，
所以函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为，D对.
易混易错06 参数问题不能准确判断临界点致错
辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解.
【典例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得，
因为，所以当时，，且
因为在单调递增，所以（易错点），
实质是
又，解得.
故选：B
【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解析】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
【跟踪训练1】（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以，
解得，
又因为函数在区间上单调递减，
所以函数在处取得最大值，
所以,
所以,
解得，
解得.
又因为.
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为在区间上单调递增，所以
解得
由于区间包含原点附近的正负区间，仅当时的递增区间
可以覆盖该区间，因此，解得
又，所以
易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱
辨析：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．
【典例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；
对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误(易错点)；
注意：平行于同一向量的两个向量不一定平行
对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误（易错点）；
向量是既有大小又有方向的量，方向不能比较大小，故向量不能比较大小
对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确；
故选：D.
【典例2】（24-25高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
【答案】B
【解析】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误；
对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得：
存在一对实数x，y，使，故B正确；
对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误；
对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误.
故选：B.
【跟踪训练1】(多选) （2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
【答案】CD
【解析】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误；
选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误；
选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确；
选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确．
故选：CD
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·四川成都·期中）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选：BC.
易混易错08 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错
辨析：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角；
（2）向量的夹角是指向量方向的夹角；
（3）向量的夹角范围是，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.
【典例1】（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由向量与向量的夹角为钝角，
得，且向量与向量不共线，
所以，即，
由有，解得，(易错点)
忽视向量数量积为负数时，夹角还可能为平角
所以的取值范围是．
故“”是“与的夹角为钝角”的充分不必要条件，
故选：A．
【跟踪训练1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由题意知，，不共线，所以，
所以与的夹角为锐角，
故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件；
故选：C.
【跟踪训练2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若，则
C．若与的夹角为锐角，则实数的范围为
D．当时，在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当与夹角为锐角时，则，解得，
又时，，此时向量夹角为0，
所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为且，故C错误；
对于D：当时，，所以，，
所以在上的投影向量为，故D正确；
故选：ABD．
易混易错09 忽略向量共线时的两种情况致错
辨析：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况
【典例1】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ．
【答案】或.
【解析】由题意，单位向量与向量共线，
则向量（易错点），
此处易错之处是只注意到方向相同的单位向量
即向量的坐标是或.
【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期末）已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】A
【解析】因为与同向共线，所以存在使得，
即，
又向量不共线，所以，解得（舍去）或.
故选：A
【跟踪训练1】（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若则
【答案】BCD
【解析】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
对于C，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时，才成立，故C正确；
对于D，由向量相等的定义知结论正确，故D正确.
故选：BCD.
【跟踪训练2】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．若共线，则
C．若且，则
D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则
【答案】BD
【解析】对于A：若且，，则，所以A错误；
对于B：若共线，则或，所以，所以B正确；
对于C：若且，则，由A选项的分析可知不一定有，故C不正确；
对于D，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中，
为的中点，则，所以在向量上的投影向量为，如图：
即在上的投影向量为，所以，所以D正确.
故选：BD
易混易错10 错用平面向量的运算律致错
辨析：（1）在实数中：若，且，则，但在向量的数量积中，若，且，不能推出．
（2）已知实数，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有．
（3）在实数中有，但是在向量数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量．
【典例1】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ）
B. C. D.∥
【答案】C
【解析】由已知，所以，即（易错点），
要注意上式两边不能同除以因为向量不能做除法
所以，故选C.
【典例2】（多选）（24-25高三·河北石家庄期末）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则的最大值与最小值之和为
【答案】CD
【解析】对于A选项，因为，当与的夹角为时，也符合要求，所以选项A不正确；
对于B选项，若，，，则，但，所以选项B不正确；
对于C选项，，所以选项C正确；
对于D选项，不妨设，，，所以，整理得，即在平面对应的点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
因此的最大值为，最小值为，所以选项D正确，
故选：CD.
【跟踪训练1】（25-26高三上·福建福州·期中）已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．非零向量、，满足且与同向，则
B．
C．若，则不与垂直
D．
【答案】BD
【解析】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误；
对于B中，由向量的数量积的定义，可得，
因为，可得，所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以，所以C错误；
对于D中，由，
又，
因为，所以，所以D正确.
故选：BD.
【跟踪训练2】（多选）（2026·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
易混易错11 解三角形时错判解的个数致错
辨析：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数.
