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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.4.1负整数指数幂第十八章分式18.4.1负整数指数幂同步精讲+习题一、正整数指数幂回顾（前置基础）我们之前学过：$$a^n$$（$$n$$为正整数）表示$$n$$个$$a$$相乘。五大基础运算公式（全部适用于负指数幂）：1.同底数幂相乘：$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$2.同底数幂相除：$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$3.幂的乘方：$$(a^m)^n = a^{mn}$$4.积的乘方：$$(ab)^n = a^nb^n$$5.商的乘方：$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$零指数幂：$$a^0=1\ \ (a\neq0)$$二、负整数指数幂核心定义（必考）1.定义公式任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数。公式：$$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}\ \ (a\neq0，p为正整数)$$重要红线：$$0$$的负指数幂无意义！2.倒数变形口诀（超级好用）指数变号，底数颠倒$$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}，\dfrac{1}{a^{-p}}=a^p$$拓展分式型：$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-p}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^p$$3.基础举例秒懂$$2^{-1}=\dfrac{1}{2^1}=\dfrac{1}{2}$$$$3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$$$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4$$三、指数幂范围扩展整数指数幂包含：正整数指数、零指数、负整数指数所有整数指数幂，均满足之前的5条幂运算公式！四、整数指数幂混合运算（重难点）1.通用解题步骤①先处理负指数：底数取倒数，指数变正数；②套用幂的运算法则计算；③结果绝不留负指数，必须化为正指数形式。2.经典例题精讲例1：计算$$a^2 \cdot a^{-5}$$解：原式$$=a^{2-5}=a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}$$例2：计算$$(2x^{-2}y^3)^{-3}$$解：原式$$=2^{-3}\cdot x^{6}\cdot y^{-9}=\dfrac{1}{8}x^6\cdot \dfrac{1}{y^9}=\dfrac{x^6}{8y^9}$$例3：计算$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$$解：原式$$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$$五、考试高频易错点1.负指数≠负数：负指数是取倒数，不是结果为负； 错误：$$2^{-2}=-4$$ 正确：$$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$$2. 0的负指数幂无意义，绝对不能计算；3.结果必须消去所有负指数，题目默认只接受正指数答案；4.系数与字母指数混淆，系数也要参与负指数运算。六、科学记数法（负指数必考应用）1.表示极小小数小于1的正数：$$a\times10^{-n}$$（$$1\leqslant a<10$$）$$n$$ =小数点后至第一个非0数字前的0的个数2.举例$$0.000025=2.5\times10^{-5}$$七、同步练习题（分层训练）一、选择题1. $$2^{-3}$$的值是（）A. -6 B. -8 C. $$\dfrac{1}{8}$$ D. $$-\dfrac{1}{8}$$2.下列运算正确的是（）A. $$a^{-2}=-a^2$$ B. $$a^0=1$$ C. $$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=-2$$ D. $$a^{-3}=-a^3$$3. $$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$$的结果是（）A. $$\dfrac{9}{16}$$ B. $$\dfrac{16}{9}$$ C. $$-\dfrac{9}{16}$$ D. $$-\dfrac{16}{9}$$二、填空题1.负指数幂公式：$$a^{-p}=$$________（$$a\neq0$$）。2.计算：$$5^{-2}=$$________，$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=$$________。3.用科学记数法表示：$$0.000036=$$________。三、解答题（计算，结果保留正指数）1. $$x^3 \cdot x^{-7}$$2. $$(-3a^{-2}b)^2$$3. $$\left(2x^{-3}y^{-2}\right)^{-2}$$八、参考答案与详细解析一、选择题1. C解析：$$2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$$。2. C解析：A、D负指数不是负数；B缺少$$a\neq0$$条件，不严谨；C正确。3. B解析：倒底数变正指数，$$\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{16}{9}$$。二、填空题1. $$\dfrac{1}{a^p}$$2. $$\dfrac{1}{25}$$，$$3$$3. $$3.6\times10^{-5}$$三、解答题1.解：原式$$=x^{3-7}=x^{-4}=\dfrac{1}{x^4}$$2.解：原式$$=9a^{-4}b^2=\dfrac{9b^2}{a^4}$$3.解：原式$$=2^{-2}x^{6}y^{4}=\dfrac{1}{4}x^6y^4$$九、本节满分总结1.核心口诀：指数变号，底数颠倒，负指数变倒数；2.负指数只改变形式，不改变正负符号；3.所有整数指数幂，通用一套幂运算法则；4.最终结果禁止残留负指数，必须化为正指数分式形式。知道负整数指数幂的意义及表示法.
能运用分式的有关知识推导整数指数幂的意义.
能运用分式的有关知识推导整数指数幂的意义.
