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浙教版七年级下册数学期末精准测试卷1（精选各市期末最新题型）
一．选择题（共10小题）
1．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（　　）
A．随机选取一个体育队的学生 B．随机选取一个班的学生
C．在全校男生中随机选取100人 D．在全校学生中随机选取100人
2．要使分式有意义，则x的取值需满足（　　）
A． B．
C．或x D．x且x
3．要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　）
A．抽取某一片区的七年级学生进行调查 B．抽取三个片区的九年级学生进行调查
C．抽取某所学校的所有学生进行调查 D．按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查
4．如图，直线a，b被直线c所截，若要使a∥b，则需具备条件（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
5．下列计算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．2a4÷a2＝a2
C．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．（﹣3ab）2＝9a2b2
6．为了丰富同学们的课余生活，班主任李老师到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需70元，李老师一共用470元购买了5副同样的羽毛球拍和8副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．若实数x满足x2+x﹣1＝0，则3x3+4x2﹣2x+2025的值为（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
8．如图，直线AB，CD与直线l分别交于点E，F，∠BEF的平分线EG交CD于点G，FH⊥EG于点H．若AB∥CD，则（　　）
A．∠EFG＝∠EGF B．∠EFH＝∠GFH
C．∠AEG＝∠CFE D．∠BEH+∠DFH＝100°
9．将一条两边互相平行的纸带（AD∥BC）按如图方式折叠，折痕分别为AB，CD，且满足CD∥BE．若∠1增大10°，则∠2（　　）
A．增大10° B．增大20° C．减小10° D．减小20°
10．下列说法正确的有（　　）
①若a，b满足a2+b2＝6a﹣2b﹣10，则；
②若（a﹣c）2﹣（2a﹣b）（b﹣2c）＝0，则b＝a+c；
③若a+b+c＝0，且abc＞0，则的值为±1；
④若关于x的方程的解是正数，则所有符合题意的正整数m的和为6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．计算：2025﹣1＝　 　 ．
12．因式分解：a2﹣3a＝　 　 ．
13．已知多项式x2+（1﹣m）x+9是一个完全平方式，则实数m的值是　 　 ．
14．将数据180，182，183，185，187，189，184，185，186，188，187，184，185，190，186分组，其中183.5～185.5这一组的频率是　 　 ．
15．一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入　 　 个大铁球和　 　 个小铁球．（写出一组符合要求的值即可）
16．如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为5的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2．若3S1﹣S2＝90，则长方形ABCD的周长是　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算或化简：
（1）；
（2）．
18．解方程（组）：
（1）；
（2）．
19．某校为了解学生寒假期间运动锻炼的情况，从本校三个年级学生中随机抽取部分学生，调查他们寒假期间一周的运动时长t（单位：小时），将收集到的数据整理分成四组：A.0≤t＜4，B.4≤t＜8，C.8≤t＜12，D.12≤t＜16（每组包含前一个边界值，不包含后一个边界值，抽取的学生运动时长均小于16小时），并绘制了两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）请通过计算将频数分布直方图补充完整，求出在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数．
（3）已知寒假假期每周运动时间不少于4小时为达标．若该校有1600名学生，估计运动时间达标的学生共有多少人？
20．如图，已知AB∥CD，∠CAB+∠EFD＝180°．
（1）判断AC，EF是否平行，并说明理由；
（2）若∠AEF＝50°，∠D＝60°，求∠CAD的度数．
21．下面是圆圆同学进行分式化简的过程：
化简：
原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）指出圆圆同学的错误步骤，并写出正确的化简过程．
（2）请在﹣1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．
22．如图1，两张边长分别为a，b（a＞b）的正方形纸片A，B．
（1）如图2，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影部分面积为35．
①求A，B两张纸片的面积和a2+b2；
②求A，B两张纸片的边长差a﹣b；
（2）如图3，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为2，A，B两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积．
23．某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动：
人数x/人 0＜x≤100 100＜x≤200 x＞200
收费标准/元 50 45 40
经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加人数多于100人、少于200人，八年级参加人数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？
24．已知AC⊥BC，MA∥BN．
（1）如图1，设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系：　 　 ；
（2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数；