【典例1】（25-26高三上·河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【解析】因为在中，，，，
由正弦定理，得，
解得或（易错点），
此处需对这两解进行检验，剔除不合题意的解
又因为可得，所以不符合题意，舍去．
可得，故A，B，D错误．
故选：C.
【典例2】（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若有两解，则，
即，所以，
所以有两解可以推出.
所以“”是“有两解”的必要不充分条件.
故选：B
【跟踪训练1】（2025·陕西咸阳·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）．
A．若，，，则有两解
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，则为等腰三角形
【答案】AC
【解析】对于A，由正弦定理得，则，
所以，又，则，
所以有两解，则有两解，故A正确；
对于B，在中，，由正弦定理得，，故B错误；
对于C，由，可得，且，均为锐角，
所以，
则，所以也为锐角，
则为锐角三角形，故C正确；
对于D，由，由正弦定理得，，
则，所以或，
则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误.
故选：AC
【跟踪训练2】(多选) (25-26高三上·河南安阳·期末）下列说法错误的有（ ）
A．命题的否定是
B．若，则，的夹角为锐角
C．若方程有两个不等的正实数根，则
D．在中，若角，则有两解
【答案】BD
【解析】对于A，命题的否定是，故A正确；
对于B，若，可得，的夹角为锐角或，B错误；
对于C，若方程有两个不等的正实数根，
则，解得，故C正确；
对于D，由正弦定理，，不符合题意，
此时三角形无解，故D错误.
故选：BD .
易混易错12 忽略边角互化条件致错
辨析：若等式中每一项的边或者三角的正弦的个数相同，可以考虑直接改成对应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用进行等量代换.
【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【解析】（1）易得，
由正弦定理得（易错点），
易错之处是不知该选择正弦定理还是余弦定理进行转化
而，
故，
易知，
故，
即，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因外接圆直径为，
则由正弦定理可知，
故，，
因为是锐角三角形，
所以，
得，，
则，
所以，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，
故的取值范围为.
【典例2】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【解析】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
【跟踪训练1】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得即，
又，所以，即，解得，
所以.
（2）因为，且，，
所以，当且仅当时等号成立，
当取最小值时，取最大值，最大值，
所以的面积的最大值为.
【跟踪训练2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
易混易错13 忽略三角形中的隐含条件致错
辨析：处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
【典例】（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得，
整理可得，
因为，则，可得，所以，，
因为为锐角三角形，则，即（易错点），
注意锐角三角形的每个角都必须是锐角
解得，
所以，，则，
所以，.
故选：B.
【跟踪训练1】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.
(1)若，，求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【解析】（1）由，得，
因为为三角形边长，所以，所以，
若，则，代入得，矛盾，
所以，方程两边同除以得，又，所以.
根据余弦定理，
得.即，整理得.
解得或（舍去）.所以.
（2）由，得，，
因为，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以则，
所以，即取值范围为.
【跟踪训练2】（25-26高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
【解析】（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.
易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错
辨析：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【解析】因为，所以其虚部为1，（易错点），
注意虚部也是实数，不能带着i
故选：C.
【典例2】（25-26高二上·云南大理·期末）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则的虚部是，故选：C.
【跟踪训练1】（2025·云南·模拟预测）复数的实部为__________.
【答案】8
【解析】，所以复数实部为8.
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津河西·月考）复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____.
【答案】
【解析】由，
则，故复数的虚部为.
易混易错15 复数的几何意义应用陷阱
辨析：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.
【典例1】（25-26浙江绍兴统考）设复数满足，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设在复平面内对应的向量分别为.
由题意可知，（易错点），
本处易犯错误是：对复数的向量意义理解不透彻，联想不到利用向量进行转化
由于，则以为邻边的平行四边形为矩形，
由于矩形的对角线相等，故.
故选：C.
【典例2】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 .
【答案】3
【解析】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1，
则的最小值为，
而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为，
则的最小值为，
又因为的最小值与的最小值相同，
所以，，解得.
【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】因为复数的模长，
由复数模的三角不等式可得，
当且仅当时，等号成立；
，
当且仅当时，等号成立，
因此的取值范围是.
【跟踪训练2】（25-26高二上·上海·月考）已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________．
【答案】/
【解析】设，，对应的点为，
取.
则由，得，即.
由，得，即，
所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部.
所以.
所以的最小值是，当且仅当四点共线，且是线段与圆的交点时，取得最小值.
