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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.17.2.3综合运用提公因式法和公式法第十七章因式分解17.2.3综合运用提公因式法和公式法分解因式练习题一、本节核心总法则（考试万能顺序）因式分解终极解题顺序（必须背熟）第一步：提公因式（提干净）→第二步：套公式（平方差/完全平方）→第三步：检查彻底（不能再分解为止）所有复杂因式分解题，永远先提公因式，再用公式，直接套公式必错、必分解不彻底！二、两大方法核心回顾1.提公因式法适用：多项式各项有公共因式（数字、字母、整体括号）要点：首项为负先提负号，括号内全部变号；提尽所有公因式，不留剩余2.两大公式法平方差公式（两项式）：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$适用：两项、异号、均可化为平方形式完全平方公式（三项式）：$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$适用：三项、首尾正平方、中间首尾两倍乘积三、三大必考综合题型（本节重难点）题型一：先提公因式，再用平方差公式（最高频）特征：多项式有公因式，提取后剩余部分为平方差结构例题：分解因式$$2x^2-50$$解：原式$$=2(x^2-25)=2(x+5)(x-5)$$题型二：先提公因式，再用完全平方公式（必考）特征：多项式有公因式，提取后剩余部分为完全平方式例题：分解因式$$3x^2-12x+12$$解：原式$$=3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2$$题型三：多次分解（提公因式+公式+再分解）特征：一次分解不彻底，需要连续运用方法，直到无法分解例题：分解因式$$x^4-16$$解：原式$$=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$解析：第一次平方差分解后，剩余$$x^2-4$$可继续分解，必须分解彻底四、标准满分解题步骤1.看符号：首项为负，先提取负号，统一括号内符号；2.提净公因式：数字、字母、整体公因式全部提取干净；3.判结构套公式：剩余两项用平方差、三项用完全平方；4.复查彻底性：每个因式括号内无公因式、无公式可用、不能再拆分。五、高频易错扣分点1.跳过提公因式：直接套公式，导致分解不彻底，直接扣分；2.公因式提不干净：漏提数字、低次字母公因式；3.分解不彻底：一次分解完成就结束，忽略二次、三次可分解结构；4.公式混淆：两项套完全平方、三项套平方差，结构判断错误；5.符号出错：提取负公因式后，括号内部分项忘记变号。六、选择题（每题4分，共20分）1.分解因式$$3x^2-27$$的最终结果是（）A. $$3(x^2-9)$$ B. $$3(x+3)(x-3)$$ C. $$(3x+9)(x-3)$$ D. $$3(x-3)^2$$2.分解因式$$2a^2-8a+8$$正确的是（）A. $$2(a^2-4a+4)$$ B. $$2(a-2)^2$$ C. $$(2a-4)^2$$ D. $$2(a-2)(a+2)$$3.分解$$x^4-81$$需要用到的方法是（）A.仅提公因式B.仅完全平方公式C.两次平方差公式D.提公因式+完全平方4.多项式$$-4x^2+16$$分解第一步正确的是（）A.直接平方差$$(2x+4)(2x-4)$$ B.提取负公因式$$-(4x^2-16)$$ C. $$-4(x^2-4)$$ D. $$4(-x^2+4)$$5.下列分解因式完全正确的是（）A. $$x^3-x=x(x^2-1)$$ B. $$4x^2-4=4(x^2-1)$$ C. $$2x^2-18=2(x+3)(x-3)$$ D. $$x^2+4x+4=x(x+4)+4$$七、填空题（每题4分，共20分）1.因式分解的优先级：先________，再________。2. $$5x^2-20=$$________。3. $$4a^3-16a^2+16a=$$________。4. $$x^2y-9y=$$________。5. $$-2x^2+8x-8=$$________。八、解答题（共60分，全是考试必考综合题型）1.（12分）提公因式+平方差：$$4x^2-36$$2.（12分）提公因式+完全平方：$$3a^3-12a^2+12a$$3.（12分）多次分解题型：$$16-x^4$$4.（12分）带负号综合题型：$$-3x^2+6xy-3y^2$$5.（12分）整体综合题型：$$2(x-y)^2-8$$九、参考答案与详细解析（一）选择题1. B解析：先提公因式3，再平方差分解，分解彻底。A分解不彻底，C、D公式误用。2. B解析：先提2，剩余完全平方式，最终化简为$$2(a-2)^2$$。3. C解析：$$x^4-81=(x^2+9)(x^2-9)=(x^2+9)(x+3)(x-3)$$，两次平方差分解。4. C解析：优先提尽公因式$$-4$$，一步到位简化式子，后续可继续平方差分解。5. C解析：A、B分解不彻底；D未化成整式乘积形式，不是因式分解。（二）填空题1.提公因式、套公式2. $$5(x+2)(x-2)$$3. $$4a(a-2)^2$$4. $$y(x+3)(x-3)$$5. $$-2(x-2)^2$$（三）解答题1.解：原式$$=4(x^2-9)=4(x+3)(x-3)$$解析：先提数字公因式，再用平方差公式分解彻底。2.解：原式$$=3a(a^2-4a+4)=3a(a-2)^2$$解析：先提公因式$$3a$$，剩余三项为完全平方式。3.解：原式$$=(4+x^2)(4-x^2)=(4+x^2)(2+x)(2-x)$$解析：首次平方差分解后，剩余式子可继续二次分解，必须分解到底。4.解：原式$$=-3(x^2-2xy+y^2)=-3(x-y)^2$$解析：首项为负，先提负公因式，再套用完全平方差公式。5.解：原式$$=2\left[(x-y)^2-4\right]=2[(x-y)+2][(x-y)-2]=2(x-y+2)(x-y-2)$$解析：先提公因式，将多项式整体作为平方项，再用平方差公式分解。十、本节满分终极总结1.综合分解铁律：先提后套，绝不反过来；2.两项剩余用平方差，三项剩余用完全平方；3.分解必须层层拆解，直到所有因式都不能再分解；4.带负号、高次、整体式子，统一先整理、再提公、后套公式。十一、第十六、十七章因式分解全章收尾总结整式乘法：积变和差（展开）因式分解：和差变积（化简）解题万能流程：提公因式（干净）→判断项数→两项平方差/三项完全平方→检查彻底 能灵活运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