（3）在（2）的条件下，若∠MAC＝44°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝15°，求∠BPE的度数．
浙教版七年级下册数学期末精准测试卷1（精选各市期末最新题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（　　）
A．随机选取一个体育队的学生
B．随机选取一个班的学生
C．在全校男生中随机选取100人
D．在全校学生中随机选取100人
【分析】因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断．
【解答】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，
在全校学生中随机选取100人，这些对象具有代表性和广泛性．
故选：D．
【点评】此题考查了抽样调查的可靠性，解题的关键注意选取的样本需要有代表性和广泛性．
2．要使分式有意义，则x的取值需满足（　　）
A． B．
C．或x D．x且x
【分析】分式有意义即分母不为0，由此计算即可．
【解答】解：要使分式有意义，
则3x﹣5≠0，
解得x，
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
3．要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　）
A．抽取某一片区的七年级学生进行调查
B．抽取三个片区的九年级学生进行调查
C．抽取某所学校的所有学生进行调查
D．按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查
【分析】根据抽取的样本要具有代表性进行判断．
【解答】解：A．抽取某一片区的七年级学生进行调查，抽取的样本不具有代表性和广泛性，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
B．抽取三个片区的九年级学生进行调查，抽取的样本不具有代表性和广泛性，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
C．抽取某所学校的所有学生进行调查，抽取的样本不具有代表性和广泛性，故本选项调查方案不合理，不符合题意；
D．按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查，调查方案合理，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查，抽取的样本要具有代表性．
4．如图，直线a，b被直线c所截，若要使a∥b，则需具备条件（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、两个角是对顶角，不能判定a∥b，故A不符合题意；
B、邻补角互补不能判定a∥b，故B不符合题意；
C、两个角是同旁内角，∠1+∠4＝180°才能判定a∥b，∠1＝∠4不能判定a∥b，故C不符合题意；
D、由同旁内角互补，两直线平行判定a∥b，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
5．下列计算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．2a4÷a2＝a2
C．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．（﹣3ab）2＝9a2b2
【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B．根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
C、D选项均根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵a2 a4＝a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵2a4÷a2＝2a2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（﹣2a）3＝﹣8a3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（﹣3ab）2＝9a2b2，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘方法则和单项式除以单项式法则．
6．为了丰富同学们的课余生活，班主任李老师到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需70元，李老师一共用470元购买了5副同样的羽毛球拍和8副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，根据题意可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需70元，李老师一共用470元购买了5副同样的羽毛球拍和8副同样的乒乓球拍．根据以上两个等量关系即可得出方程，联立方程得出方程组即可．
【解答】解：由题意可得：
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
7．若实数x满足x2+x﹣1＝0，则3x3+4x2﹣2x+2025的值为（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【分析】由x2+x﹣1＝0可得x2+x＝1，把所求代数式中4x2分解成3x2与x2相加，然后整理成用x2﹣x表示的形式，最后代入数据计算求解即可．
【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
3x3+4x2﹣2x+2025
＝3x3+3x2+x2﹣2x+2025
＝3x（x2+x）+x2﹣2x+2025
＝3x+x2﹣2x+2025
＝x2+x+2025
＝1+2025
＝2026，
故选：B．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．
8．如图，直线AB，CD与直线l分别交于点E，F，∠BEF的平分线EG交CD于点G，FH⊥EG于点H．若AB∥CD，则（　　）
A．∠EFG＝∠EGF B．∠EFH＝∠GFH
C．∠AEG＝∠CFE D．∠BEH+∠DFH＝100°
【分析】根据垂直定义可得∠EHF＝90°，从而可得∠HEF+∠HFE＝90°，再利用平行线的性质可得∠BEF+∠EFG＝180°，从而可得∠BEG+∠HFG＝90°，然后利用角平分线的定义可得∠BEG＝∠HEF，从而利用等角的余角相等可得∠HFE＝∠HFG，即可解答．
【解答】解：∵FH⊥EG，
∴∠EHF＝90°，
∴∠HEF+∠HFE＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG＝180°，
