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专题01【二次根式】期末专项突破讲义（17大核心题型精析+实战练习）2026学年人教版数学八年级下学期
核心题型◆归纳
题型1.二次根式有意义的条件 题型2.求简单二次根式的值
题型3.同类二次根式辨析判断 题型4.最简二次根式的判断
题型5.二次根式简单大小比较 题型6.求二次根式中的参数
题型7.利用二次根式的性质化简 题型8.二次根式的乘法、除法运算
题型9.化为最简二次根式 题型10.二次根式的加减运算
题型11.分母有理化 题型12.已知最简二次根式求参数
题型13.二次根式的混合运算 题型14.已知字母的值，化简求值
题型15.已知条件式，化简求值 题型16.复合二次根式的化简
题型17.二次根式的实际应用题
重点知识◆梳理
知识点01、二次根式的概念
定义：形如形如（其中a≥0）的式子叫做二次根式，a为被开方数。
二次根式有意义前提：被开方数非负，即a≥0，若含分式，需同时满足分母≠0。
双重非负性： ≥0，a≥0.
常考模型：若干非负数之和为0，则每个非负数都为0
即 +|b|+=0 a=0，b=0，c=0
知识点02、 二次根式的核心性质
=a.（a≥0），
2.=｜a｜=；先定符号，再去绝对值.
3.=·(a≥0,b≥0)，根式乘法化简.
=(a≥0,b>0)，根式除法化简.
知识点03、最简二次根式
同时满足2个条件：
① 被开方数不含分母；
② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
知识点04同类二次根式
二次根式化为最简形式后，被开方数相同；只有同类二次根式可直接合并。
知识点05.二次根式运算
（1）乘法
·= (a≥0,b≥0)
（2）除法
= (a≥0,b>0)
分母有理化：=
（3）加减运算
先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。
（4）混合运算
运算顺序同整式，可运用平方差、完全平方公式简化计算。
知识点06拓展压轴知识点
大小比较：平方法、作差法、分母有理化法；
化简求值：直接代入、整体代入、配方变形；
综合应用：几何边长计算、实际问题建模。
题型解析◆精准备考
题型1.二次根式有意义的条件
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义．
∴被开方数满足．
解得．
2．已知，则 _________
【答案】8
【分析】根据二次根式有意义的条件求出的值，再进行计算即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
代入得，
∴ .
3．若二次根式和都有意义，求x的取值范围．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，再解一元一次不等式组即可得出结果．
【详解】解：∵二次根式和都有意义，
∴，
解得．
题型2.求简单二次根式的值
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．当时，二次根式_____．
【答案】
【分析】将已知的值代入二次根式，根据二次根式的性质化简计算即可得到结果．
【详解】解：把代入中，得，
故答案为：．
3．（1）计算：；
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查含乘方的实数混合运算和解二元一次方程组，
（1）根据运算法则先计算绝对值、乘方、化简二次根式和开立方，再进行加减运算即可；
（2）利用加减消元法计算即可．
【详解】解：（1）
；
题型3.同类二次根式辨析判断
1．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式（可合并二次根式）的定义，先化简，再根据同类二次根式的定义求的最小正整数值即可．
【详解】解：∵，与可以合并，
∴正整数的最小值是．
2．若最简二次根式与可以合并，则的值是______．
【答案】
【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果．
【详解】解：最简二次根式与可以合并，
与是同类二次根式，
∴，
解得：，
将代入得：
．
3．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“12相关代数式”，则______；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用二次根式的除法进行计算；
（2）利用二次根式的乘法法则以及有理数的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，；
（2）解：∵M与N是互为“t相关代数式”，
∴，
整理得，，
∵t是有理数，
∴，，
解得，．
题型4.最简二次根式的判断
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是三次根式，不是二次根式，故A不符合题意；
B．是二次根式，被开方数3不含分母，也不含能开得尽方的因数，故B符合题意；
C．的被开方数含有分母，故C不符合题意；
D．，被开方数含有分母，故D不符合题意．
2．在二次根式，，，中，最简二次根式是________．
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键．
【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式，
故答案为：．
3．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)不是最简二次根式，化简为
(2)不是最简二次根式，化简为
(3)不是最简二次根式，化简为
【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．
（1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简；
（2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简；
（3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简．
【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4，
不是最简二次根式，则不是最简二次根式．
．
（2）被开方数中含有分母，
不是最简二次根式．
．
（3）被开方数中含有分母，
不是最简二次根式．
．
题型5.二次根式简单大小比较
1．比较：（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的大小比较；比较两个根式的大小，可以通过平方后比较或调整根式结构的方法．
【详解】解：要比较和的大小，可对两数分别平方：
由于，根据正数平方后的大小关系与原数一致，可得．
故选：B．
2．比较下列两个数的大小：____________．
【答案】
【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大．
【详解】解：分别对两个数进行平方：
；
．
∵，且两个数都是正数，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较．
3．阅读材料，解答问题：
材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式；
材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化．
问题：
(1)①的一个有理化因式是_____；
②的一个有理化因式是______；
(2)计算：；
(3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由．
【答案】(1)①；②（答案不唯一）
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果；
（2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果；
（3）先求出、的值，再比较它们的大小即可．
【详解】（1）解：，
∴①的一个有理化因式是；
②的一个有理化因式是（答案不唯一）；
