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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.3.2.2含30 角的直角三角形的性质第十五章轴对称15.3.2.2含30°角的直角三角形的性质练习题本套练习题针对人教版八年级上册15.3.2.2含30°角的直角三角形的性质编写，是几何计算与证明的高频考点。本节核心定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。习题重点训练定理正向应用、逆向推理、边长计算、几何证明，规避“乱套定理、找错对应直角边”的核心易错点，适配课后同步巩固与考点专项突破。一、核心知识点梳理1.核心性质定理：在Rt△中，30°锐角所对的直角边=斜边的一半。2.定理关键点：①必须是直角三角形；②必须有一个锐角为30°；③是30°角正对的直角边，不是邻边。3.常用推论：在Rt△中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°。二、选择题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若斜边AB=10，则30°角对的直角边BC长为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 62.直角三角形中，30°角所对直角边为6，则斜边长度为（）A. 12 B. 9 C. 8 D. 63.下列条件中，可以使用30°直角三角形性质的是（）A.任意三角形含30°角B.钝角三角形含30°角C.直角三角形含30°角D.等腰三角形含30°角4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC的长为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 85. Rt△中，一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°三、填空题（每题4分，共20分）1.在直角三角形中，30°角所对的________等于________的一半。2. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=________。3.直角三角形斜边为16，30°角所对直角边长为________。4.在Rt△中，若直角边为5，斜边为10，则该直角边所对的角为________°。5.含30°角的直角三角形，三个内角分别是90°、30°、________°。四、解答题（共60分）1.（20分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，求BC的长。2.（20分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，求证：AC= AB。3.（20分）已知：等腰△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AD⊥BC于D，求证：AB=2BD。参考答案与解析一、选择题1. C解析：30°角对直角边等于斜边一半，BC= AB=5。2. A解析：直角边=6，斜边=2×6=12。3. C解析：该定理只适用于直角三角形。4. B解析：∠B=30°，对边AC= AB=4。5. B解析：直角边为斜边一半，所对锐角为30°。二、填空题1.直角边、斜边2. 6 3. 8 4. 30 5. 60三、解答题1.解：∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，根据含30°角直角三角形性质，30°角所对直角边BC= AB。∵AB=16，∴BC= ×16=8。2.证明：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴△ABC是含30°角的直角三角形。根据定理，30°角所对直角边AC= AB，得证。3.证明：∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°。∵AD⊥BC，∴△ABD为Rt△，∠ADB=90°，∠B=30°。∴30°角所对直角边BD= AB，即AB=2BD，得证。本节核心易错总结1.定理使用前提：必须是直角三角形，普通三角形无效。2.找准对应边：是30°角正对的直角边，不是60°对的边。3.题型套路：看到Rt△+30°，直接转化“斜边是短直角边的2倍”。探索含30°角的直角三角形的性质．
会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
合理应用含 30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.
拿出一个含30°角的三角尺，测量它的较短的直角边和斜边，看看它们有什么数量关系？
导入新知
做一做:
情境导入
a. 量一量这个三角板的短直角边和斜边的长度.
说一说你发现了什么？
短直角边：6.9 cm
斜边：13.8 cm
短直角边的长是斜边长的一半
b. 将两个全等的含 30°角的直角三角尺摆在一起. 你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？
C
A
B
D
情境导入
猜测：
理由：①△ABD为等边三角形；
②△ADC与△ABC关于直线AC轴对称.
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，测量∠A 所对的直角边 BC 与斜边 AB，你能得到什么结论？
探究新知
含 30° 角的直角三角形的性质
探 究
A
B
C
30°
再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？
仍然成立.
你能证明你的结论吗？
含 30° 角的直角三角形的性质
已知：如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：
分析：
2BC = AB
构造长为 2BC 的线段
构造长为 AB 的线段
A
B
C
30°
构造线段
A
B
C
30°
D
A
B
C
30°
D
证明：如图，延长 BC 到 D，使 CD = BC，连接 AD，则 AC 是 BD 的垂直平分线.
所以 AB = AD.
又因为∠B = 90° –∠BAC
= 90° – 30° = 60°，
所以△ABD 是等边三角形，
所以 BD = AB.
方法①
A
B
C
30°
D
含 30° 角的直角三角形的性质
又 BD = 2BC，所以 BC = AB.
∴∠B = 90° – 30° = 60°.
又 BD = BC，∴△BCD 是等边三角形.
∴BD = CD = BC，∠BCD = 60°.
∵∠ACB = 90°，∴∠ACD =∠ACB –∠BCD = 30°.
又∠A = 30°，∴∠A =∠ACD.
∴AD = CD = BC = BD.
证明：如图，在 AB 边上截取 BD = BC，连接 CD. 在 Rt△ABC 中，
∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，
A
B
C
30°
D
方法②
含 30° 角的直角三角形的性质
所以 BC = AB.
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，∠A = 30°，
∴ BC = AB.
几何语言：
含 30° 角的直角三角形的性质
A
B
C
30°
教材P83例题
例5 图中是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°. 求立柱 BC，DE 的长.
教材P83例题
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
∴BC = AB，DE = AD.
∴BC = ×7.4 =3.7(m) .
又 AD = AB，∴DE = AD = ×3.7 =1.85(m).
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
1. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面
处折断倒下，倒下的部分与地面成 角，这棵树在折
断前的高度为( )
B
（第1题）
A. B.
C. D.
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（第2题）
2. 如图，在中， ，
，的垂直平分线交 于点
，连接.若，则 的长为
( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 母题教材P84练习 在中，若 ，
且，则 等于( )
D
A. 2 B. 3 C. 9 D. 12
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（第4题）
4.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一
起，若 ，则阴影部分的面积是
___ .
【点拨】 , ,
.
, .
.
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5.如图，的斜边轴，点的坐标是 ，
，则 ___.
4
（第5题）
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6.［2025北师大附中期中］某市在旧城改造中，计划在一块如
图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知
，， ，这种草皮每平方米
售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数
式表示）
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7.如图，在中， ， ，
（1）作的垂直平分线，分别交，于点， ；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
【解】如图所示， 即为所求.
（2）求证：是 的中点.
【证明】 在中， ，
，
. .
垂直平分，， .
. .
，即是 的中点.
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（第8题）
8. 如图，在中， 平分
交于点,过点作 交
于点,且平分.若 ,
则 的长为( )
B
A. 4 B. 6 C. 3 D. 8
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课堂小结
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
30°

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