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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.16.3.1平方差公式第十六章整式的乘法16.3.1平方差公式练习题一、核心知识点（必背）1.平方差公式公式：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$文字口诀：同号平方减异号平方结构特征（必考）：①必须是一项完全相同，一项互为相反数的两个二项式相乘；②结果：相同项的平方 相反项的平方。2.常见变形形式$$(b+a)(-b+a)=a^2-b^2$$$$(-a-b)(a-b)=b^2-a^2$$$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$（公式逆用、因式分解基础）3.简便计算用法凑整计算：$$99\times101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2$$二、重点易错点（必考避坑）1.不能乱用公式：必须一同一反，两项都同、两项都反都不能用；2.平方要加括号：含系数、负号、多项式时，整体平方，例：$$(2a)^2=4a^2$$，不是$$2a^2$$；3.结果永远是平方相减，没有中间一次项；4.区分平方差和完全平方，绝对不要记混。三、基础选择题（每题4分，共20分）1. $$(x+3)(x-3)$$的计算结果是（）A. $$x^2-9$$ B. $$x^2+9$$ C. $$x^2-6x+9$$ D. $$x^2+6x-9$$2.下列式子能用平方差公式计算的是（）A. $$(a+b)(a+b)$$ B. $$(a-b)(b-a)$$ C. $$(a+2b)(a-2b)$$ D. $$(x+1)(y-1)$$3.计算$$(2x-1)(2x+1)$$的结果是（）A. $$4x^2-1$$ B. $$4x^2+1$$ C. $$2x^2-1$$ D. $$4x^2-4x+1$$4. $$(-m+n)(-m-n)$$的结果是（）A. $$m^2-n^2$$ B. $$n^2-m^2$$ C. $$-m^2-n^2$$ D. $$m^2+n^2$$5. $$102\times98$$可变形为（）A. $$100^2+2^2$$ B. $$100^2-2^2$$ C. $$(100+2)^2$$ D. $$(100-2)^2$$四、填空题（每题4分，共20分）1.平方差公式：$$(a+b)(a-b)=$$________。2. $$(x+5)(x-5)=$$________。3. $$(3a-2b)(3a+2b)=$$________。4. $$x^2-16=$$________$$\cdot$$________。5. $$(-2x+3)(-2x-3)=$$________。五、解答题（共60分）1.（20分）计算：$$(4x+5y)(4x-5y)$$2.（20分）简便计算：$$99\times101$$3.（20分）化简：$$(x+2)(x-2)-(x-1)(x+1)$$六、参考答案与解析（一）选择题1. A解析：同号$$x$$，异号$$3$$，原式$$=x^2-3^2=x^2-9$$。2. C解析：平方差要求一同一反，只有C符合结构。3. A解析：原式$$=(2x)^2-1^2=4x^2-1$$。4. A解析：相同项$$-m$$，相反项$$n$$，原式$$=(-m)^2-n^2=m^2-n^2$$。5. B解析：$$102\times98=(100+2)(100-2)=100^2-2^2$$。（二）填空题1. $$a^2-b^2$$ 2. $$x^2-25$$ 3. $$9a^2-4b^2$$ 4. $$(x+4)(x-4)$$ 5. $$4x^2-9$$（三）解答题1.解：原式$$=(4x)^2-(5y)^2=16x^2-25y^2$$2.解：原式$$=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999$$3.解：原式$$=(x^2-4)-(x^2-1)=x^2-4-x^2+1=-3$$掌握平方差公式的推导及应用.
理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，体会从一般到特殊和数形结合的思想.
了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)×(100+
3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
导入新知
观察与思考
探究新知
（1）(x + 1)(x – 1) = __________；
（2）(m + 2)(m – 2) = __________；
（3）(2m + 1)(2m – 1) = __________.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
x2 – 1
m2 – 4
4m2 – 1
x2 – 1
m2 – 22
(2m)2 – 1
都是形如 a + b 的多项式与 a – b 的多项式相乘
运算结果都是这两个数的平方的差
猜想：
(a + b)(a – b) = a2 – b2
探 究
(a + b)(a – b)
+
=
a2
(–ab)
ab
(–b2)
+
+
证明一：利用多项式乘多项式的法则.
