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浙教版七年级下册数学期末精准测试卷2（精选各市期末最新题型）
一．选择题（共10小题）
1．下列花窗图案中可以由一个基本图案经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．石墨烯被认为是一种未来革命性的材料，它是一种由碳原子构成的纳米材料．其中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，将0.000000000142科学记数法表示为（　　）
A．0.142×10﹣9 B．1.42×10﹣10
C．1.42×10﹣11 D．0.142×10﹣8
3．如图，AB∥CD，∠CDE＝130°，则∠A的度数为（　　）
A．70° B．65° C．50° D．40°
4．下列调查中，应作全面调查的是（　　）
A．飞机起飞前零部件的安检工作
B．了解全市居民对废电池的处理情况
C．了解现代大学生的主要娱乐方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
5．下列因式分解错误的是（　　）
A．x2﹣6x＝x（x﹣6） B．x2﹣x﹣2＝（x﹣1）（x+2）
C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
6．若（x+1）（x2﹣3ax+a）的乘积中不含x2项，则常数a的值为（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
7．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．若分式方程有增根，则实数a的取值是（　　）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
9．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（　　）
①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作l1∥l2． 作法： ②要求：过直线l1外一点P作这条直线的平行线l2． 作法：
③要求：过直线l1外一点P作这条直线的垂线l2． 作法： ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作l1∥l2． 作法：
A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，点E，F分别在边AB，BC上，FG过点D，连结DH，△DGH的面积为1．若记AE长为x，CF长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
二．填空题（共6小题）
11．要使分式有意义，x的取值应满足　 　 ．
12．因式分解：2x2﹣8＝　 　 ．
13．代数式有意义时，x应满足的条件是 　 　 ．
14．一组数据共有50个，分成5组后其中前四组的频数分别是4、10、15、16，则第5组数据的频率为 　 　 ．
15．已知，ab＝2，则（5﹣3a）（5+3b）的值为　 　 ．
16．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，E是AC上的动点，三角形ABC沿DE对折，点A的对应点为F．
（1）当DF∥BC时，则∠AED＝　 　 ；
（2）当EF与三角形ABC的一边平行时，则∠AED＝　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）；
（2）（4a2b﹣2a）÷a．
18．因式分解：
（1）8a2b﹣4a；
（2）（a+b）2+6a+6b+9．
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．第19届亚洲运动会于2023年9月在浙江杭州举行，某校为了解七年级学生对亚运会相关知识的掌握情况，从中抽取了部分同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
测试成绩等级标准：
等级 E D C B A
x的范围 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
七年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图（如图）：
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次调查共抽取了 　 　 人；
（2）成绩在85≤x＜90分的有 　 　 人；
（3）请在图①中补全直方图；
（4）扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角等于 　 　 度；
（5）若成绩达到D等级与C等级的评为良等，请你估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为多少人？
21．如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB．
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）求∠3的度数．
22．以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程．
解：
①
②
＝3（x+2）﹣x﹣2③
＝3x+6﹣x﹣2④
＝2x+4⑤
小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
23．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）的面积为S1；若在边长为a的正方形中摆放两个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为S2；图3中A为BC的中点，阴影部分的面积为S3．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝7，ab＝11，
①求S1+S2的值；
②求S3的值．
24．小宁与小波两位同学在学行线”后进行了课后探究：
