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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.5.1分式方程及其解法第十八章分式18.5.1分式方程及其解法同步精讲+习题一、分式方程的定义（基础考点）1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.区分整式方程与分式方程整式方程：分母不含未知数（如：$$2x+1=0$$）分式方程：分母含有未知数（如：$$\dfrac{1}{x+1}=2$$）3.核心判断关键只看分母是否含未知数，和分子是否含未知数无关。二、解分式方程的核心思想转化思想：分式方程→整式方程通过去分母，消去分母，转化为我们熟悉的一元一次/一元二次方程求解。三、解分式方程满分五步模板（必考答题步骤）步骤1：因式分解——能分解的分母先因式分解步骤2：确定最简公分母——找到所有分母的最简公分母步骤3：两边同乘公分母——每一项都要乘，彻底去分母步骤4：解整式方程——求出未知数的值步骤5：必须检验（重中之重）检验方法：将解代入最简公分母①若公分母≠0：解有效，是原分式方程的解；②若公分母=0：解无效，是增根，原方程无解。四、增根（本节最大难点）1.什么是增根？去分母过程中，人为扩大了未知数取值范围，求出的整式方程的根，使原分式方程分母为0，不是原方程的根，叫做增根。2.核心结论分式方程必须检验！！！（不检验直接扣分）整式方程无需检验，分式方程必考检验步骤。五、经典例题精讲（标准答题格式）例题1：基础分式方程（有解）解方程：$$\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{x-1}$$解：最简公分母为$$x(x-1)$$方程两边同乘$$x(x-1)$$得：$$3(x-1)=2x$$$$3x-3=2x$$解得：$$x=3$$检验：当$$x=3$$时，$$x(x-1)\neq0$$∴ $$x=3$$是原分式方程的解。例题2：无解分式方程（含增根）解方程：$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$解：最简公分母$$x-2$$方程两边同乘$$x-2$$：$$1+3(x-2)=x-1$$$$1+3x-6=x-1$$$$3x-5=x-1$$$$2x=4$$解得：$$x=2$$检验：当$$x=2$$时，$$x-2=0$$∴ $$x=2$$是增根，原分式方程无解。六、考试高频易错点（扣分重灾区）1.忘记检验：分式方程不写检验步骤，考试直接扣一半分；2.漏乘常数项：去分母时，整数常数项忘记乘公分母；3.括号缺失：分子是多项式时，去分母不加括号，导致符号错误；4.混淆无解与增根：求出增根后，忘记写“原方程无解”；5.误把整式方程解法套用，忽略分母不能为0的前提。七、同步练习题（分层训练）一、选择题1.下列方程属于分式方程的是（）A. $$\dfrac{x}{2}+1=0$$ B. $$\dfrac{1}{x}+2=3$$ C. $$2x+3=5$$ D. $$\dfrac{x+1}{3}=2$$2.解方程$$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x}$$，解为（）A. $$x=1$$ B. $$x=2$$ C. $$x=-1$$ D.无解3.分式方程$$\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{3}{x}$$的增根是（）A. $$x=0$$ B. $$x=2$$ C. $$x=0或2$$ D.无增根二、填空题1. ________含有未知数的方程叫做分式方程。2.解分式方程最后一步必须________，防止出现增根。3.若$$x=2$$是分式方程$$\dfrac{k}{x+1}=1$$的解，则$$k=$$________。三、解答题（标准解方程题型）1. $$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$$2. $$\dfrac{1}{x-3}+2=\dfrac{4-x}{3-x}$$3. $$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$八、参考答案与详细解析一、选择题1. B解析：只有B选项分母含有未知数，属于分式方程。2. B解析：交叉相乘得$$x=2(x-1)$$，解得$$x=2$$，检验有效。3. B解析：公分母为$$x(x-2)$$，$$x=2$$会使公分母为0，是增根。二、填空题1.分母中2.检验3. $$3$$解析：代入$$x=2$$，$$\dfrac{k}{3}=1$$，得$$k=3$$。三、解答题1.解：最简公分母$$x(x+1)$$$$2(x+1)=3x$$$$2x+2=3x$$解得：$$x=2$$检验：$$x=2$$时，公分母≠0，∴ $$x=2$$是方程的解。2.解：最简公分母$$x-3$$原式变形：$$\dfrac{1}{x-3}+2=\dfrac{x-4}{x-3}$$$$1+2(x-3)=x-4$$$$1+2x-6=x-4$$解得：$$x=1$$检验：$$x=1$$时，公分母≠0，∴ $$x=1$$是方程的解。3.解：最简公分母$$(x-1)(x+2)$$$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$$$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$$$$x+2=3$$解得：$$x=1$$检验：$$x=1$$时，公分母=0，是增根，∴原方程无解。九、本节满分总结1.分式方程判定：分母含未知数；2.解题核心：去分母化整式方程，逐项都要乘；3.绝对准则：分式方程必须检验，不检验不得满分；4.算出使分母为0的根→即为增根→原方程无解。了解分式方程的概念．
会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．
了解解分式方程时解需要进行检验的原因．
情境导入
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？
等量关系
v顺流 = v静水 + v水流
v逆流 = v静水 – v水流
如果设江水的流速为 v km / h：
速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式
顺流
逆流 30 + v
30 – v
90
60
仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？
知识点1 分式方程的概念
探究新知
分母中含未知数的方程叫作分式方程.
