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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.2.2三角形的中线、角平分线、高第十三章三角形人教版八年级上册数学13.2.2三角形的中线、角平分线、高练习题本次练习题针对13.2.2核心知识点设计，精准覆盖三角形中线、角平分线、高的定义、性质及应用，包含三种特殊线段的区分、线段计算、面积求解、不同三角形高的位置判断等重难点。题型由浅入深、贴合课本考点，适合课堂巩固和课后专项练习，帮助学生厘清三类线段的区别与核心性质，掌握常考题型解题方法。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于三角形中线的说法正确的是（）A.中线是一条直线B.中线是连接三角形顶点和对边中点的线段C.三角形只有一条中线D.中线一定在三角形外部2.三角形的角平分线是（）A.射线B.直线C.线段D.弧线3.下列三角形的高可能在三角形外部的是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.在△ABC中，AD是BC边上的中线，若BC=8cm，则BD的长为（）A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm5.下列说法错误的是（）A.三角形的三条中线交于一点B.三角形的三条角平分线交于一点C.三角形的三条高一定交于三角形内部D.中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形二、填空题（每题4分，共20分）1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的___________。2.三角形的三条中线的交点叫做三角形的___________。3.在△ABC中，AD平分∠BAC，则AD是△ABC的___________，可得∠BAD=___________。4.直角三角形的两条直角边互为对方的___________。5.三角形的一条中线把原三角形分成两个___________相等的三角形。三、解答题（共60分）1.（20分）辨析作答：分别说明锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三条高的位置特点。2.（20分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5cm，AC=3cm，△ABD的周长为12cm，求△ACD的周长。3.（20分）在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，已知∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数。参考答案及解析一、选择题1.B解析：三角形中线是线段，连接顶点和对边中点，任意三角形都有三条中线，且均在三角形内部。2.C解析：三角形的角平分线、中线、高均为线段，区别于角的平分线（射线）。3.C解析：锐角三角形的高都在内部，直角三角形两条高为直角边，钝角三角形有两条高在外部。4.B解析：中线平分对边，BD=BC÷2=8÷2=4cm。5.C解析：钝角三角形的高交于三角形外部，并非所有三角形的高都交于内部。二、填空题1.高2.重心3.角平分线；∠CAD 4.高5.面积三、解答题1.①锐角三角形：三条高全部在三角形内部，交点在三角形内；②直角三角形：两条直角边为高，第三条高在三角形内部，交点为直角顶点；③钝角三角形：钝角对应的高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，交点在三角形外。2.解：∵AD是BC中线，∴BD=CD。△ABD周长=AB+BD+AD=12cm，可得BD+AD=12-5=7cm。△ACD周长=AC+CD+AD=3+7=10cm。3.解：由三角形内角和得∠BAC=180°-30°-70°=80°。∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°。∵AD⊥BC，∠B=30°，∴∠BAD=60°。∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°。了解三角形的中线、角平分线、高等有关概念.
掌握任意三角形的中线、角平分线、高的画法，通过观察认识到三角形的三条中线、三条角平分线、三条高分别交于一点.
提高学生动手操作及解决问题的能力.
我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？
三角形中线的概念
知识点 1
探究新知
　　如图， 点D 是BC 的中点，
则线段AD 是△ABC 的边BC上的中线.
几何语言：BD =DC = BC．
在三角形中，连接一个顶点与它所对边的中点的线段叫做作三角形这条边上的中线．
三角形的中线的定义
探究新知
如上页图，画出△ABC 的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？
探究新知
　　画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线.
三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
探究新知
1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫作三角形的中线.
2.三角形的重心：三角形三条中线的交点.
3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部.
4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图：AD为中线，则S△ABD=S△ACD.
5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.△ABD的周长–△ACD的周长=AB–AC.
归纳总结
探究新知
例 如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为(　　)
A.19 cm　 B.22 cm　 C.25 cm 　D.31 cm
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB –AC.
∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，
∴△ACD的周长为25–6=19(cm).
利用三角形的中线求线段的值
素养考点 3
A
探究新知
　如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线．
(1)AC = AE ，AE=_____；
CD = ；
AF = AB；
(2)若S△ABC = 12 cm2，
则S△ABD = ．
(3)若AB=4，AC=3，则△ABD的周长与△ACD的周长之差是___.
2
BD
6 cm
A
B
C
D
E
F
G
EC
1
巩固练习
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗 你能通过折纸的方法得到它吗
知识点 2
三角形的角平分线
探究新知
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A
B
C
D
探究新知
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
“三角形的角平分线”是一条线段.
几何语言：∠1=∠2= ∠BAC.
三角形的角平分线的定义
探究新知
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
做一做
探究新知
三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.
三角形角平分线的性质
探究新知
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD
＝180°–36°–34°
＝110°.
例 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
素养考点 4
利用三角形的角平分线求角的度数
探究新知
如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则：
∠1 = ；
∠3 = ；
∠ACB = 2 .
