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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.3.1.2等腰三角形的判定第十五章轴对称15.3.1.2等腰三角形的判定练习题本套练习题针对人教版八年级上册15.3.1.2等腰三角形的判定编写，聚焦本节核心定理：等角对等边，即在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。本节与上一节等腰三角形的性质（等边对等角）互为互逆定理，是几何证明的重点。习题重点训练判定定理的应用、性质与判定的辨析、角度推边相等的规范证明，解决学生“分不清性质和判定”的高频易错问题，适配课后巩固与单元复习。一、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的判定定理是（）A.等边对等角B.等角对等边C.三边相等D.有一个角是60°2.在△ABC中，∠A=∠B，则下列结论正确的是（）A. AB=AC B. BC=AC C. AB=BC D. ∠C=60°3.下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A=30°，∠B=60°B. ∠A=40°，∠B=70°C. ∠A=50°，∠B=90°D. ∠A=60°，∠B=80°4.关于等腰三角形性质与判定，说法正确的是（）A.性质和判定是互逆定理B.都是由边相等推角相等C.都是由角相等推边相等D.没有任何联系5.在△ABC中，AD平分∠BAC，AD∥BC，则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判定二、填空题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的判定：在一个三角形中，如果________相等，那么它们所对的________相等，简称________。2.性质：边相等→________；判定：角相等→________。3.在△ABC中，∠A=70°，∠B=70°，则相等的边是________。4.三角形的两个内角相等，则这个三角形一定是________三角形。5. “等角对等边”的前提是________（填“同一个三角形”或“两个三角形”）。三、解答题（共60分）1.（20分）已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。2.（20分）已知：AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：△ABD是等腰三角形。3.（20分）已知：在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。求证：AB=AC。参考答案与解析一、选择题1. B解析：等腰三角形判定为等角对等边，性质为等边对等角，二者不可混淆。2. B解析：∠A、∠B相等，所对的边分别是BC、AC，故BC=AC。3. B解析：B选项中∠C=180°-40°-70°=70°，∠B=∠C，可判定为等腰三角形。4. A解析：性质由边等推角等，判定由角等推边等，互为互逆定理。5. B解析：由平行线性质和角平分线可推出两角相等，进而判定等腰三角形。二、填空题1.两个角、边、等角对等边2.角相等、边相等3. BC、AC 4.等腰5.同一个三角形三、解答题1.证明：过点A作AD⊥BC于D。∴∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC。2.证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD。∴∠ABD=∠ADB，根据等角对等边，得AB=AD，∴△ABD是等腰三角形。3.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC。本节核心易错总结1.分清逻辑：性质：已知等腰→得角相等；判定：已知角相等→证等腰。2.等角对等边、等边对等角只在同一个三角形内成立。3.做题先找等角：平行线、角平分线、垂直、三角形内角和都是常见造等角条件。掌握等腰三角形的判定方法，并运用其进行证明和计算.
通过学习等腰三角形的判定方法，使学生能从正反两个方面认识等腰三角形，养成科学的思维习惯.
通过对等腰三角形的判定定理的证明,加强学生的推理能力,以及分析,解决问题的能力.
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
探究新知
A
思 考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
A
B
C
猜想：它们所对的边相等.
你能证明你的猜想吗？
探究新知
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C.
求证：AB = AC.
分析：
∠B =∠C
AB = AC
全等
①作∠BAC的平分线
A
B
C
D
②作 BC边上的高
A
B
C
D
③作 BC边上的中线
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
证明：如图，作△ABC 的角平分线 AD.
在△ABD 和△ACD中，
∠1 =∠2，
∠B =∠C，
AD = AD，
∴△ABD ≌△ACD（AAS）．
∴AB = AC．
D
等腰三角形的判定
2
1
方法①
A
B
C
在△ABD 和△ACD中，
∠B =∠C，
∠ADB =∠ADC，
AD = AD，
∴△ABD ≌△ACD（AAS）．
∴AB = AC．
D
等腰三角形的判定
证明：如图，过点 A 作△ABC 的高 AD.
方法②
等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”).
在△ABC 中，∵∠B =∠C，
∴ AB = AC.
几何语言：
等腰三角形的判定
A
B
C
条件 结果
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
比较等腰三角形的性质和等腰三角形的判定
两边相等
两边所对的角相等
两角相等
两角所对的边相等
教材P80例题
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图， AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，AD // BC.
求证：AB = AC.
A
B
C
D
E
1
2
分析：可以设法找出∠B，∠C 与∠1，∠2 的关系.
∠B =∠C
教材P80例题
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵AD // BC ，
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C.
又 AD 平分∠CAE，
∴∠1 =∠2.
∴∠B =∠C.
∴ AB = AC.
教材P81例题
例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为 a，底边上高的长为 h（如图），求作这个等腰三角形.
分析：等腰三角形“三线合一”
a
h
底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.
作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置.
教材P81例题
a
h
作法：
(1) 作线段 AB = a；
(2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D；
(3) 在 MN上取一点 C，使 DC = h；
(4) 连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.
A
B
教材P81例题
D
C
M
N
1.如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.
解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=80°– 40°= 40°.
∴ ∠C = ∠A.∴ AB=BC(等角对等边).
∵AB=20×(12–10)=40(海里),
∴BC=40海里.
答：B处距离灯塔C为40海里.
80°
40°
N
B
A
C
北
能力提升题
课堂检测
2.（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．
（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，
求证：AD=CD．
课堂检测
证明：（A类）连接AC，
∵AB=BC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA.
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠ BAD=∠BCD.
（B类）连接AC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA.
又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．
课堂检测
在△ABC中，AB=AC，小红一不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
3种“补出”方法：
方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A．
方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A．
方法3：对折．
拓广探索题
课堂检测
1. 将一平板保护套展开放置在水平桌面
上，其侧面示意图如图所示，若 ，
，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
返回
返回
3.如图，已知平分，，若 ，
则 的长为( )
A
A.4 B.5
C.3 D.2
返回
3.如图，在中，的垂直平分线交于点 ，
交于点，连接,，若 ，则
的长是( )
C
A.2 B.3 C.4 D.不能确定
返回
4.［教材习题变式］如图， ，
，下列式子不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
5.如图，在中，，过上一点作的垂线，交 的
延长线于点，交于点，试判断 的形状，并证明你的结论.
解： 是等腰三角形.证明如下：
， .
， .
, .
， .
又 ,
.
, 为等腰三角形.
返回
课堂小结
等腰三角形
性质
判定
定义
“等角对等边”
A
B
C
D

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