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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.3.2.1等边三角形的性质与判定第十五章轴对称15.3.2.1等边三角形的性质与判定练习题本套练习题针对人教版八年级上册15.3.2.1等边三角形的性质与判定专项编写。等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质，同时拥有专属特性。本节核心重点：掌握等边三角形的边角性质、三大判定方法，区分等腰三角形与等边三角形的性质及判定差异，熟练解决含60°角的三角形证明与角度计算问题，题型贴合课本考点，适配课后巩固、随堂检测。一、核心知识点梳理1.等边三角形的性质①三条边全部相等；②三个内角都相等，且都等于60°；③是轴对称图形，有3条对称轴；④具备等腰三角形“三线合一”的所有性质，每条边上的中线、高、顶角平分线互相重合。2.等边三角形的判定①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（最常用、最高频考点）。二、选择题（每题4分，共20分）1.等边三角形的每个内角度数为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°2.下列关于等边三角形的说法错误的是（）A.三边相等B.三条对称轴C.每个角都是60°D.不具备三线合一性质3.下列条件中，不能判定三角形为等边三角形的是（）A.三边对应相等B.三个内角都相等C.有一个角是60°的三角形D.有一个角是60°的等腰三角形4.等腰三角形中有一个角为60°，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等边三角形C.普通等腰三角形D.无法判定5.等边三角形的对称轴条数为（）A. 1条B. 2条C. 3条D.无数条三、填空题（每题4分，共20分）1.等边三角形的三个内角都相等，且每一个角都等于________°。2.有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。3.等边三角形是________图形，有________条对称轴。4.等边三角形每条边上的中线、________、________互相重合。5.三个角都相等的三角形是________三角形。四、解答题（共60分）1.（20分）已知：在△ABC中，AB=BC=AC。求证：∠A=∠B=∠C=60°。2.（20分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°。求证：△ABC是等边三角形。3.（20分）已知：△ABC是等边三角形，点D在BC边上，求证：∠B=60°。参考答案与解析一、选择题1. B解析：等边三角形三内角相等，均为60°。2. D解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，完全具备三线合一的性质。3. C解析：仅有一个角为60°，无法判定，必须是60°的等腰三角形才可判定为等边三角形。4. B解析：含60°角的等腰三角形，无论该角是顶角还是底角，都可判定为等边三角形。5. C解析：等边三角形三条高所在直线均为对称轴，共3条。二、填空题1. 60 2. 60 3.轴对称、3 4.高线、顶角平分线5.等边三、解答题1.证明：∵AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形。根据等边三角形性质，三角形内角和为180°，三个内角相等，∴∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°。2.证明：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C。∵三角形内角和为180°，∠A=60°，∴∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°。∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形。3.证明：∵△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，三个内角均为60°，∴∠B=60°。本节易错总结1.普通三角形一个角为60°≠等边三角形，必须满足等腰+60°角才可判定。2.等边三角形有3条对称轴，区别于等腰三角形的1条对称轴。3.等边三角形所有边角、对应线段全部相等，是最特殊的等腰三角形。掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
探索等边三角形的性质和判定．
能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
回顾导入
名称 图形 定义 性质 判定
等 腰 三 角 形 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 等腰三角形 两腰相等 两边相等的三角形
等边对等角 等角对等边
三线合一
轴对称图形
A
B
C
回顾导入
A
B
C
等腰三角形：
A
B
C
特殊的等腰三角形
等边三角形
三条边都相等
探究新知
1. 等边三角形的性质
探 究
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
1. 从边的角度比较，等边三角形的三条边有什么数量关系？
A
B
C
等边三角形的三条边都相等
如图，∵△ABC 是等边三角形，
∴ AB = BC = AC .
几何语言：
1. 等边三角形的性质
2. 从角的角度比较，等边三角形的三个内角有什么数量关系？
A
B
C
AB = AC
AB = BC = AC
∠B =∠C
？
∵AB = BC，∴∠B =∠C (等边对等角).
