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广东省广州市越秀区铁一中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B． C． D．
2．（4分）下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（　　）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．1、、 D．、、
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）对于一次函数y＝x+2，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（2，0）
B．图象不经过第三象限
C．y随x的增大而减小
D．图象可由直线y＝x向上平移2个单位长度得到
5．（4分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿（　　）方向航行．
A．南偏西40° B．北偏西40° C．南偏西50° D．北偏西50°
6．（4分）已知正比例函数y＝kx，且y随x的增大而减少，则直线y＝2x+k的图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣3|+m+2是一次函数，则m的值为（　　）
A．2 B．4 C．2或4 D．±4
8．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是90°的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
9．（4分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm，则四边形DEFG的周长是（　　）
A．14cm B．18cm C．24cm D．28cm
10．（4分）如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．2
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）.
11．（4分）比较大小： 　 　 3．
12．（4分）一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形的边数是　 　 ．
13．（4分）点（1，y1），（﹣2，y2）在直线y＝﹣2x+b上，则y1，y2的大小关系是　 　 ．
14．（4分）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，AC与BD应满足的条件是　 　 ．
15．（4分）已知，则＝　 　 ．
16．（4分）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，则PO的长为 　 　 ．
三、解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．
（1）尺规作图：在线段BC上截取BE＝AD，连接DE（保留作图痕迹，军写作法）；
（2）若AD＝3，AB＝4，BC＝5，求CD的长度．
19．（8分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，
（1）化简：；
（2）点（a，b）在一次函数y＝2x﹣1的图象上，求P的值．
20．（8分）某农户种植一种经济作物，总用水量y（m3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示．
（1）分别求出当0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式；
（2）若种植时间为11天，总用水量为多少？种植时间为多少天时，总用水量达到7000m3？
21．（8分）已知直线l1：y＝（m﹣1）x+4m+2的图象与直线l2：的图象平行．
（1）求直线l1的函数解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象；
（2）直线l的函数图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，P（0，a）为y轴上的一个动点，当△ABP的面积为8时，求a的值．
22．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：四边形OCPD是矩形；
（2）若AC＝6，BD＝8，求OP的长．
23．（12分）在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1．
（1）【类比运用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内：
①画出顶点在格点的△ABC，其中，，；
②求出①中所画△ABC的面积．
（2）【拓展运用】
①在图3中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC＝ 　 　 ，BC＝ 　 　 ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：；
②求代数式的最小值为 　 　 ．
24．（14分）数学兴趣小组在开展“折纸数学”探究活动时，利用一张矩形纸片ABCD进行了如下两步深度操作．
活动探究 解决问题
巧构特殊角 1．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开． 2．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，使纸片展平． 问题一： 图1中∠ABM的度数为　 　 ，请说明你的理由.
妙分黄金矩形 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，长．如图2，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF．然后将纸片展开． 问题二： 证明四边形CDEF是黄金矩形；
在图2的基础上，取AE的中点G，如图3，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q． 问题三： 四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
25．（14分）在 ABCD中，O为对角线的交点，点E为AB上的一动点，将射线OE绕点O逆时针旋转90°交AD于点F．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线AC、BD分别在x轴、y轴上，若∠ABD＝60°，OE⊥AB，AB＝4，则点A的坐标为 　 　 ，OF的长为 　 　 ．
（2）如图2，若 ABCD是矩形，连接EF，探究BE、EF与FD的数量关系，并证明；
（3）如图3，若 ABCD是正方形，连接EF，点O关于直线EF的对称点为P，连接BP、CP，若BP+CP的最小值为，求AB的长．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1——5：CBDDA 6——10：DBCAB
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）.
11．
＜．
12．
5．
13．
y1＜y2．
14．
AC＝BD．
15．
7．
16．
．
三、解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．
解：（1）
＝（3﹣2）÷
＝÷
＝1；
（2）
＝9﹣5
＝4．
18．
解：（1）图形如图所示：
（2）∵AD＝BE，AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE＝4，AD＝BE＝3，
∵BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
∵∠C＝90°，
∴CD＝＝＝2．
19．
解：（1）根据题意得：﹣1＜a＜0，b＞1，
∴a+1＞0，a﹣b＜0，
∴P＝a+1﹣（b﹣a）＝a+1﹣b+a＝2a﹣b+1；
（2）∵点（a，b）在一次函数y＝2x﹣1的图象上，
∴b＝2a﹣1，
∴2a﹣b＝1，
∴P＝1+1＝2．
20．
解：（1）当0≤x≤20时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx，
