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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.1.2.2分式的约分和通分第十八章分式18.1.2.2分式的约分和通分同步精讲+习题一、核心前置依据约分、通分的唯一依据：分式的基本性质分子分母同乘/除以同一个不为0的整式，分式的值不变。本节核心关系：约分是化简分式（变小），通分是统一分母（变形），二者是分式加减运算的基础。二、分式的约分（重点）1.约分定义把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2.最简分式（考试标准答案要求）分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式。必考规则：所有分式计算题，最终结果必须化为最简分式或整式。3.约分标准四步法（万能步骤）①排序：分子、分母按字母降幂排列；②提负：首项为负，先提取负号；③分解：分子、分母因式分解（提公因式、平方差、完全平方）；④约分：约去全部相同公因式，化为最简。4.两类约分题型精讲题型1：单项式分式约分方法：系数约最大公约数，字母约最低次幂例题：$$\dfrac{6x^2y^3}{9xy^2}=\dfrac{2xy}{3}$$题型2：多项式分式约分（考试必考）必须先因式分解，再约分，严禁直接约多项式单项！例题：$$\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}=\dfrac{x-3}{x+3}$$5.约分高频易错点 错误：分子分母加减项不能单独约分，只有整体因式能约 错误：约分不彻底，残留公因式 错误：忘记先变号、未整理最高次项符号三、分式的通分（难点）1.通分定义把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。2.最简公分母（通分核心）通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母。3.找最简公分母三步法（必背）①系数：取各分母系数的最小公倍数；②字母：取所有出现的不同字母；③次数：取每个字母/因式的最高次幂。4.通分标准步骤①分解所有分母的因式；②找出最简公分母；③观察每个分母需要乘什么式子得到公分母；④分子分母同乘对应整式，化为同分母分式。5.两类通分题型题型1：单项式分母通分例：对$$\dfrac{1}{2x^2},\dfrac{1}{3xy}$$通分最简公分母：$$6x^2y$$$$\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{3y}{6x^2y},\ \ \dfrac{1}{3xy}=\dfrac{2x}{6x^2y}$$题型2：多项式分母通分（重难点）例：对$$\dfrac{1}{x^2-4},\dfrac{1}{2x+4}$$通分先分解分母：$$x^2-4=(x+2)(x-2),\ 2x+4=2(x+2)$$最简公分母：$$2(x+2)(x-2)$$通分结果：$$\dfrac{2}{2(x+2)(x-2)},\ \dfrac{x-2}{2(x+2)(x-2)}$$四、约分与通分对比总结（必考辨析）约分：针对一个分式，目的是化简、变最简，分子分母同除公因式通分：针对多个分式，目的是统一分母，分子分母同乘整式共同点：都依据分式基本性质，分式值始终不变五、高频易错汇总1.多项式未分解就通分/约分，直接出错；2.找公分母漏因式、取最低次幂；3.通分只改分母、忘记改分子；4.约分误约加减项，只能约乘积因式；5.结果不化简，不是最简分式。六、同步练习题一、选择题1.下列分式是最简分式的是（）A. $$\dfrac{2x}{4y}$$ B. $$\dfrac{x+1}{x^2+1}$$ C. $$\dfrac{x-1}{x^2-1}$$ D. $$\dfrac{x^2}{x}$$2.分式$$\dfrac{1}{2a^2},\dfrac{1}{3ab}$$的最简公分母是（）A. $$6a^2b$$ B. $$6ab$$ C. $$5a^2b$$ D. $$a^2b$$3.约分$$\dfrac{x^2-2x}{x^2-4}$$的结果是（）A. $$\dfrac{x}{x+2}$$ B. $$\dfrac{x}{x-2}$$ C. $$x$$ D. $$\dfrac{1}{2}$$二、填空题1.约分的依据是________，通分的依据是________。2. $$\dfrac{4x^2y}{6xy^3}=$$________。3.分式$$\dfrac{1}{x-2},\dfrac{1}{x+2}$$的最简公分母是________。三、解答题1.约分：$$\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$$2.通分：$$\dfrac{1}{x^2-2x},\ \dfrac{1}{x^2-4x+4}$$七、参考答案与详细解析一、选择题1. B解析：A、C、D均可约分，B无公因式，为最简分式。2. A解析：系数最小公倍数6，字母取最高次幂$$a^2、b$$，公分母为$$6a^2b$$。3. A解析：原式$$=\dfrac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x}{x+2}$$。二、填空题1.分式的基本性质；分式的基本性质2. $$\dfrac{2x}{3y^2}$$3. $$(x-2)(x+2)$$三、解答题1.解：原式$$=\dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-2}{x+2}$$解析：先分别用完全平方、平方差公式分解，再约去公因式$$x-2$$。2.解：先分解分母$$x^2-2x=x(x-2)$$，$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$最简公分母：$$x(x-2)^2$$$$\dfrac{1}{x(x-2)}=\dfrac{x-2}{x(x-2)^2}$$$$\dfrac{1}{(x-2)^2}=\dfrac{x}{x(x-2)^2}$$八、本节满分总结1.约分：先分解，后约因式，结果必最简；2.通分：先分解分母，找最高次幂，统一公分母；3.加减项永远不能直接约分，只有乘积因式可以约；4.约分服务化简，通分服务分式加减计算。会对分式进行约分.
