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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.5.2列分式方程解决实际问题第十八章分式18.5.2列分式方程解决实际问题同步精讲+习题一、核心考点说明列分式方程解应用题是八年级下册期末必考大题、中考高频题型，区别于整式方程应用题，本题型核心特征是：题目出现“时间、速度、工作效率、单价、人均数量”等比值关系，适合用分式方程求解。二、列分式方程解应用题满分六步法（标准答题模板）步骤1：审——审题找等量关系通读题目，找准已知量、未知量，梳理核心数量关系（路程、工程、销售、产量等公式）。步骤2：设——规范设未知数一般问什么设什么，也可设关键基础量；必须带单位，尽量避免间接设元增加计算难度。步骤3：列——根据等量列分式方程利用「差值关系、等量关系、倍数关系」列出规范分式方程。步骤4：解——求解分式方程去分母化为整式方程，规范求解未知数。步骤5：双检验（重中之重，独家考点）①检验是否为分式方程的增根（数学有意义）；②检验是否符合实际题意（实际有意义：人数、速度、时间、数量不能为负数、小数、零）。步骤6：答——完整写答语对应问题作答，单位齐全、语句完整。三、四大必考模型公式（直接套用）1.工程问题（最高频）核心公式：工作效率=工作总量÷工作时间默认工作总量为单位“1”常见关系：快效率-慢效率=效率差；合作效率=各效率之和2.行程问题核心公式：速度=路程÷时间，时间=路程÷速度常考：提速/减速、早到/迟到、顺水/逆水航行时间差问题。3.销售单价问题核心公式：单价=总费用÷数量常考：优惠前后单价差、数量差对比问题。4.产量与人均问题核心公式：人均产量=总产量÷人数常考：增减人数、更换设备导致人均产量变化。四、经典大题精讲（考试原题风格）题型1：工程效率问题（期末必考）题目：一项工程，甲单独完成需要的时间是乙的2倍，若甲乙合作完成需要6天，求甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？解：设乙单独完成需要$$x$$天，则甲单独完成需要$$2x$$天。甲效率：$$\dfrac{1}{2x}$$，乙效率：$$\dfrac{1}{x}$$列方程：$$\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{6}$$去分母，两边同乘$$6x$$：$$3+6=x$$，解得$$x=9$$双检验：$$x=9$$不是增根，且天数为正数，符合题意。则$$2x=18$$答：甲单独完成需要18天，乙单独完成需要9天。题型2：行程时间差问题题目：甲乙两地相距120km，一辆新车速度是旧车的1.5倍，新车走完全程比旧车少用1小时，求旧车速度。解：设旧车速度为$$x\ \mathrm{km/h}$$，则新车速度为$$1.5x\ \mathrm{km/h}$$。旧车时间：$$\dfrac{120}{x}$$，新车时间：$$\dfrac{120}{1.5x}$$列方程：$$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{1.5x}=1$$解得：$$x=40$$检验：符合方程且速度为正，符合实际。答：旧车速度为$$40\ \mathrm{km/h}$$。题型3：销售单价问题题目：用300元购买文具，优惠后单价比原价降低20%，结果多买了5件，求文具原价。解：设文具原价为$$x$$元，优惠后单价$$0.8x$$元。列方程：$$\dfrac{300}{0.8x}-\dfrac{300}{x}=5$$解得：$$x=15$$检验：符合题意。答：文具原价为15元。五、致命易错点（应用题专属扣分点）1.忘记双检验：只检验方程，不检验实际意义（负数速度、负数时间直接舍去）；2.单位遗漏：设未知数、答语不带单位，步骤扣分；3.等量关系写反：谁比谁多、谁比谁少弄反，方程完全错误；4.效率、时间、单价混淆：对应公式用反，本末倒置；5.解出增根后，不会写“该情况不符合题意，舍去”。六、同步真题练习（期末大题难度）1.工程题：甲单独做一项工程比乙多用5天，两人合作6天可以完成，求甲、乙单独完成各需多少天？2.行程题：某地到景区路程180km，新能源汽车速度是燃油车的1.2倍，行驶全程少用0.5小时，求两种车的速度。3.购物题：学校用2000元采购图书，新版图书单价是旧版1.25倍，购买数量比旧版少20本，求旧版图书单价。七、参考答案与详细解析第1题解析解：设乙单独完成需$$x$$天，甲需$$(x+5)$$天。$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{6}$$解得：$$x=10$$（负根舍去）检验：符合题意，甲：15天，乙：10天。答：甲单独完成需15天，乙单独完成需10天。第2题解析解：设燃油车速度$$x\ \mathrm{km/h}$$，新能源速度$$1.2x\ \mathrm{km/h}$$。$$\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{1.2x}=0.5$$解得：$$x=60$$，$$1.2x=72$$答：燃油车速度$$60\ \mathrm{km/h}$$，新能源汽车速度$$72\ \mathrm{km/h}$$。第3题解析解：设旧版单价$$x$$元，新版$$1.25x$$元。$$\dfrac{2000}{x}-\dfrac{2000}{1.25x}=20$$解得：$$x=20$$答：旧版图书单价为20元。八、本节满分总结（必背）1.分式方程应用题核心：比值类问题用分式，和差倍比用整式；2.解题流程：审→设→列→解→双检验→答；3.检验两条线：方程有意义+生活实际有意义；4.四大模型认准公式：工程看效率、行程看时间、购物看单价、产量看人均。能找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.