即∠BEG+∠HEF+∠HFE+∠HFG＝180°，
∴∠BEG+∠HFG＝90°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠HEF，
∴∠HFE＝∠HFG，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
9．将一条两边互相平行的纸带（AD∥BC）按如图方式折叠，折痕分别为AB，CD，且满足CD∥BE．若∠1增大10°，则∠2（　　）
A．增大10° B．增大20° C．减小10° D．减小20°
【分析】由折叠的性质可得∠3＝∠4，从而求得∠2+∠3+∠4＝180°，再根据平行线的性质定理求出∠1＝∠5＝∠EBC＝∠3，可得∠2+2∠1＝180°，即可求解．
【解答】解：如图，
由折叠的性质，可得∠3＝∠4，
∴∠2+∠3+∠4＝∠2+2∠3＝180°，
∵AD∥BC，AF∥BE，
∴∠4＝∠1+∠3＝20°，
∵CD∥BE，AC∥BD，
∴∠1＝∠5＝∠EBC，
又∵CD∥BE，
∴∠1＝∠5＝∠EBC＝∠3，
∴∠2+2∠1＝180°，
∴∠2＝180°﹣2∠1，
若∠1增大10°，则∠2＝180°﹣2（∠1+10°）＝180°﹣2∠1﹣20°，
∴若∠1增大10°，则∠2减小20°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
10．下列说法正确的有（　　）
①若a，b满足a2+b2＝6a﹣2b﹣10，则；
②若（a﹣c）2﹣（2a﹣b）（b﹣2c）＝0，则b＝a+c；
③若a+b+c＝0，且abc＞0，则的值为±1；
④若关于x的方程的解是正数，则所有符合题意的正整数m的和为6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①利用完全平方公式和分组法把已知等式分解因式，根据偶次方的非负性列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，再代入所求式子进行计算，再判断即可；
②利用完全平方公式和多项式乘多项式法则化简已知等式，再进行分解因式，从而求出答案，进行判断即可；
③先根据已知条件求出a+b，b+c，a+c，然后分四种情况讨论，根据绝对值的性质化简，再进行判断即可；
④先解关于x的一元一次方程，求出x，再根据解是正数，列出关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围，从而求出m的正整数值和它们的和，然后判断即可．
【解答】解：∵a2+b2＝6a﹣2b﹣10，
∴a2+b2﹣6a+2b+10＝0，
（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）＝0，
（a﹣3）2+（b+1）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，
解得：a＝3，b＝﹣1，
∴，
故①的说法错误；
（a﹣c）2﹣（2a﹣b）（b﹣2c）＝0，
a2﹣2ac+c2﹣（2ab﹣4ac﹣b2+2bc）＝0，
a2﹣2ac+c2﹣2ab+4ac+b2﹣2bc＝0，
a2+b2+c2﹣2ab+2ac﹣2bc＝0，
（a﹣b+c）2＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
故②的说法正确；
∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∵abc＞0，
∴分4种情况讨论：
①a＞0，b＞0，c＞0，
∴
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3；
②a＞0，b＜0，c＜0，
∴
＝﹣1+1+1
＝1；
③a＜0，b＜0，c＞0，
∴
＝1+1﹣1
＝1；
④a＜0，b＞0，c＜0，
∴
＝1﹣1+1
＝1，
∴的值为1或﹣3，
故③的说法错误；
，
2x﹣m﹣3（x﹣1）＝﹣1，
2x﹣m﹣3x+3＝﹣1，
2x﹣3x＝﹣1+m﹣3，
﹣x＝m﹣4，
x＝4﹣m，
∵的解是正数，
∴4﹣m＞0，
﹣m＞﹣4，
m＜4，
∵x≠1，即4﹣m≠1，
∴m≠3，
∴所有符合题意的正整数m为2，1，
∴所有符合题意的正整数m的和为：2+1＝3，
故④的说法错误；
综上可知：正确的共1个，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式法则、绝对值的性质和几种常见的分解因式的方法．
二．填空题（共6小题）
11．计算：2025﹣1＝　　 ．
【分析】利用负整数指数幂即可求得答案．
【解答】解：2025﹣1，
故答案为：．
【点评】本题考查负整数指数幂，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
12．因式分解：a2﹣3a＝a（a﹣3）　 ．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
13．已知多项式x2+（1﹣m）x+9是一个完全平方式，则实数m的值是　7或﹣5　 ．
【分析】根据完全平方公式可得1﹣m＝±6，解得m的值即可．
【解答】解：∵多项式x2+（1﹣m）x+9是一个完全平方式，
∴1﹣m＝±2×1×3，
即1﹣m＝±6，
解得：m＝7或﹣5，
故答案为：7或﹣5．
【点评】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的表现形式是解题的关键．
14．将数据180，182，183，185，187，189，184，185，186，188，187，184，185，190，186分组，其中183.5～185.5这一组的频率是　　 ．
【分析】根据“频率＝频数÷总次数”，进行计算即可解答．
【解答】解：183.5～185.5这一组的频数是5，总数是15，
∴183.5～185.5这一组的频率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握“频率＝频数÷总次数”是解题的关键．
15．一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入　1　 个大铁球和　8　 个小铁球．（写出一组符合要求的值即可）
【分析】设放入1个大铁球水面上升x，放入1个小铁球水面上升y，根据“放入1个大铁球，2个小铁球水面上升（15﹣10）；放入2个大铁球，3个小铁球水面上升（19﹣10）”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，设放入m个大铁球，n个小铁球，根据水面上升（21﹣10），可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出结论．
【解答】解：设放入1个大铁球水面上升x，放入1个小铁球水面上升y，
根据题意得：，
解得：，
∴放入1个大铁球水面上升3，放入1个小铁球水面上升1．
设放入m个大铁球，n个小铁球，
