资源简介

2025-2026学年第二学期九年级学业质量调研检测
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作+300米，则向西走800米可记作（ ）
A．+800米 B．-800米 C．+300米 D．-300米
2．豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（Quest Mobile）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在3.1亿户．数据3.1亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成-东风-5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如题3图为东风-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
4．下列各式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，通常两个雨刮器的刷片长度相同，即．某时刻汽车雨刮器的位置如题5图所示，此时，则下列说法错误的是（ ）
A． B．四边形是平行四边形
C． D．
6．在单词probability（概率）中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如题7图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．如题8图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．如题9图，四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，点C在边上．若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
10．如题10图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在轴的负半轴，轴的正半轴上，点在第二象限．将矩形绕点顺时针旋转，使点落在轴上，得到矩形，与相交于点．若经过点的反比例函数（）的图象交于点，矩形的面积为8，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．分解因式：_________________．
12．如题12图，，直线与、分别交于点E、F，的平分线与交于点，过点作于点，，则________度．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_______________．
14．计算：__________．
15．如题15图，在中，小聪按照以下步骤进行作图：
①在和上分别截取和，使，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线交于点D；
②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点E和点F．
根据以上作图，若，，，，则的长为__________．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图．
设每支圆珠笔为元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？
17．如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点．
（1）图中圆弧所在圆的圆心P的坐标为__________；
（2）求圆周角的度数．
18．某校数学兴趣小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如表（不考虑空气阻力）．
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
竖直高度y/m 1.1 1.8 2.3 2.6 2.7 2.6 2.3 1.1 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分．
【建立模型】（1）根据表格直接写出顶点坐标与的值．
【应用模型】（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，发球点高度不变，改变发球位置，设解析式为．发球点与球网的水平距离是5 m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围．
四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．
20．2026年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
型号 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差
14和16 15 1.4
20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中__________，__________．
（2）若某快递公司新购进A型号智能机器人2台，B型号智能机器人2台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率．
（3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
21．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点
太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
任务1：
（1）某一时刻测得米，
①请直接写出__________；
②请求出此时影子的长度；
任务2：
（2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？说明理由．
五．解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．若一次整式A，B满足（，是常数，），我们称整式与“按序关联”，关联系数为，关联结果为．
如：对于一次整式，，因为，所以整式与“按序关联”，关联系数为-4，关联结果为11．
（1）为了进一步探究一次整式A，B“按序关联”的性质，小星制作了以下表格，请你把它补充完整：
整式 整式 与关联系数 关联结果
-3 ①
② ③
④ -6 16
（2）请你从小星制作的表格中发现规律，回答下列问题：
已知一次整式与“按序关联”，关联系数为，关联结果为．
①则一次整式与“按序关联”的关联系数为__________，关联结果为__________．（用含、来表示）
②则一次整式与（常数）“按序关联”的关联系数为__________，关联结果为__________．（用含k、t、n来表示）
（3）已知一次整式与关联系数为，关联结果为，与关联系数为，关联结果为．若，，且总存在的值，使整式与的值相等，求a，b的取值范围．
23．【问题背景】如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
【简单应用】
（1）在图①中，若，，则__________．
（2）如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？
【拓展规律】
（3）如图④，，，若，（），求的长（用含a，b的代数式表示）．
（4）如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是_______________________．（直接写出答案）2026年惠东县九年级学业质量调研检测数学参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C A B D A C D
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.
11． 2(a 2)(a 2) ． 12． 50 ． 13.． a 1＞ 且a 0
3
14 9 21． ． 15． ．
2 5
三、解答题（一）：共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分.
16.解：嘉嘉搞错了，理由如下：
设每支圆珠笔的价格是 x元，则每支中性笔的价格是（x+1.2）元，
21 12
根据题意得： = ， ………… 2分
+1.2
解得：x＝1.6， ………… 3分
经检验得：x＝1.6是原分式方程的解. ………… 4分
21 21 12 12
当 x＝1.6时， = =7.5， = =7.5，7.5＝7.5，7.5不是正整数，………… 6分
+1.2 1.6+1.2 1.6
∴x＝1.6是所列方程的解，但不符合题意，
∴淇淇说嘉嘉搞错了． …………7分
17.（1） （2,0）； ………… 2分
（2）如图，连接 PA,PC,AC.