能综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解．
理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别.
复习回顾
2. 分解因式：
(1) 2x4y3 – x3y4 = _____________；
(2) 25a2 – 1 = ________________；
(3) m2n2 + 8mn + 16 = _________.
x3y3(2x – y)
(5a + 1)(5a – 1)
(mn + 4)2
1. 我们目前学习了哪些因式分解的方法？
提公因式法
，公式法
：平方差公式、完全平方公式
探究新知
例5　分解因式：　
(1) x4 – y4；
解：(1) x4 – y4
= (x2)2 – (y2)2
分析：可以用___________分解因式
= (x2 + y2)(x2 – y2)
平方差公式
其中 a = ____，b = ____
x2
y2
结束了吗？
还能用平方差公式再分解
= (x2 + y2)(x + y)(x – y)
分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(2) a3b – ab.
解：(2) a3b – ab
= ab(a2 – 1)
= ab(a + 1)(a – 1)
还能用____________再分解
分析：可以用___________分解因式
提公因式法
平方差公式
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.
例6　分解因式：　
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2；
(2) – ax2 + 2a2x – a3 .
解：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2
= 3a(x2 + 2xy + y2)
先提出公因式，再用公式法进一步分解因式
(2) – ax2 + 2a2x – a3
= –a(x2 – 2ax + a2)
= –a(x – a)2
= 3a(x + y)2
探究
你会把 x2 + 3x + 2 分解因式吗？
完全平方公式
1 + 1
提公因式
方法一：x2 + 3x + 2
= (x2 + 2x + 1) + x + 1
= (x + 1)2 + (x + 1)
= (x + 1)(x + 1 + 1)
= (x + 1)(x + 2)
2x + x
方法二：x2 + 3x + 2
= x2 + 2x + x + 2
= x(x + 2) + (x + 2)
= (x + 1)(x + 2)
提公因式
提公因式
还有其他方法吗？
阅读与思考
x2 + (p + q)x + pq 型式子的因式分解
多项式乘法法则：
(x + p)(x + q) =
x2 + (p + q)x + pq
由等式性质可得：
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
方法三：x2 + 3x + 2
= x2 + (1 + 2)x + 1×2
= (x + 1)(x + 2)
竖分二次项系数和常数项
交叉相乘
十字相乘法
x2 + (p + q)x + pq
1
1
p
q
×
1·q
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
1·p
+ = p + q
积相加
思考
分解因式的一般步骤有哪些？
（1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
（2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
3. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符
号代表的内容.
分解因式： .
解：
*
☆.
其中运用到的方法是 和 .
. .
. .
下列回答错误的是( )
D
A. *代表
B. ☆代表
C. 可能代表提公因式法
D. 可能代表完全平方公式法
返回
4. ［2025南阳期中］如果， ，那么
的值为( )
D
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
5. 有一个因式分解的等式 ，
则式子中的， 对应的一组数字是( )
B
A. 16，2 B. 16，
C. ， D. ，2
返回
6.把下列各式因式分解：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
返回
课堂小结
分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
（2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.

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