易混易错16 对斜二测法规则掌握不牢致错
辨析：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
【典例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ．
【答案】
【解析】因为轴，所以在中，（易错点），
对斜二测画法规则理解不透，不能判断出
又三角形的面积为16，所以.∴，
所以（易错点）.
平行于y轴的线段在画直观图时其长度减半
如图作于，
因为，所以.
所以.
秒解：因为，所以的面积为
.
【跟踪训练1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）.
A．5 B． C． D．10
【答案】D
【解析】由题直观图的面积为，
原图的面积等于直观图面积的倍，
所以原图的面积为，故D正确.
【跟踪训练2】（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________．
【答案】4
【解析】由题意，作出直观图对应的原图，
可得，
所以的面积等于.
易混易错17 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错
辨析：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离.
【典例】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
【答案】
【解析】如图所示，在四棱锥中，设和正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为外接球的球心(易错点).
需注意，球心与球的各截面圆的圆心连线与相应截面垂直
取线段的中点，连接，，，，则四边形 为矩形.在等边三角形中，可得，则，即
在正方形中，由，可得，在中，可得，设外接球半径为，则，所以四棱锥外接球的表面积.故选.
【典例2】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
【跟踪训练1】（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______
【答案】
【解析】在三棱锥中，，
则AB，AC，AP两两垂直，
三棱锥与以AB，AC，AP为棱的长方体有相同的外接球，
因此球半径，
所以球的表面积为.
【跟踪训练2】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径，
设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，，
则，，故二面角的平面角为.
设，，，，，
则，，又，，
则，
又，，解得，即球的表面积为.
易混易错18 线面位置关系考虑不全面致错
辨析：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
【典例1】（2025·四川成都联考）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
【答案】A
【解析】对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，，则，故正确；
对于，若，，只有当垂直于与的交线时，故C错误（易错点）；
若不是垂直于与的交线，则与可能相交、平行或
对于，若，，，则或与相交，故错误.
【典例2】（25-26高三上·上海·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
【答案】C
【解析】对于A，若，，则平行或异面，故A错误.
对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误.
对于C，，过作平面，使得，
因为，故，而，故，故，故C正确.

对于D，若，则与相交或异面，故D错误.
故选：C.
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ）.
A．若是一对异面直线，且，则.
B．若，则.
C．若，，，，则.
D．若，，则.
【答案】A
【解析】A，过直线作平面分别交于，由线面平行的性质可得：，
即，因为，所以，同理可得过作平面交于，即可得，
因为异面，所以是内的相交直线，根据面面平行的判定定理，可得，故A正确；
B，若，则可能相交、异面，即不一定平行，故B错误；
C，面面垂直的性质定理要求，题中没有这个条件，当不在内时，不能推出，故C错误；
D，若，，则可能平行、斜交，即不一定垂直，故D错误.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若与所成角相等，则
【答案】BC
【解析】对于A：若，则或，故A错误；
对于B：因为，，，所以或，且或。若，因为是不同的直线，
则与是内两条平行线，又，所以。同理，若，则。所以“或”必成立,故B正确。
对于C：若，则或，
若，则内必定存在直线使得，又，所以，所以；
若，又，所以，
综上可得，故C正确；
对于D：若且，此时与所成角均为，相等，
此时，故D错误.
故选：BC
易混易错19 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错
辨析：1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件.
2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才会垂直于另一个平面.
【典例】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台中，平面平面，，．

(1)证明；
(2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值．
【解析】（1）过点作⊥于点，连接，
因为平面平面，交线为，平面，
所以⊥平面，（易错点）
两平面垂直时，要注意一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面
因为平面，所以⊥(易错点)
因为，所以，
又，所以，
又，在中，
由余弦定理得，
故，由勾股定理逆定理得⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
又三棱台中，，所以；

（2）过点作⊥于点，连接，
三棱台中，，
所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线与平面DBC所成的角，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
又，平面，所以⊥平面（易错点），
注意必须强调两直线相交，此时才有线面垂直
所以为直线与平面DBC所成的角，
由（1）知，，，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
由勾股定理得，
所以，
所以
直线DF与平面DBC所成的角的正弦值为
【跟踪训练1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.

(1)求证：平面ADEF；
(2)求证：平面BDE.
【解析】（1）取的中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，所以，且，
由已知，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，可得，
又因为平面，且平面，
所以平面.
（2）在正方形中，，因为平面平面，且平面平面，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在直角梯形中，，，可得，
在中，，，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面.