∵AP2=42+22=20,PC2=42+22=20,AC2=62+22=40, ………… 3分
∴AP2+PC2=AC2，AP=PC. ………… 4分
∴△APC是等腰直角三角形，∠APC=90°. ………… 6分
1 1
∴ ADC APC 90 45 . ………… 7分
2 2
18．解：(1)顶点坐标为（4，2.7），m＝1.8.………… 2分
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{#{QQABTQqEogCIQJBAARgCQwUYCAEYkBECAAgOwAAQIAAAyQFABCA=}#}
解：(2)由顶点坐标（4，2.7），可设羽毛球飞行路线的解析式为 y a1(x 4)
2 2.7，
把（0,1.1）代入解析式得：
a1(0 4)
2 2.7 1.1，
解得： a1 -0.1
∴抛物线的解析式为 y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.7＝﹣0.1x2+0.8x+1.1………… 3分
∵设解析式为 y＝ax2+bx+c，且保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，发球点高度
不变，
∴a＝﹣0.1，c=1.1
∴抛物线的解析式为 y＝﹣0.1x2+bx+1.1，………… 4分
当 x＝5时，得：y＝﹣0.1×52+5b+1.1＞2.1，
解得：b＞0.7；………… 5分
∵球的落地点与球网的水平距离小于 6，
∴当 x＝11时，得：y＝﹣0.1×112+11b+1.1＜0，
解得：b＜1，………… 6分
∴b的取值范围为 0.7＜b＜1．………… 7分
四、解答题（二）：共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分.
19．（1）证明：∵BG∥AF，
∴∠AFE＝∠BGE，∠FAE＝∠GBE，………… 1分
∵E为 AB的中点，
∴EA＝EB，…………2分
∴△AEF≌△BEG（AAS）………… 3分
（2）解：选择条件①，四边形 AGBF为矩形，理由如下：………… 4分
由（1）得△AEF≌△BEG，
∴EF＝EG，
∵EA＝EB，
∴四边形 AGBF为平行四边形，………… 5分
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵ = 12 ，
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{#{QQABTQqEogCIQJBAARgCQwUYCAEYkBECAAgOwAAQIAAAyQFABCA=}#}
∴ = 12 ，………… 6分
∵EF＝EG，
∴ = 12 ，………… 7分
∴AB＝FG，………… 8分
∴四边形 AGBF为矩形；………… 9分
选择条件②，四边形 AGBF为菱形，理由如下：………… 4分
∵△AEF≌△BEG
∴EF＝EG，
∵EA＝EB，
∴四边形 AGBF为平行四边形，………… 6分
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，………… 7分
∵EF⊥CD，
∴EF⊥AB，………… 8分
∴四边形 AGBF为菱形．………… 9分
20.解：（1）由所给表格可知，
B型机器人每天分拣快递数量的众数为 20，
所以 a＝20．
由所给条形统计图可知，
A型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：
13、14、14、14、15、15、16、16、16、17，
15+15
所以 A型机器人分拣快递数量的中位数是 =15，
2
所以 b＝15．
故答案为：20，15；………… 2分
（2）令 2台 A型号智能机器人为 A1，A2，2台 B型号智能机器人为 B1，B2．
画树状图如图所示，
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{#{QQABTQqEogCIQJBAARgCQwUYCAEYkBECAAgOwAAQIAAAyQFABCA=}#}
………… 5分
由树状图可知，
共有 12种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有 4种，
