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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末小结第十七章因式分解第十七章因式分解全章超级总结（完整版）【前置核心概念】因式分解定义因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。必考区分整式乘法：积→和差（展开、变多）因式分解：和差→积（收拢、变少）终极铁律：因式分解必须分解彻底，直到不能再分解为止！【全章万能解题顺序（必背）】第一步：提公因式（提干净、提彻底）第二步：套公式两项→平方差公式三项→完全平方公式第三步：复查（有无剩余公因式、能否二次分解）17.1提取公因式法（全小节汇总）17.1.1简单提公因式1.找公因式三步法系数：取最大公约数字母：取全部都有的相同字母指数：取字母的最低次幂2.基础公式$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$3.基础易错点某项全部提完，剩余是1，不能空；只提公共部分，独有部分保留在括号内。17.1.2稍复杂提公因式（进阶核心）1.符号变形口诀（超级重要）奇次变号，偶次不变$$a-b=-(b-a)$$$$(a-b)^2=(b-a)^2$$$$(a-b)^3=-(b-a)^3$$2.复杂题型①整体公因式：把括号看作一个字母直接提取②相反数变形：先统一结构，再提公因式③四项分组分解：两两分组→分组提公→整体再提公3.高阶易错平方永远正：$$(a-b)^2$$不用变号分组必须合理，保证两组分解后出现相同公因式17.2公式法分解因式（全小节汇总）17.2.1平方差公式（两项专用）1.公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$2.适用三条件（缺一不可）①只有两项②两项一正一负（异号）③两项都能写成平方形式3.常见模型普通型：$$x^2-25=(x+5)(x-5)$$系数型：$$4x^2-9y^2=(2x+3y)(2x-3y)$$整体型：$$(x+2)^2-16=(x+6)(x-2)$$17.2.2完全平方公式（三项专用）1.两大公式$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$2.判定三条件①一共三项②首尾两项是正的平方项③中间项= 2×首底×尾底（可正可负）3.口诀首平方，尾平方，首尾两倍放中央4.必考坑点首尾为负 不是完全平方式中间没有2倍 不能套公式17.2.3综合运用（本章压轴）所有难题统一套路：先提干净公因式→再看项数套公式→复查彻底三大综合模型1.提公因式+平方差（两项残留）例：$$2x^2-50=2(x+5)(x-5)$$2.提公因式+完全平方（三项残留）例：$$3x^2-12x+12=3(x-2)^2$$3.多次分解（二次、三次分解）例：$$x^4-16=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$【全章公式一页背完】1.提公因式：$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$2.平方差：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$3.完全平方和：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$4.完全平方差：$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$【全章满分避坑清单（考试90%扣分点）】1.不先提公因式，直接套公式→分解不彻底必扣分2.平方差看错：两项同号不能分解3.完全平方漏2ab、看错首尾符号4.相反数括号乱变号：偶次不变，奇次才变5.高次式子分解一次就停，没有二次分解6.结果不是纯乘积形式（还有加减号就是错）【全章标准解题模板（直接照着写）】模板1：普通综合题原式=提取公因式=判断两项/三项套用公式=化简、整理符号、分解到底模板2：首项为负题型原式= (括号内变号)=提公因式/套公式=最终最简乘积模板3：整体换元题型把括号整体看作a，套平方差/完全平方，最后展开化简第十七章因式分解综合测试题一、填空题1. $$6x^2-12x=$$________2. $$4-x^2=$$________3. $$x^2-14x+49=$$________4. $$3a^2-27=$$________5. $$-x^2+2x-1=$$________二、解答题（全章必考综合题型）1. $$5x^3-5x$$2. $$4a^2-16ab+16b^2$$3. $$(x-1)^2-4$$4. $$x^2-y^2+2y-1$$5. $$2m^2-8(m-n)^2$$参考答案一、填空题1. $$6x(x-2)$$2. $$(2+x)(2-x)$$3. $$(x-7)^2$$4. $$3(a+3)(a-3)$$5. $$-(x-1)^2$$二、解答题1.解：原式$$=5x(x^2-1)=5x(x+1)(x-1)$$2.解：原式$$=4(a^2-4ab+4b^2)=4(a-2b)^2$$3.解：原式$$=(x-1+2)(x-1-2)=(x+1)(x-3)$$4.解：原式$$=x^2-(y^2-2y+1)=x^2-(y-1)^2=(x+y-1)(x-y+1)$$5.解：原式$$=2\left[m^2-4(m-n)^2\right]=2\left[m+2(m-n)\right]\left[m-2(m-n)\right]=2(3m-2n)(2n-m)$$知识结构
整式的乘法
因式分解
公式法
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
特殊形式
相反变形
提公因式法
相反变形
具体方法
知识回顾
概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________.