复习导入
问题1 你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？
正整数指数幂：
当n是正整数时，an = a·a·…·a.
n个
正整数指数幂有以下运算性质：
(1) (m，n是正整数)
(2) (m，n是正整数)
(3) (n是正整数)
(4) (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n)
(5) (n是正整数)
此外，还学过 0 指数幂，即a0 = 1(a ≠ 0)
如果指数是负整数该如何计算呢？
问题2 你能使用两种不同的方法计算a5÷a3 吗？
a5÷a3
= a5 – 3 = a2
分式的约分
am÷an = am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)
设想导入
溯源——幂的符号的演变
3 世纪
丢番图
Δγ，Kγ， ΔγΔ
Aq，Acu，Aqq
韦达(Vietè)
16 世纪
17 世纪
哈里奥特(Harriot)
aa，aaa，aaaa
a2，a3，a4
笛卡尔
1637年
an
简明
利于运算
有助于幂的运算的推广
知识点1 负整数指数幂
你认为牛顿的这个设想合理吗？
思 考
因为数学家将 aa，aaa，aaaa，···写成 a2，a3，a4，···，所以我将 ， ， ，···写成 a-1，a-2，a-3，···.
如果 am 中的 m 可以是负整数，那么负整数指数幂 am 表示什么？
探究新知
你能使用两种不同的方法计算 a3÷a5 吗？
a3÷a5
= a3 – 5 = a–2
分式的约分
am÷an = am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)
一般地，当n 是正整数时，
这就是说， a–n (a ≠ 0) 是 an 的倒数.　　　
数学中规定：
试说说当 m 分别是正整数、0、负整数时，am 各表示什么意义？
当 m 是正整数时，am 表示 m 个 a 相乘；
当 m 是 0 时，am 即为 a0，值为 1；
当 m 是负整数时，am 即为 a –m 的倒数.
归纳
如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0.
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数.
知识点2 整数指数幂及其运算
引入负整数指数和 0 指数后，正整数指数幂的运算性质能否推广到 m，n 是任意整数的情形？
思 考
① am·an = am+n (m，n是正整数)
② (am)n = amn (m，n是正整数)
③ (ab)n = anbn (n是正整数)
④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n)
⑤ (n是正整数)
例如：
a3·a–5
a–3·a–5
a0·a–5
= a–2
= a3+(–5)
= a–8
= a(–3) +(–5)
= a–5
= a0 +(–5)
am·an = am+n
(1)当m，n分别为正整数和负整数时，
(2)当m，n均为负整数时，
(3)当m，n分别为零和负整数时，
对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
探 究
类似地，用负整数指数幂或 0 指数幂对其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试.
例如：
(a–3)2
= a–6
= a(–3)×2
(ab)–3
= a–3 · a–3
a–2÷a –4
= a2
= a(–2) – (–4)
即，整数指数幂有以下运算性质：
① am·an = am+n (m，n是整数)
② (am)n = amn (m，n是整数)
③ (ab)n = anbn (n是整数)
④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是整数)
⑤ (n是整数)
归纳
例1 计算：(1) a–2÷a5；
(3) (a–1b2)3；
(4) a–2b2·(a2b–2)–3.
解：(1) a–2÷a5
= a–2 – 5
= a–7
(3) (a–1b2)3
= a–3b6
(4) a–2b2·(a2b–2)–3
= a–2b2·a–6b6
= a–8b8
整式指数幂的运算结果一般用正整数指数幂来表示.
由于负整数指数的出现，使得：
方法
am÷an = am·a–n = am–n
除法
乘法
转化
同底数幂的：
商的乘方
积的乘方
转化
于是，整数指数幂的运算性质可以归结为：
(1) am·an = am+n (m，n是整数)
(2) (am)n = amn (m，n是整数)
(3) (ab)n = anbn (n是整数)
1.下列计算正确的是(　　)
A．x2·x3=x6 B．(x-1)2=x2-1
C．(xy2)2=x2y4 D．(﹣)-2=﹣4
2.下列计算正确的是(　　)
A．2a3·a2=2a6 B．
C．(a3+a2+a)÷a=a2＋a D．3a-2=
C
D
链接中考
1.下列计算正确的是( )
A.30=0 B.-|-3|=-3
C.3-1=-3 D.=±3
2.下列计算不正确的是( )
A. B.
C. D.
基础巩固题
B
B
课堂检测
3.若0A.x-1C.x2C
课堂检测
计算:
课堂检测
能力提升题
若 ，试求 的值.
拓广探索题
课堂检测
1. 下列结果正确的是( )
A
A. B.
C. D.
2. 母题教材P162习题 若 有意义，
则 的取值范围是( )
C
A. B.
C. 且 D. 或
返回
3. 计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
4. 若，则 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
5.已知,,，,则,, ,
的大小关系为______________.（用“ ”号连接起来）
【点拨】,,, ,
, .
返回
6.［2025郴州期中］计算：
.
【解】
返回
7. 有下列四个运算结果：； ；
； ，其中正确的结果为( )
C
A. ①② B. ②③
C. ①②③④ D. ①②③
返回
8. 定义一种新的运算：如果 ，则有
,那么 的值是( )
B
A. B. 5 C. D.
【点拨】,
.
返回
课堂小结
负整数指数幂
整数指数幂的运算性质
一般地，当 n 是正整数时，
(1) am·an = am+n (m，n是整数)
(2) (am)n = amn (m，n是整数)
(3) (ab)n = anbn (n是整数)

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