【跟踪训练2】（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知正三棱柱的底面边长为为中点．
(1)若，证明：平面；
(2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积．
【解析】（1）连接，，且，连接，
因为在正三棱柱中，
底面边长为2，，
所以侧面都是边长为2的正方形，
所以在正方形中，，
又因为，为中点，
所以为等腰三角形，是底边中线，
所以，
又因为，面，且，
所以面.
（2）法一：几何法
连接，由可得：，
记与平面所成角为，由于平面，
是在平面上的投影，则，
根据线面角的定义，，
在中，由且，则，
由勾股定理得：，
所以.
易混易错20 忽略异面直线所成角的范围致错
辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.
【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意，设，则，
所以，，，，
所以，，
所以，
所以，，
设直线与所成角为，
则.
所以异面直线与所成角的余弦值为（易错点）．
本题容易错将答案写成或
【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________
【答案】或
【解析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，
因为底面边长为4，所以，
易知球心在直线上，则，解得或，
当时，又，解得，
因为，所以即为异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理可得，
解得；
当时，又，解得，
因为，所以即为异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理可得，
解得.
综上：直线与所成角的余弦值为或.
【跟踪训练2】（25-26高二上·山东聊城·期末）三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接、，如下图所示：

因为、分别为、的中点，所以，且，
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
因为为的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
故异面直线和所成角等于或其补角，
在菱形中，，，，
由余弦定理可得，
在中，，，，
由余弦定理可得，
在中，，，，所以，，故，
所以，.
因此，异面直线和所成角的余弦值为.
故选：D.
易混易错21 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错
辨析：在求数据的中位数、百分数时，一定要先把数据从小到大排列，然后再根据中位数、百分数的定义进行求解.
【典例】（25-26高三上·湖北襄阳·月考）一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列，数据共个（易错点），
求离散型数据的百分位数和中位数时，都要将数据先排序
中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为，（易错点）
注意最中间有两个数时，中位数取其平均数
由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即，
得，
解得，
故选：A．
【跟踪训练1】（2026·河北衡水·模拟预测）某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则m的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】依题意，该组数据的中位数为，极差为，
由该组数据的中位数是极差的，得，所以.
故选：B
【跟踪训练2】(多选)（2026·河北·一模）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B．这10个月营业额的平均数为32.5万元
C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43
【答案】AC
【解析】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比
三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，
六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元，
十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确；
对于B：由，即这10个月的营业额的平均数为万元，B错误；
对于C：前5个月的平均数，
方差；
后5个月的平均数，
方差
因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确；
对于D：将10个数据从小到大排序：
因为，所以第百分位数取第7项和第8项的平均数，D错误.
故选：AC.
易混易错22 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错
辨析：(1) 总体是指考察对象的全体，而总体容量是指总体的个数；
(2)样本是指从总体中抽取的若干个个体组成的集合，而样本容量是指样本个体的数目，要注意二者的区别．
【典例】（25-26高二上·安徽·月考）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体
C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体
【答案】C
【解析】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误；
对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误；
对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确；
对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误.（易错点）
本题中的考查对象是学生的视力，而不是学生
故选：C
【跟踪训练】(多选)（24-25高一下·广东揭阳·期中）从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1000名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
【答案】ABD
【解析】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A正确；
样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确；样本量是1000，故C错误；
个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，故D正确．
故选：ABD．
易混易错23 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错
辨析：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
【典例】（多选）（25-26高三上·江西上饶·期末）上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组， ，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（ ）

A．第二组的频率为0.016
B．第七组的频率为0.06
C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为
D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为
【答案】BCD
【解析】对于A，第二组的频率为，故A错误（易错点）；
注意频率分布直方图中频率为矩形的面积，而不是矩形的高
对于B，由题意得第六组人数为4人，则有第六组的频率为，纵坐标为0.016，
所以第七组的满足，故B正确；
对于C，由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校高一800名男生的身高中位数为，则，
则有，解得，故C正确；（易错点）
中位数左侧各矩形面积之和为0.5，而不是高之和为0.5
对于D，设这所学校高一800名男生的身高平均数为，
身高在第五组的频率为，
身高在第六组的频率为，
身高在第七组的频率为，
身高在第八组的频率为，
则有，
故D正确.
故选：BCD.
