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2026春华师版八下数学阶段测试
第18章学业质量评价
考试时间：120分钟　　满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.正方形具有而矩形不具有的性质是(D)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2.如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变).当∠BCD＝52°时，∠BAC的度数为(A)
A.26° B.27° C.28° D.29°
第2题图　第3题图　第4题图
3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠ACB＝30°，AB＝2，则AO的长为(B)
A.2 B.2 C. D.1
4.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连结AE，CE.若DE＝AB，则∠AEC的度数为(C)
A.105° B.120° C.135° D.150°
5.如图，菱形ABCD的面积为120，对角线AC＝24，则这个菱形的边长是(C)
A.5 B.10 C.13 D.12
第5题图　第6题图　第7题图
6.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，点G，H均在BC边上，点G在点H的左侧，连结EG，FH.已知EG＝FH，AD＝8 cm，GH＝2 cm，则BG的长为(A)
A.3 cm B.2 cm C.3.5 cm D.4 cm
7.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的边CD于点P，则∠FPC的度数是(C)
A.135° B.120° C.112.5° D.67.5°
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，作BD的垂直平分线分别与边AD，BC交于点E，F，则BF的长为(B)
A. B. C. D.5
第8题图　　第9题图　　第10题图
9.如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB＝3，BC＝1，直线y＝x－1经过点C，交x轴于点E，双曲线y＝经过点D，则k的值为(A)
A.1 B.2 C. D.4
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点E，使BE＝CD，连结AE.有下列结论：①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④＝.其中正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　∠BAD＝90°(答案不唯一)　，使得 ABCD为正方形.
12.如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥BC于点F.若EF＝4，则点E到边AB的距离为　4　.
第12题图　　第13题图　　第14题图
13.如图，正方形ABCD的边长为4，以AC为边作平行四边形AEFC，使EF过点B，则平行四边形AEFC的面积为　16　.
14.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC，交BC于点F.若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为　2　.
15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AB＝2，E是BC的中点，点P在对角线AC上滑动，则BP＋EP长的最小值是　.
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.
∵E，F分别是边CD，AD的中点，
∴DF＝AD，DE＝CD，∴DF＝DE.
∵∠D＝∠D，∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE＝CF.
17.(8分)如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE∶∠DAE＝1∶3，求∠ABE和∠EAO的度数.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝∠BAD＝22.5°.
∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝67.5°，
∴∠OAB＝67.5°，∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝45°.
18.(9分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度数.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB.
∵BE＝AB，∴BE∥CD，BE＝CD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴BD＝EC.
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°.
由(1)知四边形DBEC是平行四边形，
∴BD∥EC，∴∠ABD＝∠E＝50°，∴∠BAO＝40°.
19.(9分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE＝AF，∠CEF＝45°.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若AF＝3，BE＝1，求四边形ABCD的面积.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF.
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝90°－∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形.
(2)解：由(1)知△ABE≌△ADF，∴DF＝BE＝1.
在Rt△ADF中，AD＝＝＝.
由(1)知四边形ABCD是正方形，
∴S正方形ABCD＝()2＝17.
20.(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
(2)若∠BAC＝∠ECF，求∠ACF的度数.
(1)证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形EBFC是菱形.
(2)解：由(1)知四边形EBFC是菱形，
∴∠ECB＝∠FCB＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠CAH＝∠BAC，∠AHC＝90°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCB，
∴∠FCB＋∠ACH＝90°，即∠ACF＝90°.
21.(10分)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，延长CB到点F，使BF＝CE，连结AF，OF.
(1)求证：四边形AFED是矩形；
(2)若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，求OF的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BF＝CE，∴FE＝BC，
∴FE＝AD，∴四边形AFED是平行四边形.
∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，
∴平行四边形AFED是矩形.
(2)解：由(1)知四边形AFED是矩形，FE＝AD，
∴∠AFE＝90°，FE＝AD＝7，∴FB＝FE－BE＝5，
∴CE＝FB＝5，∴FC＝FE＋CE＝7＋5＝12.
∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB＝5.
在Rt△AFC中，由勾股定理，得AC＝＝＝13.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，∴OF＝AC＝.
