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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.14.3.1角的平分线的性质第十四章全等三角形14.3.1角的平分线的性质练习题本套练习题针对人教版八年级上册14.3.1角的平分线的性质编写，聚焦本节核心知识点：角的平分线上的点到角两边的距离相等。习题重点区分“角平分线性质”与“角平分线判定”的区别，强化“垂直距离”这一核心易错条件，摒弃无垂直、非距离的错误判定，搭配基础辨析、填空选择和规范几何证明题，难度循序渐进，贴合课堂同步训练与课后巩固需求，帮助熟练掌握定理应用规范。一、选择题（每题4分，共20分）1.角平分线的性质是（）A.平分角的线段叫角平分线B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.到角两边距离相等的点在角平分线上D.角平分线平分角的对边2.已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5，则PN的长度为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 103.下列条件中，能直接用角平分线性质定理的是（）A.点P在∠AOB内，PA=PB B.点P在∠AOB平分线上，PA⊥OA，PB⊥OBC.点P在平分线上，PA、PB为任意线段D. PA⊥OA，PB⊥OB，PA=PB4.下列说法错误的是（）A.角平分线是射线B.角平分线上的点到两边垂直距离相等C.不垂直的线段相等，不能用角平分线性质D.角平分线平分对边5. OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，下列结论正确的是（）A. OM=ON B. PM=PN C. ∠OPM=∠OPN D.以上都对二、填空题（每题4分，共20分）1.角的平分线上的点到角两边的________相等。2.应用角平分线性质定理，必须满足两个条件：点在________上、线段与角两边________。3.若点P在∠AOB的平分线上，且P到OA的距离为6cm，则P到OB的距离为________cm。4.三角形三条角平分线的交点到三角形________的距离相等。5.若线段不垂直于角的两边，即使长度相等，也________用角平分线性质定理（填“能”或“不能”）。三、解答题（共60分）1.（20分）已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。求证：PD=PE。2.（20分）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DE=4，求DF的长。3.（20分）已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF。求证：AE=AF。参考答案与解析一、选择题1. B解析：A为角平分线定义，C为角平分线判定定理，B是角平分线的性质定理。2. C解析：根据角平分线性质，角平分线上的点到角两边距离相等，故PN=PM=5。3. B解析：性质定理适用前提：点在角平分线上，且线段垂直于角的两边（距离）。4. D解析：角平分线平分角度，不一定平分对边，该说法错误。5. D解析：可通过HL证明△OPM≌△OPN，可得PM=PN、OM=ON、∠OPM=∠OPN。二、填空题1.垂直距离2.角平分线、垂直3. 6 4.三边5.不能三、解答题1.证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POD=∠POE。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠POD=∠POE，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE。2.解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DF=DE=4。3.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°。在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF。学会角平分线的作法.
探究并认知角平分线的性质.
熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
A
B
D
C
E
下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？
导入新知
探究新知
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.
探究
如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系.
C
A
B
O
M
N
P
知识点1 角的平分线的作法
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？
知识点1 角的平分线的作法
C
A
B
O
M
N
P
OP = OP，∠POM =∠PON，
在△OPM 和△OPN 中，
如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)，
就有 PM = PN.
反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP.
知识点1 角的平分线的作法
A
B
O
M
N
OP = OP，OM = ON，PM = PN，
在△OPM 和△OPN 中，
∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON.
P
即点 P 在∠AOB 的平分线上.
知识点1 角的平分线的作法
思 考
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
1
先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.
2
在角的内部作出与这两点距离相等的点.
3
以角的顶点为端点，作过这个点的射线.
作法：如图，已知∠AOB.
(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N.
知识点1 角的平分线的作法
A
B
O
(2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C.
M
N
C
(3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线.
A
B
O
M
N
为什么以大于 MN的长为半径作弧：
知识点1 角的平分线的作法
以小于 MN的长为半径，两弧无交点；
以等于 MN的长为半径，不易操作.
知识点2 角的平分线的性质
探究
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······.
分别比较 P1D1 与 P1E1、
P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3
······，你有什么发现？
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
知识点2 角的平分线的性质
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：
一个点在一个角的平分线上.
求证：
验证
这个点到这个角两边的距离相等.
知识点2 角的平分线的性质
C
A
B
O
D
E
P
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证 PD = PE.
可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE.
知识点2 角的平分线的性质
C
A
B
O
D
E
P
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∠AOC = ∠BOC ，
∠PDO = ∠PEO ，
OP = OP ，
∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）
∴PD = PE
提炼归纳：证明几何命题的一般步骤
1. 明确命题中的已知和求证；
2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式
注意可能存在不同情形
如图，∵OC 是∠AOB 的平分线，
P 是 OC 上一点，
PD⊥OA 于点 D，
PE⊥OB 于点 E，
∴PD = PE.
角平分线上的点到角两边的距离相等
角的平分线的性质
C
A
B
O
D
E
P
知识点2 角的平分线的性质
几何语言：
角平分线上的点到角两边的距离相等
C
A
B
O
D
E
P
知识点2 角的平分线的性质
应用定理需具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等
2.△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
课堂检测
基础巩固题
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
SSS
ASA
AAS
角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
课堂检测
4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是(　　)
A.PC＝PD B. OC＝OD
C. ∠CPO＝∠DPO D. OC＝PC
D
5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
F
课堂检测
E
D
C
B
A
6
8
10
1. 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED 的周长.
解：(1)DC=DE.
理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴BE＝BC=8.
∴ AE＝AB–BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
能力提升题
C
D
课堂检测
2.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
课堂检测
如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
拓广探索题
课堂检测
1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( )
C
（第1题）
① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③
分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交
于点 .
A.①②③ B.②①③
C.②③① D.③②①
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解：如图，点P即为所求．
2．陕西中考如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法)
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3.如图，是的平分线，点在 上，
于点，于点，若 ，则
的长为( )
B
A.2 B.3
C.4 D.5
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4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若BC＝5，DE＝2，则DB的长为________．
3
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7
5．滨州中考如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为________．
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7.如图,，，垂足分别为,， 与
相交于点，且.求证： .
证明： ,
为 的平分线.
, ，
, .
又 ,
, .
课堂小结
角平分线
尺规作图
性质
添加
辅助线
依据：SSS
一个点：
二距离：
两相等：
角平分线上的点
点到角两边的距离
两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段

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