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
因式分解
乘积
分解因式
知识点一 因式分解
注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
知识点二 提公因式法
公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式.
确定公因式：①定______，②定______，③定______.
提公因式：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.
系数
字母
指数
知识点三 公式法
十字相乘法：
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
综合运用多种方法分解因式
复习巩固
分解因式（第1~3题）.
1.（1）15a3 + 10a2； （2）12abc – 3bc2；
（3）6p(p + q) – 4q(p + q)；（4）m(a – 3) + 2(3 – a).
【教材P136复习题17 第1题】
解：(1) 原式 = 5a2(3a + 2)
(2) 原式 = 3bc(4a – c)
(3) 原式 = (6p – 4q)(p + q)
= 2(3p – 2q)(p + q)
(4) 原式 = m(a – 3) – 2(a – 3)
= (m – 2)(a – 3)
2.（1）1 – 36b2； （2）12x2 – 3y2；
（3）0.49p2 – 144；（4）(2x + y)2 – (x + 2y)2 .
解：(1) 原式 = (1 + 6b)(1 – 6b)
(2) 原式 = 3(4x2 – y2)
(3) 原式 = (0.7p + 12)(0.7p – 12)
(4) 原式 = [(2x + y) + (x + 2y)][(2x + y) – (x + 2y)]
= 3(2x + y)(2x – y)
= (3x + 3y)(x – y)
【教材P136复习题17 第2题】
= 3(x + y)(x – y)
3.（1）1 + 10t2 + 25t2；（2）m2 – 14m + 49；
解：(1) 原式 = (5t + 1)2
(2) 原式 = (m – 7)2
【教材P136复习题17 第3题】
（4）25a2 – 80a + 64；
(4) 原式 = (5a – 8)2
（5）(m + n)2 – 4m(m + n) + 4m2 ；
（6）a2 + 2a(b + c) + (b + c)2 .
(5) 原式 = (m + n – 2m)2
(6) 原式 = (a + b + c)2
= (n – m)2
综合运用
4. 利用因式分解计算：
（1）21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14；
（2）7582 – 2582 .
解：(1) 原式 = 3.14×(21 + 62 + 17)
= 314
= 3.14×100
(2) 原式 = (758 + 258)(758 – 258)
= 1016×500
= 508000
【教材P136复习题17 第4题】
5. 分解因式：
（1）3ax2 – 3ay2；（2）4xy2 – 4x2y – y3 .
【教材P136复习题17 第5题】
解：(1) 原式 = 3a(x2 – y2)
(2) 原式 = – y(4x2 – 4xy + y2)
= – y(2x – y)2
= 3a(x + y)(x – y)
6. 如图，在半径为 R 的圆形钢板上，挖去半
径为 r 的四个小圆，计算当 R = 5.6 cm，r = 1.2 cm 时剩余部分的面积（π取3.14）.
解：S剩余部分 = πR2 – 4πr2
= π(R2 – 4r2)
【教材P132复习题17第6题】
= π(R + 2r)(R – 2r)
当 R = 5.6 cm，r = 1.2 cm 时，
S剩余部分 = 3.14×(5.6 + 2×1.2)(5.6 – 2×1.2)
= 3.14×8×3.2
= 80.384（cm2）
【核心考点整合】
考点1 因式分解的定义
1. ［2025上海黄浦区期中］下列等式中，从左向右的变形为
因式分解的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
2. 已知多项式因式分解的结果为 ，
则 的值为( )
A
A. B. C. 2 D. 4
返回
考点2 用提公因式法和公式法分解因式
3. 多项式；； ；
.在分解因式后，结果含有相同因式的是
( )
A
A. ①④ B. ①②
C. ③④ D. ②③
返回
4. 下列因式分解正确的是( )
A.
B.
C.
D.
C
返回
5.因式分解：
（1） _____________;
（2） _____________________;
（3） ___________.
返回
6. 教材P136复习题 因式分解：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回

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