（2）解：原式
；
（3）解：，理由如下：
，
同理：，
∵，
∴．
题型6.求二次根式中的参数
1．已知是整数，则自然数m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了求二次根式中的参数．
由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可．
【详解】设（为非负整数），
则，
即，
∵为自然数，
∴，
即，
完全平方数的可能值为，对应，
当时，（不在选项中）；
当时，（不在选项中）；
当时，（不在选项中）；
当时，（对应选项B）；
故选B．
2．若是整数，则满足条件的自然数的值为___ ．
【答案】0，7，12，15，16
【详解】解：有意义，
，即，
是整数，
或或或或，
解得，或或或或
故答案为：0，7，12，15，16．
3．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值．
【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据二次根式的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵n是自然数， 是整数，
∴，，且是平方数，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38．
题型7.利用二次根式的性质化简
1．估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间
C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】D
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴的值应在6和7之间．
2．______．
【答案】2
【分析】本题考查有理数乘方运算与算术平方根的定义，解题思路为先计算乘方，再根据算术平方根的定义化简求出结果．
【详解】解：．
3．计算：．
【答案】
【详解】解：原式
题型8.二次根式的乘法、除法运算
1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积．
【详解】矩形的长为 ，面积为 ，
矩形的宽为 ，
，，，
，
正方形的最大边长为矩形的宽 ，
正方形的最大面积为 ，
故选：C．
2．计算：的值为______．
【答案】1
【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：
．
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型9.化为最简二次根式
1．下面各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可．
【详解】A、，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、=，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项符合题意．
2．已知，则的值为_________．
【答案】
【分析】根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果.
【详解】解：∵，
∴，
即：，
解得：，
∴ ．
3．化简下列二次根式：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
题型10.二次根式的加减运算
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的化简，加减，乘法法则，逐一判断选项正误．
【详解】解：选项A：，故A错误；
选项B：与不是同类二次根式，不能直接合并得到B错误；
选项C：根据二次根式乘法法则，，故C正确.
选项D：与不是同类二次根式，不能直接合并得到，故D错误．
2．_______．
【答案】
【分析】先化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可.
【详解】解：原式，
.
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式；
解：原式．
题型11.分母有理化
1．下列各数中，与互为倒数的是（ ）
A． B．2 C．5 D．
【答案】A
【分析】根据倒数定义得到所求表达式，再利用平方差公式化简即可得到结果．
【详解】解：乘积为的两个数互为倒数，
设的倒数为，
，
对表达式分母有理化，将分子分母同乘，
得 ．
2．计算的值是__________．
【答案】
【分析】先将原式中各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果．
【详解】解：
．
3．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
请结合上述材料，解决如下问题：
(1)计算：；
(2)已知是正整数，，，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分母有理化计算即可；
（2）将 代入 ，求解即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：
，
，
∴ ，
，
将 代入 ，
可得：
化简可得：
移项可得：
解得：
题型12.已知最简二次根式求参数
1．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是．
2．若最简二次根式和乘积是有理数，则______．
【答案】1
【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．
将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：，
最简二次根式和乘积是有理数，
，
解得：，
故答案为：
3．已知最简二次根式与能合并，求m的值．
【答案】
【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数相同，据此列方程求解即可
【详解】解：∵最简二次根式与能合并，
∴，且，
解得：，
此时且，且为最简二次根式，
∴符合题意．
题型13.二次根式的混合运算
1．估计的值应在（ ）之间
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
【答案】B
【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可确定原式的范围．
【详解】
；
∵，
又∵，
∴，
即．
∴，
即．
∴原式的值在4和5之间．
2．计算：_____．
【答案】2
【详解】解：．
3．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可；
（2）根据平方差公式和零指数幂的运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
题型14.已知字母的值，化简求值
1．若，则代数式的值为（ ）
A．2030 B．2022 C．2026 D．2018
【答案】D
【分析】先求出，再把所求式子变形为，据此代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
2．已知：，代数式的值为________
【答案】/
【分析】把所求式子变形为，进一步变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
．
3．已知：，，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的运算与乘法公式，先计算出，和的值，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子变形，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，．
∴．
（2）解：，由完全平方公式可得：．
（3）解：，由平方差公式可得：．
题型15.已知条件式，化简求值
1．已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果.