素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图2所示摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠BAC＝∠FDE＝60°，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点D，E在直线l2上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小宁将三角板ABC向右平移．
（1）如图1，当点F落在线段BC上时，求∠BFE的度数．
（2）如图2，在三角板ABC向右平移过程中，连结BF（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记∠BFE＝α，∠CBF＝β．
①当点F在BC右侧时，试探究α与β的数量关系．
②小宁发现，当点F在BC左侧时，α与β的数量关系将发生改变，那么此时α与β的数量关系是　 　 ．
（3）思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小波将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度逆时针旋转，设时间为t秒，∠1＝t°，∠2＝2t°，且0≤t≤60，若边AC与三角板DEF的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
浙教版七年级下册数学期末精准测试卷2（精选各市期末最新题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列花窗图案中可以由一个基本图案经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质解答即可．
【解答】解：A、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到，
故本选项符合题意；
B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到，
故本选项不符合题意；
C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到，
故本选项不符合题意；
D、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到，
故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了利用平移设计图案，熟知平移的定义和性质是关键，注意平移不改变图形的形状和大小．
2．石墨烯被认为是一种未来革命性的材料，它是一种由碳原子构成的纳米材料．其中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，将0.000000000142科学记数法表示为（　　）
A．0.142×10﹣9 B．1.42×10﹣10
C．1.42×10﹣11 D．0.142×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000000142＝1.42×10﹣10．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．如图，AB∥CD，∠CDE＝130°，则∠A的度数为（　　）
A．70° B．65° C．50° D．40°
【分析】由题意知，∠CDA＝180°﹣∠CDE，由AB∥CD，可得∠A＝∠CDA，然后判断作答即可．
【解答】解：由题意知，∠CDA＝180°﹣∠CDE＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDA＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．下列调查中，应作全面调查的是（　　）
A．飞机起飞前零部件的安检工作
B．了解全市居民对废电池的处理情况
C．了解现代大学生的主要娱乐方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、飞机起飞前零部件的安检工作，应作全面调查，故A符合题意；
B、了解全市居民对废电池的处理情况，应作抽样调查，故B不符合题意；
C、了解现代大学生的主要娱乐方式，应作抽样调查，故C不符合题意；
D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，应作抽样调查，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
5．下列因式分解错误的是（　　）
A．x2﹣6x＝x（x﹣6） B．x2﹣x﹣2＝（x﹣1）（x+2）
C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【分析】根据提公因式法、十字相乘法和公式法进行因式分解，逐项判断即可．
【解答】解：A、x2﹣6x＝x（x﹣6），故不符合题意；
B、x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），故符合题意；
C、x2+6x+9＝（x+3）2，故不符合题意；
D、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、十字相乘法和公式法是解本题的关键．
6．若（x+1）（x2﹣3ax+a）的乘积中不含x2项，则常数a的值为（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
【分析】先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据积中不含x2项得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：（x+1）（x2﹣3ax+a）
＝x3﹣3ax2+ax+x2﹣3ax+a
＝x3﹣（3a﹣1）x2﹣2ax+a．
∵（x+1）（x2﹣3ax+a）的乘积中不含x2项，
∴3a﹣1＝0．
∴a．
故选：A．
【点评】本题考查了整式，掌握多项式乘多项式法则、一元一次方程的解法是解决本题的关键．
7．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设共有x个人，这个物品价格是y元，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x个人，这个物品价格是y元，则．
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