22.(10分)如图1，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，以AC为斜边作直角三角形ACE，∠BED＝90°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)如图2，若△BCE是等边三角形，∠AOB＝60°，四边形AODE是什么特殊四边形？请说明理由.
图1　　　图2
(1)证明：连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠BED＝90°，∴OE＝BD.
∵△AEC为直角三角形，∴OE＝AC，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)解：四边形AODE是菱形.理由如下：
由(1)知四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CD，OA＝OC＝OB＝OD.
∵△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝30°.
由题意，得∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC－∠BEC＝30°＝∠ABE，∴AE＝AB.
同理可得DE＝DC，∴AE＝DE.
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB，∴OA＝OD＝AE＝DE，
∴四边形AODE是菱形.
23.(12分)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连结CE，试探究PA与CE之间的数量关系，并说明理由.
图1　　　图2
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，∴PA＝PC.
∵PA＝PE，∴PC＝PE.
(2)解：由(1)知△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，∴∠EDF＝180°－∠ADC＝90°.
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠EFD－∠E，
∴∠CPE＝∠EDF＝90°.
(3)解：PA＝CE.理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠EDF＝180°－∠ADC＝60°.
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，
∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DEP，PC＝PE，
∴∠DEP＝∠DCP.
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠EFD－∠DEF，
∴∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，
∴PE＝CE，∴PA＝CE.
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【原创】八下数学阶段测试 讲解课件
第18章学业质量评价
2026春华师版八下数学阶段测试
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
D
2.如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变).当∠BCD＝52°时，∠BAC的度数为( )
A.26° B.27°
C.28° D.29°
第2题图
A
3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠ACB＝30°，AB＝2，则AO的长为( )
A.2 B.2
C. D.1
第3题图
B
4.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连结AE，CE.若DE＝AB，则∠AEC的度数为( )
A.105° B.120°
C.135° D.150°
第4题图
C
5.如图，菱形ABCD的面积为120，对角线AC＝24，则这个菱形的边长是
( )
A.5 B.10
C.13 D.12
第5题图
C
6.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，点G，H均在BC边上，点G在点H的左侧，连结EG，FH.已知EG＝FH，AD＝8 cm，GH＝2 cm，则BG的长为( )
A.3 cm B.2 cm
C.3.5 cm D.4 cm
第6题图
A
7.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的边CD于点P，则∠FPC的度数是( )
A.135° B.120°
C.112.5° D.67.5°
第7题图
C
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，作BD的垂直平分线分别与边AD，BC交于点E，F，则BF的长为( )
A. B.
C. D.5
第8题图
B
9.如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB＝3，BC＝1，直线y＝x－1经过点C，交x轴于点E，双曲线y＝经过点D，则k的值为( )
A.1 B.2
C. D.4
第9题图
A
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点E，使BE＝CD，连结AE.有下列结论：①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④＝.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
第10题图
C
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________________________，使得 ABCD为正方形.
12.如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥BC于点F.若EF＝4，则点E到边AB的距离为___.
第12题图
∠BAD＝90°(答案不唯一)
4
13.如图，正方形ABCD的边长为4，以AC为边作平行四边形AEFC，使EF过点B，则平行四边形AEFC的面积为____.
第13题图
16
14.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC，交BC于点F.若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为____.
第14题图
2
15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AB＝2，E是BC的中点，点P在对角线AC上滑动，则BP＋EP长的最小值是____.
　
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.
∵E，F分别是边CD，AD的中点，
∴DF＝AD，DE＝CD，∴DF＝DE.
∵∠D＝∠D，∴△ADE △CDF(SAS)，
∴AE＝CF.
17.(8分)如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE∶∠DAE＝1∶3，求∠ABE和∠EAO的度数.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝∠BAD＝22.5°.
∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝67.5°，
∴∠OAB＝67.5°，∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝45°.
18.(9分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.
(1)求证：BD＝EC；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB.
∵BE＝AB，∴BE∥CD，BE＝CD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴BD＝EC.
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度数.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°.
由(1)知四边形DBEC是平行四边形，
∴BD∥EC，∴∠ABD＝∠E＝50°，∴∠BAO＝40°.
19.(9分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE＝AF，∠CEF＝45°.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF.
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝90°－∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB，
∴△ABE △ADF(AAS)，∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形.