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
2．已知，则的值为______．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
3．计算或化简求值
(1)计算：
(2)化简求值：已知，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
题型16.复合二次根式的化简
1．化简，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，根据二次根式的混合运算和完全平方公式逐步化简即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：C．
2．化简的结果是______________．
【答案】
【分析】先将第一个根号内的被开方数配方为完全平方形式，根据二次根式的性质化简，再通分求解即可．
【详解】解：原式
．
题型17.二次根式的实际应用题
1．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和，
∴这两个正方形的边长分别为，
∴阴影部分的面积．
2．“海阔千江辏，风翻大浪随”，海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____．
【答案】
【详解】解：由题意得，将代入，
则
解得（舍负），
∴估计风速为
3．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．已知电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，其中R是地球半径，．
(1)已知广州塔的高度约，求广州塔发射节目信号的传播半径．（）
(2)记电视塔A的高度为，电视塔B的高度为，求电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意代入求解即可；
（2）根据题意列出，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，
∴当时，，
∵，
（m），
则广州塔发射节目信号的传播半径为，
（2）解：电视塔A的高度为，电视塔B的高度为，
则，，
则电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比为：．
实战练习
一、单选题
1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可．
【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个；
故选B．
2．设，，则可以表示为()
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
又，
．
故选：C．
3．下列计算：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平方根和立方根的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：依题意，，故①是不符合题意的，
则，故②是符合题意的，
则，故③是符合题意的，
则，故④是不符合题意的，
综上，正确的个数为2，
故选：B
4．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解．
【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，，
而；，，，，
∴第n个单项式的系数为．
各单项式的字母部分依次为，，，，，
而；，，，，
∴第n个单项式的字母部分为．
综上，第个单项式为．
故选：D
5．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ）
甲：原式；
乙：原式
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误
C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误
【答案】A
【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质．
利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可．
【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确；
∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确；
∴ 甲、乙两种方法均正确，
故选：A．
6．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形．
因为三个小正方形的面积分别为，
所以三个小正方形的边长分别为：，，．
由图知大正方形的边长为：，
所以．
故选：A．
二、填空题
7．若，则的值为_____．
【答案】4
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．
根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y的值，最后计算．
【详解】解：由二次根式的定义有意义的条件得且，
解得，
代入原式，得，
所以．
故答案为：4．
8．已知，则代数式的值为________．
【答案】11
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算．
将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可．
【详解】
．
故答案为： 11．
9．如果最简根式与是同类二次根式，那么__________．
【答案】10
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式．
根据给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，，
解得：，
∴，
故答案为：10．
10．若对实数，，，规定，则____________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键；
根据题干给出的运算规则，先算乘法再进行减法计算．
【详解】解：由题可知：
∴
故答案为： ．
三、解答题
11．先化简，再求值，如果，，求的值．
【答案】，
【分析】先对b分母有理化，计算出的值，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，二次根式的性质，注意：．
12．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m＜－6，化简．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围即可得到最终答案．
【详解】解：（1）
；
（2）由已知可得：3m<-6，
解之可得：m<-2，即-m>2，
∴2-m>4>0，-m-2>0，
∴．
【点睛】本题考查实数运算的综合应用，熟练掌握新定义运算的解题方法、一元一次不等式的求解及二次根式的性质是解题关键．
13．我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题．
(1)计算：；
(2)比较：与的大小；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解；
（2）根据材料提示，先根据分母有理化化简，再将两数作差进行比较即可；
（3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
∴；
（3）解：
．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页专题01【二次根式】期末专项突破讲义（17大核心题型精析+实战练习）2026学年人教版数学八年级下学期
核心题型◆归纳
题型1.二次根式有意义的条件 题型2.求简单二次根式的值
题型3.同类二次根式辨析判断 题型4.最简二次根式的判断
题型5.二次根式简单大小比较 题型6.求二次根式中的参数
题型7.利用二次根式的性质化简 题型8.二次根式的乘法、除法运算
题型9.化为最简二次根式 题型10.二次根式的加减运算
题型11.分母有理化 题型12.已知最简二次根式求参数
题型13.二次根式的混合运算 题型14.已知字母的值，化简求值
题型15.已知条件式，化简求值 题型16.复合二次根式的化简
题型17.二次根式的实际应用题
重点知识◆梳理
知识点01、二次根式的概念
定义：形如形如（其中a≥0）的式子叫做二次根式，a为被开方数。
二次根式有意义前提：被开方数非负，即a≥0，若含分式，需同时满足分母≠0。
双重非负性： ≥0，a≥0.