8．若分式方程有增根，则实数a的取值是（　　）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x＝2（x﹣2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x＝0时，﹣a＝﹣4，
解得，a＝4，
当x＝2时，6﹣a+2＝0，
解得，a＝8，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
9．下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（　　）
①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作l1∥l2． 作法： ②要求：过直线l1外一点P作这条直线的平行线l2． 作法：
③要求：过直线l1外一点P作这条直线的垂线l2． 作法： ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作l1∥l2． 作法：
A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】结合平行线的判定与性质逐个判断即可．
【解答】解：由①图可知，①的作法正确，
故①符合题意；
由②图可知，不能得出l1∥l2，
故②的作法不正确，不符合题意；
由③图可知，③的作法正确，
故③符合题意；
由④图可知，④的作法正确，
故④符合题意．
综上所述，正确的是①③④．
故选：B．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
10．如图，正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，点E，F分别在边AB，BC上，FG过点D，连结DH，△DGH的面积为1．若记AE长为x，CF长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
【分析】连接DE，EC，设S△DEF＝S，BE＝m，根据题意可知S△DEC＝S△DHE，根据图形得到S△DEF+S△DFC﹣S△EFC＝S△DHE，分别求出每个三角形的面积，列等式计算即可．
【解答】解：如图，连接DE，EC，
设S△DEF＝S，BE＝m，
∵，，正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，
∴S△DEC＝S△DHE，
∵S△DEF+S△DFC﹣S△EFC＝S△DEC，
∴S△DEF+S△DFC﹣S△EFC＝S△DHE，
∵，
∴S△DHE＝S△DEF+S△DGH＝S+1，
∵，，
∴，
∴xy＝2，
即代数式的值不变的是xy，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，单项式与多项式的乘法，等式的性质，掌握三角形的面积是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．要使分式有意义，x的取值应满足x≠2　 ．
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
12．因式分解：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　 ．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
13．代数式有意义时，x应满足的条件是 x＞8　 ．
【分析】直接利用分母不为零、二次根式的定义求出x的取值范围．
【解答】解：代数式有意义时，
x﹣8＞0，
解得：x＞8．
故答案为：x＞8．
【点评】本题考查的知识点为：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
14．一组数据共有50个，分成5组后其中前四组的频数分别是4、10、15、16，则第5组数据的频率为 　0.1　 ．
【分析】先根据五组的频数之和为50求出第五组的频数，再根据频率＝频数÷总数求解即可．
【解答】解：由题意知第5组的频数为50﹣（4+10+15+16）＝5，
所以第5组的数据的频率为5÷50＝0.1，
故答案为：0.1．
【点评】本题主要考查频数与频率，解题的关键是掌握各组的频数之和等于总数、频率＝频数÷总数．
15．已知，ab＝2，则（5﹣3a）（5+3b）的值为　﹣18　 ．
【分析】利用多项式乘多项式法则展开并整理，然后将已知数值代入计算即可．
【解答】解：∵，ab＝2，
∴（5﹣3a）（5+3b）
＝25+15b﹣15a﹣9ab
＝25﹣15（a﹣b）﹣9ab
＝25﹣159×2
＝25﹣25﹣18
＝﹣18，
故答案为：﹣18．
【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
16．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，E是AC上的动点，三角形ABC沿DE对折，点A的对应点为F．
（1）当DF∥BC时，则∠AED＝　120°或30°　 ；
（2）当EF与三角形ABC的一边平行时，则∠AED＝　75°或135°或45°　 ．
【分析】（1）首先求出∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，根据题意分两种情况讨论，当点F在AC下方时，由DF∥BC得到∠B＝∠ADF＝60°，然后由折叠求出∠ADE，然后利用三角形内角和定理求解即可；当点F在AC上方时，同理求解即可；
（2）根据题意分三种情况讨论，然后分别利用平行线的性质和折叠的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
如图1，当点F在AC下方时，
∵DF∥BC，
∴∠B＝∠ADF＝60°，
∵三角形ABC沿DE对折，点A的对应点为F，
∴，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝120°；
如图2，当点F在AC上方时，
∵DF∥BC，
∴∠B＝∠BDF＝60°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝120°，
∵三角形ABC沿DE对折，点A的对应点为F，
∴，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠EAD＝30°；
综上所述，当DF∥BC时，则∠AED＝120°或30°，
故答案为：120°或30°；