会解含有字母系数的分式方程.
知道列方程解应用题为什么必须检验，掌握解题的基本步骤和要求.
探究新知
你能说出实际应用中存在哪些常见的数量关系吗？
行程问题
路程 = 速度×时间
工作量=工作效率×工作时间，
合作效率=各自单独完成任务的效率和.
工程问题
利润 = 售价 – 进价，利润 = 进价×利润率，
销售额 = 销售量×单价.
销售问题
例 3　两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
探究1 工程问题
甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1”
问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
工作时间/月 工作效率 工作总量
甲队
乙队
设乙队单独完成这项工程需要 x 月.
甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一
两队又共同工作了半个月
甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1”
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得
方程两边乘 6x，得
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，6x ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x = 1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.
注意：分式方程的解需要检验
2x + x + 3 = 6x.
分析：甲队1个月完成总工程的____，
那么甲队半个月完成总工程的____，
设乙队的单独施工1个月能完成总工程____，
乙队半个月完成总工程____，
两队半个月完成总工程的________.
思考
本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作量 + 两队合作完成的工作量 =“1”
工程问题中的基本关系：
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1
常从工作量和工作时间上考虑相等关系.
工作总量 = 工作效率×工作时间
合作效率 = 各自单独完成任务的效率和
总工作量 = 各部分工作量之和
归纳
某工程队准备修建一条长 3000 m 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 25%，结果提前 2 天完成任务，原计划每天修建盲道多少米？
练习
等量关系：原计划用时 – 实际用时 = 2 天
工作量/m 效率/(m/天) 工作时间/天
原计划
实际
提前 2 天完成任务
修建一条长 3000 m 的盲道
实际每天修建盲道的长度比原计划增加 25%
3000
3000
x
(1 + 25%)x
设原计划每天修建盲道 x m.
原计划用时 – 实际用时 = 2 天
解：设原计划每天修建盲道 x m. 依题意，得
方程两边乘 1.25x，得
解得 x = 300.
检验：当 x = 300 时，1.25x ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x = 300.
答：原计划每天修建盲道 300 m.
3750 – 3000 = 2.5x.
探究2 行程问题
这里的字母 v，s 表示已知数据
例4 某次列车平均提速 v km/h. 在相同的时间内，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量)
时间/m 速度/(km/h) 路程/km
提速前
提速后
列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km
平均提速 v km/h
s
s + 50
x
v + x
设提速前列车的平均速度为 x km/h
等量关系
解：设提速前这次列车的平均速度为 x km/h，
则提速前它行驶 s km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 (x + v) km/h，提速后它行驶 (s + 50) km 所用时间为 h.