(2)若AF＝3，BE＝1，求四边形ABCD的面积.
解：由(1)知△ABE △ADF，∴DF＝BE＝1.
在Rt△ADF中，AD＝＝＝.
由(1)知四边形ABCD是正方形，
∴S正方形ABCD＝()2＝17.
20.(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形EBFC是菱形.
(2)若∠BAC＝∠ECF，求∠ACF的度数.
解：由(1)知四边形EBFC是菱形，
∴∠ECB＝∠FCB＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠CAH＝∠BAC，∠AHC＝90°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCB，
∴∠FCB＋∠ACH＝90°，即∠ACF＝90°.
21.(10分)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，
过点D作DE⊥BC于点E，延长CB到点F，使BF＝CE，
连结AF，OF.
(1)求证：四边形AFED是矩形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BF＝CE，∴FE＝BC，
∴FE＝AD，∴四边形AFED是平行四边形.
∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，
∴平行四边形AFED是矩形.
(2)若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，求OF的长.
解：由(1)知四边形AFED是矩形，FE＝AD，
∴∠AFE＝90°，FE＝AD＝7，∴FB＝FE－BE＝5，
∴CE＝FB＝5，∴FC＝FE＋CE＝7＋5＝12.
∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB＝5.
在Rt△AFC中，由勾股定理，得AC＝＝＝13.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，∴OF＝AC＝.
22.(10分)如图1，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，以AC为斜边作直角三角形ACE，∠BED＝90°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠BED＝90°，∴OE＝BD.
∵△AEC为直角三角形，∴OE＝AC，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)如图2，若△BCE是等边三角形，∠AOB＝60°，四边形AODE是什么特殊四边形？请说明理由.
解：四边形AODE是菱形.理由如下：
由(1)知四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CD，OA＝OC＝OB＝OD.
∵△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝30°.
由题意，得∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC－∠BEC＝30°＝∠ABE，∴AE＝AB.
同理可得DE＝DC，∴AE＝DE.
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB，∴OA＝OD＝AE＝DE，
∴四边形AODE是菱形.
23.(12分)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.
∵DP＝DP，
∴△ADP △CDP(SAS)，∴PA＝PC.
∵PA＝PE，∴PC＝PE.
(2)求∠CPE的度数；
解：由(1)知△ADP △CDP，
∴∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，∴∠EDF＝180°－∠ADC＝90°.
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠EFD－∠E，
∴∠CPE＝∠EDF＝90°.
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连结CE，试探究PA与CE之间的数量关系，并说明理由.
解：PA＝CE.理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠EDF＝180°－∠ADC＝60°.
∵DP＝DP，
∴△ADP △CDP(SAS)，
∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DEP，PC＝PE，
∴∠DEP＝∠DCP.
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠EFD－∠DEF，
∴∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，
∴PE＝CE，∴PA＝CE.
Thanks!
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2026春华师版八下数学阶段测试
第18章学业质量评价
考试时间：120分钟　　满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.正方形具有而矩形不具有的性质是(D)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2.如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变).当∠BCD＝52°时，∠BAC的度数为(A)
A.26° B.27° C.28° D.29°
第2题图　第3题图　第4题图
3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠ACB＝30°，AB＝2，则AO的长为(B)
A.2 B.2 C. D.1
4.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连结AE，CE.若DE＝AB，则∠AEC的度数为(C)
A.105° B.120° C.135° D.150°
5.如图，菱形ABCD的面积为120，对角线AC＝24，则这个菱形的边长是(C)
A.5 B.10 C.13 D.12
第5题图　第6题图　第7题图
6.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，点G，H均在BC边上，点G在点H的左侧，连结EG，FH.已知EG＝FH，AD＝8 cm，GH＝2 cm，则BG的长为(A)
A.3 cm B.2 cm C.3.5 cm D.4 cm
7.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的边CD于点P，则∠FPC的度数是(C)
A.135° B.120° C.112.5° D.67.5°
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，作BD的垂直平分线分别与边AD，BC交于点E，F，则BF的长为(B)
A. B. C. D.5
第8题图　　第9题图　　第10题图
9.如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB＝3，BC＝1，直线y＝x－1经过点C，交x轴于点E，双曲线y＝经过点D，则k的值为(A)
A.1 B.2 C. D.4
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点E，使BE＝CD，连结AE.有下列结论：①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④＝.其中正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　∠BAD＝90°(答案不唯一)　，使得 ABCD为正方形.