（2）如图3，当EF∥BC时，且点F在AC下方时，
．
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠CEF＝90°，
∴∠AEF＝∠CEF＝90°，
∵三角形ABC沿DE对折，点A的对应点为F，
∴；
如图4，当EF∥AD时，
∵EF∥AD，
∴∠ADE＝∠FED，
∵三角形ABC沿DE对折，点A的对应点为F，
∴∠AED＝∠FED，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠A＝30°，
∴；
如图5，当EF∥BC时，且点F在AC上方时，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠C＝90°，
∵三角形ABC沿DE对折，点A的对应点为F，
∴．
综上所述，当EF与三角形ABC的一边平行时，则∠AED＝75°或135°或45°．
故答案为：75°或135°或45°．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）；
（2）（4a2b﹣2a）÷a．
【分析】（1）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则计算后再算加减即可；
（2）利用多项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2﹣1
＝3﹣1
＝2；
（2）原式＝4ab﹣2．
【点评】本题考查整式的除法，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．因式分解：
（1）8a2b﹣4a；
（2）（a+b）2+6a+6b+9．
【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）先变形，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）8a2b﹣4a＝4a（2ab﹣1）；
（2）（a+b）2+6a+6b+9
＝（a+b）2+6（a+b）+9
＝（a+b+3）2．
【点评】本题考查了因式分解：提公因式法、公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
19．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
①﹣②得：4y＝4，
解得：y＝1，
把y＝1代入①得：2x+1＝5，
解得：x＝2，
则方程组的解为；
（2）分式方程变形得：1，
去分母得：5+（x﹣2）＝﹣2x，
去括号得：5+x﹣2＝﹣2x，
移项、合并同类项得：3x＝﹣3，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入得：x﹣2≠0，
则x＝﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各种的解法是解本题的关键．
20．第19届亚洲运动会于2023年9月在浙江杭州举行，某校为了解七年级学生对亚运会相关知识的掌握情况，从中抽取了部分同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
测试成绩等级标准：
等级 E D C B A
x的范围 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
七年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图（如图）：
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次调查共抽取了 　50　 人；
（2）成绩在85≤x＜90分的有 　12　 人；
（3）请在图①中补全直方图；
（4）扇形统计图中“A”等级对应扇形的圆心角等于 　79.2　 度；
（5）若成绩达到D等级与C等级的评为良等，请你估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为多少人？
【分析】（1）根据E等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数，
（2）总人数减去其他分数段人数即可计算出成绩在85≤x＜90的人数；
（3）补全统计图即可；
（3）根据频数分布直方图中A等级的人数和调查的总人数，可以计算出扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的度数；
（5）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）本次共调查了：5÷10%＝50（人），
故答案为：50；
（2）成绩在85≤x＜90分的有：50﹣5﹣10﹣12﹣11＝12（人），
故答案为：12；
（3）补全直方图如下：
（4）扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的大小为：360°79.2°
故答案为：79.2．
（5）800352（人），
答：估计该校七年级800名学生中成绩评为良等的约为352人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB．
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）求∠3的度数．
【分析】（1）结合对顶角相等求出∠AME＝∠2，再根据“同位角相等，两直线平行”求解即可；
（2）结合角平分线的定义，根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵∠1＝∠AME，∠1＝∠2，
∴∠AME＝∠2，
∴AB∥CD；
（2）∵MN平分∠EMB，
∴∠EMN＝∠BMN，
∵∠1＝40°，
∴∠EMN＝∠BMN（180°﹣40°）＝70°，
∵AB∥DC，
∴∠3+∠BMN＝180°，
∴∠3＝110°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
22．以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程．
解：
①
②
＝3（x+2）﹣x﹣2③
＝3x+6﹣x﹣2④
＝2x+4⑤
小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【分析】根据分式的基本性质以及分式的加减运算法则去判断即可求解．