常考模型：若干非负数之和为0，则每个非负数都为0
即 +|b|+=0 a=0，b=0，c=0
知识点02、 二次根式的核心性质
=a.（a≥0），
2.=｜a｜=；先定符号，再去绝对值.
3.=·(a≥0,b≥0)，根式乘法化简.
=(a≥0,b>0)，根式除法化简.
知识点03、最简二次根式
同时满足2个条件：
① 被开方数不含分母；
② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
知识点04同类二次根式
二次根式化为最简形式后，被开方数相同；只有同类二次根式可直接合并。
知识点05.二次根式运算
（1）乘法
·= (a≥0,b≥0)
（2）除法
= (a≥0,b>0)
分母有理化：=
（3）加减运算
先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。
（4）混合运算
运算顺序同整式，可运用平方差、完全平方公式简化计算。
知识点06拓展压轴知识点
大小比较：平方法、作差法、分母有理化法；
化简求值：直接代入、整体代入、配方变形；
综合应用：几何边长计算、实际问题建模。
题型解析◆精准备考
题型1.二次根式有意义的条件
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．已知，则 _________
3．若二次根式和都有意义，求x的取值范围．
题型2.求简单二次根式的值
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．当时，二次根式_____．
3．（1）计算：；
题型3.同类二次根式辨析判断
1．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
2．若最简二次根式与可以合并，则的值是______．
3．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“12相关代数式”，则______；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
题型4.最简二次根式的判断
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在二次根式，，，中，最简二次根式是________．
3．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简．
(1)；
(2)；
(3)．
题型5.二次根式简单大小比较
1．比较：（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定
2．比较下列两个数的大小：____________．
3．阅读材料，解答问题：
材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式；
材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化．
问题：
(1)①的一个有理化因式是_____；
②的一个有理化因式是______；
(2)计算：；
(3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由．
题型6.求二次根式中的参数
1．已知是整数，则自然数m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．若是整数，则满足条件的自然数的值为___ ．
3．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值．
题型7.利用二次根式的性质化简
1．估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间
C．5和6之间 D．6和7之间
2．______．
3．计算：．
题型8.二次根式的乘法、除法运算
1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
2．计算：的值为______．
3．计算：
(1)；
(2)
题型9.化为最简二次根式
1．下面各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值为_________．
3．化简下列二次根式：
(1)．
(2)．
题型10.二次根式的加减运算
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．_______．
3．计算：
(1)；
(2)．
题型11.分母有理化
1．下列各数中，与互为倒数的是（ ）
A． B．2 C．5 D．
2．计算的值是__________．
3．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
请结合上述材料，解决如下问题：
(1)计算：；
(2)已知是正整数，，，，求．
题型12.已知最简二次根式求参数
1．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若最简二次根式和乘积是有理数，则______．
3．已知最简二次根式与能合并，求m的值．
题型13.二次根式的混合运算
1．估计的值应在（ ）之间
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
2．计算：_____．
3．计算：
(1)
(2)
题型14.已知字母的值，化简求值
1．若，则代数式的值为（ ）
A．2030 B．2022 C．2026 D．2018
2．已知：，代数式的值为________
3．已知：，，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
题型15.已知条件式，化简求值
1．已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知，则的值为______．
3．计算或化简求值
(1)计算：
(2)化简求值：已知，，求代数式的值．
题型16.复合二次根式的化简
1．化简，结果是（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是______________．
题型17.二次根式的实际应用题
1．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．“海阔千江辏，风翻大浪随”，海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____．
3．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．已知电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，其中R是地球半径，．
实战练习
一、单选题
1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．设，，则可以表示为()
A． B． C． D．
3．下列计算：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ）
A． B．
C． D．
5．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ）
甲：原式；
乙：原式
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误
C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误
6．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若，则的值为_____．
8．已知，则代数式的值为________．
9．如果最简根式与是同类二次根式，那么__________．
10．若对实数，，，规定，则____________．
三、解答题
11．先化简，再求值，如果，，求的值．
12．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m＜－6，化简．
13．我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题．
(1)计算：；
(2)比较：与的大小；
(3)化简：．
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