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人教版数学八年级上册培优精做课件
授课教师： .
班 级： 8年级（ ）班 .
时 间： .

章末复习
第十五章 轴对称
第十五章 轴对称 全章复习资料+综合练习题
一、全章核心知识清单（必背）
15.1 轴对称与线段垂直平分线
1. 轴对称图形 vs 两个图形关于直线对称
轴对称图形：一个图形沿直线折叠，两旁部分完全重合。
两个图形对称：两个图形沿直线折叠能够完全重合。
核心性质：对称轴是所有对应点连线的垂直平分线；对应边相等、对应角相等。
2. 线段垂直平分线的性质与判定（高频考点）
性质：线段垂直平分线上的点 → 到线段两端点距离相等（由线推边等）。
判定：到线段两端点距离相等的点 → 在这条线段的垂直平分线上（由边等推线）。
3. 尺规作图
作对称轴：找一组对应点 → 连线 → 作垂直平分线。
画轴对称图形：找点→作垂线→截等距→顺次连线。
15.2 坐标平面中的轴对称
点 $$(x,y)$$ 关于x轴对称：$$(x,-y)$$（x不变，y变号）
点 $$(x,y)$$ 关于y轴对称：$$(-x,y)$$（y不变，x变号）
轴对称变换：只改变位置，不改变图形形状、大小，变换前后图形全等。
15.3 等腰三角形与等边三角形
1. 等腰三角形性质
① 等边对等角；② 三线合一（顶角平分线、底边上中线、底边上的高重合）。
2. 等腰三角形判定
等角对等边（同一三角形内，两角相等→对边相等）。
3. 等边三角形性质与判定
性质：三边相等，三角均为60°，3条对称轴，具备三线合一。
判定：①三边相等；②三角相等；③有一个角是60°的等腰三角形。
4. 含30°角的直角三角形性质（重难点）
在Rt△中，30°角所对的直角边 = 斜边的一半。
推论：Rt△中，一条直角边等于斜边一半，则该边所对锐角为30°。
二、全章易错点汇总（必考避坑）
1. 对称轴是直线，不是线段、射线（高线、中线、角平分线是线段，不能叫对称轴）。
2. 三线合一只用于等腰三角形底边、顶角，腰不适用。
3. 等角对等边、等边对等角仅限同一个三角形。
4. 30°直角三角形定理必须在直角三角形中使用，且找准30°对的短直角边。
5. 等腰三角形角度计算必须分类讨论（锐角可顶可底，钝角只能是顶角）。
三、第十五章 综合练习题
（一）选择题（每题4分，共20分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（）
A. 平行四边形 B. 任意三角形 C. 等腰三角形 D. 梯形
2. 点M(-2,3)关于x轴对称的点的坐标是（）
A. (-2,-3) B. (2,3) C. (2,-3) D. (-3,2)
3. 下列说法正确的是（）
A. 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等
B. 到线段两端距离相等的点一定在对称轴左侧
C. 直角三角形都有30°角
D. 等腰三角形一定是等边三角形
4. 等腰三角形一个内角为60°，则该三角形是（）
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB=10，则AC长为（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
（二）填空题（每题4分，共20分）
1. 轴对称图形的对称轴是对应点连线的________。
2. 等腰三角形的性质：等边对等角、________。
3. 点(4,-5)关于y轴对称的点坐标为________。
4. 等边三角形有________条对称轴，每个内角为________°。
5. Rt△中30°角所对直角边为7，则斜边为________。
（三）解答题（共60分）
1.（20分）已知：点P在AB的垂直平分线上，求证：PA=PB。
2.（20分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，求△ABC的顶角的度数。
3.（20分）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=9，求斜边AB的长。
四、参考答案与解析
（一）选择题
1. C 解析：等腰三角形为轴对称图形，其余选项图形不一定轴对称。
2. A 解析：x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号。
3. A 解析：线段垂直平分线核心性质，其余选项表述均错误。
4. B 解析：含60°角的等腰三角形是等边三角形。
5. C 解析：30°角对直角边等于斜边一半，AC=?AB=5。
（二）填空题
1. 垂直平分线 2. 三线合一 3. (-4,-5) 4. 3、60 5. 14
（三）解答题
1. 证明：∵点P在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，∴PA=PB。
2. 解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°。根据三角形内角和180°，顶角∠BAC=180°-70°-70°=40°。
3. 解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC为30°角所对直角边。根据含30°角直角三角形性质，BC=?AB，∴AB=2BC=18。
知识结构
相等
垂直平分
纵
互为相反数
?????????
?
等腰
一半
知识框架
生活中的轴对称
轴对称
等腰三角形
等边三角形
作对称轴
画轴对称的图形
关于坐标轴对称的点的坐标的关系
知识梳理
知识点1 轴对称的概念与性质
1. 轴对称：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够__________，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的________. 折叠后重合的点是对应点，叫作________.
互相重合
对称轴
注意：对称轴要用_____线表示.
虚
对称点
2. 成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这条直线__________.
重合
成轴对称
知识点1 轴对称的概念与性质
3. 轴对称与成轴对称：
{D7AC3CCA-C797-4891-BE02-D94E43425B78}
区别
联系
轴对称图形
一个图形本身的特性
对称点在
同一个图形上
两个图形成轴对称
两个图形的位置关系
对称点分别在两个图形上
轴对称图形
两个图形关于 对称轴成轴对称
对称部分看成两个图形
看成一个整体
4. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴 ________.
垂直平分
知识点2 互逆命题与互逆定理
1. 互逆命题：两个命题的题设、结论正好______.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的________.
相反
逆命题
2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是________，那么它也是一个定理，这两个定理叫作________，其中一个定理叫作另一个定理的______.
真命题
注意：原命题成立时，它的逆命题_________________________.
可能成立，也可能不成立
互逆定理
逆定理
知识点3 线段的垂直平分线
1. 定义：经过线段______并且______于这条线段的______，叫作这条线段的垂直平分线.
中点
垂直
直线
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
相等
3. 判定：与线段两个端点__________的点在这条线段的垂直平分线上.
距离相等
知识点3 线段的垂直平分线
4. 作法：
A
B
(1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；
(2) 作直线 CD.
CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
C
D
也可以用这种方法确定线段的中点
中点
知识点3 线段的垂直平分线
5. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线：
A
B
C
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E；
E
D
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F；
(3)作直线 CF.
F
知识点4 与轴对称有关的作图
1. 作对称轴：找出图形中的任意一对________后连接，作出所连线段的____________，该直线即成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴.
对称点
垂直平分线
2. 画轴对称的图形：画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的_______，按顺序连接这些_______，就可以得到与原图形成轴对称的图形.
对称点
对称点
知识点4 与轴对称有关的作图
3. 用坐标表示轴对称：
点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)；
x –y
–x y
点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___).
知识点5 等腰三角形的性质和判定
1. 性质：
等腰三角形的两个_____相等——“__________”；
等腰三角形底边上的______、 ____及__________重合 ——“__________”.
底角
等边对等角
中线
三线合一
高
顶角平分线
2. 判定：有____________的三角形是等腰三角形
——“____________”.
两个角相等
等角对等边
知识点6 等边三角形的性质和判定
1. 性质：等边三角形的三个内角都_____，并且每一个角都等于______.
相等
60°
2. 判定：______________的三角形是等边三角形；
有______________的等腰三角形是等边三角形.
三个角都相等
一个角是60°
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于______ ，那么它所对的直角边等于斜边的_______.
30°
一半
【核心考点整合】
考点1 轴对称图形
1. 2024年10月30日凌晨4点27分，神舟
十九号发射圆满成功.“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、
“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦
想的乐章.下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形
的是( )
A. B.
C. D.
√
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2.如图，△????????????和△????????????都是△???????????? 的轴对称图形，对称轴
分别是直线????????，????????，若????????⊥????????，则∠????????????=____?? .
?
45
【点拨】如图.
∵△????????????和△????????????都是△???????????? 的轴对称图
形，∴∠????????????=12∠???????????? ，
∠????????????=12∠????????????.∵????????⊥???????? ，
?
∴∠????????????=90? .在△???????????? 中，
∠????????????+∠????????????+∠????????????=180? ，
?
∴∠????????????+∠????????????=90? ，
∴∠????????????+∠????????????=45? .
∴∠????????????=180??45?=135? .由对称的
性质可得
∠????????????=∠????????????=∠????????????=135? ，
∴∠????????????=135?×3?360?=45? .
?
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考点2 坐标系中的轴对称
3. 在平面直角坐标系????????????中，点????与点????1关于????轴对称，点????
与点????2关于????轴对称.已知????1(1,2)，则点????2 的坐标是( )
?
D
A. (?2,1) B. (?2,?1) C. (?1,2) D. (?1,?2)
?
【点拨】∵ 点????与点????1关于????轴对称，点????1的坐标为(1,2),∴
点????的坐标为(1,?2).∵ 点????与点????2关于????轴对称，∴ 点????2 的
坐标为(?1,?2) .
?
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4. ［2025长沙开福区期中］圆周率π 是精确计算圆周长、圆
面积、球体积的关键值.如图，在平面直角坐标系中，对π 进
行循环往复的轴对称变换.若π 第一笔画上有一点???? ，其坐标
为(????,????)，则经过第2 025次变换后所得的点???? 的坐标是
( )
?
C
A. (????,????) B. (?????,????) C. (????,?????) D. (?????,?????)
?
【点拨】∵ 点????第1次变换后在第四象限，点???? 第2次变换后在
第三象限，点????第3次变换后在第二象限，点???? 第4次变换后在
第一象限，即点????回到原始位置，∴ 每4次变换为一个循环组，
依次循环.∵2?025÷4=506??1，∴ 经过第2 025次变换
后所得的点???? 与第1次变换后的位置相同，在第四象限，坐标
为(????,?????) ，
?
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考点3 线段垂直平分线
（第5题）
5. 母题教材P70习题T4 如图，在△???????????? 中，
????????的垂直平分线与????????交于点????，与???????? 交于点
????，????????=6，????????=2，则???????? 的长度为( )
?
B
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
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（第6题）
6.如图，在△????????????中，????????=???????? ，尺规作图：
（1）分别以????，????为圆心，???????? 长为半径作弧，
两弧交于点????；（2）作射线????????，连接???????? ，
???????? .则下列结论中正确的有________.（填序号）
?
①②③
①∠????????????=∠???????????? ；
?
②△???????????? 是等边三角形；
?
③????????垂直平分???????? ；
④????四边形????????????????=????????????????? .

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