方程两边乘 x(x + v) ，得
解得 x =
s(x + v) = x(s + 50).
根据行驶时间的相等关系，得
检验：当 x = 时， x(x + v) ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x =
答：提速前列车的平均速度为 km/h．　
用字母表示已知数据的形式，在分析问题寻找规律时经常出现. 其中根据 v，s 所表示的实际意义可知，它们是正数.
某自行车行经营的某款自行车去年销售总额为8万元，今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元. 若该款自行车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少 10%. 去年该款自行车每辆售价为多少元？
探究3 销售问题
设去年该款自行车每辆售价为 x 元
售价/元 销量/辆 销售额/元
去年
今年
今年的销售总额将比去年减少 10%
80000
80000×(1 – 10%)
x
x – 200
去年销售总额为 8 万元
今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元
该款自行车的销售数量与去年相同
等量关系
解：设去年该款自行车每辆售价为 x 元，则今年该款自行车每辆售价为 (x – 200) 元.
方程两边乘 x(x – 200)，得
解得 x = 2000.
检验：当 x = 2000 时， x(x – 200) ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x = 2000.
答：去年该款自行车每辆售价为 2000 元.
80000(x – 200) = 80000x(1 – 10%).
根据题意，得
1. 解下列方程：
复习巩固
【教材P169习题18.5 第1题】
解：(1)方程两边乘 x(x + 3)，得
x + 3 = 5x
解得 x =
检验：
当 x = 时， x(x + 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
解：(2)方程两边乘 2(x – 1)，得
2x = 3 – 4(x – 1)
解得 x =
检验：
当 x = 时， 2(x – 1) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
解：(3)方程两边乘 (2x + 1)(2x – 1) ，得
2(2x + 1) = 4
解得 x =
检验：
当 x = 时， (2x + 1)(2x – 1) = 0，
所以，原分式方程无解.
解：(4)方程两边乘 x(x + 2)(x – 2) ，得
3(x – 2) – (x + 2) = 0
解得 x = 4
检验：
当 x = 4 时， x(x + 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = 4.
解：(5)方程两边乘 (x – 1)(x – 3)，得
x(x – 1) = (x + 1)(x – 3)
解得 x = – 3
检验：
当 x = – 3 时， (x – 1)(x – 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = – 3.
解：(6)方程两边乘 (x – 2)，得
x – 3 + x – 2 = – 3
解得 x = 1
检验：
当 x = 1 时， x – 2 ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = 1.
解：(7)方程两边乘 6x(x + 1)，得
6(2x + 1) = 5x
解得 x =
检验：
当 x = 时， 6x(x + 1) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
解：(8)方程两边乘 2(3x – 1)，得
3(3x – 1) – 2 = 5
解得 x =
检验：
当 x = 时， 2(3x – 1) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = .
1. 一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺
流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所
用时间相等，则江水的流速为( )
D
A. B.
C. D.
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2.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相
关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最
高时速运行时相应所用的时间比约少 ，那么区间设
计最高时速 _____ .
区间段 区间近似里 程 区间设计最高时 速 相应所用时间
48
88
320
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3.某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知
地到地的路程为，乘坐型车比乘坐 型车少用2小
时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求 型车
的平均速度.
【解】设型车的平均速度是，则 型车的平均速度
是 ，
根据题意,得，解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
答：型车的平均速度是 .
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4. “行人守法，安全过街”不仅体现了对生命的尊重，
也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度. 如图，某森林公
园路口的斑马线为横穿双向行驶车道，其中 ，
在绿灯亮时，小官共用通过路段，其中通过 路段时的速度是
通过路段时速度的1.6倍，则小官通过 路段时的速度是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】设小官通过路段时的速度是，则通过 路
段时的速度是，依题意，得 ，解得
，经检验，是原方程的解，且符合题意， 小官
通过路段时的速度是 .
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列分式方程解决实际问题的一般步骤：
课堂小结
①审
②找
③设
④列
⑤解
⑥验
⑦答
审已知和未知
找等量关系
设未知数
列方程
解方程
验证是否符合实际意义
作答
验证是否为分式方程的解

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