资源简介

(共22张PPT)
人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.17.1.1用提取公因式法分解简单的因式第十七章因式分解17.1.1用提取公因式法分解简单的因式练习题一、因式分解基础概念1.因式分解定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。核心区别（必考）：整式乘法：积→和差（展开）因式分解：和差→积（变形）2.公因式定义多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。3.找公因式三步法（重中之重）①系数：取各项系数的最大公约数；②字母：取各项都含有的相同字母；③指数：取相同字母的最低次幂。二、提取公因式法法则1.公式法则$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$方法口诀：找出公因式，剩余部分括号装，逐项对应不重不漏2.标准解题四步骤第一步：观察多项式，准确找出全部公因式；第二步：用每一项除以公因式，得到剩余因式；第三步：把公因式写在括号外，剩余部分合并在括号内；第四步：检查结果，括号内无公因式、无同类项，分解彻底。三、常见公因式类型1.单项式公因式（基础）例：$$3x^2+6x$$，公因式为$$3x$$，分解结果：$$3x(x+2)$$2.含负号公因式（高频考点）首项为负时，提取负公因式，括号内各项全部变号。例：$$-2x^2+4x=-2x(x-2)$$3.整体公因式（进阶）多项式整体作为公因式，把括号看作一个字母。例：$$a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(a+b)$$四、重点易错点（扣分重灾区）1.漏项错误：某一项全部为公因式时，剩余项为1，不能空着；2.符号错误：提取负公因式，括号内每一项必须全部变号；3.公因式找不全：系数、字母、指数缺一不可，必须取最大公约、最低次幂；4.分解不彻底：括号内若还有公因式，必须继续分解；5.混淆运算：因式分解是变乘积形式，不能展开、不能合并。五、基础选择题（每题4分，共20分）1.多项式$$4a^2-8a$$的公因式是（）A. $$4a$$ B. $$2a$$ C. $$4a^2$$ D. $$a$$2.分解因式$$3x^2+6x$$的结果正确的是（）A.$$3x(x+2)$$ B. $$3(x^2+2x)$$ C. $$x(3x+6)$$ D. $$3x^2(1+2x)$$3.分解因式$$-5x^2+10x$$的结果是（）A. $$-5x(x-2)$$ B. $$-5x(x+2)$$ C. $$5x(x-2)$$ D. $$-5(x^2-2x)$$4.多项式$$x(a-b)+y(a-b)$$的公因式是（）A. x B. y C. $$a-b$$ D. $$a+b$$5.下列因式分解正确的是（）A. $$2x+4=2(x+2)$$ B. $$x^2+x=x^2(1+\dfrac{1}{x})$$ C. $$3a-6=3(a-6)$$ D. $$-2x+4=-2(x+2)$$六、填空题（每题4分，共20分）1.因式分解是把多项式化成几个________的积的形式。2.多项式$$6x^3-9x^2$$的公因式是________。3.分解因式：$$5x+10=$$________。4.分解因式：$$a^2-ab=$$________。5.分解因式：$$m(x-y)-n(x-y)=$$________。七、解答题（共60分）1.（15分）分解因式：$$4x^2y-6xy^2$$2.（15分）分解因式：$$-3a^2+6a-9$$3.（15分）分解因式：$$2a(x+y)-4b(x+y)$$4.（15分）简便计算：$$2026\times45+2026\times55$$（利用提取公因式）八、参考答案与详细解析（一）选择题1. A解析：系数最大公约数4，相同字母a最低次幂1，公因式为$$4a$$。2. A解析：公因式$$3x$$，原式$$=3x(x+2)$$，B、C分解不彻底。3. A解析：提取负公因式$$-5x$$，括号内变号，原式$$=-5x(x-2)$$。4. C解析：两项均含整体因式$$a-b$$，为整体公因式。5. A解析：B出现分式，不是整式积；C应为$$3(a-2)$$；D应为$$-2(x-2)$$。（二）填空题1.整式2. $$3x^2$$ 3. $$5(x+2)$$ 4. $$a(a-b)$$ 5. $$(x-y)(m-n)$$（三）解答题1.解：原式$$=2xy(2x-3y)$$解析：公因式为$$2xy$$，提取后剩余部分分别为$$2x、-3y$$。2.解：原式$$=-3(a^2-2a+3)$$解析：首项为负，提取负公因式，括号内各项全部变号。3.解：原式$$=2(x+y)(a-2b)$$解析：先提取数字公因式2，再提取整体公因式$$x+y$$，分解彻底。4.解：原式$$=2026\times(45+55)=2026\times100=202600$$解析：逆用提取公因式法，简化大数运算。九、本节核心总结1.提取公因式是因式分解的第一种、也是最基础方法，所有因式分解优先提公因式；2.找公因式看：系数最大公约、相同字母、最低次幂；3.首项为负必提负号，提负全变号；4.分解必须彻底，结果只能是整式乘积形式。理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
会利用因式分解进行简便计算.
在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积.如33分解成3×11,42分解成2×3×7.类似于整数的分解，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫作什么呢？
导入新知
情境导入
跳水比赛打分规则
某单人跳水选手完成了一个难度系数为 p 的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数 a，b，c，选手的得分可以怎样计算？
pa + pb + pc
p(a + b + c)
=
一个多项式
两个整式的乘积
探究新知
在小学，我们学过整数的素因数分解.
12 =___________.
6 =___________.
8 =___________.
30 =___________.
2×3
2×2×2
2×2×3
2×3×5
类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式.
知识点1 因式分解
（1）x2 + x = __________；
（2）x2 – 1 = _____________；
（3）x2 + 2x + 1 = __________.
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
探 究
想：整式的乘法
x(x + 1)
(x + 1)(x – 1)
(x + 1)2