P 4 1所以 （抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）= 12 = 3．………… 7分
（3）建议如下：
从众数、平均数、中位数来看，B型号智能机器人的数据都高于 A型号智能机器人，所以购买 B型号
智能机器人（答案不唯一）．………… 9分
21．解：（1）①∵悬托架 AE＝DE＝0.5米，点 E固定在伞面上，且伞面直径 DF是 DE的 4倍，
∴DF＝4DE＝2（米）；
如图，过 E作 EI⊥AD于 I，而 AE＝DE＝0.5，AD＝0.8，
∴AI＝DI＝0.4，
∴ = 2 2 = 0.3，
∴ ∠ = =
3
4；
3
故答案为： ；………… 1分
4
②如图，过点 E作 EI⊥AB于点 I，过点 G作 GJ⊥FH于点 J，
结合题意可得：四边形 DGJF为矩形，
∴∠FDG＝∠DGJ＝90°，
∵∠IDE+∠BDG＝90°，∠BDG+∠BGD＝90°，
∠BGD+∠JGH＝90°，∠JGH+α＝90°，
∴∠ADE＝α，………… 2分
∴sinα＝sin∠IDE，
由条件可知 GJ＝DF＝2米．
在 Rt△GJH 中， = ，
0.3 3
又∵ ∠ = = 0.5 = 5，…………3 分
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{#{QQABTQqEogCIQJBAARgCQwUYCAEYkBECAAgOwAAQIAAAyQFABCA=}#}
2 3
∴sinα= = ，
5
解得： = 103 米，
10
∴此时影子 GH的长度为 米；………… 4分
3
（2）小明会被照射到．理由如下：………… 5分
如图，过点 Q作 PQ⊥BC交 HF于点 P．
由条件可知∠IDE＝∠α＝∠DGB=60°，
由条件可知△IDE是等边三角形，
= = = 12，
∴ = 12 =
1
4米，
∴BD＝2.5﹣0.5＝2（米）．
= 2 2 3 60° = = 米，………… 6分3 3
= 4 4 3 60° = = 3 米，………… 7分3
PQ 1 = 1
3
当 ＝ 时， 60° = = 米，………… 8分3 3
2 3 4 3 3 5 3
∴小明刚好被照射到时离 B点的距离为 + = ＜3，
3 3 3 3
∴小明会被照射到．………… 9分
五、解答题（三）：共 2 小题，第 22 小题 13 分，第 23 小题 14 分，共 27 分.
22 1 8 1 8．解：（ ）① ，② 3，③ 3，④12x+10；………… 4分
（1）当 A＝2x﹣1，B＝6x+5，k＝﹣3时，t＝﹣3（2x﹣1）+（6x+5）＝﹣6x+3+6x+5＝8；
当 A＝2x﹣1，B＝6x+5时，k（6x+5）+（2x﹣1）＝6kx+5k+2x﹣1＝（6k+2）x+5k﹣1＝t，∴6k+2＝0，
k= 1 1 8解得 3，∴t＝5×（ 3）﹣1= 3；
当 A＝2x﹣1，k＝﹣6，t＝16时，﹣6（2x﹣1）+B＝16，∴B＝16+6（2x﹣1）＝12x+10．
8 1 8故答案为： ， 3， 3，12x+10；
1
（2）① ， ．………… 6分

∵kA+B＝t（k≠0），
1
∴两边同除以 k得：A+ = ，
1
∴B与 A“按序关联”的系数为 ，结果为 ．

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②nk，nt．………… 8分
∵kA+B＝t（k≠0），
∴nkA+nB＝nt，
∴A与 nB“按序关联”的系数为 nk，结果为 nt．
（3）由（2）可知，k2＝2k1，t2＝2t1，
∵k1+k2＝6，t1﹣t2＝6，
∴k1＝2，t1＝﹣6，………… 9分
∴2A+B＝﹣6，
即：2（ax+b）+（cx+d）＝﹣6，
整理得：（2a+c）x+2b+d＝﹣6，
∴2a+c＝0，2b+d＝﹣6，
∴c＝﹣2a，d＝﹣6﹣2b．
∵整式 A与 B+2x的值相等，
∴ax+b＝cx+d+2x，
整理得：（a﹣c﹣2）x＝d﹣b，
将 c＝﹣2a，d＝﹣6﹣2b代入，得
（3a﹣2）x＝﹣6﹣3b．………… 10分
∵总存在 x的值，使整式 A与 B+2x的值相等，
∴关于 x的方程（3a﹣2）x＝﹣6﹣3b总有解．