12.如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥BC于点F.若EF＝4，则点E到边AB的距离为　4　.
第12题图　　第13题图　　第14题图
13.如图，正方形ABCD的边长为4，以AC为边作平行四边形AEFC，使EF过点B，则平行四边形AEFC的面积为　16　.
14.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC，交BC于点F.若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为　2　.
15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AB＝2，E是BC的中点，点P在对角线AC上滑动，则BP＋EP长的最小值是　.
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.
∵E，F分别是边CD，AD的中点，
∴DF＝AD，DE＝CD，∴DF＝DE.
∵∠D＝∠D，∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE＝CF.
17.(8分)如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE∶∠DAE＝1∶3，求∠ABE和∠EAO的度数.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝∠BAD＝22.5°.
∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝67.5°，
∴∠OAB＝67.5°，∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝45°.
18.(9分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度数.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB.
∵BE＝AB，∴BE∥CD，BE＝CD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴BD＝EC.
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°.
由(1)知四边形DBEC是平行四边形，
∴BD∥EC，∴∠ABD＝∠E＝50°，∴∠BAO＝40°.
19.(9分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE＝AF，∠CEF＝45°.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若AF＝3，BE＝1，求四边形ABCD的面积.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF.
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝90°－∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形.
(2)解：由(1)知△ABE≌△ADF，∴DF＝BE＝1.
在Rt△ADF中，AD＝＝＝.
由(1)知四边形ABCD是正方形，
∴S正方形ABCD＝()2＝17.
20.(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
(2)若∠BAC＝∠ECF，求∠ACF的度数.
(1)证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形EBFC是菱形.
(2)解：由(1)知四边形EBFC是菱形，
∴∠ECB＝∠FCB＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠CAH＝∠BAC，∠AHC＝90°，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCB，
∴∠FCB＋∠ACH＝90°，即∠ACF＝90°.
21.(10分)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，延长CB到点F，使BF＝CE，连结AF，OF.
(1)求证：四边形AFED是矩形；
(2)若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，求OF的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BF＝CE，∴FE＝BC，
∴FE＝AD，∴四边形AFED是平行四边形.
∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，
∴平行四边形AFED是矩形.
(2)解：由(1)知四边形AFED是矩形，FE＝AD，
∴∠AFE＝90°，FE＝AD＝7，∴FB＝FE－BE＝5，
∴CE＝FB＝5，∴FC＝FE＋CE＝7＋5＝12.
∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB＝5.
在Rt△AFC中，由勾股定理，得AC＝＝＝13.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，∴OF＝AC＝.
22.(10分)如图1，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，以AC为斜边作直角三角形ACE，∠BED＝90°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)如图2，若△BCE是等边三角形，∠AOB＝60°，四边形AODE是什么特殊四边形？请说明理由.
图1　　　图2
(1)证明：连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠BED＝90°，∴OE＝BD.
∵△AEC为直角三角形，∴OE＝AC，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)解：四边形AODE是菱形.理由如下：
由(1)知四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CD，OA＝OC＝OB＝OD.
∵△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝30°.
由题意，得∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC－∠BEC＝30°＝∠ABE，∴AE＝AB.
同理可得DE＝DC，∴AE＝DE.
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB，∴OA＝OD＝AE＝DE，
∴四边形AODE是菱形.
23.(12分)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连结CE，试探究PA与CE之间的数量关系，并说明理由.
图1　　　图2
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，∴PA＝PC.
∵PA＝PE，∴PC＝PE.
(2)解：由(1)知△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，∴∠EDF＝180°－∠ADC＝90°.
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠EFD－∠E，
∴∠CPE＝∠EDF＝90°.
(3)解：PA＝CE.理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠EDF＝180°－∠ADC＝60°.
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，
∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DEP，PC＝PE，
∴∠DEP＝∠DCP.
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°－∠CFP－∠PCF＝180°－∠EFD－∠DEF，
∴∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，
∴PE＝CE，∴PA＝CE.
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