【解答】解：小明的解答过程错误，错误出现在第③步，
正确的解题过程如下：
原式
＝3（x+2）﹣（x﹣2）
＝3x+6﹣x+2
＝2x+8．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．
23．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）的面积为S1；若在边长为a的正方形中摆放两个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为S2；图3中A为BC的中点，阴影部分的面积为S3．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝7，ab＝11，
①求S1+S2的值；
②求S3的值．
【分析】（1）根据面积之间的关系计算即可．
（1）①利用（1）中结论求解．
②用间接法求解．
【解答】解：（1）由图1得：S1＝a2﹣b2，
图2中阴影部分长为b，宽为：2b﹣a，
∴S2＝b（2b﹣a）＝2b2﹣ab．
（2）①S1+S2＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝72﹣33
＝16．
②∵A是BC的中点，
∴AB＝AC，
∴S3＝a2+b2
．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，正确表示各部分面积是求解本题的关键．
24．小宁与小波两位同学在学行线”后进行了课后探究：
素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图2所示摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠BAC＝∠FDE＝60°，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点D，E在直线l2上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小宁将三角板ABC向右平移．
（1）如图1，当点F落在线段BC上时，求∠BFE的度数．
（2）如图2，在三角板ABC向右平移过程中，连结BF（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记∠BFE＝α，∠CBF＝β．
①当点F在BC右侧时，试探究α与β的数量关系．
②小宁发现，当点F在BC左侧时，α与β的数量关系将发生改变，那么此时α与β的数量关系是　α+β＝60°　 ．
（3）思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小波将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度逆时针旋转，设时间为t秒，∠1＝t°，∠2＝2t°，且0≤t≤60，若边AC与三角板DEF的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】（1）延长BC交直线l2于点M，由平行线的性质得∠DMB＝∠ABC＝30°，再根据三角形的外角性质可得结论；
（2）①延长EF交l1于点G，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论；
②延长DF交l1于点P，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论；
（3）分AC∥DF、AC∥DE和AC∥EF三种情况，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可．
【解答】解：（1）延长BC交直线l2于点M，如图，
∵l1∥l2且∠ABC＝30°，
∴∠DMB＝∠ABC＝30°，
又∵∠DEF＝30°，
∴∠BFE＝∠DMF+∠DEF＝30°+30°＝60°；
（2）①延长EF交l1于点G，如图，
∵∠BFE＝α，
∴∠BFG＝180°﹣α，
∵∠ABC＝30°，∠DEF＝30°，∠CBF＝β，
∴∠GBF＝∠GBC+∠CBF＝30°+β，
又∵l1∥l2，
∴∠FGB＝∠FED＝30°，
∵∠FGB+∠BFG+∠GBF＝180°，
∴30°+30°+β+180°﹣α＝180°，
∴α﹣β＝60°；
②延长DF交l1于点P，如图，
∵l1∥l2，
∴∠DPB+∠PDE＝180°，
∴∠DPB＝180°﹣∠PDE＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BFE＝α，∠CBF＝β，∠ABC＝30°，
∴∠PBF＝30°﹣β，∠PFB＝180°﹣∠DFE﹣∠BFE＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∵∠FPB+∠PBF+∠PFB＝180°，
∴120°+90°﹣α+30°﹣β ＝180°，
∴α+β＝60°，
故答案为：α+β＝60°；
（3）①当AC∥DF时，延长DF交l1于点P，交AB于点Q，如图，
∴∠BQF＝∠CAB＝60°，
∴∠PQA＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠APQ＝∠FDE+2t°＝60°+2t°，
∵∠PAQ+∠APQ+∠PQA＝180°，
∴t°+60°+60°+2t°＝180°，
解得t＝20；
②当AC∥DE时，延长AB交DE于Q，交l2于点P，如图，
则∠AQE＝∠CAB＝60°，
∴∠DQP＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠DPQ＝∠BAM＝t°，
∴2t°+60°+t°＝180°，
解得t＝40；
③当AC∥EF时，作直线EF分别交l1、l2于点M、P，如图，
则∠BQF＝∠CAB＝60°，
∴∠AQM＝60°，
又∠MPD＝2t﹣30°，
∵l1∥l2，
∴∠AMQ＝∠MPD，
∴∠AMQ＝2t°﹣30°，
∵∠QAM+∠AMQ+∠AQM＝180°，
∴t°+60°+2t°﹣30°＝180°，
解得t＝50，
综上，t的值为20或40或50．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，一元一次方程的应用，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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