像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？
（1）m(a + b + c) = ma + mb + mc，
ma + mb + mc = m(a + b + c)；
（2）(a－7)2 = a2 －14a + 49，
a2－14a + 49 = (a－7)2；
（3）(x + 3)(x－3) = x2 －9，
x2－9 = (x + 3)(x－3).
整式乘法
因数分解
m(a + b + c) = ma + mb + mc
(a－7)2 = a2 －14a + 49
(x + 3)(x－3) = x2 －9
ma + mb + mc = m(a + b + c)
a2－14a + 49 = (a－7)2
x2－9 = (x + 3)(x－3)
互为
逆变形
观察
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .
① am + bm + c = m(a + b) + c
② 12x2y2 = 3x ·4xy2
③ x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
④ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
⑥ 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
⑤ a2 – b2 – 1 = (a + b)(a – b) – 1
×
√
×
×
×
√
③⑥
练习
下列多项式有什么共同特点？
相同因式 p
相同因式 x
它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式.
观察
pa + pb + pc
p
x2 + x
x
p
p
x
知识点2 公因式
试一试，将它们写成几个因式的乘积.
pa + pb + pc
x2 + x
= p(a + b + c)
= x(x + 1)
怎么得到的？
(pa + pb + pc)÷p
(x2 + x)÷x
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
知识点3 提公因式法
运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？
= 2x2 ·1 + 2x2 ·3x
= 2x2 (1 + 3x)
①定系数：各项系数的最大公因数；
②定字母：各项的相同字母；
③定指数：相同字母最低次幂.
思考
2
x
2
2x2 + 6x3
注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充.
1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　)
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　)
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　)
A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)
C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a)
B
C
D
课堂检测
基础巩固题
4.把下列各式分解因式：
(1)m2–3m=　 ；(2)12xyz–9x2y2=_____________；
(3)(x+2)x–x–2=___________　；
(4) –x3y3–x2y2–xy=_______________；
3xy(4z–3xy)
–xy(x2y2+xy+1)
(5)(x–y)2+y(y–x)=_____________.
(y–x)(2y–x)
5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________.
3a(x–y)2
m(m–3)
(x+2)(x–1)
课堂检测
6.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013–20142;
(3)(–2)101+(–2)100.
(2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142
=2013×2014 –20142
=2014×(2013–2014)
= –2014．
解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98；
(3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100.
课堂检测
解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]
=(2x+1)(2x+1–2x+1)
=2(2x+1).
(1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
(2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= .
当x= 时，
能力提升题
原式=2×(2× +1)=4.
课堂检测
△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab–c–2bc＝0，
(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0，
∴a–c＝0或1＋2b＝0，
即a＝c或b＝–0.5(舍去)，
拓广探索题
课堂检测
1. 下列各式的变形中，表述正确的是( )
；
.
C
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
返回
2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
3. 多项式 因式分解时，应提取的公因式是
( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 在处填入一个整式，使关于 的多项式
可以因式分解，则 可以为__________________
（写出一个即可）.
（答案不唯一）
返回
5. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为
，那么 的值为( )
B
A. B. 1 C. D. 2
【点拨】
，
，， .
，故选B.
返回
6.母题教材P125练习 分解因式.
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回
提公因式法分解因式
定义
pa+pb+pc=p(a+b+c)
方法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号

展开更多......

收起↑