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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.3.2三角形的外角第十三章三角形13.3.1.2直角三角形的两个锐角互余同步练习题核心知识点：直角三角形的两个锐角互余（在Rt△中，直角外的两个锐角之和为90°）；逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。一、选择题（每题5分，共20分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若一个锐角为35°，则另一个锐角的度数为（）A. 55°B. 45°C. 65°D. 75°2.下列三角形中，一定是直角三角形的是（）A.两个内角为30°、70°B.两个内角互余C.三个内角比为1:2:4 D.有一个锐角为20°3.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，则这两个锐角分别是（）A. 30°、60°B. 40°、50°C. 45°、45°D. 25°、65°4.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B-∠C=10°，则∠C的度数为（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°二、填空题（每题5分，共20分）5.直角三角形的一个锐角为28°，则另一个锐角为______°。6.若△ABC中，∠A=52°，∠B=38°，则△ABC是______三角形。7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=2:3，则∠A=______°。8.已知直角三角形的两个锐角之差为18°，则较小锐角的度数为______°。三、解答题（每题15分，共60分）9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D。求证：∠ACD=∠B。10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若∠B=30°，求∠CAD的度数。11.已知△ABC中，∠A=90°，BD、CE分别是两条边上的高，求证：∠ABD=∠ACE。12.一个直角三角形，两个锐角的度数之比为4:5，求这两个锐角的度数。参考答案及解析选择题：1.A 2.B 3.A 4.A解析：3.设小锐角为x，大锐角为2x，x+2x=90°，解得x=30°，2x=60°；4.∠B+∠C=90°，∠B-∠C=10°，联立得∠C=40°。填空题：5.62 6.直角7.36 8.36解析：7.设∠A=2x，∠B=3x，5x=90°，x=18°，∠A=36°；8.设小角x，大角x+18°，2x+18°=90°，x=36°。解答题9.证明：∵∠C=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，又CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，根据同角的余角相等，得∠ACD=∠B。10.解：∠CAB=90°-30°=60°，AD平分∠CAB，∴∠CAD=30°。11.证明：∵∠A=90°，BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∴∠ABD=∠ACE。12.解：设两角为4x、5x，4x+5x=90°，x=10°，两角分别为40°、50°。理解并掌握三角形的外角的概念，能够在复杂图形中找出外角.
掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和．
会利用三角形的外角性质解决问题.
同学们，假设现在我们在一个巨大的三角形广场游玩.从顶点 A 出发，依次沿着 AB、BC、CA 边走回起点，这三次转身的角度藏着什么秘密？今天，就让我们一起探索三角形外角的性质！
A
B
C
探究新知
知识点 三角形的外角
D
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD.
∠ACD 是 △ABC 的一个外角
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③角的另一边是三角形某边的延长线.
A
B
C
像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
A
B
C
想一想：△ABC 有多少个外角？
1
2
4
3
5
6
一共有 6 个外角：
∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6.
知识点 三角形的外角
每个顶点处都有两个外角，它们是_______.
对顶角
研究时，通常只在每个顶点处取一个外角进行讨论.
知识点 三角形的外角
D
A
B
C
外角
相邻的内角
对于外角∠ACD 来说，
∠ACB 是与它相邻的内角，
不相邻的内角
∠A，∠B是与它不相邻的内角.
知识点 三角形的外角
思 考
如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，你能求出∠ACD 的度数吗？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？
D
A
B
C
70°
60°
∠ACD = 180° – ∠ACB
=∠A +∠B
= 60° + 70°
= 130°
任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
知识点 三角形的外角
猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：____________________________________
求证：____________________________
△ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
∠A +∠B =∠ACD.
∠A +∠B +∠ACB = 180°.
又∵ ∠ACD +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B =∠ACD (等量代换).
证明：由三角形的内角和等于180°，得
D
A
B
C
过 C 作 CE 平行于 AB，
∴∠2 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠1 = ∠A
(两直线平行，内错角相等)，
∴∠ACD = ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B.
知识点 三角形的外角
已知：____________________________________
求证：____________________________
△ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
∠A +∠B =∠ACD.
D
A
B
C
E
1
2
证法二：
知识点 三角形的外角
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的外角.几何画板
D
A
B
C
外角
符号语言：
∵∠ACD是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠A +∠B.
推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
∠ACD ______∠A
∠ACD ______∠B
判断：
∠ACD = ∠A +∠B
＞
＞
知识点 三角形的外角
推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
D
A
B
C
外角
针对训练
∠1 = 40°
∠2 = 140°
∠1 = 110°
∠2 = 70°
∠1 = 50°
∠2 = 140°
说出下列各图形中∠1 和∠2 的度数.
教材P16练习
（1） （2） （3）
针对训练
教材P16练习
（4） （5） （6）
∠1 = 55°
∠2 = 70°
∠1 = 80°
∠2 = 40°
∠1 = 60°
∠2 = 30°
教材P15例题 第4题
例 4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是 △ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
1
2
3
知识点 三角形的外角
推论：三角形的外角和等于 360°.
三角形的外角和.几何画板
A
B
C
E
F
D
1
2
3
1. 说出下列各图中∠1 的度数.
30°
60°
1
①
45°
50°
1
②
35°
120°
1
③
∠1 = 90°
∠1 = 95°
∠1 = 85°
随堂演练
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
1. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=
________.
360°
课堂检测
能力提升题
2.（1）如图，∠BDC是________的外角，也是 的外角；
（2）若∠B=45 °，∠BAE=36 °，∠BCE=20 °，试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE，
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.
课堂检测
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．
课堂检测
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角，
∴∠1=∠B+ ∠E，
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中，
∠C+∠1+∠2=180 ，
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180 .
如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
拓广探索题
课堂检测
1.下图中 是三角形的一个外角的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.如图， 的外角是_______、_______.
返回
3.如图， ， ，则 的度数是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5.如图，若 ，则 的度数为( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.［保定期中］某建筑工具是如图所示的人字架，
若 ，则比 大( )
B
A. B. C. D.
返回
6. 如图，，点，，
在同一直线上，若 ， ，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
课堂小结
三角形的外角
定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360°.

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