会对异分母的分式通分.
体会用类比转化的思想研究数学问题．
1. 把下列分数化为最简分数或整数：
= ( )， = ( ) ， = ( ) ；
复习导入
2
2. 因式分解：(1) x2 + xy = ________；
(2) 4m2 – n2 = _______________.
3. 填空：
x(x + y)
(2m + n)(2m – n)
12a2bc2
2x
探究新知
知识点1 分式的约分、最简分式
想一想：分数约分关键的是什么？
约去分子分母的最大公因数
约去分子分母的最大公因式
联想分数的约分，由前面的练习，你能想出如何对分式进行约分吗？
思 考
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.
÷x2
÷3x
分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．　
例4 约分：
分析：
当分子、分母都是单项式时，先看系数；
–25
15
5
再找相同字母的最低次幂.
a bc
ab c
abc
当分子或分母中有系数为小数或分数时，需先化为整数；
没有公因式，是最简分式
分式的约分，一般要约去分子和分母的所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式.
分析：
当分子或分母是多项式时，先分解因式；
再找公因式.
x + 3
x + 3
x – y
x – y
2
3
3
约分的步骤：
若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
1
2
若分子或分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式.
注意：
（1）约分前后分式的值要相等；
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式；
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
归纳
知识点2 分式的通分
想一想：分数通分的关键是什么？
确定分母的最小公倍数
找最简公分母
分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值.
12
联想分数的通分，由下面的式子，你能想出如何对分式进行通分吗？
思 考
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫作最简公分母.
通分的步骤
确定各分式的最简公分母.
1
3
用所得的商去乘原各分式的分子、分母
2
用这个最简公分母除以各分式的分母.
通分的依据
分式的基本性质
方法
例5 通分：
最简公分母：
当各分母是单项式时，
整数系数的最小公倍数
2
3
相同字母的最高次幂
a2
b2
单独出现的字母(连同其指数)
c
×
×
6
a2b2
c
用最简公分母除以各分式的分母：
1
2
(6a2b2c)÷(2a2b) = _____
(6a2b2c)÷(3ab2c) = ____
3bc
2a
先分解因式：
当各分母中有多项式时，
再按单项式的方法求最简公分母：
2(x + 5)(x – 5)
1. ［2025上海嘉定区月考］下列分式， ，
， 中，最简分式有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列分式与分式 相等的是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. 化简 的结果是( )
D
A. B. 1 C. D.
4. 分式，， 的最简公分母是( )
D
A. B.
C. D.
找最简公分母的方法:
（1）找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最
小公倍数.
（2）找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式
子都要选取.
（3）找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子
中指数的最大值.
. .
. .
. .
返回
5. 小明化简分式时， 部分不小心滴上了墨水，请
推测*部分的式子应该是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】， 部分的式子
应该是 .故选B.
返回
6. 已知三张卡片上面分别写有6， ，
，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为_________
__________.（写出一个分式即可）
（答案不唯一）
返回
7.母题教材P144练习 约分：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
课堂小结
约分
方法
依据
结果
分子和分母同时除以它们的公因式
分式的基本性质
最简分式或整式
通分
确定各分式的最简公分母
用这个最简公分母除以各分式的分母
用所得的商去乘原各分式的分子、分母
1
3
2

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