根据题意得：3m+n＝21﹣10，
∴n＝11﹣3m，
又∵x，y均为非负整数，
∴或或或，
∴可以放入1个大铁球和8个小铁球．
故答案为：1，8（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键．
16．如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为5的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2．若3S1﹣S2＝90，则长方形ABCD的周长是　24　 ．
【分析】根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示相关线段的长，再根据3S1﹣S2＝90，由矩形面积公式列出x、y的方程，求得x+y便可求解．
【解答】解：设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，
则AH＝CE＝y﹣5，AG＝CJ＝x﹣5，FK＝5﹣（y﹣5）＝10﹣y，FL＝5﹣（x﹣5）＝10﹣x，
∵3S1﹣S2＝90，
∴3xy﹣[2（x﹣5）（y﹣5）+（10﹣y）（10﹣x）]＝90，
整理得20（x+y）＝90+150，
∴2（x+y）＝24，
则长方形 ABCD的周长是24，
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是根据各线段的数量关系列出代数式．
三．解答题（共8小题）
17．计算或化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据乘方的意义、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质和算术平方根的定义；
（2）先根据分式的乘方法则进行计算，再把分子和分母分解因式，然后进行约分，最后把分母化成同分母分式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+3×1+（﹣5）
＝﹣1+3﹣5
＝﹣3；
（2）原式
＝﹣1．
【点评】本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、算术平方根的定义、分式的乘方法则、分式的通分与约分和几种常见的分解因式的方法．
18．解方程（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
（2）利用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：（1）原方程去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8，
整理得：2x+4＝8，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的增根，
故原方程无解；
（2），
将②代入①得：2（3y+1）+3y＝5，
解得：y，
将y代入②得：4（2x﹣3）＝1+1，
解得：x，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键．
19．某校为了解学生寒假期间运动锻炼的情况，从本校三个年级学生中随机抽取部分学生，调查他们寒假期间一周的运动时长t（单位：小时），将收集到的数据整理分成四组：A.0≤t＜4，B.4≤t＜8，C.8≤t＜12，D.12≤t＜16（每组包含前一个边界值，不包含后一个边界值，抽取的学生运动时长均小于16小时），并绘制了两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）请通过计算将频数分布直方图补充完整，求出在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数．
（3）已知寒假假期每周运动时间不少于4小时为达标．若该校有1600名学生，估计运动时间达标的学生共有多少人？
【分析】（1）用频数分布直方图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得共调查的学生人数；
（2）求出C的人数，补全频数分布直方图即可；用360°乘C的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）根据用样本估计总体，用1600乘B、C、D组的人数所占的百分比之和，即可得出答案．
【解答】解：（1）36÷30% ＝120（名）．
答：共调查了120名学生；
（2）C.8≤t＜12的人数为120﹣12﹣36﹣30＝42（人）．
补全频数分布直方图如图所示．
在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数为：360°126°；
（3）16001440（人），
答：估计运动时间达标的学生共有1440人．
【点评】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
20．如图，已知AB∥CD，∠CAB+∠EFD＝180°．
（1）判断AC，EF是否平行，并说明理由；
（2）若∠AEF＝50°，∠D＝60°，求∠CAD的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定定理证明即可；
（2）根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：（1）AC∥EF，理由：
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠C＝180°，
∵∠CAB+∠EFD＝180°，
∴∠C＝∠EFD，
∴AC∥EF；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD＝50°，
∵AC∥EF，
∴∠C＝∠EFD＝50°，
∵∠D＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠D＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，内错角相等”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
21．下面是圆圆同学进行分式化简的过程：
化简：
原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）指出圆圆同学的错误步骤，并写出正确的化简过程．
（2）请在﹣1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．
【分析】（1）根据分式混合运算的法则进行计算即可；
（2）选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）由解题过程可知，第二步出现错误，
正确解题：原式


＝x+1；
