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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.4.2科学记数法第十八章分式18.4.1负整数指数幂同步精讲+习题一、正整数指数幂回顾（前置基础）我们之前学过：$$a^n$$（$$n$$为正整数）表示$$n$$个$$a$$相乘。五大基础运算公式（全部适用于负指数幂）：1.同底数幂相乘：$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$2.同底数幂相除：$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$3.幂的乘方：$$(a^m)^n = a^{mn}$$4.积的乘方：$$(ab)^n = a^nb^n$$5.商的乘方：$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$零指数幂：$$a^0=1\ \ (a\neq0)$$二、负整数指数幂核心定义（必考）1.定义公式任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数。公式：$$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}\ \ (a\neq0，p为正整数)$$重要红线：$$0$$的负指数幂无意义！2.倒数变形口诀（超级好用）指数变号，底数颠倒$$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}，\dfrac{1}{a^{-p}}=a^p$$拓展分式型：$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-p}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^p$$3.基础举例秒懂$$2^{-1}=\dfrac{1}{2^1}=\dfrac{1}{2}$$$$3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$$$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4$$三、指数幂范围扩展整数指数幂包含：正整数指数、零指数、负整数指数所有整数指数幂，均满足之前的5条幂运算公式！四、整数指数幂混合运算（重难点）1.通用解题步骤①先处理负指数：底数取倒数，指数变正数；②套用幂的运算法则计算；③结果绝不留负指数，必须化为正指数形式。2.经典例题精讲例1：计算$$a^2 \cdot a^{-5}$$解：原式$$=a^{2-5}=a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}$$例2：计算$$(2x^{-2}y^3)^{-3}$$解：原式$$=2^{-3}\cdot x^{6}\cdot y^{-9}=\dfrac{1}{8}x^6\cdot \dfrac{1}{y^9}=\dfrac{x^6}{8y^9}$$例3：计算$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$$解：原式$$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$$五、考试高频易错点1.负指数≠负数：负指数是取倒数，不是结果为负； 错误：$$2^{-2}=-4$$ 正确：$$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$$2. 0的负指数幂无意义，绝对不能计算；3.结果必须消去所有负指数，题目默认只接受正指数答案；4.系数与字母指数混淆，系数也要参与负指数运算。六、科学记数法（负指数必考应用）1.表示极小小数小于1的正数：$$a\times10^{-n}$$（$$1\leqslant a<10$$）$$n$$ =小数点后至第一个非0数字前的0的个数2.举例$$0.000025=2.5\times10^{-5}$$七、同步练习题（分层训练）一、选择题1. $$2^{-3}$$的值是（）A. -6 B. -8 C. $$\dfrac{1}{8}$$ D. $$-\dfrac{1}{8}$$2.下列运算正确的是（）A. $$a^{-2}=-a^2$$ B. $$a^0=1$$ C. $$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=-2$$ D. $$a^{-3}=-a^3$$3. $$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$$的结果是（）A. $$\dfrac{9}{16}$$ B. $$\dfrac{16}{9}$$ C. $$-\dfrac{9}{16}$$ D. $$-\dfrac{16}{9}$$二、填空题1.负指数幂公式：$$a^{-p}=$$________（$$a\neq0$$）。2.计算：$$5^{-2}=$$________，$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=$$________。3.用科学记数法表示：$$0.000036=$$________。三、解答题（计算，结果保留正指数）1. $$x^3 \cdot x^{-7}$$2. $$(-3a^{-2}b)^2$$3. $$\left(2x^{-3}y^{-2}\right)^{-2}$$八、参考答案与详细解析一、选择题1. C解析：$$2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$$。2. C解析：A、D负指数不是负数；B缺少$$a\neq0$$条件，不严谨；C正确。3. B解析：倒底数变正指数，$$\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{16}{9}$$。二、填空题1. $$\dfrac{1}{a^p}$$2. $$\dfrac{1}{25}$$，$$3$$3. $$3.6\times10^{-5}$$三、解答题1.解：原式$$=x^{3-7}=x^{-4}=\dfrac{1}{x^4}$$2.解：原式$$=9a^{-4}b^2=\dfrac{9b^2}{a^4}$$3.解：原式$$=2^{-2}x^{6}y^{4}=\dfrac{1}{4}x^6y^4$$九、本节满分总结1.核心口诀：指数变号，底数颠倒，负指数变倒数；2.负指数只改变形式，不改变正负符号；3.所有整数指数幂，通用一套幂运算法则；4.最终结果禁止残留负指数，必须化为正指数分式形式。熟练应用整数指数幂的意义及性质进行综合计算.
了解负整数指数幂在科学记数法中的运用.
通过用科学记数法表示不同数值，感受数学知识体系内部的转化与统一.
复习导入
用科学记数法表示下列各数：
1. 太阳半径约为 696000000 米.
2. 光的速度约为 300000000 m/s.
3. 地球离太阳约为 一亿五千万 千米.
4. 全球已探明的煤炭储量为 1.07万亿 吨.
科学记数法：绝对值大于10的数记成 a×10n 的形式，其中1≤ |a| <10，n 是正整数.
6.96×108
3×108
1.5×108
1.07×1012
思考：下面的数该如何表示？
1. 有些细胞的直径只有一微米，即 0.000001 米.
2. 某种计算机完成一次基本操作运算的时间约为1纳秒，即 0.000000001 秒.
3. 一个氧原子的质量为 0.000 000 000 000 000 000 000 000 02657 kg.