【跟踪训练1】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家AAAA级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区，总面积约27平方千米，始建于西汉．午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地．为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．判断下列说法正确的是（ ）
A．
B．工作人员所选取的100人中在的人数为3人
C．工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，则在中抽取2人，在中抽取4人
D．按分层抽样的方法从评分在的两组中抽取的6人中再抽两人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为
【答案】ACD
【解析】根据题意可得，解得，故A正确；
因为的频率为0.3，所以工作人员所选取的100人中在的人数为30人，
故B错误；
因为的两组的频率之比为，
所以工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，
则在中抽取2人，在中抽取4人，故C正确；
因为在中抽取2人，在中抽取4人，
所以再从这6人中抽2人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为，故D正确．
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·浙江宁波·期末）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示.
记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中，
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
【答案】AC
【解析】对于A，记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，
则，
解得，A正确；
对于B，甲试验区产量的众数为，乙试验区产量的众数为，
甲试验区产量的众数小于乙试验区产量的众数，B错误；
对于C，甲试验区产量的平均数为
乙试验区产量的平均数为
甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数，C正确；
对于D，设甲试验区产量的75%分位数为，则，
解得
设乙试验区产量的中位数为，则，解得
甲试验区产量的75%分位数小于乙试验区产量的中位数，D错误；
故选：AC.
易混易错24 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错
辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（ ）
A．发生的概率为 B．与互斥
C．与相互独立 D．发生的概率为
【答案】ABD
【解析】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误；
由题可得，，所以与相互独立(易错点)，故C正确；
若两事件从表面上很难判断是否独立，可通过乘法公式加以验证
对于D，事件分为三类：
颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率；
颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为-
颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对.
【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A．若与相互独立，则
B．若，则与相互独立
C．若与互斥，且与也相互独立，则
D．若与相互独立，且与也相互独立，则
【答案】ABD
【解析】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立，
所以，
因为，A正确；
，又，
所以，又，
所以，即与相互独立，B正确；
因为与互斥，所以，
又因为与相互独立，
所以，C错误；
因为与相互独立，所以，
又因为与相互独立，所以，故D正确.
故选：ABD.
【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（ ）
A．与互斥，但不对立
B．与互斥，但不对立
C．
D．
【答案】BC
【解析】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立；
全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误；
选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常，
，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含
“四个元件都正常”，故不对立，故B正确；
选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知：
任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生，
，故C正确；
选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常，
若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路，
故发生时不一定发生，故D错误．
故选：BC．
易混易错25 混淆“有放回”与“不放回”致错
辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变.
【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个，
由，即，
故满足的基本事件有共个，(易错点)
注意：有放回抽取一是元素有顺序，二是元素可重复
所以所求概率为.
故选：D.
【典例2】（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用频率估计概率的方法求解.
【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数：
，
其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，
所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为，
故选：B
【跟踪训练1】（24-25高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，
记事件 “抽到的两人是一男生一女生”，
在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共12个样本点，
其中有8个样本点，所以.
在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共16个样本点，
其中有8个样本点，所以.
故选：A.
【跟踪训练2】（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________．
【答案】/
【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，
样本空间包含，，，，，，，，，共10个，
抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为，，，共4个，
所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率．
易混易错26 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错
辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率.
【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
【答案】BD
【解析】对于A，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种结果，分别为A，B，C，D，
其中有3种结果满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误；
对于B，列举可得以下所有可能结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种，其中能得4分的结果有：AB,BD,AD，共3种，故能得4分的概率为,B正确；
对于C，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种结果，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点），
列举时要做到不重不漏
其中得分的结果有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为，
由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为，
，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误；
对于D，丁同学选择至少一个选项，共有15种结果，
分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点），
其中ABCD这个选项易遗漏
能得2分的结果为A，B，D，故能得2分的概率为，
能得4分的结果为AB，AD，BD，故能得4分的概率为，
丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确.
【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【答案】B
【解析】根据题意画出树状图,如图,
共有24种排法,
其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,
故所求概率P==.
【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________．
【答案】
【解析】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次共有种情况，
若点数之差的最大值为4，则最大点数为5，最小点数为1，或者最大点数为6，最小点数为2，
若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况；
若个数为或或，则有种情况，
故最大点数为5、最小点数为1时，共有种．
当最大点数为6，最小点数为2时，
若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况；
若个数为或或，则有种情况，
故最大点数为6、最小点数为2时，共有种，
综上，点数之差的最大值为4的概率为：．
【跟踪训练3】（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率．
【解析】（1）由频率分布直方图得，
平均数，
方差
.
（2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为，
故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为：
设事件“既有的答卷也有的答卷”
则，共6种情况．
故,
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