（2）∵x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0，
∴x≠0，﹣1，1，
∴当x＝2时，原式＝2+1＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22．如图1，两张边长分别为a，b（a＞b）的正方形纸片A，B．
（1）如图2，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影部分面积为35．
①求A，B两张纸片的面积和a2+b2；
②求A，B两张纸片的边长差a﹣b；
（2）如图3，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为2，A，B两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积．
【分析】（1）①由题意得a+b＝10，2ab＝35，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab进行计算即可；
②由题意得a+b＝10，a2+b2＝65，由（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab即可求出答案；
（2）由题意得，a﹣b＝2，a2+b2＝20，根据（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab求出ab的值即可．
【解答】解：（1）①由题意得，a+b＝10，S阴影部分＝S大正方形﹣S正方形A﹣S正方形B＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝35，即2ab＝35，
∴A，B两张纸片的面积和a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣35＝65；
②∵a+b＝10，a2+b2＝65，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝100﹣70＝30，
∵a＞b＞0，
∴a﹣b；
（2）由题意得，a﹣b＝2，a2+b2＝20，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴4＝20﹣2ab，
∴ab＝8，
∴S阴影部分＝S△1+S△2abab＝ab＝8．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
23．某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动：
人数x/人 0＜x≤100 100＜x≤200 x＞200
收费标准/元 50 45 40
经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加人数多于100人、少于200人，八年级参加人数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？
【分析】设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，根据“若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，
∵45×200＝9000（元），9000＜9600，
∴m+n＞200．
根据题意得：，
解得：．
答：该校七年级参观该景点的学生人数是160人，八年级参观该景点的学生人数是80人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．已知AC⊥BC，MA∥BN．
（1）如图1，设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系：　β＝α+90°　 ；
（2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数；
（3）在（2）的条件下，若∠MAC＝44°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝15°，求∠BPE的度数．
【分析】（1）过点C作CD∥AM，则有∠ACD＝∠A＝α，∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣β，再根据直角得到结论；
（2）由（1）可得∠MAC＝α，∠CBN＝β＝90°+α，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论；
（3）由（2）可得，∠CBN＝90°+44°＝134°，∠APB＝135°，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题．
【解答】解：（1）过点C作CD∥AM，
∵MA∥BN，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠ACD＝∠A＝α，∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣β，
又∵∠ACB＝90°，
∴α+180°﹣β＝90°，
∴β＝α+90°，
故答案为：β＝α+90°；
（2）不发生变化，135°，理由为：
由（1）可得∠MAC＝α，∠CBN＝β＝90°+α，
∵∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，
∴，∠NBP∠NBC（90°+α）＝45°α，
过点P作PE∥MA，则MA∥PE∥BN，
∴，，
∴；
（3）由（2）得，∠CBN＝90°+44°＝134°，∠APB＝135°，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝180°﹣∠CBE＝180°﹣134°＝46°，
过点P作PG∥AM，
∵MA∥BN，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠APG＝∠MAF＝22°，∠GPE＝∠PEB，
∴∠APE＝∠APG+∠GPE＝22°+∠PEB，
当点F在点P的左侧时，如图，
则∠PEB＝∠FEB+∠FEP＝46°+15°＝61°，
∴∠APE＝22°+∠PEB＝22°+61°＝83°，
∴∠BPE＝∠APB﹣∠APE＝135°﹣83°＝52°；
当点F在点P的右侧时，如图，
则∠PEB＝∠FEB﹣∠BEP＝46°﹣15°＝31°，
∴∠APE＝22°+∠PEB＝22°+31°＝53°，
∴∠BPE＝∠APB﹣∠APE＝135°﹣53°＝82°；
∴∠BPE的度数为52°或82°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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