上面这些较小的数能否用科学记数法来表示呢？该如何表示？
a0 = ____(a ≠ 0)， a–n = ____(a ≠ 0，n 是正整数)
探究新知
在整数指数幂中：
1
0.1 =
0.01 =
0.001 = = ；
0.0001 = = .
= 10 – 1
= 10 – 2
探究
10 – 3
10 – 4
根据前面的规律填空：
10 – 1 = ____；10 – 2 = ____； 10 – 3 = ______；
10 – 4 = ______；10 – 5 = _______； 10 – 6 = ________.
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
通过上面的探索，你发现指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？
一般地，10的 – n 次幂，在 1 前面有____个 0.
n
0.003 5 和 0.000 098 2 可以用科学记数法表示吗？
0.000 098 2 = 9.82×0.000 01= 9.82×10 – 5
0.003 5 = 3.5×0.001 = 3.5×10 – 3
1 a < 10
n 为 a 相对于原数小数点向右移动的位数
a×10 – n
绝对值小于1的数可以用科学计数法表示为 a×10 – n 的形式，其中 1 |a| < 10，n 是正整数.
应用：便于比较数的大小和运算
归纳
例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10 – 6，纳对应10 – 9. 微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位，1 μm = 10 – 6 m，1 nm=10 – 9 m.
用科学记数法表示绝对值小于1的数：
确定 a：a 是大于或等于 1 且小于 10 的数
1
3
表示数：将原数用科学计数法表示为 a×10-n
的形式
2
确定 n：
方法
方法1：n 等于原数中左起第一个非 0 数字前 0 的个数（包括小数点前的那个0）
方法2：小数点向右移到第一个非 0 数字后，小数点移动了几位，n 就等于几
对于一个小于 1 的正小数，如果
小数点后至第一个非 0 数字前有 8 个 0，用科学记数法表示这个数时，10 的指数是多少？
思 考
小数点后
– 9
如果有 m 个 0 呢？
– m – 1
例2 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性. 它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为 2~20 nm. 通常一根头发丝的直径约为 70 μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？
纳米技术是一种高新技术，主要是在纳米尺度内探索物质的性质，从而创造新材料.
解：70 μm = __________m，
2 nm = __________m，
20 nm = __________m.
70×10– 6
2×10– 9
20×10– 9
(70×10– 6)÷(2×10– 9) = 3.5×104
(70×10– 6)÷(20×10– 9) = 3.5×103
因此，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的3.5×103 ~ 3.5×104 倍.
1. 填空：
复习巩固
【教材P162习题18.4 第1题】
（1）若(a – 3)– 2 有意义，则 a 的取值范围为_______；
（2）1÷a– 1 = ________； a2·a– 2 = ________；
(–ab– 1) – 2 = ________.
a ≠ 3
a
1
2. 计算：
【教材P162习题18.4 第2题】
3. 计算：
【教材P162习题18.4 第3题】
4. 用科学记数法表示下列数：
【教材P163习题18.4 第4题】
0. 000 01，0. 000 02，0. 000 000 567，0. 000 000 301.
1×10– 5
2×10– 5
5.67×10– 7
3.01×10– 7
综合运用
5. 计算：
（1）(2×10–3)× (5×10–3)；
（2）(3×10–5)2÷(3×10–1)2 .
【教材P163习题18.4 第5题】
解：(1)原式 = (2×5)× (10–3×10–3)
= 10×10–6
= 1×10–5
(2)原式 = 9×10–10÷(9×10–2)
= 1×10–8
6. 计算：
【教材P163习题18.4 第6题】
7. 已知 x + x–1 = 3，求 x2 + x–2 ，x4 + x–4 的值.
拓广探索
【教材P163习题18.4 第7题】
解：因为 x + x–1 = 3，
所以 (x + x–1)2 = x2 + 2 + x– 2 = 9，
所以 x2 + x– 2 = 7.
所以 (x2 + x– 2)2 = x4 + 2 + x– 4 = 49，
所以 x4 + x– 4 = 47.
8. 通常分子的质量和体积都很小，已知 1 个水分子的质量约是 3×10–26 kg，1 滴水（以 20 滴水为 1 g 计）中大约有多少个水分子？假设 10 亿人来数 1 滴水中的水分子，每人每分数 100 个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？
【教材P163习题18.4 第8题】
解：由题意可知，一滴水的质量为 0.05 g = 5×10–5 kg.
(5×10–5)÷(3×10– 26) ≈ 1.67×1021 (个)，
1.67×1021÷(10×108×100) = 1.67×1010(min)
1. 把写成,为整数的形式，则
为( )
D
A. 1 B. C. 0.813 D. 8.13
2. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成
就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占
.将 用科学记数法表示应为
( )
C
A. B.
C. D.
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3. 锂是一种银白色、质软、密度最小的金属，锂原子的半径
为，已知 ，则锂原子的半径用科学记
数法表示为( )
B
A. B.
C. D.
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4. “白日不到处，青春恰自来；苔花如
米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这
首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一
样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所
写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直
径约为，将数据 用科学记数法表示
为，则 的值是( )
D
A. 6 B. C. D.
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5. 2024年6月4日7时38分，备受瞩目的嫦
娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起飞，
并顺利进入预定的环月轨道.这一壮举是世界航天历史上的又
一个里程碑，实现了首次从月球背面采样并起飞.返回器在接
近大气层时，飞行大约需要 .数据
表示的原数为____________.
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6. 已知，，则数， 在数轴上
的位置大致是( )
B
A.
B.
C.
D.
课堂小结
用科学记数法表示绝对值小于1的小数规律：
绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为 a×10 – n 的形式，其中 1 |a| < 10，n 是正整数.

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