= a2 – b2
a
b
b
a
(a – b)
纸片剩余面积：
a2 – b2
拼成的长方形面积：
(a – b)(a + b)
(a – b)
(a – b)(a + b) = a2 – b2
证明二：利用几何图形.
(a – b)(a + b) = a2 – b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差
平方差公式：
平方差公式是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p = a，q = –b 的特殊情形.
注意用谁减谁
等号左边的两个二项式中的每一项有什么联系？
相同项为a
相反项为b，-b
结构特征：(相同项)2 – (相反项)2
(a – b)(a + b) = a2 – b2
观察
例1　运用平方差公式计算：　
(1) (3x + 2)(3x – 2)；
(2) (–x + 2y)(–x – 2y).
解：(1) (3x + 2)(3x – 2)
= (3x)2 – 22
= 9x2 – 4
(2) (–x + 2y)(–x – 2y)
= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2
分析：(1) a = ___，b = ____
(2) a = ___，b = ____
3x
2
–x
2y
如作为因式的二项式的首项是负号，可连符号一起作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考.
(1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)；
(2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ；
解：(1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)
= (x2 – 1)(x2 + 1)
= x4 – 1
(2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5)
= y2 – 22 – (y2 + 4y – 5)
例2　计算：　
= y2 – 4 – y2 – 4y + 5
= – 4y + 1
能用平方差公式计算吗？
只有符合公式条件的乘法,才能运用公式简化运算,其余的运算仍按乘法法则进行.
(3) 102×98.
(3) 102×98
= (100 + 2)(100 – 2)
= 1002 － 22
= 10000－4
= 9996
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
拓展
平方差公式的变形举例：
变化形式 举例
①位置变化
②符号变化
③系数变化
④指数变化
⑤增项变化
⑥连用公式
(a + b)(–b + a) =
a2 – b2
b2 – a2
4a2 – b2
a4 – b4
(a + c)2 – b2
(–a – b)(a – b) =
(2a + b)(2a – b) =
(a2 + b2)(a2 – b2) =
(a + b + c)(a – b + c) =
a4 – b4
(a + b)(a – b)(a2 + b2) =
链接中考
2.先化简，再求值：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3),其中m=
解：原式=2m-m2+2m+m2-9=4m-9.
当m=时，
原式=4×-9=1.
1.已知(x+2)(x-2)-2x=1,则2x2-4x+3的值为（ ）
A.13 B.8 C.-3 D.5
解析： ∵(x+2)(x-2)-2x=1，
∴x2-2x-4=1，即x2-2x=5.
∴ 2x2-4x+3=2(x2-2x)+3=2×5+3=13.
A
1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y)
C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y)
C
2. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　)
A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
A
3. 一个长方体的游泳池长为(4a2+9b2)m，宽为(2a+3b)m，高为(2a-3b)m，则这个游泳池的容积为 .
(16a4-81b4)m3
基础巩固题
课堂检测
(1)(a+3b)(a– 3b)；
=4a2–9.
=4x4–y2.
原式=(2a+3)(2a–3)
=a2–9b2.
=(2a)2–32
原式=(–2x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
4. 利用平方差公式计算：
课堂检测
解:
解:
解:
5. 计算： 20252 – 2024×2026.
解：
20252 – 2024×2026
= 20252 – (2025–1)×(2025+1)
= 20252
– (20252–12 )
= 20252
– 20252+12
=1.
课堂检测
6. 利用平方差公式计算:
(1)(a–2)(a+2)(a2+ 4)
解:原式=(a2–4)(a2+4)
=a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4)
=x8–y8.
课堂检测
先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
=2x2–1.
当x=2时，
原式=2×22–1=7.
能力提升题
课堂检测
已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，
(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4.
(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1–2)×(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________.
1–xn+1
–63
2n＋1–2　
x100–1　
拓广探索题
课堂检测
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 已知，则 的值为
( )
A
A. 13 B. 3 C. D. 5
4. 若，则 的值为( )
D
A. 4 B. 2 C. D.
返回
5. 已知，，则与 的大小关
系是( )
A
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】 ，
，
.
6.若，则， 的值分别为
_________.
，
返回
7. 教材P117习题 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8.［2025厦门校级期中］先化简，再求值：
，其中， .
【解】
，
当， 时，原式
.
课堂小结
整式的乘法
平方差公式
特殊情形
(a – b)(a + b) = a2 – b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差
平方差公式：

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