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2026年甘肃省武威第十六中学数学中考考前第三次模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一段管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，A、B是双曲线 上的两点，过点 A 作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为 ，D为的中点，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．如图，在等边 ABC中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）．
①当 BPQ为直角三角形时，；②；
③设四边形的面积为，则；
④在运动的过程中，当时，
以上说法正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．小宇在美术课上设计了4张卡片，正面分别写有“拼”“搏”“奋”“进”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“拼”“搏”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论：
①满足条件的整式中只有个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个；
③满足条件的整式一共有个．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知三角形纸片，第一次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第二次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G．若，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
11．因式分解：_______________________．
12．若实数，同时满足，，则的值为______．
13．如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______．
14．如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限．
15．如图，⊙是 ABC的外接圆，过点A作的切线与的延长线交于点D，E在上且，连接，，已知，，则__________；若点F在的延长线上，与交于点G且，则__________．
16．如图1， ABC是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____
17．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________．
18．如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________．
三、解答题（共66分）
19．（本题4分）计算：．
20．（本题4分）解方程组：
21．（本题6分）为了解曲江二中九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次随机抽样调查的男生人数为___________，图①中的值为___________，中位数为___________；
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数；
(3)若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计我校九年级560名男生中该项目良好的人数．
22．（本题6分）“植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元．
(1)求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
23．（本题6分）为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机飞行实验活动．同学们发现，从垂直地面的起降架的顶端A处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞行路线呈抛物线形状．
【提出问题】
怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？
【分析问题】
如图1，已知起降架的高度是1.52米，当顶端A处发射的无人机与起降架的水平距离为18米时，达到最大高度8米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
【解决问题】
(1)求无人机飞行路线所在抛物线的解析式；
(2)如图2，在（1）的条件下，距离起降架36米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形，其中为36米，为1米．
①当平台升高至0.5米时（米），求无人机能否越过该平台；
②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含D、E两点），此时平台高度为h米，求h的取值范围．
24．（本题6分）如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留）．
25．（本题8分）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点．
(1)如图，当点落在边上时，连接．
①求的值；
②若，求的长；
(2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围．
26．（本题8分）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______；
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
27．（本题8分）国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东方向，B馆在A馆的北偏西方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西方向．（参考数据：，，，）
(1)求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号）
(2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿路线行走，小红从A馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数）
28．（本题10分）综合与探究
问题情境：
矩形中，，，的平分线交于点．将绕点顺时针旋转，得到点，的对应点分别为点，点与点不重合．
深入探究：
(1)如图，当点在边上时，求证：；
(2)如图，当点在线段上时，连接，，①求证：；②求四边形的面积；
(3)当点在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长．
29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，．
(1)求该抛物线的表达式：
(2)过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页《2026年甘肃省武威第十六中学数学中考考前第三次模拟试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C D B C A A
11．
12．
13．
14．一、三
15． 4
16．①②
17．/
18．
19．解：
．
20．解：①＋②，得，
解得．
把代入②，得，
解得，
原方程组的解为
21．（1）解：（名），
则本次随机抽样调查的男生人数为；
，即；
将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是，因此中位数是6；
故答案为：40，25，6；
（2）解：（次）
答：本次调查获取的样本数据的平均数为次；
（3）解：（人），
答：该校九年级560名男生中该项目良好的人数大约为308人．
22．（1）解：设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元，
由题意：，
解得：，
答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元；
（2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
由题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少．
23．（1）解：由题可知：抛物线的顶点为，
∴设抛物线解析式为，
将代入解析式可得，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①由题可得，，
令，得，
，
∴无人机能越过该平台；
②如图所示：
，，
，得．，得．
，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，
的取值范围为．
24．（1）解：，
，
，
是的中位线，
．
是直径，
，
．
（2）解：如图，连接，
，
是等边三角形，
，
，
．
25．（1）①如图，过点作，交于点，交于点．
∵四边形为矩形，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形．
∴．
∵点关于直线对称，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
又∵，
∴．
∴，即．
②如图，连接，．
∵点关于直线对称，
∴，．
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴．
∴．
∴．
设，则．
由，得．
解得．
∴的长为．
（2）当点在上移动时，点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上．
如图，当点在一条直线上时，最小．
∴．
如图，当点与点重合时，最大．
∵点关于直线对称，
∴．
∴．
∴的长度范围是．
26．（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，
∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为，
故答案为：．
（2）解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，
∴这两个小组研究方向不同的概率．
27．（1）解：过点作于点，过点作于点，
则，
由题意得，，
，，
，
在中，，米，
（米），（米），
在中，，
米，
米；
（2）解：设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米，
如图，此时小明，小红分别在，处，连接，
则米，米，
小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，
米，
由（1）可知，米，
米，
在中，，
，
即，
解得，（负值舍去），
米，
过点作，垂足为，
由（1）可知，（米），
在中，，
（米），（米），
在中，，
米，
（米）．
28．（1）证明：绕点旋转得到，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
；
（2）①证明：如图，设交于点，
四边形是矩形，，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
；
②解：
，
在和中，
，
，即，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
四边形的面积为：
；
（3）解：的长为或．理由如下：
点在矩形的对角线上时，分两种情况讨论：
如图，若点在对角线上时，过点作于．
平分，
点到的距离等于的长度，
由旋转的性质得：，，，
，
，
，
点，，，在同一条直线上，
在和中，
，
，
，
，
在矩形中，，，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：；
如图，若点在对角线上时，过点作于，过点作于，
在矩形中，，，
，，，
由勾股定理得：，
由（1）②得：，
等腰三角形的三线合一，
在中，，
在中，，
，，，
由旋转的性质得：，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
综上所述，的长为或．
29．（1）解：∵抛物线过点和，
∴将两点坐标代入得：
解方程组得：，
∴抛物线表达式为．
（2）解：在中，令，得，
∴，
设直线的解析式为，则
解得，，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
设与轴交于点，则，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，，
∴直线的解析式为，
由得或，
∴，
设所在直线解析式为，则，
解得，，
∴所在直线解析式为，
设，
∵，
∴，
当四边形的面积：
作轴于点，连接，
,
∴,
∴，
当时，四边形的面积最大，．
此时，，
作平行四边形，则，，
∵，
∴，
作点关于轴的对称点，连接，，则，
∴，，
∴，
答：当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为．
（3）解：∵，，，
∴新函数，
即，
对称轴为，
作轴，交新函数图象于点，
∵，
∴，
∵点，点，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
在中，令，得，
∴直线与的交点坐标为，
∵，
∴为直线与新抛物线的交点，
∵轴，
∴，，
作，则，
∴，
∵，
∴，
∴与新抛物线的交点为，
过点作轴，交于点，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
由得或，
∴，
∵，，，，
∴，，
连接，，则四边形为平行四边形，
与交点记为，则为的中点，
∵，，
∴，
作与关于对称，作，交于点，则，
∴，
连接并延长，交于，
∴，
∴与关于点对称，
设，则，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，，
∴直线的解析式为，
由得或，
∴，
答：点的横坐标为或．
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