分两种情况讨论：
① 3a 6+3 当 ﹣2≠0时，无论 b为何值，方程总有唯一的解 x= 3 2；………… 11分
②当 3a﹣2＝0 时，方程变为 0x＝﹣6﹣3b，要使方程有解，需﹣6﹣3b＝0，此时方程变成 0x＝0，方
程有无数多个解．
此时 a= 23且 b＝﹣2．………… 12分
2 2
综上所述，a，b的取值范围是 a≠ 3，b为任意实数或 a= 3且 b＝﹣2．………… 13分
23．解：（1）∵ = 2 2， = 3 2， + = 2 ，
∴ 2 = 2 2 + 3 2，
∴CD＝5，
故答案为：5；………… 1分
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（2）由两点之间线段最短可知，小河 CD的最小值为线段 CD的长，
如图③，连接 AC，AD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵BC＝1200米，AB＝1300米，
∴ = 2 2 = 500（米），………… 2分
∵ = ，
∴AD＝BD，
∴如图③，将△BCD绕点 D顺时针旋转 90°到△AED处，点 B，C分别落在点 A，E处，
∴∠DAE＝∠DBC，∠CDE＝90°，DE＝CD，AE＝BC＝1200米，………… 3分
∵四边形 ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∴∠CAD+∠DAE＝180°，
∴点 C，A，E在同一条直线上，………… 4分
∴CE＝AC+AE＝1700米，
∵在 Rt△CDE中， = 2 + 2 = 2 ，………… 5分
∴ = 22 = 850 2（米），
答：小河 CD最短是 850 2米．………… 6分
（3）如图④，以 AB为直径作⊙O，连接 DO，并延长交⊙O于点 D1，连接 AD1，
BD1，CD1，………… 7分
∵∠ADB＝90°，AD＝BD，OA＝OB，
∴DO垂直平分 AB，
∴AD1＝BD1，
由题干可知， + = 2 1，………… 8分
∵AC＝a，BC＝b（a＜b），
∴ 2 1 = + ，
= 2( + )∴ 1 2 ，………… 9分
∵AB，DD1都是⊙O的直径，
∴AB＝DD1，∠ACB＝∠DCD1＝90°，
∴ 2 2 21 = = + = + 2，………… 11分
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Rt CDD = 2 2 = ( )
2
= 2( )∴在 △ 1中， 1 1 2 2 ．…………12分
（4）①如图⑤，当点 E在直线 AC的左侧时，连接 CP，CQ，
∵点 P为 AB的中点，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AP＝CP，∠APC＝90°，
∵CE＝CA，点 Q为 AE的中点，
∴∠AQC＝90 1°， = 2 ，
∴由题干可知， + = 2 ，
设 AQ＝m（m＞0），则 AC＝8m，AE＝2m，
在 Rt△ACQ中， = 2 2 = 3 7 ，
∴ + 3 7 = 2 ，
= 3 14+ 2∴ 2 ，
由 AC＝8m得： = 18 ，
3 14+ 2
∴ = 16 ；
②如图⑥，当点 E在直线 AC的右侧时，连接 CP，CQ，
1
同理可得： = ， = 2 ，∠ = ∠ = 90°，
设 AQ＝n（n＞0），则 AE＝2n，AC＝8n，
在 Rt△ACQ中， = 2 2 = 3 7 ，
由（3 2）可知， = 2 ( )，
∴ = 2 3 14 22 (3 7 ) = 2 ，
由 AC＝8n得： = 18 ，
= 3 14 2∴ 16 ；
综上，线段 PQ与 AC 3 14+ 2的数量关系是 = 16 =
3 14 2
或 16 ．
3 14+ 2 3 14 2
故答案为： = 16 或 = 16 ．………… 14分（写对一个答案得 1分）
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{#{QQABTQqEogCIQJBAARgCQwUYCAEYkBECAAgOwAAQIAAAyQFABCA=}#}

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