同理∠A =∠C，∴∠A =∠B =∠C.
∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°.
2. 从角的角度比较，等边三角形的三个内角有什么数量关系？
A
B
C
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°.
如图，∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
几何语言：
1. 等边三角形的性质
3. 从“三线合一”的角度比较，等边三角形的“三线”有什么关系？
A
B
C
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
等边三角形有三条对称轴.
1. 等边三角形的性质
对比：等腰三角形与等边三角形的性质
等腰三角形 等边三角形
图形
性质 两条边相等
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线重合
1条对称轴
三个角都相等，且都等于60°
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
3条对称轴
三边都相等
探 究
一个三角形满足什么条件才是等边三角形？
2. 等边三角形的判定
1. 从边的角度判断：
A
B
C
三条边都相等的三角形是等边三角形
如图，∵AB = BC = AC，
∴△ABC 是等边三角形.
几何语言：
2. 等边三角形的判定
2. 从角的角度判断：
A
B
C
三个角都相等的三角形是等边三角形
如图，∵∠A =∠B =∠C，
∴△ABC 是等边三角形.
几何语言：
你能证明它吗？
2. 等边三角形的判定
已知：如图，在△ABC 中，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形.
A
B
C
证明：∵∠B =∠C ，
∴AB = AC (等角对等边).
同理 AB = BC ，
∴AB = BC = AC.
∴△ABC 是等边三角形.
2. 等边三角形的判定
3. 对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°，那么它是等边三角形吗？
A
B
C
60°
如图，当 AB = BC 时，∠B =∠C = 60°.
∴∠A = 180° –∠B –∠C = 60°.
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
当 AC = BC 时，∠A =∠B = (180° – 60°)÷2 = 60°.
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
2. 等边三角形的判定
3. 对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°，那么它是等边三角形吗？
A
B
C
60°
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
如图，∵AB = AC，∠C(或∠A，∠B) = 60°，
∴△ABC 是等边三角形.
几何语言：
对比：等腰三角形与等边三角形的判定
等腰三角形 等边三角形
图形
判定 两条边相等的三角形
有两个角相等的三角形
三个角都相等的三角形
有一个角是 60°的等腰三角形
三边都相等的三角形
教材P82例题
例4 如图，△ABC 是等边三角形， DE // BC，分别交 AB，AC 于点 D，E.
求证：△ADE 是等边三角形.
证明： ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C .
∵DE // BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形.
A
B
C
D
E
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个
D
A
C
B
D
E
O
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
B
基础巩固题
课堂检测
3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.
A
C
B
D
E
12
B
课堂检测
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于点F．求证：△AEF≌△BEC．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°.
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°–90°–30°=60°.
∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
课堂检测
如图，A,O,D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
解：
∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A,O,D三点共线，
∴∠DOB=∠COA=120°.
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴∠AEB=∠AOB=60°.
C
B
O
D
A
E
F
能力提升题
课堂检测
图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
图①
图②
拓广探索题
课堂检测
（第1题）
1. 如图，直线， 是等边三角
形， ，则 的大小为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 由于木质的衣架没有
柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操
作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻
易收拢，然后套进衣服后松开即可，如
B
A. B.
C. D. 以上都不对
图①，衣架杆 .若衣架收拢时，
，如图②，则此时， 两点间的距离是( )
返回
3.母题教材P93复习题 如图，是等边三角形， ，
，分别是，，边上一点，且 ,则
的形状是____________.
等边三角形
（第3题）
（第3题）
【点拨】 为等边三角形，且
，， .在
与 中，
.同理证
得 是一个等边三角形.
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（第4题）
4.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示
的方式放置，已知 ，点， 表示的
刻度分别为1，3，则线段的长为___ .
2
【点拨】 直尺的两对边相互平行，
是等边三角形.
.
.易知 ，.
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课堂小结
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C

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