这些方程有什么共同特征？
*我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
（1）是方程——含有未知数的等式；
（2）是分式——分母中含有未知数.
提炼
分式方程必须满足的条件：
知识点2 分式方程的解法
如何解方程 ？
思 考
（1）如何把它转化为整式方程？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
整式方程
转化
各个分母的最简公分母
等式的性质2
去分母
方程两边同乘各分母的最简公分母：(30 + v)(30 – v)
得
解得 v = 6
检验：将 v = 6 代入原方程中，左边 = 2.5 = 右边，因此 v=6 是原方程的解.
90(30 – v) = 60(30 + v)
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
结
小
纳
归
解：在方程两边乘最简公分母_____________，
去分母，得 x + 5 = 10
解得 x = 5
(x – 5)(x + 5)
x = 5是①的解吗？
检验：将 x = 5 代入①，分母 x – 5 和 x2 – 25 的值都为 0，相应的分式无意义.
因此 x = 5 虽然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解. 此分式方程无解.
运用“去分母化为整式方程”的方法解方程
探 究
①
②
比较解上面两个分式方程的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
思 考
最简公分母
解
结论
(x – 5)(x + 5)
(30 + v)(30 – v)
x = 5
v = 6
所得整式方程的解不是②的解
所得整式方程的解与①的解相同
回代结果≠0
回代结果= 0
x = 5 是分式方程的增根
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验:
归纳
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
解：方程两边乘 x(x – 3)，得
2x = 3x – 9
解得 x = 9
检验：
当 x = 9时， x(x – 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = 9.
例1 解方程
例2 解方程
解：方程两边乘 (x – 1)(x + 2)，得
x(x + 2) – (x – 1)(x + 2) = 3
解得 x = 1
检验：
当x = 1时，(x – 1)(x + 2) = 0
所以，原分式方程无解.
因此， x = 1不是原分式方程的解.
1.分式方程 的解是（　　）
A．3 B．2 C． D．
D
2.若分式方程 的解为正整数，则整数m的值
为 .
链接中考
解析：方程两边乘x-1，得x=3(x-1)+mx. 解得x=.
∵方程的解为正整数，
∴2+m=1或3.
解得m=-1或m=1(舍去，会使分式无意义)
m=-1
1.若关于x的分式方程 的解为x=2，则m的值
为（　　）
A．5 B．4
C．3 D．2
B
基础巩固题
课堂检测
2.方程的解为（　　）
A．x = –1 B．x = 0
C．x = D．x =
D
课堂检测
解：方程两边乘3x(x-1)，得3x+3–(x–1)=x2+kx，
整理，得x2+(k–2)x–4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程，得–4=0，所以x=0不是分式方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,分式方程有增根x=1.
已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值.
能力提升题
课堂检测
解方程:
拓广探索题
课堂检测
解：方程可化为：
课堂检测
整理，得
解得x = –3.
经检验：x = –3是原方程的解.
1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后
比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造
前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为
( )
B
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
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2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的
投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有
三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；
②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，
剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的
工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③
中被墨水污染的部分应该是( )
A. 甲、乙两队合作了4天
B. 甲队先做了4天
C. 甲队先做了工程的
D. 甲、乙两队合作了工程的
√
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3. 教材P169习题 某物流仓储公司用， 两种型号
的机器人搬运物品，已知型机器人比 型机器人每小时多搬
运，型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运
所用时间相等，则型机器人每小时搬运物品____ .
80
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4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某
校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比
乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包
120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各
包多少个粽子.
【解】设乙组同学平均每小时包 个粽子，则甲组同学平均
每小时包个粽子，根据题意,得 ，解得
.经检验，是原方程的解， .; 答：
甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包
80个粽子.
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5. 已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组
单独工作半天后，乙组加人，两组合作2天后，甲组又单独
工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的
天数比甲组( )
B
A. 少6天 B. 少8天
C. 多3天 D. 多6天
课堂小结
1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2. 分式方程的解法：
分式方程
去分母
整式方程
求解
x = m
x = m 是分式方程的解
目标
最简公分母不为0
检验

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