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
1
2
3
4
∠2
∠ABC
∠4
巩固练习
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
知识点 3
三角形高的概念
探究新知
三角形的高的定义
A
从三角形的一个顶点，
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫作三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图， 线段AD是BC边上的高.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
几何语言：AD⊥BC于点D，读作AD垂直BC于点D或∠ADC=∠ADB=90°.
探究新知
你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
画一画
探究新知
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
如图所示；
锐角三角形的三条高
探究新知
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
(2) AC边上的高是 ;
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高，
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
直角三角形的三条高
探究新知
(1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC边上的高呢？
AB边上呢？
BC边上呢？
BF
CE
AD
钝角三角形的三条高
探究新知
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于 一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.
探究新知
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点.
三条高所在直线的
交点的位置
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
探究新知
例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过三角形的一个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段.
D
素养考点 1
识别三角形的高
探究新知
在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是( )
A B
C D
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
C
巩固练习
例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高， 此解题方法通常称为“面积法”．
素养考点 2
利用三角形的高求值
解析：当BP⊥AC时，BP的值最小.
∵S△ABC= BC·AD，S△ABC= AC·BP，
∴ BC·AD= AC·BP ∴BC·AD=AC·BP
∴6×4=5BP， BP= 所以BP的最小值为 .
探究新知
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 数量及交点位置
三角形 的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= BC. 3条，交点叫作三角形的重心.三角形内
三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 3条，三角形内.
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. 3条高，锐角三角形：三角形内；钝角三角形：三角形外；直角三角形：直角顶点
探究新知
复习巩固
1. 三角形的三边长分别为 2，7，a，则 a 的取值范围是________.
5 < a < 9
【教材P9习题13.2 第1题】
2. 长为 100 cm，70 cm，50 cm，30 cm 的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？
解：组成三角形的有(1)100 cm，70 cm，50 cm；(2)70 cm，50 cm，30 cm 两种选法.
因为只有这两种能满足“两边的和大于第三边”.
【教材P9习题13.2 第2题】
C
A
B
3. 对于下面每个三角形，分别过顶点 A 画出它的中线、角平分线和高.
解：如下图，AD，AE，AF 分别是△ABC 的中线，角平分线和高.
（1）
（2）
（3）
【教材P9习题13.2 第3题】
C
A
B
D
E
F
(F)
E
D
C
A
B
D
E
F
4. 如图，在△ABC中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高. 填空：
【教材P9习题13.2 第4题】
C
A
B
E
D
F
（1）BE = _____ = _____；
（2）∠BAD =_______= ______；
（3）∠AFB =_______= 90°；
（4）若 BC = 8，AF = 5，
则 S△ABC =______， S△ABE =______.
BC
CE
∠CAD
∠BAC
∠AFC
20
10
综合运用
5. 一个等腰三角形的一边长为 6，周长为 20，求其他两边的长.
解：①当腰长为 6 时，底边长为 20 – 6×2 = 8.
∵6 + 6 > 8，∴能组成三角形.
②当底边长为 6 时，腰长为 = 7.
∵ 6 + 7 > 7，∴能组成三角形.
故其他两边长分别为 6，8 或 7，7.
【教材P10习题13.2 第5题】
6.（1）已知等腰三角形的一边长为 5，一边长为 6，求它的周长；
（2）已知等腰三角形的一边长为 4，一边长为 9，求它的周长.
解:（1）16或17.
（2）22.
【教材P10习题13.2 第6题】
7. 如图，在△ABC 中，AB = 2，BC = 4， 则△ABC 的高 AD 与 CE 的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式）
【教材P10习题13.2 第7题】
解：∵S△ABC = BC·AD = AB·CE，
∴ BC·AD = AB·CE.
∴
A
B
E
D
C
拓广探索
8. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，DE // AC，DE 交 AB 于点 E， DF // AB，DF 交 AC 于点 F. 图中∠1 与∠2 有什么关系？为什么？
【教材P10习题13.2 第8题】
A
B
E
D
C
F
1
2
A
B
E
D
C
F
1
2
解：∠1 = ∠2. 理由：
∵ DE // AC，∴∠1 = ∠DAC (两直线平行，内错角相等). 同理，∠2 =∠DAB.
又 AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠DAC =∠DAB.
∴∠1 =∠2.
1. 用三角尺画的边 上的高线，下列三角尺的摆放
位置正确的是( )
C
A. B. C. D.
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（第2题）
2. 如图，在中，是高， 是
角平分线， 是中线.下列结论错误的
是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. ［2025开封月考］下列说法正确的是( )
C
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点；
③三角形的三条高都在三角形的内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分
A. ①②④ B. ②③④ C. ②④ D. ①②③④
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（第4题）
4. ［2025莆田期中］如图所示的网格由
边长相同的小正方形组成，点， ，
，，，， 在小正方形的顶点上，
则 的重心是( )
A
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
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（第5题）
5.如图，已知是的中线， ，
，且的周长为12，则 的周长
是____.
10
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（第6题）
6.如图，在中，是 的
平分线，是 的平分线，若
的度数为 ，则 的
度数为____.
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
课堂小结

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