∵点（20，1000）在该函数图象上，
∴1000＝20k，
解得k＝50，
即当0≤x≤20时，y与x之间的函数关系式为y＝50x；
当x＞20时，设y与x之间的函数关系式为y＝ax+b，
∵点（20，1000），（30，4000）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当x＞20时，y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣5000；
（2）将x＝11代入y＝50x，可得y＝50×11＝550，
将y＝7000代入y＝300x﹣5000，可得7000＝300x﹣5000，
解得x＝40，
答：种植时间为11天，总用水量为550m3，种植时间为多少天时，总用水量达到7000m3．
21．
解：（1）由题意，∵直线l1：y＝（m﹣1）x+4m+2的图象与直线l2：的图象平行，
∴m﹣1＝﹣，则m＝．
∴直线l1：y＝﹣x+3．
∴当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝0．
∴作图如下．
（2）∵直线l1的函数图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（4，0），B（0，3）．
∴BP＝|a﹣3|．
∴S△ABP＝BP OA＝|a﹣3|×4＝2|a﹣3|＝8．
∴a＝7或﹣1．
22．
（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形，
∴四边形OCPD是矩形；
（2）解：由题意可得：
∴OC＝AC＝3，OD＝BD＝4，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，CD＝＝5，
∵DP∥AC，CP∥BD，∠COD＝90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴OP＝CD＝5．
23．
解：（1）①如图2所示：图中的格点△ABC为所求作的三角形，理由如下：
∵正方形网格中的小正方形的边长为1，
∴由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，
∴格点△ABC符合题意，为所求作的三角形；
②∵，，，
∴AC2+BC2＝AB2，
由勾股定理逆定理得：△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，
∴△ABC的面积为：AC BC＝＝2；
（2）①∵点A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，
∴AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，
∵AC⊥BC于点C，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理得：AB＝＝，
故答案为：y1﹣y2，x1﹣x2；
②在平面直角坐标系中取点A（4，1），点B（2，9），在x轴取一点P（x，0），在y轴上取一点Q（0，y），连接PB，QB，PQ，如图4所示：
由两点间的坐标公式得：PA＝（，PQ＝，QB＝，
∴＝PA+PQ+QB，
∴当PA+PQ+QB为最小时，代数式的值为最小，
作点A关于x轴的对称点A'，则点A'（4，﹣1），作点B关于y轴的对称点B'，则点B'（﹣2，9），
∴PA'＝PA，QB'＝QB，
∴PA+PQ+QB＝PA'+PQ+QB'，
∴当PA'+PQ+QB'为最小时，PA+PQ+QB为最小，
根据“两点间线段最短”得：PA'+PQ+QB'≥A'B'，
∴当点A'，P，Q，B'共线时，PA'+PQ+QB'为最小，最小值为点A'，B'之间的距离，
由两点间的坐标公式得：A'B＝＝，
故答案为：．
24．
（1）解：BM交EF于P，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，
∴∠BNM＝∠A＝90°，∠2＝∠3，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴EF∥AD，AE＝BE，
∴EP为△BAM的中位线，∠1＝∠NBC，
∴P点为BM的中点，
∴PN＝PB＝PM，
∴∠1＝∠2，
∴∠NBC＝∠2＝∠3，
∵∠NBC+∠2+∠3＝90°，
∴∠ABM＝∠3＝30°，
故答案为：30°；
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，
∴AB＝AE，∠B＝∠AEF，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，，
∴∠BAE＝∠B＝∠AEF＝90°，
∴，
∴，
∴四边形ABFE是矩形，
∵AB＝AE，
∴四边形ABFE是正方形；
∴AB＝BF＝EF＝AE，
∴AB＝BF＝EF＝AE＝2，
∴，
∵∠C＝∠D＝∠DEF＝90°，
∴四边形CFED是矩形，
∴EF＝CD＝2，
∴，
∴四边形CFED是黄金矩形；
（3）解：四边形BFQP是黄金矩形，理由如下，
∵PQ⊥EF，四边形ABFE是正方形，
∴∠B＝∠BFE＝∠PQF＝90°，
∴四边形BFQP是矩形；
由（2）可知，AB＝BF＝AE＝EF＝2，
∵G为AE的中点，
∴AG＝EG＝1，
∴，
由对折可得：FH＝FB＝2，BP＝PH，∠PHF＝∠B＝90°，
设BP＝PH＝x，则 AP＝2﹣x，
∵S△APG+S△PBF+S△PGF＝S梯形ABFG，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形BFQP是黄金矩形．
25．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵对角线AC、BD分别在x轴、y轴上，
∴AC⊥BD，
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠CAD，AD＝AB＝4，
∵∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠CAD＝30°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝＝2，
∴A（﹣2，
∵射线OE绕点O逆时针旋转90°，
∴OE⊥OF，
∵OE⊥AB，
∴AB∥OF，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AF＝OF，
∵∠BAC+∠ADO＝∠AOF+∠DOF＝90°，
∴∠ADO＝∠DOF，
∴OF＝DF，
∴OF＝DF＝AF＝，
故答案为：（﹣2），2；
（2）如图1，
BE2+FD2＝EF2.理由如下：
连接BD，延长EO，交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OB＝OD，∠ADC＝90°，
∴∠ABO＝∠CDO，∠BEO＝∠DGO，
∴△BOE≌△DOG（AAS），
∴DG＝BE，OE＝OG，
∵OF⊥OE，
∴FG＝EF，
∵DG2+DF2＝FG2，
∴BE2+FD2＝EF2；
（3）如图2，
作OH⊥AB于H，OW⊥AD于W，作PG⊥AD于G，
∴∠OHE＝∠OWF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，∠BAD＝90°，
∴OW＝OH，四边形AWOH是矩形，
∴矩形AWOH是正方形，∠HOW＝90°，
∴AW＝OW，
∵射线OE绕点O逆时针旋转90°交AD于点F，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠HOW，
∴∠EOH＝∠FOW，
∴△EOH≌△FOW（AAS），
∴OE＝OF，
∴∠EFO＝∠OEF＝45°，
∵O和P关于FE对称，
∴FP＝OF，∠PFE＝∠EFO＝45°，
∴∠OFP＝90°，
∴∠PFG+∠OFW＝90°，
∵∠PGF＝∠OWF＝90°，
∴∠FOW+∠OFW＝90°，
∴∠PFG＝∠FOW，
∴△PFG≌△FOW（AAS），
∴FG＝OW，PG＝FW，
∴FG＝AW，
∴AG＝FW，
∴PG＝AG，
∴∠GAP＝∠APG＝45°，
∴∠PAC＝90°，
∴点P在与AC成90° 的直线上运动，
延长CA至R，使AR＝AC，作AV⊥AB于V，连接BR，交直线AP于P′，
当点P在P′处时，BP+CP最小，最小值是BR＝2，
可得AV＝AB＝BC＝RV，
∵RV2+BV2＝BR2，
∴，
∴AB＝2．

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